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  • 正余弦函数及其反函数导数推导

    万次阅读 2017-11-25 23:22:46
    正余弦函数及其反函数导数推导背景三角...其反三角函数涉及复合函数求导。此文主要是对这两点知识的应用。三角函数求导sinxsin x(sinx)′=limdx→0sin(x+dx)−sin(x)dx (sin x)' = \lim_{dx\to0}\frac{sin(x+dx)-sin

    正余弦函数及其反函数导数推导

    背景

    三角函数的求导涉及到重要极限
    limx0sinxx
    的使用。
    其反三角函数涉及复合函数求导。此文主要是对这两点知识的应用。

    三角函数求导sinx

    (sinx)=limdx0sin(x+dx)sin(x)dx

    =limdx0sin(x+dx2+dx2)sin(x+dx2dx2)dx

    =limdx02cos(x+dx2)sin(dx2)dx

    =limdx0cos(x+dx2)sin(dx2)dx2

    =limdx0cos(x+dx2)sin(dx2)dx2

    =limdx0cos(x+dx2)1=cosx

    三角函数求导cosx

    (cosx)=limdx0cos(x+dx)cos(x)dx

    =limdx0cos(x+dx2+dx2)cos(x+dx2dx2)dx

    =limdx02sin(x+dx2)sin(dx2)dx

    =limdx0sin(x+dx2)sin(dx2)dx2=sinx

    三角函数求导arcsinx

    (sin(arcsinx))=cos(arcsinx)(arcsinx)

    1=cos(arcsinx)(arcsinx)

    (arcsinx)=1cos(arcsinx)=11x2

    三角函数求导arccosx

    (cos(arccosx))=sin(arccosx)(arccosx)

    1=sin(arccosx)(arccosx)

    (arccosx)=1sin(arccosx)=11x2
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  • 之前对三角函数的理解仅局限于sin,cos,tan。但是目前遇到的都是些csc,sec,cot,arctan,arccos,arcsin。积分和求导还有一堆公式 最近看到了一个六边形记忆法,更加简便。

    之前对三角函数的理解仅局限于sin,cos,tan。但是目前遇到的都是些csc,sec,cot,arctan,arccos,arcsin。积分和求导还有一堆公式
    最近看到了一个六边形记忆法,更加简便。

    1.倒三角:
    sin²+cos²=1
    tan²+1=sec²
    1+cot²=csc²
    2.对角线倒数
    3.临点积
    tan*cos=sin
    sin*cot=cos
    4.求导:左三角导数正,右三角导数负
    上互换:
    sin'=cos
    cos'=-sin
    中下2:
    tan'=sec²
    cot'=-csc²
    下中下:
    sec'=tan*sec
    csc=-cot*csc
    5.求积分:
    sec积分:ln|sec+tan|+C
    csc积分:-ln|csc+cot|+C
    

    在这里插入图片描述

    1.三角函数及其倒数

    sin(x)和csc(x)

    在这里插入图片描述

    cos(x)和sec(x)

    在这里插入图片描述

    tan(x)和cot(x)

    在这里插入图片描述

    分析其特点:

    在这里插入图片描述
    这几个三角函数两两之间是倒数的关系。
    他们共同特点:
    1.在同一点处他们函数值相乘为1
    他们有共同交点在y=1和y=-1这两条直线上
    2.在同一区间他们同号。
    其中一个函数->0+,那么另一个函数->+无穷
    其中一个函数->0-,那么另一个函数->-无穷
    3.在y=1和y=-1处对应的x坐标记为a。
    在a的左右邻域他们增减性相反

    2.三角函数及其反函数

    sin(x)和arcsin(x)

    注:
    正弦函数y=sinx,x∈R因为在整个定义域上没有一一对应关系,所以不存在反函数。
    反正弦函数对这样一个函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]成立,这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间。y=arcsinx 的定义域:[-1,1],值域:[-π/2,π/2]
    在这里插入图片描述

    cos(x)和arccos(x)

    y=cosx,x∈R因为在整个定义域上没有一一对应关系,所以不存在反函数。
    arccos(x)对这样一个函数y=cosx,x∈[0,π]成立,这里截取的是余弦函数靠近原点的一个单调区间,arccosx 值域是 :[0,π],定义域[-1,1]。

