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  • 分块矩阵求逆

    千次阅读 2020-07-30 10:05:26
  • 2.10 分块矩阵求逆

    千次阅读 2020-03-20 12:34:24
    分块矩阵求逆 分块矩阵求逆法,把大型矩阵变成小型矩阵,可以提高计算效率。 1、准对角矩阵 A=[A11OOA22]A= \left[ \begin{matrix} A_{11} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & A_{22} \\ \end{matrix} \right]A=...

    分块矩阵求逆

    分块矩阵求逆法,把大型矩阵变成小型矩阵,可以提高计算效率。

    1、准对角矩阵 A = [ A 11 O O A 22 ] A= \left[ \begin{matrix} A_{11} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & A_{22} \\ \end{matrix} \right] A=[A11OOA22] 的逆,可以待定系数法求,设逆矩阵为 A − 1 = [ X Y Z W ] A^{-1}= \left[ \begin{matrix} X & Y \\ Z & W \\ \end{matrix} \right] A1=[XZYW] ,则
    [ X Y Z W ] [ A 11 O O A 22 ] = [ E n O O E m ] \left[ \begin{matrix} X & Y \\ Z & W \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A_{11} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & A_{22} \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} E_n & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & E_m \\ \end{matrix} \right] [XZYW][A11OOA22]=[EnOOEm]

    计算

    [ X Y Z W ] [ A 11 O O A 22 ] = [ X A 11 Y A 22 Z A 11 W A 22 ] = [ E n O O E m ] \left[ \begin{matrix} X & Y \\ Z & W \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A_{11} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & A_{22} \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} XA_{11} & YA_{22} \\ ZA_{11} & WA_{22} \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} E_n & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & E_m \\ \end{matrix} \right] [XZYW][A11OOA22]=[XA11ZA11YA22WA22]=[EnOOEm]

    令对应元素相等,得

    X A 11 = E n Y A 22 = O Z A 11 = O W A 22 = E m XA_{11} = E_n \quad YA_{22} = \mathbf{O} \\ ZA_{11} = \mathbf{O} \quad WA_{22} = E_m XA11=EnYA22=OZA11=OWA22=Em

    由于矩阵 A 11 , A 22 A_{11} , A_{22} A11,A22 ,可得 X = A 11 − 1 , Y = O , Z = O , W = A 22 − 1 X=A^{-1}_{11},Y=\mathbf{O},Z=\mathbf{O},W=A^{-1}_{22} X=A111,Y=O,Z=O,W=A221 ,所以 A − 1 = [ A 11 − 1 O O A 22 − 1 ] A^{-1}= \left[ \begin{matrix} A^{-1}_{11} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & A^{-1}_{22} \\ \end{matrix} \right] A1=[A111OOA221]

    2、准下角矩阵 A = [ A 11 O A 21 A 22 ] A= \left[ \begin{matrix} A_{11} & \mathbf{O} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{matrix} \right] A=[A11A21OA22] 的逆,可以待定系数法求,设逆矩阵为 A − 1 = [ X Y Z W ] A^{-1}= \left[ \begin{matrix} X & Y \\ Z & W \\ \end{matrix} \right] A1=[XZYW] ,则
    [ X Y Z W ] [ A 11 O A 21 A 22 ] = [ E n 0 0 E m ] \left[ \begin{matrix} X & Y \\ Z & W \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A_{11} & \mathbf{O} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} E_n & 0 \\ 0 & E_m \\ \end{matrix} \right] [XZYW][A11A21OA22]=[En00Em]

    计算

    [ X Y Z W ] [ A 11 O A 21 A 22 ] = [ X A 11 + Y A 21 Y A 22 Z A 11 + W A 21 W A 22 ] = [ E n O O E m ] \left[ \begin{matrix} X & Y \\ Z & W \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A_{11} & \mathbf{O} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} XA_{11}+YA_{21} & YA_{22} \\ ZA_{11}+WA_{21} & WA_{22} \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} E_n & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & E_m \\ \end{matrix} \right] [XZYW][A11A21OA22]=[XA11+YA21ZA11+WA21YA22WA22]=[EnOOEm]

