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  • 实对称矩阵特征值为实数证明
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    2021-09-12 20:30:45

    证明:
    A A A为实对称矩阵
    A = A ‾ = A ‾ T A=\overline{A}=\overline{A}^T A=A=AT
    x ‾ T A x = x ‾ T λ x = λ x T x \overline{x}^T Ax=\overline{x}^T\lambda x=\lambda x^T x xTAx=xTλx=λxTx
    x ‾ T A ‾ T x = ( A ‾ x ‾ ) T x = A x ‾ T x = λ x ‾ T x = λ ‾ x ‾ T x \overline{x}^T \overline{A}^T x=(\overline{A}\overline{x})^Tx=\overline{Ax}^Tx=\overline{\lambda x}^Tx=\overline{\lambda} \overline{x}^Tx xTATx=(Ax)Tx=AxTx=λxTx=λxTx
    λ x T x = λ ‾ x ‾ T x ⇒ ( λ − λ ‾ ) x ‾ T x = 0 ⇒ λ = λ ‾ \lambda x^T x=\overline{\lambda} \overline{x}^Tx \Rightarrow (\lambda -\overline{\lambda})\overline{x}^Tx=0 \Rightarrow \lambda=\overline{\lambda} λxTx=λxTx(λλ)xTx=0λ=λ

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    一 算法原理

    雅可比方法用于求解实对称矩阵的特征值和特征向量,对于实对称矩阵 A A A,必有正交矩阵 U U U,使得 U T A U = D U^{T}AU=D UTAU=D. D D D是一个对角阵,主对角线的元素是矩阵 A A A的特征值,正交矩阵 U U U的每一列对应于属于矩阵 D D D的主对角线对应元素的特征向量.
    雅可比方法用平面旋转对矩阵 A A A做相似变换,化 A A A为对角阵,从而求解出特征值和特征向量.旋转矩阵 U p q U_p{_q} Upq,是一个单位阵在第 p p p行,第 p p p列,第 q q q行,第 q q q列,元素为 c o s φ cos\varphi cosφ,第 p p p行第 q q q列为 − s i n φ -sin\varphi sinφ,第 q q q行第 p p p列为 s i n φ sin\varphi sinφ.对于这样的平面旋转矩阵,不难验证其是一种正交矩阵.因此对于向量 x x x, U p q x U_p{_q}x Upqx等同于把第 p p p个坐标轴和第 q q q个坐标轴共同所确定的平面旋转了 φ \varphi φ度.记矩阵 A 1 = U p q T A U p q A_1=U_p{_q}^{T}AU_p{_q} A1=UpqTAUpq.因为旋转矩阵是正交阵,因此实际上矩阵 A 1 A_1 A1与矩阵 A A A是相似的,因此其特征值是相同的.
    设矩阵 A 1 A_1 A1 i i i行,第 j j j列的元素为 b i j b_i{_j} bij,矩阵 A A A的第 i i i行,第 j j j列的元素为 a i j a_i{_j} aij( i = 0 , 1 , 2 , . . . , n − 1 , j = 0 , 1 , 2 , . . . , n − 1 i=0,1,2,...,n-1,j=0,1,2,...,n-1 i=0,1,2,...,n1,j=0,1,2,...,n1).式(1-1-1)给出了两矩阵元素之间的运算关系.