    在这里插入图片描述

    tan(x)和arctan(x)

    注:
    由于正切函数y=tanx在定义域R上不具有一一对应的关系,所以不存在反函数。

    选取正切函数的一个单调区间。而由于正切函数在开区间(-π/2,π/2)中是单调连续的,因此,反正切函数是存在且唯一确定的。arctanx的值域是:(-π/2,π/2)。

    在这里插入图片描述

    分析其特点

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    他们的特点其实就是原函数和反函数的特点,
    关于y=x对称。函数与其反函数在其对应区间内单调性相同。

    3.python画图源代码

    画图及坐标配置请参考matplotlib官方网站:https://matplotlib.org/gallery/index.html

    import matplotlib.pyplot as plt
    plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] # 用来正常显示中文标签
    plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False # 用来正常显示负号
    
    #import pandas as pd
    import numpy as np
    from mpl_toolkits.axisartist.axislines import SubplotZero
    import numpy as np
    from matplotlib.ticker import MultipleLocator, FuncFormatter
    
    fig = plt.figure(1, (10, 6))
    
    ax = SubplotZero(fig, 1, 1, 1)
    fig.add_subplot(ax)
    
    """新建坐标轴"""
    ax.axis["xzero"].set_visible(True)
    #ax.axis["xzero"].label.set_text("新建y=0坐标")
    #ax.axis["xzero"].label.set_color('green')
    ax.axis['yzero'].set_visible(True)
    # ax.axis["yzero"].label.set_text("新建x=0坐标")
    
    # 新建一条y=2横坐标轴
    #ax.axis["新建1"] = ax.new_floating_axis(nth_coord=0, value=1,axis_direction="bottom")
    #ax.axis["新建1"].toggle(all=True)
    #ax.axis["新建1"].label.set_text("y = 1横坐标")
    #ax.axis["新建1"].label.set_color('blue')
    
    """坐标箭头"""
    ax.axis["xzero"].set_axisline_style("-|>")
    ax.axis["yzero"].set_axisline_style("-|>")
    
    
    """隐藏坐标轴"""
    # 方法一:隐藏上边及右边
    # ax.axis["right"].set_visible(False)
    # ax.axis["top"].set_visible(False)
    #方法二:可以一起写
    ax.axis["top",'right'].set_visible(False)
    # 方法三:利用 for in
    # for n in ["bottom", "top", "right"]:
    #  ax.axis[n].set_visible(False)
    
    
    
    
    x = np.arange(-2*np.pi, 2*np.pi, 0.01)
    def pi_formatter(x, pos):
        """ 
        将数值转换为以pi/4为单位的刻度文本 
        """
        m = np.round(x / (np.pi / 4))
        n = 4
        if m % 2 == 0: m, n = m / 2, n / 2
        if m % 2 == 0: m, n = m / 2, n / 2
        if m == 0:
            return "0"
        if m == 1 and n == 1:
            return "$\pi$"
        if n == 1:
            return r"$%d \pi$" % m
        if m == 1:
            return r"$\frac{\pi}{%d}$" % n
        return r"$\frac{%d \pi}{%d}$" % (m, n)
    
    
    # 设置两个坐标轴的范围
    plt.ylim(-3 , 3)
    plt.xlim(-2*np.pi, np.max(x))
    
    # 设置图的底边距
    plt.subplots_adjust(bottom=0.15)
    
    plt.grid()  # 开启网格
    
    # 主刻度为pi/4
    ax.xaxis.set_major_locator(MultipleLocator(np.pi / 4))
    
    # 主刻度文本用pi_formatter函数计算
    ax.xaxis.set_major_formatter(FuncFormatter(pi_formatter))
    
    # 副刻度为pi/20
    ax.xaxis.set_minor_locator(MultipleLocator(np.pi / 20))
    
    # 设置刻度文本的大小
    for tick in ax.xaxis.get_major_ticks():
        tick.label1.set_fontsize(16)
    
    """设置刻度
    ax.set_ylim(-3, 3)
    ax.set_yticks([-1,-0.5,0,0.5,1])
    ax.set_xlim([-5, 8])
    """
    
    # ax.set_xticks([-5,5,1])
    
    #设置网格样式
    ax.grid(True, linestyle='-.')
    
