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  • 层次分析法缺点和改进

    万次阅读 2019-07-04 09:00:43
    一、层次分析法缺点 和一般的评价过程, 特别是模糊综合评价相比, AHP客观性提高, 但当因素多 (超过9个) 时, 标度工作量太大, 宜引起标度专家反感和判断混乱. 对标度可能取负值的情况考虑不够.标度确实需要负数...

    一、层次分析法的缺点

    1. 和一般的评价过程, 特别是模糊综合评价相比, AHP客观性提高, 但当因素多 (超过9个) 时, 标度工作量太大, 宜引起标度专家反感和判断混乱.

    2. 对标度可能取负值的情况考虑不够.标度确实需要负数, 因为有些措施的实施, 会对某些特定目标造成危害, 如实现机械化, 就对解决就业不利.虽然有关于-1~1标度的讨论, 但对于这种标度下权重计算问题讨论不足

    3. 对判断矩阵的一致性讨论得较多, 而对判断矩阵的合理性考虑得不够, 这是因为对标度专家的数量和质量重视不够

    4. 没有充分利用已有定量信息.AHP都是研究专门的定性指标评价问题, 对于既有定性指标也有定量指标的问题 (这种问题更普遍) 讨论得不够.事实上, 为使评价客观, 评价过程中应尽量使用定量指标, 实在没有定量指标再用定性判断

    5)判断矩阵中的各个标度的赋值有很大的随意性, 同时, 这种赋值方式对于单人决策是可行的, 对于多人决策, 可能会出现冲突。虽然也可以通过专家决策法将决策意见进行汇总取权
    重, 但这个过程周期长且比较复杂

    1. 判断矩阵的赋值方式有待斟酌, 即矩阵中对称位置权数取倒数关系。该赋值一方面忽视
      现实决策中的非理性实际,鉴于此, 层次分析法中提出了一致性 检验, 即找出实际决策环境中的随机判断矩阵的最大特征值 λ , 用公式 (λ-n)/ (n-1)来检验矩阵的一致性指标, 但仅仅 是检验, 而不能在决策之前就对决策进行指导

    7)正反矩阵的这种“倒数”赋值 会在后面的计算标准权重和相对权重中 产生“意见放大”现象

    8)层次分析法最后是按层次权值的最大值,即“最大原则”来进行分类,忽略比它小的上一级别的层次权值,完全不考虑层次权值之间的关联性,因而导致分辨率降低,评价结果出现不尽合理的现象。

    9)不能为决策提供新方案。层次分析法的作用是从备选方案中选择较优者。这个作用正好说明了层次分析法只能从原有方案中进行选取,,而不能为决策者提供解决问题的新方案。

    1. 特征值和特征向量的精确求法比较复杂

    二、改进

    1)为减小工作量,可以采取如下 2 种方法构造判断矩阵.

    ①只对下三角或上三角进行标度.若只对下三角标度,只需标度 m/2个,工作量减少一半,并且可以大大提高判断矩阵的一致性。

    ②只以 1个因子为准进行标度(只获取 1 列或 1 行判断值) ,然后用如下的递推方法推算 判断矩阵中其他位置的数据.。在此方法中,基础标度( 标度行或列)的影响较大,一旦不合理,根据累积放 大原理,将导致整个判断矩阵的更加不合理.为此, 提高第1 行或列的标度质量成为本方法的关键.

    1. 提高判断矩阵标度质量的途径.要请多位专家而不是一二位专家来标度.在请多个专家进行评价时,最好采取独立的方式,相互之间不能干扰.

    多个专家评价结果的综合,可以在 2 个环节上进行: 一是对判断矩阵中的指标进行综
    合; 另是对最终结果进行加和和归一化处理.

    3)用穆迪优先图表法对层次分析法进行改进

    首先, 穆迪图表法很容易操作。判断矩阵中的每两个指标之间的赋值简单明了。其次, 穆迪图表法允许决策团队在两个指标之间的判断错位, 符合决策过程中有限理性的实际。最后, 穆迪图表法相应两项指标之间遵循和为常数, 避免了层次分析法中两两指标之间互为倒数所带来的“放大效应”。

    4)在确定样本所属质量级别上进行改进。根据“大于其上一级别之和”的分类原则进行判定,
    该改进出发点在于: 既然下(上)一级别的值域对上(下)一级的权重彼此都有贡献,本身就说明了综合权重之间具有关联性。

    5)采用三标度法进行重要性比较, 建立比较判断矩阵Aij, 确定一级指标的权重。根据初始比较矩阵Aij, 得到判断矩阵、反对称传递矩阵、最优传递矩阵及拟优传递矩阵

    1. 改进在判断矩阵的构造中对人的主观评价的量化过程。当采用模糊评价中对各指标给出的平均分数作为衡量各指标重要性大小的标度时,这样的量化过程就显得精确很多

    7)把聚类分析的思想融合到群组AHP法中, 按照每个类别的类容量大小确定专家权重;

    8)根据判断矩阵的一致性程度确定专家权重, 然后将两者结合得到最终的专家权重, 最后与专家个体排序向量进行加权从而确定指标权重

    三、参考文献

    [1] 吴殿廷,李东方. 层次分析法的不足及其改进的途径. 北京师范大学学报(自然科学版),2004,(4):264-268.