    { b p p = a p p c o s 2 φ + a q q s i n 2 φ + 2 a p q c o s φ s i n φ b q q = a p p s i n 2 φ + a q q c o s 2 φ − 2 a p q c o s φ s i n φ b p q = b q p = 1 2 ( a q q − a p p ) s i n 2 φ + a p q c o s 2 φ b p i = a p i c o s φ + a q i s i n φ , ( i ≠ p , q ) b q i = − a p i s i n φ + a q i c o s φ , ( i ≠ p , q ) b j p = a j p c o s φ + a j q s i n φ , ( j ≠ p , q ) b j q = − a j q s i n φ + a j q c o s φ , ( j ≠ p , q ) b i j = b j i = a i j , i ≠ p , q ; j ≠ p , q (1-1-1) \begin{cases} b_p{_p}=a_p{_p}cos^2\varphi+a_q{_q}sin^2\varphi+2a_p{_q}cos\varphi{sin\varphi}\\ b_q{_q}=a_p{_p}sin^2\varphi+a_q{_q}cos^2\varphi-2a_p{_q}cos\varphi{sin\varphi}\\ b_p{_q}=b_q{_p}=\frac{1}2(a_q{_q}-a_p{_p})sin2\varphi+a_p{_q}cos2\varphi\\ b_p{_i}=a_p{_i}cos\varphi+a_q{_i}sin\varphi,(i\ne{p},q)\\ b_q{_i}=-a_p{_i}sin\varphi+a_q{_i}cos\varphi,(i\ne{p},q)\\ b_j{_p}=a_j{_p}cos\varphi+a_j{_q}sin\varphi,(j\ne{p},q)\\ b_j{_q}=-a_j{_q}sin\varphi+a_j{_q}cos\varphi,(j\ne{p},q)\\ b_i{_j}=b_j{_i}=a_i{_j},i{\ne}p,q;j{\ne}p,q \end{cases} \tag{1-1-1} bpp=appcos2φ+aqqsin2φ+2apqcosφsinφbqq=appsin2φ+aqqcos2φ2apqcosφsinφbpq=bqp=21(aqqapp)sin2φ+apqcos2φbpi=apicosφ+aqisinφ,(i=p,q)bqi=apisinφ+aqicosφ,(i=p,q)bjp=ajpcosφ+ajqsinφ,(j=p,q)bjq=ajqsinφ+ajqcosφ,(j=p,q)bij=bji=aij,i=p,q;j=p,q(1-1-1)
    其中有两点需要说明:(1) p p p, q q q分别是前一次的迭代矩阵的非主对角线上绝对值最大元素的行列号
    (2) φ \varphi φ是旋转角度,可以由式(1-1-2)确定
    t a n 2 φ = − 2 a p q a q q − a p p (1-1-2) tan2\varphi=\frac{-2a_p{_q}}{a_q{_q}-a_p{_p}} \tag{1-1-2} tan2φ=aqqapp2apq(1-1-2)
    归纳得到雅可比方法求解矩阵特征值和特征向量的具体步骤如下:
    (1).初始化特征向量为对角阵V,主对角线元素为1,其他元素为0.
    (2).在 A A A的非主对角线的元素中,找到绝对值最大元素 a p q a_p{_q} apq.
    (3).用式(1-1-2)计算出旋转矩阵
    (4).计算矩阵 A 1 A1 A1,用当前的矩阵 V V V乘旋转矩阵得到当前的特征矩阵 V V V.
    (5).若当前迭代的矩阵 A A A的非主对角线元素最大值小于给定阈值,停止计算,否则执行上述过程.停止计算时,特征值为矩阵 A A A的主对角线元素,特征矩阵为矩阵 V V V.


