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  • 向量叉乘公式是什么啊

    千次阅读 2021-02-05 03:17:56
    展开全部叉乘,也叫向量的外积62616964757a686964616fe59b9ee7ad9431333365643639、向量积。顾名思义,求下来的结果是一个向量,记这个向量为c。|向量c|=|向量向量b|=|a||b|sin向量c的方向与a,b所在的平面垂直,...

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    叉乘,也叫向量的外积62616964757a686964616fe59b9ee7ad9431333365643639、向量积。顾名思义,求下来的结果是一个向量,记这个向量为c。

    |向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin

    向量c的方向与a,b所在的平面垂直,且方向要用“右手法则”判断(用右手的四指先表示向量a的方向,然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向,大拇指所指的方向就是向量c的方向)。

    因此

    向量的外积不遵守乘法交换率,因为向量a×向量b= -

    向量b×向量a

    在物理学中,已知力与力臂求力矩,就是向量的外积,即叉乘。

    将向量用坐标表示(三维向量),

    若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),

    向量a×向量b=

    | i j k |

    |a1 b1 c1|

    |a2 b2 c2|

    =(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

    (i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量)。

    数学中,既有大小又有方向且遵循平行四边形法则的量叫做向量(vector)。

    向量

    向量

    有方向与大小,分为自由向量与固定向量。

    数学中,把只有大小但没有方向的量叫做数量,物理中称为标量。例如距离、质量、密度、温度等。

    注:在线性代数中(实数空间/复数空间)的向量是指n个实数/复数组成的有序数组,称为n维向量。α=(a1,a2,…,an) 称为n维向量。其中ai称为向量α的第i个分量。

    ("a1"的"1"为a的下标,"ai"的"i"为a的下标,其他类推)

    在编程语言中,也存在向量。向量有起点,有方向。常用一个带箭头的线段表示。

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  • 过几天看发个word版的公式总结)上册第一篇 力学基础位移矢量: ( 是xyz轴对应的单位向量)质点运动方程: 位移: (矢量相减)速度:瞬时速度: 平均速度: 加速度:瞬时加速度: 平均加速度: 曲率: 曲率半径: ...

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    空山新雨后:大物学习笔记(目录)​zhuanlan.zhihu.com
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    (之前忙其他的事情鸽了好久的热学,之后找时间再补了。过几天看发个word版的公式总结)


    上册

    第一篇 力学基础

    1. 位移矢量:
      是xyz轴对应的单位向量)
    2. 质点运动方程:
    3. 位移:
      (矢量相减)
    4. 速度:
      1. 瞬时速度:
      2. 平均速度:
    5. 加速度:
      1. 瞬时加速度:
      2. 平均加速度:
    6. 曲率:
    7. 曲率半径:
    8. 圆周运动的加速度
      1. 切向加速度:
        (方向沿运动方向)
      2. 法线加速度:
        (指向圆心)
    9. 角位移:
    10. 角速度:
    11. 角加速度:
    1. 牛顿第二定律:
      (国际单位制时k=1)
    2. 牛顿第三定律:
    3. 七个国际基本单位:长度(米 m)、质量(千克 kg)、时间(秒 s)、电流(安培 A)、温度(开尔文 K)、物质的量(摩尔 mol)、发光强度(坎德拉 cd)
    4. 动量守恒定律:
    5. 功:
    6. 功率:
    7. 动能:
    8. 弹性势能:
      (相对于平衡位置的位移)
    9. 重力势能:
      (相对于0势能面的高度)
    10. 机械能守恒:
    11. 能量守恒定律:
    1. 力矩:
    2. 角动量:
    3. 角动量守恒:
    4. 转动惯量:
      1. 常见转动惯量:

    12c821c140ff58425a4236ae4618522b.png
    1. 转动的功:
    2. 转动的功率:
    3. 转动的动能:
    1. 位置:
    2. 速度:
    3. 加速度:
    4. 周期:
      1. 弹簧振子:
      2. 单摆:
        是摆长,
        是重力加速度。易知单摆的周期也至于物体本身性质有关与运动状态无关)
      3. 复摆:
        是转动惯量,
        是质量,
        是重力加速度,
        是质心到转轴的距离。)
    5. 频率:
      (频率就是周期的倒数,单位是Hz)
    6. 角频率:
      1. 在弹簧振子中:
    7. 相位:
      (反映了物体当前的振动状态)
      1. 初相位:
        (反映了物体在开始的时候振动状态)
      2. 相位差:
        (描述两个振动之间的状态差)
    8. 简谐振动的能量:
    9. 动能:
      1. 势能:
    10. 阻力系数:
      。满足方程
    11. 阻尼因子:
      。它与
      之间的关系决定了方程的解,也等于决定了物体的运动情况。
    12. 三种情况
      1. 弱阻尼
        一般应用于
        ,但是
        都是满足的。
      2. 临界阻尼
      3. 过阻尼
        这里
    1. 简谐波
      1. (沿x轴正方向传播)。
      2. (沿x轴负方向传播)。
    2. 简谐波的能量:
    3. 能量密度:
    4. 平均能量密度:
    5. 能流:
    6. 平均能流(波的功率):
      (S是横截面积)
    7. 能流密度(波的强度):
    8. 振幅的关系:
      最初的振幅,
      到波源的距离,
      吸收系数满足
    9. 驻波的方程:
      1. 波腹:
        。两个相邻的波腹,振动始终相反,差
        的相位。
      2. 波节:
    10. 驻波的能量
      1. 动能的能量密度:
      2. 势能的能量密度:

    第二篇 气体动理论和热力学

    • (暂无)

    下册

    第三篇 电磁学

    1. 库伦定理:
      。(
    2. 真空中的介电常数(真空中的电容率):
    3. 电场强度:
    4. 电偶极矩(电矩):
    5. 电偶极子延长线上任意一点P场强:
    6. 电偶极子垂线上任意一点P场强:
      (方向与电偶极矩
      方向相反)
    7. 电通量:
      电场强度,
      垂直于电场方向的面积,若不垂直需要把它投影到垂直方向上。)
      1. :电场线
        穿出闭合曲面
      2. :电场线
        穿进闭合曲面
      3. :电场线与曲面相切。
    1. 高斯定理:
    2. 电势能:
    3. 电势:
      都是向量,向量点乘)
    4. 电势差:
    5. 电势叠加原理:
    1. 电极化强度:
      。(
      每个分子的电偶极矩(矢量),
      电介质体积。
      介质的电极化率只取决于电介质的种类,
      真空中的介电常数,
      电场强度(矢量))
    2. 有介质的高斯公式:
    1. 电容:
    2. 平行板电容器:
      平行板的面积,
      平行板间距,
      真空中的电容率,
      相对电容率)
    3. 同心球电容器:
      真空中的电容率,
      相对电容率,
      外球壳半径,
      内球壳半径)
    4. 圆柱形电容器:
      真空中的电容率,
      相对电容率,
      外圆柱壳半径,
      内圆柱壳半径,
      圆柱体的高度)
    5. 电容器的串联:
      。(把q、U代入就证明了)
    6. 电容器的并联:
    7. 点电荷系的电能:
    8. 电容的能量:
    9. 电场的能量:
    10. 电场的能量密度:
    1. 电流强度:
    2. 电流密度(矢量):
    3. 电动势:
    4. 欧姆定理:
    1. 洛伦兹力:
      电荷,
      电荷运动的速度,
      磁场强度。注意这里是矢量叉乘)
    2. 毕奥─萨伐尔定律:
    3. 运动电荷产生的磁场:
      (将电流表达式代入电流磁场的表达式,除以载流子个就可以得到运动电荷产生的磁场)
    4. 磁通量:
    5. 安培环路定理:
    6. 安培力:
    7. 线圈的磁力矩:
      (P与B都是矢量,满足矢量叉乘)
    8. 线圈的磁矩:
      。(N线圈匝数,I线圈中电流,S线圈面积)
      适用于任意形状的线圈
    9. 载流导线在磁场中运动:
    10. 磁力矩的做功:
    11. 磁介质中的磁场:
    12. 相对磁导率:
    13. 磁化强度:
    14. 有介质存在时的安培环路定理 :
    1. 感应电动势的公式:
    2. 直导线在磁场中运动的感生电动势:
    1. 自感系数:
      通过线圈的磁通量总和)
    2. 感生电动势:
    3. 自感磁能:
    4. 磁场的能量密度:

    第四篇 波动光学

    1. 光程:
      折射率,
      在介质中传播的几何路程,
      等价的在真空中传播的几何路程)
    2. 相位差:
    3. 振幅最大的位置(明纹):
      ,此时
    4. 振幅最低的位置(暗纹):
      ,此时

    杨氏双缝

    1. 亮纹:
      ,(
    2. 暗纹:
      ,(

    等倾干涉

    1. 光程差:
      (这两个式子是常用式子)
    2. P点干涉加强(明条纹):
    3. P点干涉减弱(暗条纹):

    劈尖干涉

    1. 光程差:
    2. 干涉加强(明条纹):
    3. 干涉减弱(暗条纹):
    4. 相邻明条纹的厚度差:

    等厚干涉(牛顿环)

    1. 光程差:
    2. 干涉加强(明条纹):
    3. 干涉减弱(暗条纹):

    迈克尔逊干涉仪

    1. 光程差:
    2. 干涉加强(明条纹):
    3. 干涉减弱(暗条纹):

    夫琅禾费衍射

    1. 光程差:
    2. 干涉加强(明条纹):
    3. 干涉减弱(暗条纹):

    艾里斑的半角宽度:

    光栅衍射

    1. 光栅常量:
      (这是教科书的两个表示派系。第一个b来表示小缝宽度,b'来表示小缝间距。第二个a来表示小缝宽度,b来表示小缝间距。)
    2. 光栅方程(明纹):
    3. 暗纹:
      (N是光栅缝总数)
    4. 缺级:
    5. 倾斜入射的光栅公式:
    6. 光栅衍射k的最大取值:
    1. 马吕斯定理:
      偏振之后的光强,
      ;偏振之前的光强,
      偏振的夹角)
    2. 布儒斯特定理:当入射角满足
      时,反射光只有垂直于入射平面的分振动。折射光仍旧是部分偏振光
    3. 布儒斯特角(起偏角):

    第五篇 量子论

    • (暂无)
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  • 向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用十分广泛,通常应用于...

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    向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用十分广泛,通常应用于物理学光学和计算机图形学中。


    如图,这是

    ,我们得到了一个实数
    ,而其绝对值为平行四边形面积。

    92abf67dd11596caac37776caa5447ee.png


    如图,这是

    ,我们得到了一个垂直与已知两向量的法向量,且其模长为平行四边形面积。

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    运算定理

    均为向量,
    的夹角

    1,

    2,

    3,

    运用1,已知三点坐标,求三角形面积

    以任意一个点坐标为基准,做差得到两个向量,这两个向量可围成向量三角形。
    例如点

    ,点
    ,点

    得到向量

    使用公式2,然后取绝对值,得到三角形面积

    空间向量外积求三角形面积可以很容易的推广到平面。

    则有

    三角形是最简单的几何图形,而在计算机领域求多边形面积是非常重要的,而用向量外积算出的有向面积,是解决求多边形面积的重要方法,它适用于凸多边形和凹多边形,非常灵活,简洁优美。

    运用2,已知平面,求平面的法向量

    找到平面内不共线的两向量

    ,这两个向量决定了这个平面 使用公式2,得到向量
    ,按照向量外积的定义,
    垂直于

    故所求向量
    即平面的法向量

    向量外积得到的法向量,有很多用途,尤其是物理上的,例如3D图像渲染在CG和游戏领域非常重要,而好的视觉效果多半取决于环境光的仿真,光的传播有一个最基本的定理,那就是光线与平面的法线所成的反射角等于入射角,而与利用向量外积求平面法线,是最简洁优美的。