    [2] 孟宪林. 层次分析法在环境质量评价中的不足与改进.四川环境,2001:50-52.

    [3] 演克武,朱金福,何涛. 层次分析法在多目标决策过程中的不足与改进.理论新探,2007, (5):10-11.

    [4] 层次分析法优缺点.百度文库.

    [5] 曹昱鹏,
    王智杰, 胡勇文.改进的层次分析法在高校学生综合素质评定中的应用[J].轻工科技, 2018, 34 (3) :53-55.

    [6] 李琪,周向东,改进层次分析法评价临床医学专业研究生综合能力.海南医学院教育科研课题,2008: 1583-1585

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  • 数学建模:层次分析法实例以及代码

    万次阅读 多人点赞 2020-11-22 22:06:09
    层次分析法优缺点层次分析法的代码实现(matlab) 层次分析法的思想 层次分析法的思想:将所有要分析的问题层次化; 根据问题的性质和所要到达的总目标,将问题分为不同的组成因素,并按照这些因素间的关联影响即其...

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    层次分析法的思想

    层次分析法的思想:将所有要分析的问题层次化
    根据问题的性质和所要到达的总目标,将问题分为不同的组成因素,并按照这些因素间的关联影响即其隶属关系,将因素按不同层次聚集组合,形成一个多层次分析结构模型
    最后,对问题进行优劣比较排序.

    层次分析法步骤

    1、找准各因素之间的隶属度关系,建立递阶层次结构
    2、构造判断矩阵,并赋值
    3、层次单排序(计算权向量)与检验(一致性检验)
    4、层次总排序(组合权向量)与检验(一致性检验)
    5、结果分析

    具体案例(市政工程项目建设决策)

    1.问题提出

    市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策,可选择的方案是修建通往旅游区的高速路(简称建高速路)或修建城区地铁(简称建地铁)。除了考虑经济效益外,还要考虑社会效益环境效益等因素,即是多准则决策问题,考虑运用层次分析法解决。

    2.建立递阶层次结构

    1、明确决策目标:“合理建设市政工程,使综合效益最高”。

    2、为了实现这一目标,需要考虑的主要准则有三个,即经济效益社会效益环境效益
    还必须考虑直接经济效益间接经济效益方便日常出行方便假日出行减少环境污染改善城市面貌等因素(准则),从相互关系上分析,这些因素隶属于主要准则,因此放在下一层次考虑,并且分属于不同准则。

    3、解决方案,即建高速路或建地铁,这两个因素作为措施层元素放在递阶层次结构的最下层。

    这样递阶层次就形成了:
    在这里插入图片描述

    3.构造判断矩阵(成对比较阵)并赋值

    1、构造判断矩阵的方法:
    每一个具有向下隶属关系的元素(被称作准则)作为判断矩阵的第一个元素(位于左上角),隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行第一列
    如下图所示:
    在这里插入图片描述
    2、如何对判断矩阵进行赋值:
    向填写人(专家)反复询问:针对判断矩阵的准则,其中两个元素两两比较哪个重要,重要多少,对重要性程度按1-9赋值。
    (可以类比模糊PID中的隶属程度,都是人为设定的,也是被人诟病的一个地方)
    在这里插入图片描述
    设填写后的判断矩阵为A=(aij)n×n,判断矩阵具有如下性质:

    (1) aij>0
    (2) aji=1/ aji
    (3) aii=1

    判断矩阵具有对称性,因此在填写时,通常先填写aii=1部分,然后再仅需判断及填写上三角形或下三角形的n(n-1)/2个元素就可以了。
    在特殊情况下,判断矩阵可以具有传递性,即满足等式:aij*ajk=aik .
    当上式对判断矩阵所有元素都成立时,则称该判断矩阵为一致性矩阵。
    对于上述的例子,可以构造出下面的判断矩阵:
    在这里插入图片描述

    4.层次单排序(计算权向量)与检验(一致性检验)

    计算权向量

    对于专家填写后的判断矩阵,利用一定数学方法进行层次排序。
    层次单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准则的相对权重,所以本质上是计算权向量。
    这里简要介绍和法:
    对于一致性判断矩阵,每一列归一化后就是相应的权重。
    对于非一致性判断矩阵,每一列归一化后近似其相应的权重,在对这n个列向量求取算术平均值作为最后的权重。