    二 C语言实现

    #include<stdio.h>
    #include<stdlib.h>
    float** Matrix_Jac_Eig(float **array, int n, float *eig);
    int Matrix_Free(float **tmp, int m, int n);
    int main(void)
    {
    	int n;
    	printf("请输入矩阵维度:\n");
    	scanf("%d", &n);
    	float **array = (float **)malloc(n * sizeof(float *));
    	if (array == NULL)
    	{
    		printf("error :申请数组内存空间失败\n");
    		return -1;
    	}
    	for (int i = 0; i < n; i++)
    	{
    		array[i] = (float *)malloc(n * sizeof(float));
    		if (array[i] == NULL)
    		{
    			printf("error :申请数组子内存空间失败\n");
    			return -1;
    		}
    	}
    	printf("请输入矩阵元素:\n");
    	for (int i = 0; i < n; i++)
    	{
    		for (int j = 0; j < n; j++)
    		{
    			scanf("%f", &array[i][j]);
    		}
    	}
    	float *eig = (float *)malloc(n * sizeof(float));
    	float **Result = Matrix_Jac_Eig(array, n, eig);
    	printf("特征矩阵元素:\n");
    	for (int i = 0; i < n; i++)
    	{
    		for (int j = 0; j < n; j++)
    		{
    			printf("%f ", Result[i][j]);
    		}
    		printf("\n");
    	}
    	printf("特征矩阵元素:\n");
    	for (int i = 0; i < n; i++)
    	{
    		printf("%f \n", eig[i]);
    	}
    	Matrix_Free(Result, n, n);
    	free(eig);
    	eig = NULL;
    	return 0;
    }
    float** Matrix_Jac_Eig(float **array, int n, float *eig)
    {
    	//先copy一份array在temp_mat中,因为我实在堆区申请的空间,在对其进行处理
    	//的过程中会修改原矩阵的值,因此要存储起来,到最后函数返回的
    	//时候再重新赋值
    	int i, j, flag, k;
    	flag = 0;
    	k = 0;
    	float sum = 0;
    	float **temp_mat = (float **)malloc(n * sizeof(float *));
    	for (i = 0; i < n; i++)
    	{
    		temp_mat[i] = (float *)malloc(n * sizeof(float));
    	}
    	for (i = 0; i < n; i++)
    	{
    		for (j = 0; j < n; j++)
    		{
    			temp_mat[i][j] = array[i][j];
    		}
    	}
    	//判断是否为对称矩阵
    	for (i = 0; i < n; i++)
    	{
    		for (j = i; j < n; j++)
    		{
    			if (array[i][j] != array[j][i])
    			{
    				flag = 1;
    				break;
    			}
    		}
    	}
    	if (flag == 1)
    	{
    		printf("error in Matrix_Eig: 输入并非是对称矩阵:\n");
    		return NULL;
    	}
    	else
    	{
    		//开始执行算法
    		int p, q;
    		float thresh = 0.0000000001;
    		float max = array[0][1];
    		float tan_angle, sin_angle, cos_angle;
    		float **result = (float **)malloc(n * sizeof(float *));
    		if (result == NULL)
    		{
    			printf("error in Matrix_Eig:申请空间失败\n");
    			return NULL;
    		}
    		float **result_temp = (float **)malloc(n * sizeof(float *));
    		if (result_temp == NULL)
    		{
    			printf("error in Matrix_Eig:申请空间失败\n");
    			return NULL;
    		}
    		float **rot = (float **)malloc(n * sizeof(float *));
    		if (rot == NULL)
    		{
    			printf("error in Matrix_Eig:申请空间失败\n");
    			return NULL;
    		}
    		float **mat = (float **)malloc(n * sizeof(float *));
    		if (mat == NULL)
    		{
    			printf("error in Matrix_Eig:申请空间失败\n");
    			return NULL;
    		}
    		for (i = 0; i < n; i++)
    		{
    			result[i] = (float *)malloc(n * sizeof(float));
    			if (result[i] == NULL)
    			{
    				printf("error in Matrix_Eig:申请子空间失败\n");
    				return NULL;
    			}
    			result_temp[i] = (float *)malloc(n * sizeof(float));
    			if (result_temp[i] == NULL)
    			{
    				printf("error in Matrix_Eig:申请子空间失败\n");
    				return NULL;
    			}
    			rot[i] = (float *)malloc(n * sizeof(float));
    			if (rot[i] == NULL)
    			{
    				printf("error in Matrix_Eig:申请子空间失败\n");
    				return NULL;
    			}
    			mat[i] = (float *)malloc(n * sizeof(float));
    			if (mat[i] == NULL)
    			{
    				printf("error in Matrix_Eig:申请子空间失败\n");
    				return NULL;
    			}
    		}
    		for (i = 0; i < n; i++)
    		{
    			for (j = 0; j < n; j++)
    			{
    				if (i == j)
    				{
    					result[i][j] = 1;
    				}
    				else
    				{
    					result[i][j] = 0;
    				}
    			}
    		}
    		for (i = 0; i < n; i++)
    		{
    			for (j = 0; j < n; j++)
    			{
    				if (i == j)
    				{
    					mat[i][j] = 1;
    				}
    				else
    				{
    					mat[i][j] = 0;
    				}
    			}
    		}
    		max = array[0][1];
    		for (i = 0; i < n; i++)
    		{
    			for (j = 0; j < n; j++)
    			{
    				if (i == j)
    				{
    					continue;
    				}
    				else
    				{
    					if (fabs(array[i][j]) >= fabs(max))
    					{
    						max = array[i][j];
    						p = i;
    						q = j;
    					}
    					else
    					{
    						continue;
    					}
    				}
    			}
    		}
    		while (fabs(max) > thresh)
    		{
    			if (fabs(max) < thresh)
    			{
    				break;
    			}
    			tan_angle = -2 * array[p][q] / (array[q][q] - array[p][p]);
    			sin_angle = sin(0.5*atan(tan_angle));
    			cos_angle = cos(0.5*atan(tan_angle));
    			for (i = 0; i < n; i++)
    			{
    				for (j = 0; j < n; j++)
    				{
    