    '''
    
    ax.plot(x, 1/np.sin(x),color='lightskyblue', label="$csc(x)$")
    ax.plot(x, np.sin(x),color='red', label="$sin(x)$")
    
    ax.plot(x, np.cos(x),color='orange', label="$cos(x)$")
    ax.plot(x, 1/np.cos(x),color='green', label="$sec(x)$")
    
    
    ax.plot(x, np.sin(x)/np.cos(x),color='orange', label="$tan(x)$")
    ax.plot(x, np.cos(x)/np.sin(x),color='skyblue', label="$cot(x)$")
    
    '''
    
    
    ax.plot(x, x,color='black', label="$y=x$")
    
    x3 = np.arange(-np.pi/2, np.pi/2, 0.01)
    ax.plot(x, np.sin(x),color='red', label="$sin(x)$")
    ax.plot(x3, np.sin(x3),color='green', label="$sin(x),x∈[-π/2,π/2]$")
    ax.plot(np.sin(x3), x3 ,color='blue', label="$arcsin(x)$")
    
    x2 = np.arange(0, np.pi, 0.01)
    ax.plot(x, np.cos(x),color='green', label="$cos(x)$")
    ax.plot(x2, np.cos(x2),color='red', label="$cos(x),x∈[0,π]$")
    ax.plot(np.cos(x2), x2 ,color='brown', label="$arccos(x)$")
    '''
    x4=np.arange(-np.pi/2, np.pi/2, 0.01)
    ax.plot(x, np.tan(x),color='red', label="$tan(x)$")
    ax.plot(x4, np.tan(x4),color='green', label="$tan(x),x∈(-π/2,π/2)$")
    ax.plot(np.tan(x4), x4 ,color='blue', label="$arctan(x)$")
    '''
    plt.legend()
    plt.show()
    # 存为图像
    # fig.savefig('test.png')
    
    
    展开全文
  • 前面给出的正切函数,由于它有和差展开式,所以虽然展开后繁琐了点,但仍然可以继续化简得到最终结果,而反三角函数则不一样了。arcsin(x+△x)就是一个无法用arcsinx,arcsinΔx或者诸如arccosx这样的函数去表达的式...

    大部分教材已经明确指出,用定义法计算稍复杂的函数的导数一般都很困难。前面给出的正切函数,由于它有和差展开式,所以虽然展开后繁琐了点,但仍然可以继续化简得到最终结果,而反三角函数则不一样了。arcsin(x+△x)就是一个无法用arcsinx,arcsinΔx或者诸如arccosx这样的函数去表达的式子,因此导数中的arcsin(x+△x)-arcsinx部分就无法运算下去了。

    但喜欢钻牛角尖的我肯定不死心,两角和差三角函数,它们通过在坐标系上用单位圆的方法成功展开了,那反三角函数我相信也是能的。

    实践证明,我确实可以给展开出来,只是过程略繁琐。

    首先按照定义给出反三角函数导数的式子。

    如下图,假设红色线AB的长度为x,那么红色弧线所指示的角AOB的弧度值就是arcsinx。

    有了这样的一个单位圆做辅助,我们就可以在图上构建出上式中的其它变量了。

    反正弦函数值的变化意味着角度的变更,所以我让OB旋转到OB'以标出加入Δx后的变量。其中,A'B'=x+Δx,∠A'O'B'=arcsin(x+Δx)。

    然后,导数式子的分子部分arcsin(x+Δx)-arcsinx自然就等于∠A'O'B'-∠AO'B=∠BO'B'

    下面,我们把焦点放在BOB'这个三角形上,看看∠BO'B'怎么算。

    直接拿arcsinXXX表示上图中的角度太蛋疼,可读性很差,而且哪怕改用θ表示,3个角放一起也不太清晰了。所以我用不同颜色表示不同的角,同种颜色的弧线对应同种颜色的文字所示的角度值。然后为了方便大家对照,我把角度值跟三角函数的关系直接附带到图片的下方。