    公式: 在这里插入图片描述
    在层层排序中,要对判断矩阵进行一致性检验。判断矩阵可以具有传递性和一致性。一般情况下,并不要求判断矩阵严格满足这一性质。

    但从人类认识规律看,一个正确的判断矩阵重要性排序是有一定逻辑规律的,例如若A比B重要,B又比C重要,则从逻辑上讲,A应该比C明显重要,若两两比较时出现A比C重要的结果,则该判断矩阵违反了一致性准则,在逻辑上是不合理的。

    因此在实际中要求判断矩阵满足大体上的一致性,需进行一致性检验。只有通过检验,才能说明判断矩阵在逻辑上是合理的,才能继续对结果进行分析。

    一致性检验

    第一步,计算一致性指标CI
    在这里插入图片描述
    第二步,查表确定相应的平均随机一致性指标RI
    据判断矩阵不同阶数查下表,得到平均随机一致性指标RI:
    在这里插入图片描述
    第三步,计算一致性比例CR并进行判断:
    在这里插入图片描述
    当C.R.<0.1时,认为判断矩阵的一致性是可以接受的,C.R.>0.1时,认为判断矩阵不符合一致性要求,需要对该判断矩阵进行重新修正。

    图1
    图2
    可以看出,所有单排序的C.R.<0.1,认为每个判断矩阵的一致性都是可以接受的。

    5.层次总排序(组合权向量)与检验(一致性检验)

    总排序是指每一个判断矩阵各因素针对目标层(最上层)的相对权重。这一权重的计算采用从上而下的方法,逐层合成。
    文字性描述公式如下:
    在这里插入图片描述

    计算过程如下,更好理解过程:
    P(C1/A) = P(C1/B1) * P(B1/A) = 0.5 * 0.1429 = 0.07145
    CR(C1/A) = CR(C/B) * CR(B/A) = 0 * 0 = 0
    P(D1/A) = P(D1/C1) * P(C1/B1) * P(B1/A)
    + P(D1/C2) * P(C2/B1) * P(B1/A)
    + P(D1/C3) * P(C3/B2) * P(B2/A)
    + P(D1/C4) * P(C4/B2) * P(B2/A)
    + P(D1/C5) * P(C5/B3) * P(B3/A)
    + P(D1/C6) * P(C6/B3) * P(B3/A)
    =0.8333 * 0.5 * 0.1429
    +0.75 * 0.5 * 0.1429
    +0.1667 * 0.75 * 0.4286
    +0.8750 * 0.25 * 0.4286
    +0.1667 * 0.75 * 0.4286
    +0.8333 * 0.25 * 0.4286

    在这里插入图片描述

    6.结果分析

    从方案层总排序的结果看,建地铁(D2)的权重(0.6592)远远大于建高速路(D1)的权重(0.3408),因此,最终的决策方案是建地铁。
    根据层次排序过程分析决策思路:

    1、对于准则层B的3个因子,直接经济效益(B1)的权重最低(0.1429),社会效益(B2)和环境效益(B3)的权重都比较高(皆为0.4286),说明在决策中比较看重社会效益和环境效益
    2、对于不看重的经济效益,其影响的两个因子直接经济效益(C1)、间接带动效益(C2)单排序权重都是建高速路远远大于建地铁,对于比较看重的社会效益和环境效益,其影响的四个因子中有三个因子的单排序权重都是建地铁远远大于建高速路,由此可以推出,建地铁方案由于社会效益和环境效益较为突出,权重也会相对突出
    3、从准则层C总排序结果也可以看出,方便日常出行(C3)、减少环境污染(C5)是权重值较大的,而如果单独考虑这两个因素,方案排序都是建地铁远远大于建高速路。

    由此我们可以分析出决策思路:
    即决策比较看重的是社会效益和环境效益,不太看重经济效益;(总结准则层B)
    因此对于具体因子,方便日常出行和减少环境污染成为主要考虑因素,对于这两个因素,都是建地铁方案更佳,(总结准则层C)由此,最终的方案选择建地铁也就顺理成章了。

    7.层次分析法的优缺点

    优点:
    (1)系统性:层次分析把研究对象作为一个系统,按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策,成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。
    (2)实用性:层次分析把定性和定量方法结合起来,能处理许多许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题,应用范围很广。同时,这种方法将决策者和决策分析者相互沟通,决策者甚至可以直接应用它,这就增加了决策者的了解和掌握。
    (3)简洁性:具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤,计算也非常简便,并且所得的结果简单明确,容易为决策者了解和掌握。