    					if (i == j)
    					{
    						mat[i][j] = 1;
    					}
    					else
    					{
    						mat[i][j] = 0;
    					}
    				}
    			}
    			mat[p][p] = cos_angle;
    			mat[q][q] = cos_angle;
    			mat[q][p] = sin_angle;
    			mat[p][q] = -sin_angle;
    			for (i = 0; i < n; i++)
    			{
    				for (j = 0; j < n; j++)
    				{
    					rot[i][j] = array[i][j];
    				}
    			}
    			for (j = 0; j < n; j++)
    			{
    				rot[p][j] = cos_angle*array[p][j] + sin_angle*array[q][j];
    				rot[q][j] = -sin_angle*array[p][j] + cos_angle*array[q][j];
    				rot[j][p] = cos_angle*array[j][p] + sin_angle*array[j][q];
    				rot[j][q] = -sin_angle*array[j][p] + cos_angle*array[j][q];
    			}
    			rot[p][p] = array[p][p] * cos_angle*cos_angle +
    				array[q][q] * sin_angle*sin_angle +
    				2 * array[p][q] * cos_angle*sin_angle;
    			rot[q][q] = array[q][q] * cos_angle*cos_angle +
    				array[p][p] * sin_angle*sin_angle -
    				2 * array[p][q] * cos_angle*sin_angle;
    			rot[p][q] = 0.5*(array[q][q] - array[p][p]) * 2 * sin_angle*cos_angle +
    				array[p][q] * (2 * cos_angle*cos_angle - 1);
    			rot[q][p] = 0.5*(array[q][q] - array[p][p]) * 2 * sin_angle*cos_angle +
    				array[p][q] * (2 * cos_angle*cos_angle - 1);
    			for (i = 0; i < n; i++)
    			{
    				for (j = 0; j < n; j++)
    				{
    					array[i][j] = rot[i][j];
    				}
    			}
    			max = array[0][1];
    			for (i = 0; i < n; i++)
    			{
    				for (j = 0; j < n; j++)
    				{
    					if (i == j)
    					{
    						continue;
    					}
    					else
    					{
    						if (fabs(array[i][j]) >= fabs(max))
    						{
    							max = array[i][j];
    							p = i;
    							q = j;
    						}
    						else
    						{
    							continue;
    						}
    					}
    				}
    			}
    			for (i = 0; i < n; i++)
    			{
    				eig[i] = array[i][i];
    			}
    			for (i = 0; i < n; i++)
    			{
    				for (j = 0; j < n; j++)
    				{
    					sum = 0;
    					for (k = 0; k < n; k++)
    					{
    						sum = sum + result[i][k] * mat[k][j];
    					}
    					result_temp[i][j] = sum;
    				}
    			}
    			for (i = 0; i < n; i++)
    			{
    				for (j = 0; j < n; j++)
    				{
    					result[i][j] = result_temp[i][j];
    				}
    			}
    		}
    		for (i = 0; i < n; i++)
    		{
    			for (j = 0; j < n; j++)
    			{
    				array[i][j] = temp_mat[i][j];
    			}
    		}
    		Matrix_Free(result_temp, n, n);
    		Matrix_Free(rot, n, n);
    		Matrix_Free(mat, n, n);
    		Matrix_Free(temp_mat, n, n);
    		return result;
    	}
    }
    int Matrix_Free(float **tmp, int m, int n)
    {
    	int i, j;
    	if (tmp == NULL)
    	{
    		return(1);
    	}
    	for (i = 0; i < m; i++)
    	{
    		if (tmp[i] != NULL)
    		{
    			free(tmp[i]);
    			tmp[i] = NULL;
    		}
    	}
    	if (tmp != NULL)
    	{
    		free(tmp);
    		tmp = NULL;
    	}
    	return(0);
    }
    

    三 结果

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    展开全文
  • 实对称矩阵特征值和特征向量PPT学习教案.pptx
  • 定理:2阶实对称矩阵H的特征值是实数 H=[a,b;b,c] a,b,c是实数,λ 是特征值 A=[a-λ,b;b,c-λ] 特征值求解方法为:(a- λ )(c- λ) - b2 = 0 求解方程得到两个根为:λ=(a+c)±(a+c)2-4(ac-b2)2 ...
    1. 2阶实对称矩阵特性