    导数式子上的分子等于Δθ。O,B,B'三点坐标都已知,所以可用余弦定理,向量点积或者两角和差的方法求出Δθ。

    然而我们要求的是反正弦函数,所以最后一种方法处理起来更方便。因为正弦和反正弦容易抵消。

    在这里,已知的是和θ+Δθ,要求的是Δθ,因此可以这样来。

    sinΔθ=sin(θ+Δθ-θ)

    然后,正弦的部分可以先直接用根据上图中的式子来进行化简。由

    得到

    然后就是

    余弦部分,可利用三角函数恒等式

    化为正弦。

    那么这里该取正的那个还是负的那个呢?我们知道,反正弦函数的定义区间是-90度到90度,在这范围内,x坐标大于等于0,所以x/r始终不是负数,所以应该取正数。

    就这样,三角函数和反三角函数都被完全化走了,然而分子部分,它是等于Δθ,所以又得重新套回一个反三角?其实不然。因为极限上有个经典的极限,它基于夹逼定理所得。

    利用这个极限,我们可以在Δθ和sinΔθ之间来回切换了。

    下面,我们把Δθ=arcsin(x+Δx)-arcsinx代入到导数定义所给出的式子中,并用上面的极限进行化简。

    接着展开

    后面一块比较简单,关键是前面的。高中常用的套路是用平方差公式把分子的根号去掉。

    几经波折,总算把反正弦的导数给求出来了,然而这一点卵用都没有。首先,如果仅为追求结果,反函数的导数公式可以很容易给算出来。其次,哪怕是享受过程,钻研理论,也没有什么实质性意义。在这个过程中,除了繁琐的几何变换和代数化简,没有任何创新的思路或者成果在里面。

    一口气写了4篇所谓的“成果”展示,大家会发现,其实都不外乎是用最原始的方法对一些成熟的基础公式进行推导或者证明,牛角尖倒是钻到位了,实际问题一个都没解决。有句话是这么说的,“把简单的事情做复杂很容易,把复杂的事情做简单很困难”。我恰好就是前者,所以真没什么了不起,然而这却成了我当年自负和装逼的资本。直到真正遇到问题的时候,才真正发现自己菜得一逼。

    至此,牛逼成果展示告一段落,下篇开始,我会陆续讲出自己碰到的各种无法解决的问题,同时讲讲自己的体会和心得。

     

     

     

    展开全文
  • 三角函数

    2021-05-21 21:08:54
    文章目录一 三角函数定义1.1 几何定义1.1.1 三角定义1.1.2 圆定义1.2 特殊角的三角函数值1.3 级数定义二 反三角函数定义三 函数图像3.1 三角函数图像3.2 反角函数图像三 公式3.1 诱导公式3.1.1 关于Π的周期性3.1.2 ...


    三角函数是一类关于角度的函数,它在研究三角形和圆等几何形状的性质时候有重要作用,也是研究波动、天体运动以及各种周期性现象的基础数学工具

    一 三角函数定义

    1.1 几何定义

    1.1.1 三角定义

    在这里插入图片描述

    正—余 s—c

    名称 式子 名称 式子
    正弦 sin θ = a\h 余割 csc θ = h\a = 1\sin θ
    余弦 cos θ = b\h 正割 sec θ = h\b = 1\cos θ
    正切 tan θ = a\b 余切 cot θ = b\a = 1\tan θ

    1.1.2 圆定义

    给定一个角度θ,设A(1,0)为起点,若θ>0则将OA逆时针转动,设最终点A转到的位置为P(x,y),那么:

    在这里插入图片描述

    名称 式子 名称 式子
    正弦 sin θ = y 余割 csc θ = 1\y
    余弦 cos θ = x 正割 sec θ = 1\x = 1\cos θ
    正切 tan θ = y\x 余切 cot θ = x\y = 1\tan θ

    于是有
    sin2θ+cos2θ=y2+x2=r2=1 sin^2θ+cos^2θ=y^2+x^2=r^2=1
    角度θ可以是任意值可以将弧长作为三角函数的输入值。那么有
    sinθ=sin(θ+2Πk)θR,kZcosθ=sin(θ+2Πk)θR,kZ sin θ = sin(θ+2Πk) \quad {\forall}θ∈R,k∈Z \\ cos θ = sin(θ+2Πk) \quad {\forall}θ∈R,k∈Z
    正切或余切的周期是Π,其余的为2Π