    缺点:囿旧:只能从原有方案中选优,不能生成新方案;粗略:它的比较、判断直到结果都是粗糙的,不适于精度要求很高的问题;主观:从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵,人的主观因素的作用很大,这就使得决策结果可能难以为众人接受。当然,采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。

    层次分析法的代码实现(matlab)

    disp('请输入判断矩阵A(n阶)');
    A=input('A=');
    [n,n]=size(A);
    x=ones(n,100);
    y=ones(n,100);
    m=zeros(1,100);
    m(1)=max(x(:,1));
    y(:,1)=x(:,1);
    x(:,2)=A*y(:,1);
    m(2)=max(x(:,2));
    y(:,2)=x(:,2)/m(2);
    p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
    while  k>p
      i=i+1;
      x(:,i)=A*y(:,i-1);
      m(i)=max(x(:,i));
      y(:,i)=x(:,i)/m(i);
      k=abs(m(i)-m(i-1));
    end
    a=sum(y(:,i));
    w=y(:,i)/a;
    t=m(i);
    disp(w);disp(t);
             %以下是一致性检验
    CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
    CR=CI/RI(n);
    if CR<0.10
        disp('此矩阵的一致性可以接受!');
        disp('CI=');disp(CI);
        disp('CR=');disp(CR);
    end
    

    使用示例:
    将上面代码保存名为test1,并在点运行的时候添加到路径;
    输入的A矩阵是要以向量的形式输入的;
    之后按下回车即可,可以看到和之前的第4步得到的结果是一样的。
    在这里插入图片描述
    通过不断的使用这个式子计算相应矩阵(准则层B到准则层C、准则层C到方案层D)的权向量,最后可以得到最终的结果。
    简单的修改上面的程序,传入参数为矩阵,免得每次都要打。

    function w= test1(A)
    % disp('请输入判断矩阵A(n阶)');
    % A=input('A=');
    [n,n]=size(A);
    x=ones(n,100);
    y=ones(n,100);
    m=zeros(1,100);
    m(1)=max(x(:,1));
    y(:,1)=x(:,1);
    x(:,2)=A*y(:,1);
    m(2)=max(x(:,2));
    y(:,2)=x(:,2)/m(2);
    p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
    while  k>p
      i=i+1;
      x(:,i)=A*y(:,i-1);
      m(i)=max(x(:,i));
      y(:,i)=x(:,i)/m(i);
      k=abs(m(i)-m(i-1));
    end
    a=sum(y(:,i));
    w=y(:,i)/a;
    t=m(i);
    disp(w);disp(t);
             %以下是一致性检验
    CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
    CR=CI/RI(n);
    if CR<0.10
        disp('此矩阵的一致性可以接受!');
        disp('CI=');disp(CI);
        disp('CR=');disp(CR);
    end
    

    输入:

    Array1=[1 1/3 1/3;3 1 1;3 1 1];
    Array2=[1 1;1 1];
    Array3=[1 3;1/3 1];
    Array4=[1 3;1/3 1];
    Array5=[1 5;1/5 1];
    Array6=[1 3;1/3 1];
    Array7=[1 1/5;5 1];
    Array8=[1 7;1/7 1];
    Array9=[1 1/5;5 1];
    Array10=[1 1/3;7 1];
    
    A=test1(Array1);
    B1=test1(Array2);
    B2=test1(Array3); 
    B3=test1(Array4);
    C1=test1(Array5);
    C2=test1(Array6);
    C3=test1(Array7);
    C4=test1(Array8);
    C5=test1(Array9);
    C6=test1(Array10);
    

    得到相应的矩阵:
    在这里插入图片描述

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  • 层次分析法

    万次阅读 2015-06-11 18:11:53
    层次分析法(Analytic Hierarchy Process,简称AHP)是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次,在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初...
            层次分析法(Analytic Hierarchy Process,简称AHP)是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次,在此基础之上进行定性和 定量分析 的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初,在为 美国国防部 研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时,应用网络系统理论和多目标综合评价方法,提出的一种层次权重决策分析方法。
     
    应用实例编辑
    1、建立递阶层次结构;
    2、构造两两比较判断矩阵;( 正互反矩阵
    购物层次分析模型                      购物层次分析模型
    对各指标之间进行两两对比之后,然后按9分位比率排定各评价指标的相对优劣顺序,依次构造出评价指标的判断矩阵。
    3、针对某一个标准,计算各备选元素的权重;
    关于判断矩阵权重计算的方法有两种,即几何平均法(根法)和规范列平均法(和法)。
    (1)几何平均法(根法)
    计算矩阵A各行各个元素的乘积,得到一个n行一列的矩阵B;
    计算矩阵每个元素的n次方根得到矩阵C;
    对矩阵C进行归一化处理得到矩阵D;
    该矩阵D即为所求权重向量。
    (2)规范列平均法(和法)
    矩阵A每一列归一化得到矩阵B;
    将矩阵B每一行元素的平均值得到一个一列n行的矩阵C;
    矩阵C即为所求权重向量。
     

