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  • 变上限积分求导的原理

    千次阅读 多人点赞 2020-07-28 18:42:22
    那么有人就会疑惑了,为什么这个函数不能直接套用变上限函数的求导公式来做呢?其实我们用导数的定义来分析一下就清楚了。 首先我们证明一下变上限函数的求导公式: 接下来我们来对比一下当f中同时含有x和t时会...

        这道题也有一种典型的错误解法,就是把x往t里面一代,求出来是f(0).然而这种方法一看就是错误的,因为f(0)是一个常数,如果这样是正确的,那么F就变成是一次函数了,而事实上我们这里的f是什么都不知道,怎么可能就把F的类型都判断出来了呢?

     

        那么有人就会疑惑了,为什么这个函数不能直接套用变上限函数的求导公式来做呢?其实我们用导数的定义来分析一下就清楚了。

        首先我们证明一下变上限函数的求导公式:

        接下来我们来对比一下当f中同时含有x和t时会有什么不同:

    (吐槽一下这个该死的M,要不是想到了定积分的定义我就要被它搞死了)

     

        所以,为什么这个函数求导就不能直接把t换成x,想必就已经一目了然了,这是因为当f当中既有t又有x时,从导数的定义式看,f里面的x也要变成x+∆x,这就导致F(x+∆x)和F(x)这两个积分无法使用线性运算法则合成为一个积分。所以这时候盲目把t换成x就不对了。

        那么我们知道,对于这种变上限积分函数求导,我们通常是用换元法把f里面弄得干净一点再动手:

        这时候我们就是把原来的x-t当成了一个整体来考虑,所以就不需要再考虑之前那样两个积分能不能作线性运算的问题了。

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  • 变上限积分求导公式(通用公式)

    千次阅读 2020-06-05 14:56:03
    Leibniz integral rule. Let f(x,t)f(x, t)f(x,t) be a function such that both f(x,t)f(x, t)f(x,t) and its partial derivative f(x,t)f(x, t)f(x,t) are continuous in ttt and xxx in some region of the (x,t)...

    Leibniz integral rule.

    Let f ( x , t ) f(x, t) f(x,t) be a function such that both f

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  • 变上限积分求导

    2020-10-08 13:20:13
    d∫0φ(x)f(t)dtdx=f(φ(x))φ′(x)\frac{d\int_{0}^{ φ(x)}f(t)dt}{dx}=f( φ(x)) φ'(x)dxd∫0φ(x)​f(t)dt​=f(φ(x))φ′(x)

    d ∫ 0 φ ( x ) f ( t ) d t d x = f ( φ ( x ) ) φ ′ ( x ) \frac{d\int_{0}^{ φ(x)}f(t)dt}{dx}=f( φ(x)) φ'(x) dxd0φ(x)f(t)dt=f(φ(x))φ(x)

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  • 高等数学——积分求导

    万次阅读 多人点赞 2019-12-28 20:34:11
    类型1、下限为常数,上限为函数类型 第一步:对于这种类型只需将上限函数代入到积分的原函数中去,再对上限函数进行求导。...第二步:题例如下,添加“负号”转换为变上限积分函数求导即可。 类型3、上下...

    类型1、下限为常数,上限为函数类型

    第一步:对于这种类型只需将上限函数代入到积分的原函数中去,再对上限函数进行求导。

    在这里插入图片描述
    第二步:对下面的函数进行求导,只需将“X”替换为“t”再进求导即可。

    在这里插入图片描述

    类型2、下限为函数,上限为常数类型

    第一步:基本类型如下图,需要添加“负号”将下限的函数转换到上限,再按第一种类型进行求导即可。

    在这里插入图片描述

    第二步:题例如下,添加“负号”转换为变上限积分函数求导即可。

    在这里插入图片描述

    类型3、上下限均为函数类型

    第一步:这种情况需要将其分为两个定积分来求导,因为原函数是连续可导的,所以首先通过“0”将区间[h(x),g(x)]分为[h(x),0]和[0,g(x)]两个区间来进行求导。

    在这里插入图片描述

    第二步:然后将后面的变下限积分求导转换为变上限积分求导。

    在这里插入图片描述

    第三步:接着对两个区间的变上限积分分别求导即可得到下面公式。

    在这里插入图片描述

    第四步:对于这种题,可以直接套公式,也可以自己推导。

    在这里插入图片描述

    总结 :

    对于变限积分求导,通常将其转换为变上限积分求导,求导时,将上限的变量代入到被积函数中去,再对变量求导即可。

    扩展资料 :

    众所周知,微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是函数的微小的增量,函数在某一点的导数值乘以自变量以这点为起点的增量,得到的就是函数的微分;它近似等于函数的实际增量(这里主要是针对一元函数而言)。

    而积分是已知一函数的导数,求这一函数。所以,微分与积分互为逆运算。

    实际上,积分还可以分为两部分。第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x)的导数是f(x),那么F(x)+C(C是常数)的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x)。

    因为F(x)+C的导数也是f(x),C是任意的常数,所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分。

    用公式表示是:f'(x)=g(x)->∫g(x)dx=f(x)+c
    
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  • 变上限积分函数求导问题
  • 积分函数的求导

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    千次阅读 多人点赞 2020-08-16 00:26:58
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  • 积分求导

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    积分求导公式
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