    令对应元素相等,得

    X A 11 + Y A 21 = E n Y A 22 = O Z A 11 + W A 21 = O W A 22 = E m XA_{11}+YA_{21} = E_n \quad YA_{22} = \mathbf{O} \\ ZA_{11}+WA_{21} = \mathbf{O} \quad WA_{22} = E_m XA11+YA21=EnYA22=OZA11+WA21=OWA22=Em

    由于矩阵 A 11 , A 22 A_{11} , A_{22} A11,A22 ,可得 X = A 11 − 1 , Y = O , Z = − A 22 − 1 A 21 A 11 − 1 , W = A 22 − 1 X=A^{-1}_{11},Y=\mathbf{O},Z=-A^{-1}_{22}A_{21}A^{-1}_{11},W=A^{-1}_{22} X=A111,Y=O,Z=A221A21A111,W=A221 ,所以 $A^{-1}=
    \left[ \begin{matrix}
    A^{-1}{11} & \mathbf{O} \
    -A{-1}_{22}A_{21}A{-1}
    {11} & A^{-1}_{22} \
    \end{matrix} \right] $ 。

    3、准上角矩阵 A = [ A 11 A 12 O A 22 ] A= \left[ \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ \mathbf{O} & A_{22} \\ \end{matrix} \right] A=[A11OA12A22] 的逆 A − 1 = [ A 11 − 1 − A 11 − 1 A 12 A 22 − 1 O A 22 − 1 ] A^{-1}= \left[ \begin{matrix} A^{-1}_{11} & -A^{-1}_{11}A_{12}A^{-1}_{22} \\ \mathbf{O} & A^{-1}_{22} \\ \end{matrix} \right] A1=[A111OA111A12A221A221]

    上面三个例子显示,如果子矩阵是 O \mathbf{O} O 矩阵,逆矩阵对应的子矩阵也是 O \mathbf{O} O 矩阵,这些位置的元素不需要计算,直接是 0 0 0 ,在实际计算逆矩阵时,可以提高效率。
    分块矩阵计算逆矩阵,如3阶准上角矩阵, A = [ 1 3 5 2 4 6 0 0 7 ] A= \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 7 \end{matrix} \right] A=120340567 ,4个子矩阵分别为 A 11 = [ 1 3 2 4 ] , A 12 = [ 5 6 ] , A 21 = [ 0 0 ] , A 22 = [ 7 ] A_{11} = \left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{matrix} \right], A_{12} = \left[ \begin{matrix} 5 \\ 6 \\ \end{matrix} \right], A_{21} = \left[ \begin{matrix} 0 & 0 \end{matrix} \right], A_{22} = \left[ \begin{matrix} 7 \end{matrix} \right] A11=[1234],A12=[56],A21=[00],A22=[7] 。根据2阶逆矩阵公式,得 A 11 − 1 = [ 4 − 3 − 2 1 ] / ( − 2 ) A^{-1}_{11} = \left[ \begin{matrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \\ \end{matrix} \right] / (-2) A111=[4231]/(2) A 22 − 1 = [ 1 / 7 ] A^{-1}_{22} = \left[ \begin{matrix} 1/7 \end{matrix} \right] A221=[1/7] − A 11 − 1 A 12 A 22 − 1 = [ 1 − 2 ] / 7 -A^{-1}_{11}A_{12}A^{-1}_{22}=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ \end{matrix} \right]/7 A111A12A221=[12]/7 , 所以逆矩阵为 A − 1 = [ − 2 3 / 2 1 / 7 1 − 1 / 2 − 2 / 7 0 0 1 / 7 ] A^{-1}= \left[ \begin{matrix} -2 & 3/2 & 1/7 \\ 1 & -1/2 & -2/7 \\ 0 & 0 & 1/7 \end{matrix} \right] A1=2103/21/201/72/71/7 。 读者可以验证 A A − 1 = E , A − 1 A = E AA^{-1}=E, A^{-1}A=E AA1=E,A1A=E 。比直接计算3阶矩阵的逆要快很多。

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  • 分块矩阵求逆公式

    万次阅读 2014-01-21 17:40:41
    下面是一些分块矩阵求逆公式: 转自:http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=2
    下面是一些分块矩阵求逆公式:
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    转自: http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=2
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  • 线性代数分块矩阵求逆矩阵Linear algebra is the branch of mathematics concerning linear equations by using vector spaces and through matrices. Matrix is the key to linear algebra. All the linear algebra...