    2定义

    所谓层次分析法,是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统,将目标分解为多个目标或准则,进而分解为多指标(或准则、约束)的若干层次,通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序(权数)和总排序,以作为目标(多指标)、多方案优化决策的系统方法。
    层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构,然后得用求解判断矩阵特征向量的办法,求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重,最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重,此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度,它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标,标下优越程度的相对量度,以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统,而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造 判断矩阵 ,求出其最大 特征值 。及其所对应的 特征向量 W, 归一化 后,即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。
     

    3优缺点

    优点

    1. 系统性的分析方法
    层次分析法把研究对象作为一个系统,按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策,成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。系统的思想在于不割断各个因素对结果的影响,而层次分析法中每一层的权重设置最后都会直接或间接影响到结果,而且在每个层次中的每个因素对结果的影响程度都是量化的,非常清晰、明确。这种方法尤其可用于对无结构特性的系统评价以及多目标、多准则、多时期等的系统评价。
    2. 简洁实用的决策方法
    这种方法既不单纯追求高深数学,又不片面地注重行为、逻辑、推理,而是把定性方法与定量方法有机地结合起来,使复杂的系统分解,能将人们的思维过程数学化、系统化,便于人们接受,且能把多目标、多准则又难以全部量化处理的决策问题化为多层次单目标问题,通过两两比较确定同一层次元素相对上一层次元素的数量关系后,最后进行简单的数学运算。即使是具有中等文化程度的人也可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤,计算也经常简便,并且所得结果简单明确,容易为决策者了解和掌握。
    3. 所需定量数据信息较少
    层次分析法主要是从评价者对评价问题的本质、要素的理解出发,比一般的定量方法更讲求定性的分析和判断。由于层次分析法是一种模拟人们决策过程的思维方式的一种方法,层次分析法把判断各要素的相对重要性的步骤留给了大脑,只保留人脑对要素的印象,化为简单的权重进行计算。这种思想能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题。[1]

    缺点

    1. 不能为决策提供新方案
    层次分析法的作用是从备选方案中选择较优者。这个作用正好说明了层次分析法只能从原有方案中进行选取,而不能为决策者提供解决问题的新方案。这样,我们在应用层次分析法的时候,可能就会有这样一个情况,就是我们自身的创造能力不够,造成了我们尽管在我们想出来的众多方案里选了一个最好的出来,但其效果仍然不够企业所做出来的效果好。而对于大部分决策者来说,如果一种分析工具能替我分析出在我已知的方案里的最优者,然后指出已知方案的不足,又或者甚至再提出改进方案的话,这种分析工具才是比较完美的。但显然,层次分析法还没能做到这点。
    2. 定量数据较少,定性成分多,不易令人信服
    在如今对科学的方法的评价中,一般都认为一门科学需要比较严格的数学论证和完善的定量方法。但现实世界的问题和人脑考虑问题的过程很多时候并不是能简单地用数字来说明一切的。层次分析法是一种带有模拟人脑的决策方式的方法,因此必然带有较多的定性色彩。这样,当一个人应用层次分析法来做决策时,其他人就会说:为什么会是这样?能不能用数学方法来解释?如果不可以的话,你凭什么认为你的这个结果是对的?你说你在这个问题上认识比较深,但我也认为我的认识也比较深,可我和你的意见是不一致的,以我的观点做出来的结果也和你的不一致,这个时候该如何解决?
    比如说,对于一件衣服,我认为评价的指标是舒适度、耐用度,这样的指标对于女士们来说,估计是比较难接受的,因为女士们对衣服的评价一般是美观度是最主要的,对耐用度的要求比较低,甚至可以忽略不计,因为一件便宜又好看的衣服,我就穿一次也值了,根本不考虑它是否耐穿我就买了。这样,对于一个我原本分析的‘购买衣服时的选择方法’的题目,充其量也就只是‘男士购买衣服的选择方法’了。也就是说,定性成分较多的时候,可能这个研究最后能解决的问题就比较少了。
    对于上述这样一个问题,其实也是有办法解决的。如果说我的评价指标太少了,把美观度加进去,就能解决比较多问题了。指标还不够?我再加嘛!还不够?再加!还不够?!不会吧?你分析一个问题的时候考虑那么多指标,不觉得辛苦吗?大家都知道,对于一个问题,指标太多了,大家反而会更难确定方案了。这就引出了层次分析法的第三个不足之处。
    3. 指标过多时数据统计量大,且权重难以确定
    当我们希望能解决较普遍的问题时,指标的选取数量很可能也就随之增加。这就像系统结构理论里,我们要分析一般系统的结构,要搞清楚关系环,就要分析到基层次,而要分析到基层次上的相互关系时,我们要确定的关系就非常多了。指标的增加就意味着我们要构造层次更深、数量更多、规模更庞大的判断矩阵。那么我们就需要对许多的指标进行两两比较的工作。由于一般情况下我们对层次分析法的两两比较是用1至9来说明其相对重要性,如果有越来越多的指标,我们对每两个指标之间的重要程度的判断可能就出现困难了,甚至会对层次单排序和总排序的一致性产生影响,使一致性检验不能通过,也就是说,由于客观事物的复杂性或对事物认识的片面性,通过所构造的判断矩阵求出的特征向量(权值)不一定是合理的。不能通过,就需要调整,在指标数量多的时候这是个很痛苦的过程,因为根据人的思维定势,你觉得这个指标应该是比那个重要,那么就比较难调整过来,同时,也不容易发现指标的相对重要性的取值里到底是哪个有问题,哪个没问题。这就可能花了很多时间,仍然是不能通过一致性检验,而更糟糕的是根本不知道哪里出现了问题。也就是说,层次分析法里面没有办法指出我们的判断矩阵里哪个元素出了问题。[1]  
    4. 特征值和特征向量的精确求法比较复杂
    在求判断矩阵的特征值和特征向量时,所用的方法和我们多元统计所用的方法是一样的。在二阶、三阶的时候,我们还比较容易处理,但随着指标的增加,阶数也随之增加,在计算上也变得越来越困难。不过幸运的是这个缺点比较好解决,我们有三种比较常用的近似计算方法。第一种就是和法,第二种是幂法,还有一种常用方法是根法。
     