    长度等于半径长的圆弧 所对的圆心角为 1弧度的角。

    π与180°有什么关系如下:

    v2-271364b2a0b90b86882ee35ffe1bd0d3_b

    1.2 特殊角的三角函数值

    在这里插入图片描述

    1.3 级数定义

    在这里插入图片描述

    可以证明以上的无穷级数对任意实数x都是收敛的,所以很好地定义了正弦和余弦函数。

    另外我们也很容易得到上面两个定义后的函数的奇偶性,即可得:

    image-20210411192442933

    两个级数都是连续,可微,且求导导数的时候还可以使用逐项求导的方法,即可得:

    image-20210411192555340

    二 反三角函数定义

    首先我们先了解一下反函数的定义

    image-20210411195249040

    y=f(x)有反函数 则必须严格单调 【保证了反函数不会出现 一对多 的情况】

    image-20210411195511687

    但是由于三角函数属于周期函数,不是单射函数,所以严格来说并没有反函数。因此我们要限制三角函数定义域,使三角函数变成双射函数。基本的反三角函数定义为:

    在这里插入图片描述

    三 函数图像

    3.1 三角函数图像

    正弦余弦正切

    在这里插入图片描述

    余割函数csc x = 1\sin x

    在这里插入图片描述

    正割函数sec x = 1\cos x

    在这里插入图片描述

    余切函数 cot x = 1\tan x

    在这里插入图片描述

    3.2 反角函数图像

    arcsin x arccos x

    image-20210411201048133

    arccotx arctan x

    image-20210411201553410

    arccsc x arcsec x

    三 公式

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/20102140

    3.1 诱导公式

    目的:kΠ\2 的整数倍去掉,只保留α

    对应函数的性质相同:正弦—余割 余弦—正割 正切—余切

    3.1.1 关于Π的周期性

    在这里插入图片描述

    3.1.2 奇偶性

    在这里插入图片描述

    3.1.3 关于y的对称性

    在这里插入图片描述

    3.1.4 直接三角形转换

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    1. 这些公式都是存在内在联系的

    在这里插入图片描述

    口诀:奇变偶不变,符号看象限。k为奇数时候,sin变cos,对于正负号,则要看最后角所在的象限进行判断。

    ASTC记忆法

    第一象限的 A 即是 All(全部皆正)。
    第二象限的 S 即是 Sine & CoSecant(正弦以及余割为正)。
    第三象限的 T 即是 Tangent & Cotangent(正切以及余切为正)。
    第四象限的 C 即是 Cosine & SeCant(余弦以及正割为正)。

    3.2 和差角公式

    相加 相减公式

    首先引入一个最基本的公式

    平面上两个单位向量,与x轴正向夹角分别为x和y,则这两个向量分别为(cos x, sin x), (cos y, sin y)。则两个向量的点积为cos x cos y + sin x sin y = 1*1*cos(x-y) = cos(x-y)
    cc+sscos(xy)=cosxcosy+sinxsiny cc+ss \quad cos(x-y) = cosx \cos y + sinx \sin y \quad 引入此基础公式

    ccsscos(x+y)=cosx cosysinx siny(yy) cc-ss \quad cos(x+y) = cosx \ cosy - sinx \ siny \quad (y用-y代入)

    sc+cssin(x+y)=sinx cosy+cosx sinyxΠ/2x sc+cs \quad sin(x+y) = sinx \ cosy + cosx \ siny \quad x用Π/2-x代入

    sccssin(xy)=sinx cosycosx sinyyy(5) sc-cs \quad sin(x-y) = sinx \ cosy -cosx\ siny \quad y用-y代入(5)

    tan(x+y)=tanx+tany1tanx tany(5)/(4)cc tan(x+y) = \frac{tanx + tany}{1- tanx \ tany} \quad 代入(5)/(4)再上下除以cc

    tan(xy)=tanxtany1+tanx tanyy(6)tan tan(x-y) = \frac{tanx - tany}{1 + tanx \ tany} \quad \quad -y代入(6)再对tan变号