    运用3,求三棱锥体积

    由三个不共面向量

    所决定的平行六面体的体积为

    故由三个不共面向量所决定的三棱锥的体积为

    运用4,高中数学外挂

    用它来做高中数学题简直就是开挂。

    已知三点坐标,求三角形面积这个问题。按照高中数学的套路,无非就是两点间距离公式算三边长,然后要么用海伦公式算面积,要么用余弦定理求出余弦值,换成正弦值,再求面积,这两种方法海伦公式稍微简便一点,但无非都难算了一些。而使用向量外积则简洁优美,我直接算

    的值就是面积了。

    已知平面,求平面的法向量这个问题。按照高中数学的套路,无非找出平面内两个不共线向量

    ,然后设平面的法向量
    然后根据向量垂直
    联立解得
    为含参的式子(因为一个平面的法向量有无数个),最后取一个容易计算的法向量。而使用向量外积,那就很简单了,计算
    就搞定了。

    已知三棱锥的各个点坐标,求它的体积这个问题。按照高中数学的套路,无非就是用余弦定理和正弦定理暴算一个面的面积,再用向量的余弦定理暴算点到面的距离,然后求出体积。如果使用上述的公式,一步就能算出体积,非常方便。

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  • 向量叉乘计算公式

    千次阅读 2021-11-08 11:16:24
    二维向量叉乘 A=(a1,a2) B=(b1,b2) A×B =(a1,a2)×(b1,b2) =a1b2-a2b1 三维向量叉乘 A=(a1,a2,a3) B=(b1,b2,b3) A×B =(a1,a2,a3)×(b1,b2,b3) =(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)

    二维向量叉乘

    A=(a1,a2)
    B=(b1,b2)
    
    A×B
    =(a1,a2)×(b1,b2)
    =a1b2-a2b1
    

    三维向量叉乘

    A=(a1,a2,a3)
    B=(b1,b2,b3)
    
    A×B
    =(a1,a2,a3)×(b1,b2,b3)
    =(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)
    
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  • 三个向量叉乘公式的证明推导

    万次阅读 2021-03-28 17:23:19
    三个向量叉乘公式 二重积应该都看得懂有手就行 那么三重积应该怎么推导呢? 首先看标量三重积 标量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到点积,其结果是个标量。 设a,b,c为三个向量,则标量三重...
  • 三维向量叉乘推导

    2020-12-21 09:08:02
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    万次阅读 2017-08-18 12:24:34
    向量叉乘公式及应用
  • cbaθ高中数学知识背景下对向量叉乘运算的探讨在高中数学的学习中,同学们接触到向量的概念,并了解其性质、线性运算、坐标表示、数量积以及在实际问题中的应用。在此基础上,可进一步深化,引入向量的叉乘运算,...
  • NumPy叉乘

    千次阅读 2020-12-10 03:56:18
    1、叉乘-数学解释向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分...
  • 3维向量的点乘叉乘运算

    万次阅读 2020-11-04 20:30:36
    3维向量的点乘叉乘运算 文章目录3维向量的点乘叉乘运算三维向量的点乘三维向量叉乘点到直线的距离点到平面的距离 三维向量的点乘 点乘得到的是对应元素乘积的和,是一个标量,没有方向 V1( x1, y1, z1)·V2(x2, y2...
  • 向量叉乘的推导

    万次阅读 2014-11-25 23:32:47
    向量P =(Px Py Pz), Q = (Qx Qy Qz),规定PXQ = (PyQz - PzQy PzQx - PxQz PxQy - PyQx);...1: 首先可以看到,这叉乘出来的东西是个向量。 2: 两边取模,然后再平方,就可以推导出来了, 如图:
  • 向量叉乘 a=(x1,y1)b=(x2,y2)a=(x_1,y_1)\quad b=(x_2,y_2)a=(x1​,y1​)b=(x2​,y2​) 点乘:a→⋅b→\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}a⋅b 得到实数,属于向量之间的标量运算 叉乘:a→×b→\...
  • 向量叉乘=====求法向量

    万次阅读 2018-05-22 15:18:02
    向量叉乘记录:

空空如也

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向量叉乘公式

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