    4基本步骤

    建立层次结构模型
    在深入分析实际问题的基础上,将有关的各个因素按照不同属性 自上而下 地分解成若干层次,同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响,同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层,通常只有1个因素,最下层通常为方案或对象层,中间可以有一个或几个层次,通常为准则或指标层。当准则过多时(譬如多于9个)应进一步分解出子准则层。
    构造成对比较阵
    从层次结构模型的第2层开始,对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一层诸因素,用 成对比较法 和1—9比较尺度构造成对比较阵,直到最下层。
    计算权向量并做一致性检验
    对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应 特征向量 ,利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过,特征向量( 归一化 后)即为权向量:若不通过,需重新构造成对比较阵。
    计算组合权向量并做组合一致性检验
    计算最下层对目标的组合权向量,并根据公式做组合一致性检验,若检验通过,则可按照组合权向量表示的结果进行决策,否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较阵。
    美国运筹学家T.L.saaty于20世纪70年代提出的层次分析法(Analytic Hierarchy Process,简称AHP方法),是对方案的多指标系统进行分析的一种层次化、结构化决策方法,它将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化。应用这种方法,决策者通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素,在各因素之间进行简单的比较和计算,就可以得出不同方案的权重,为最佳方案的选择提供依据。运用AHP方法,大体可分为以下三个步骤:
    步骤1:分析系统中各因素间的关系,对同一层次各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较,构造两两比较的判断矩阵;
    步骤2:由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重,并进行判断矩阵的一致性检验;
    步骤3:计算各层次对于系统的总排序权重,并进行排序。
    最后,得到各方案对于总目标的总排序。
    构造判断矩阵
    层次分析法的一个重要特点就是用两两重要性程度之比的形式表示出两个方案的相应重要性程度等级。如对某一准则,对其下的各方案进行两两对比,并按其重要性程度评定等级。记为第 和第 因素的重要性之比,表3列出Saaty给出的9个重要性等级及其 赋值 。按两两比较结果构成的矩阵 称作判断矩阵。判断矩阵 具有如下性质:
    且 / ( =1,2,… ) 即 为 正互反矩阵
    表3比例标度表
    因素 比因素
    量化值
    同等重要
    1
    稍微重要
    3
    较强重要
    5
    强烈重要
    7
    极端重要
    9
    两相邻判断的中间值
    2,4,6,8
    计算权重向量
    为了从判断矩阵中提炼出有用信息,达到对事物的规律性的认识,为决策提供出科学依据,就需要计算判断矩阵的权重向量。
    定义:判断矩阵 ,如对 … ,成立 ,则称 满足一致性,并称 为一致性矩阵。
    一致性矩阵A具有下列简单性质:
    1、 存在唯一的非零特征值 ,其对应的特征向量归一化后 记为 ,叫做权重向量,且 ;
    2、 的列向量之和经规范化后的向量,就是权重向量;
    3、 的任一列向量经规范化后的向量,就是权重向量;
    4、对 的全部列向量求每一分量的几何平均,再规范化后的向量,就是权重向量。
    因此,对于构造出的判断矩阵,就可以求出最大特征值所对应的特征向量,然后归一化后作为权值。根据上述定理中的性质2和性质4即得到 判断矩阵 满足一致性的条件下求取权值的方法,分别称为和法和根法。而当 判断矩阵 不满足一致性时,用和法和根法计算权重向量则很不精确。
    一致性检验
    判断矩阵 的阶数 时,通常难于构造出满足一致性的矩阵来。但判断矩阵偏离 一致性条件 又应有一个度,为此,必须对判断矩阵是否可接受进行鉴别,这就是一致性检验的内涵。
    定理:设 是正互反矩阵 的最大特征值则必有 ,其中等式当且仅当 为一致性矩阵时成立。
    应用上面的定理,则可以根据 是否成立来检验矩阵的一致性,如果 比 大得越多,则 的非一致性程度就越严重。因此,定义一致性指标
    (1)
    CI越小,说明一致性越大。考虑到一致性的偏离可能是由于随机原因造成的,因此在检验 判断矩阵 是否具有满意的一致性时,还需将CI和平均随机一致性指标RI进行比较,得出检验系数CR,即
    (2)
    如果CR<0.1 ,则认为该判断矩阵通过一致性检验,否则就不具有满意一致性。
    其中,随机一致性指标RI和判断矩阵的阶数有关,一般情况下,矩阵阶数越大,则出现一致性随机偏离的可能性也越大,其对应关系如表4:
    表4 平均随机一致性指标RI标准值(不同的标准不同,RI的值也会有微小的差异)
    矩阵阶数
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    RI
    0
    0
    0.58
    0.90
    1.12
    1.24
    1.32
    1.41
    1.45
    1.49
    可见,AHP方法不仅原理简单,而且具有扎实的理论基础,是定量与定性方法相结合的优秀的决策方法,特别是定性因素起主导作用的决策问题。