    总结

    在这里插入图片描述

    3.3 倍角公式

    sin 2x=sin(x+x)=2sinxcosxx=y(5) sin\ 2x = sin(x+x) = 2sinx * cosx \quad 把x=y代入(5)

    cos 2x=cos(x+x)=cos2xsin2xx=y(4) cos\ 2x = cos(x+x) = cos^2x-sin^2x \quad 把x=y代入(4)

    tan 2x=tan(x+x)=2tanx1tan2xx=y(6) tan\ 2x = tan(x+x) = \frac{2tanx}{1-tan^2x} \quad 把x=y代入(6)

    3.4 半角/降幂公式

    (9)cos 2x=cos2xsin2x=2cos2x1=12sin2x 注意到(9)式 \quad cos\ 2x = cos^2x-sin^2x = 2cos^2x-1=1-2sin^2x

    cos2x2=1+cos x2 cos^2\frac{x}{2} = \frac{1+cos\ x}{2}

    sin2x2=1cos x2 sin^2\frac{x}{2} = \frac{1-cos\ x}{2}

    tan2x2=1cos x1+cos x(14)/(13) tan^2\frac{x}{2} = \frac{1-cos\ x}{1+cos\ x} \quad 式(14)/(13)

    总结

    在这里插入图片描述

    3.5 积与和差

    乘积化为和或差
    sin x cos y=12[sin(x+y)+sin(xy)](5)+(6) sin\ x\ cos\ y = \frac{1}{2}[sin(x+y)+sin(x-y)] \quad 式(5)+(6)

    cos x sin y=12[sin(x+y)sin(xy)] cos\ x \ sin\ y = \frac{1}{2}[sin(x+y)-sin(x-y)]

    cos x cos y=12[cos(xy)+cos(x+y)] cos\ x \ cos \ y = \frac{1}{2}[cos(x-y) + cos(x+y)] \quad

    sin x sin y=12[cos(xy)cos(x+y)] sin\ x\ sin\ y = \frac{1}{2}[cos(x-y)-cos(x+y)]

    和差化积

    令u = x + y, v = x - y,则x = (u+v)/2, y = (u-v)/2。代入上式(16)-(19)即可得
    sin u+sin v=2 sinu+v2cosuv2 sin\ u +sin\ v = 2\ sin\frac{u+v}{2}cos\frac{u-v}{2}

    sin usin v=2 cosu+v2sinuv2 sin\ u - sin\ v = 2\ cos\frac{u+v}{2}sin\frac{u-v}{2}

    cos u+cos v=2 cosu+v2cosuv2 cos\ u + cos\ v = 2\ cos\frac{u+v}{2}cos\frac{u-v}{2}

    cos ucos v=2 sinu+v2sinuv2 cos\ u - cos\ v = -2\ sin\frac{u+v}{2}sin\frac{u-v}{2}

    总结

    在这里插入图片描述

    3.6 万能公式

    把sin,cos,tan均用tan x/2 表示。后者值域为整个实数区间,便于考察许多性质。首先我们推导一下cos的万能公式
    cos α=cos2α2sin2α2cos2α2+sin2α2=1tan2α21+tan2α2=1t21+t2 cos\ α = \frac{cos^2\frac{α}{2}-sin^2\frac{α}{2}}{cos^2\frac{α}{2}+sin^2\frac{α}{2}} = \frac{1-tan^2\frac{α}{2}}{1+tan^2\frac{α}{2}} = \frac{1-t^2}{1+t^2}

    sin α=cos α tan α=1tan2α21+tan2α22tan α1tan2α=2 tanα1+tan2α=2t1+t2 sin\ α = cos\ α\ tan\ α = \frac{1-tan^2\frac{α}{2}}{1+tan^2\frac{α}{2}} * \frac{2tan\ α}{1-tan^2α} = \frac{2\ tanα}{1+tan^2α} = \frac{2t}{1+t^2}