    线性代数分块矩阵求逆矩阵

    Linear algebra is the branch of mathematics concerning linear equations by using vector spaces and through matrices. Matrix is the key to linear algebra. All the linear algebra revolves around matrices. Columns are the heart of a Matrix. From column space to null space of a matrix is based on Columns. Therefore, whenever we have to go for Column operations, then we have to call our columns.

    线性代数是使用向量空间和矩阵的线性方程组的数学分支。 矩阵是线性代数的关键。 所有线性代数都围绕矩阵旋转。 列是矩阵的核心。 矩阵的从列空间到空空间都是基于列的。 因此,每当必须进行列操作时,就必须调用列。

    The following code shows how to call a whole column of a matrix.

    以下代码显示了如何调用矩阵的整个列。

    用于调用矩阵列的Python代码 (Python code for calling column of a matrix)

    # Linear Algebra Learning Sequence
    # Calling Column of a Matrix
    
    import numpy as np
    
    # Use of np.array() to define a matrix
    V = np.array([[1,2,3],[2,3,5],[3,6,8],[323,623,823]])
    print("--The Matrix-- \n",V)
    
    j = int(input("Enter j (column number) : "))
    
    # Printing the V[i][j] element of the matrix
    ln = len(V)
    for i in range(ln):
        print("Component [",i,"] [",j,"] :", V[i][j-1])   
    
    

    Output:

    输出:

    --The Matrix-- 
     [[  1   2   3]
     [  2   3   5]
     [  3   6   8]
     [323 623 823]]
    Enter j (column number) : 2
    Component [ 0 ] [ 2 ] : 2
    Component [ 1 ] [ 2 ] : 3
    Component [ 2 ] [ 2 ] : 6
    Component [ 3 ] [ 2 ] : 623
    
    
    

    翻译自: https://www.includehelp.com/python/calling-column-of-a-matrix.aspx

    线性代数分块矩阵求逆矩阵

    展开全文
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    分块矩阵给实际运算带来了很大的方便,对于行列数都很大的矩阵,...分块矩阵求逆有两个非常有用的公式,能帮助我们快速得出正确结果: 但是是不对的,只能假设矩阵,再通过多元方程组得出矩阵的每一位系数。
  • 一个分块矩阵求逆矩阵的结论

    千次阅读 2019-08-12 09:00:48
    文章目录P205 例15解 P205 例15 B=(0B1B20)B=\begin{pmatrix}0&...其中B1、B2B_1、B_2B1​、B2​分别是r、sr、sr、s级矩阵BBB可逆的充要条件以及BBB可逆时的B−1B^{-1}B−1 解 由Laplace定理可得∣B∣=(−1)r...
  • 分块矩阵求

    2021-01-06 14:50:09
    宽度学习系统增量学习的核心算法是分块矩阵求逆! ( 现在像我一样在这里手推公式的大佬不多了
  • 如果 $A$ 可逆或 $D$ 可逆, 则 $$\bex \sev{\ba{cc} A&B\\ C&D \ea}=|A|\cdot |D-CA^{-1}B| =|D|\cdot |A-BD^{-1}C|. \eex$$
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  • 特殊分块矩阵与秩.doc
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    万次阅读 2016-07-16 12:54:15
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    千次阅读 2017-06-23 15:02:37
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  • 矩阵求逆

    千次阅读 2017-01-09 23:43:00
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  • 2.5 分块矩阵

    2020-01-08 10:00:35
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