    5注意事项

    如果所选的要素不合理,其含义混淆不清,或要素间的关系不正确,都会降低AHP法的结果质量,甚至导致AHP法决策失败。
    为保证递阶层次结构的合理性,需把握以下原则:
    1、分解简化问题时把握主要因素,不漏不多;
    2、注意相比较元素之间的强度关系,相差太悬殊的要素不能在同一层次比较。
     
     
     
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  • 层次分析法笔记

    2020-06-09 12:42:41
    层次分析法章节笔记

    层次分析法 什么时候用?

    层次分析法是将决策问题按目标层、决策层(可含多个决策层)、方案层的顺序分为不同的层次结构,然后用求解判断矩阵特征向量的办法,求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重,最后再用加权和的方法,观察每个方案层对目标层的最终权重,此最终权重最大者即为最优方案

    层次分析法特别适用于那些难于完全定量分析的问题,因为它是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法

    什么是一致性矩阵?

    举个例子就明白了
    
    下面这个矩阵就是一致性矩阵
      1      2     4
    1/2      1     2
    1/4    1/2     1
    
    比如 a 的坐标是(12),元素值为 2
    b 的坐标是(31),元素值为 1/4
    那么它们相乘得 1/2,而它们平移相交处的坐标(32)的元素值也是 1/2,说明这对数据满足一致性
    
    同理,任意坐标(i,j)与(j,k)的元素值乘积 等于 它们相交处的坐标(i,k)的元素值
    则说明这个矩阵为一致性矩阵
    
    再来举个反例
    
    下面这个矩阵不是一致性矩阵
      1      2     3
    1/2      1     2
    1/3    1/2     1
    
    比如 a 的坐标是(13),元素值为 3
    b 的坐标是(21),元素值为 1/2
    那么它们相乘得 3/2,而它们平移相交处的坐标(23)的元素值却是 2,说明这对数据不满足一致性
    那这个矩阵就不是一致性矩阵
    

    什么是正互反矩阵?

    举个例子
    
    下面这个矩阵就是正互反矩阵
      1      2     4
    1/2      1     2
    1/4    1/2     1
    
    下面这个矩阵不是正互反矩阵
      1      2     3
    1/2      1     2
    1/4    1/2     1
    
    因为坐标(13)乘以坐标(31)的元素值不为 1
    
    下面这个矩阵也不是正互反矩阵
      1      2     4
    1/2      1     2
    1/4    1/2     2
    
    因为坐标(13)与坐标(31)所对应的坐标(33)的元素值不为 1
    
    结论:当坐标(i,j)乘以坐标(j,i)的元素值为 1 ,且对应的坐标(j,j)的元素值为 1 时,该矩阵为正互反矩阵
    

    作业解答

    一、判断矩阵是否为正互反矩阵?

    if sum(sum(A'.* A ~=  ones(n))) > 0
        disp('不是正互反矩阵')
    end
    

    提示:层次分析法代码的编写 视频中的 1:17:34 中会有详细的讲解

    二、输入二阶判断矩阵会有什么问题?如何修正?