    tanα=sinxcosx=2t1t2 tan α =\frac{sinx}{cosx} = \frac{2t}{1-t^2} \quad 二倍角公式

    3.7 辅助角公式

    asinx+bcosx=a2+b2(asinxa2+b2+bcosxa2+b2)=a2+b2(sinxcosβ+cosxsinβ)=a2+b2sin(x+β) \begin{aligned} asinx+bcosx &= \sqrt{a^2+b^2}(\frac{asinx}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{bcosx}{\sqrt{a^2+b^2}}) \\ &= \sqrt{a^2+b^2}(sinxcosβ+cosxsinβ) \\ &= \sqrt{a^2+b^2}sin(x+β) \end{aligned}
    其中
     aa2+b2+ba2+b2=1tanβ=baa,bR+,β(0,Π2),β=arctan(ba) 注意到 \ \frac{a}{a^2+b^2}+\frac{b}{a^2+b^2}=1 \\ 令\quad tanβ = \frac{b}{a} \quad 通常a,b属于R^+,β属于(0,\frac{Π}{2}) ,β = arctan(\frac{b}{a})
    由此可推出常用结论

    image-20210412162412775

    更一般的
    asinx+bsin(x+α)=csin(x+β)c=a2+b2+2abcosαβ=arctan2(bsinα,a+bcosα)4a/b(b,a) asinx+bsin(x+α) = csin(x+β) \\ c = \sqrt{a^2+b^2+2abcosα} \\ β = arctan2(bsinα,a+bcosα) \quad 4象限反正切,它的取值不仅取决于正切值a/b,还取决于点 (b, a) 落入哪个象限

    3.8 平移和缩放

    一句话:左加右减,整体变换

    四 三角函数的导数

    回顾积与和差公式

    在这里插入图片描述

    导数的定义

    image-20210412164516442

    证明 (sinx)’=cosx
    sin x)=limΔx0sin(x+Δx)sin(x)Δx=limΔx02cos2x+Δx2sin(Δx)Δx=limΔx0cos(2x+Δx2)=cos x (sin\ x)' = \lim_{Δx \rightarrow0}\frac{sin(x+Δx)-sin(x)}{Δx} = \lim_{Δx \rightarrow0}\frac{2cos\frac{2x+Δx}{2}sin(Δx)}{Δx}=\lim_{Δx \rightarrow0}cos(\frac{2x+Δx}{2}) = cos\ x
    其他类似

    在这里插入图片描述

    证明(arctanx)’,令y=tanx,x=arctany,回顾反函数求导法则
    x=1y=1tan(x)=cos2x=cos2xsin2y+cos2y=1tan2y+1=11+x2s x' = \frac{1}{y'} = \frac{1}{tan(x)'} = cos^2x = \frac{cos^2x}{sin^2y+cos^2y} = \frac{1}{tan^2y+1} = \frac{1}{1+x^2}s
    其他类似

    在这里插入图片描述

    五 相关定理

    在这里插入图片描述

    5.1 正弦定理

    在这里插入图片描述

    5.2 余弦定理

    在这里插入图片描述

    5.3 其他

    正切定理

    在这里插入图片描述

    余切定理

    在这里插入图片描述

    六 应用

    以下仅给出简单例子

    6.1 解三角

    在这里插入图片描述

    6.2 积分

    求不定积分

    image-20210412210738432

    七 补充

    其他三角函数的级数定义

    在这里插入图片描述

    基本关系

    在这里插入图片描述

    名称 式子 名称 式子
    正弦 sin θ = y 余割 csc θ = 1/y
    余弦 cos θ = x 正割 sec θ = 1/x = 1/cos θ
    正切 tan θ = y\x 余切 cot θ = x/y = 1/tan θ

    写在最后

    ​ 重点掌握:

    • 2倍角公式
    • 求导

    image-20210412204716443

    • 和差角公式(掌握前三条)

    在这里插入图片描述

    • 积化和差

    在这里插入图片描述

    • 正弦余弦定理

    参考文章

    • http://www.duodaa.com/blog/index.php/archives/802/
    • https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0#%E5%8F%8D%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0
    • https://zhuanlan.zhihu.com/p/20102140
    • https://www.zhihu.com/search?type=content&q=%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%B1%82%E5%AF%BC
    • https://www.jianshu.com/p/d3b665025775
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