    在这里插入图片描述

    从图中我们看出当 n=2 时 RI=0
    而计算一致性的公式为 CR=CI/RI(n)
    这显然是错误的,修改方法如下:
    
    RI=[0 0.00001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
    将 n=2 时 RI=0.00001 即可
    

    判断矩阵的元素规定

    层次分析法的判断矩阵中,仅能包含 1 – 9 的整数及其倒数,不能出现类似 0.3、4.5、11 等不符合要求的元素

    判断矩阵的顺序

    先进行一致性检验(必须通过)
    再求权重
    最后归一化
    注意:准则层都是关联性较小的

    具体步骤演示可以参考 清风数学建模作业讲解的视频 的前半部分视频(内容精简与准确)

    判断矩阵的代码部分

    disp(' 请输入判断矩阵A ')     
    A=input('A=');     
    ERROR = 0;  
    [r,c]=size(A);
    if r ~= c  || r <= 1
        ERROR = 1;
    end
    if ERROR == 0
        [n,n] = size(A);
        if sum(sum(A <= 0)) > 0
            ERROR = 2;
        end
    end
    if ERROR == 0
        if n > 15
            ERROR = 3;
        end
    end
    if ERROR == 0
        if sum(sum(A' .* A ~=  ones(n))) > 0
            ERROR = 4;
        end
    end
    
    if ERROR == 0
        % % % % % % % % % % % % %方法1: 算术平均法求权重% % % % % % % % % % % % %
        Sum_A = sum(A);
        SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);
        Stand_A = A ./ SUM_A;
        disp('算术平均法求权重的结果为:');
        disp(sum(Stand_A,2)./n)
        % % % % % % % % % % % % %方法2: 几何平均法求权重% % % % % % % % % % % % %
        Prduct_A = prod(A,2);
        Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n);
        disp('几何平均法求权重的结果为:');
        disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
        % % % % % % % % % % % % %方法3: 特征值法求权重% % % % % % % % % % % % %
        [V,D] = eig(A);
        Max_eig = max(max(D));
        [r,c]=find(D == Max_eig , 1);
        disp('特征值法求权重的结果为:');
        disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
        % % % % % % % % % % % % %下面是计算一致性比例CR的环节% % % % % % % % % % % % %
        CI = (Max_eig - n) / (n-1);
        RI=[0 0.00001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  
        % 注意哦,这里的RI最多支持 n = 15
        % 这里 n = 2 时,一定是一致矩阵,所以CI = 0
        % 我们为了避免分母为 0,将这里的第二个元素改为了很接近 0 的小数
        CR=CI/RI(n);
        disp('一致性指标CI=');disp(CI);
        disp('一致性比例CR=');disp(CR);
        if CR<0.10
            disp('因为CR<0.10,所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
        else
            disp('注意:CR >= 0.10,因此该判断矩阵A需要进行修改!');
        end
    elseif ERROR == 1
        disp('请检查矩阵A的维数是否不大于1或不是方阵')
    elseif ERROR == 2
        disp('请检查矩阵A中有元素小于等于0')
    elseif ERROR == 3
        disp('A的维数n超过了15,请减少准则层的数量')
    elseif ERROR == 4
        disp('请检查矩阵A中存在i、j不满足A_ij * A_ji = 1')  % 说明不是正互反矩阵
    end
    

    切记不能直接用于论文中,要根据题目适当的修改,避免查重

    建议三种求权重的方法都用在论文上,并且强调一句:为了保证结果的稳健性,本文采用了三种方法分别求出了权重后计算平均值,再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分,并进行排序和综合分析,这样避免了采用单一方法所产生的偏差,得出的结论将更全面、更有效

    层次分析法的评估

    层次分析法 的优点:
    层次分析法具有系统性、简洁实用、所需定量数据信息较少,这种方法尤其可用于对无结构特性的系统评价以及多目标、多准则、多时期等的系统评价,而且结果简单明确、可信度较高
    层次分析法 的缺点:
    在权重的确定方面主观性太强,因此通过构造出来的判断矩阵所求出来的权值不一定可靠从而不能客观的评价目标层的影响指标

    同理,层次分析法的评估也要做适当修改避免查重

    补充:记得看作业讲解视频

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层次分析法的优缺点