    定理:2阶实对称矩阵H的特征值是实数

    H=[a,b;b,c]    

        a,b,c是实数,λ 是特征值
    A=[a-λ,b;b,c-λ]    

        特征值求解方法为:(a- λ )(c- λ) - b2  = 0

        求解方程得到两个根为:
    λ=(a+c)±(a+c)2-4(ac-b2)2  

                       (a+c)2-4ac-b2=a-c2+4b2≥0

        所以,在a、b、c为实数时,特征值也是实数。

           

    2、特征向量

    根据特征值和特征向量的定义:HX=λX,(H-λE)X = 0;因此方程若有解,则

    det(H-λE)=0;


    A=[a-λ,b;b,c-λ]    

    则有-b/(a-λ) = (c-λ)/b,   线性齐次方程组AX=0有非零解,其中之一解向量 [1,-b/(a-λ)],归一化后得到标准解。

    展开全文
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    特征值篇2——特征子空间

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    特征值篇(番外篇)——矩阵特征值的积与矩阵行列式

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    特征值篇(番外篇)——特征值与矩阵可逆,相似的关系

    特征值篇(番外篇)--特征值与矩阵可逆,相似的关系_thompson的博客-CSDN博客​blog.csdn.net
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    特征值篇(番外篇)——特征值与矩阵可逆,相似的关系

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    特征值篇(番外篇)——矩阵特征值几何重数和代数重数

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  • 本文主要针对线性代数中的正定矩阵、实对称矩阵矩阵特征值分解以及矩阵 SVD 分解进行总结。 如果你对这篇文章可感兴趣,可以点击「【访客必读 - 指引页】一文囊括主页内所有高质量博客」,查看完整博客分类与对应...
  • 2.矩阵A的所有特征值的积等于A的行列式。3.关于A的矩阵多项式f(A)的特征值为f(μ)。4.若A可逆,则A−1的特征值为1/μ。5.若A与B相似,则A与B有相同特征多项式,即A与B特征值相同。6.属于A的不同特征值的特征向量线性...
  • 实对称矩阵特征值按大小排序

    千次阅读 2019-09-20 15:16:54
    A是实对称矩阵 A所有的特征值按大小排序如下:λ1≥...≥λn\lambda_1\ge...\ge\lambda_nλ1​≥...≥λn​ 证明:对∀α∈Rn,且α≠0,都满足\forall\alpha\in R^n,且\alpha\ne0,都满足∀α∈Rn,且α​=0,都...
  • 它们的特征向量可能具有特定的特征值或特殊关系。还有一些方法可以将一个矩阵分解成这些“更简单”的矩阵。操作复杂性的降低提高了可伸缩性。然而,即使这些矩阵都是特殊的,它们也不是罕见的。在机器学习和许多应用...
  • 从机器学习、量子计算、物理到许多数学和工程的问题,都可以通过找到一个矩阵特征值和特征向量来解决。根据定义(标量λ、向量v是特征值、特征向量A):视觉上,Av与特征向量v位于同一直线上。这里有些例子。然而,Ax...
  • 考虑充要条件==, 矩阵A、B相似==A、B特征值相同且A、B均可相似标准化(特征对角阵化)——1 矩阵A、B合同==A、B有相同正负惯性指数——2 矩阵A、B均以正交变换进行相似对角化,即A、B均与各自相似标准型合同==A、B与...
  • 对称矩阵对称矩阵(Symmetric Matrix)是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵,例如: 可以看到,对称矩阵的转置等于其自身,即: 对角矩阵对角矩阵(Diagonal Matrix)是指除主对角线之外其他元素都为0的矩阵,...
  • 先上一道题,来自xqh博客每周一题设 为 阶反对称矩阵, 为 阶实对称矩阵,证明: 均为非奇异阵(亦即: )这道题有两种考虑方式一是考虑证明直接矩阵满秩,二是转化为求解特征值(即 证明 不是 的特征值)下面按两...
  • 特征多项式求解一个矩阵的特征值应该是大家所要掌握的基本功,但是,相信很多同学发现,很多答案的解析,...“抵消法”:考研范围内的矩阵求特征值,普遍是三阶矩阵,针对三阶实对称矩阵,一般是使用“抵消为0”先凑...
  • 矩阵的特征值与特征向量的计算的matlab实现,幂法、反幂法和位移反幂法、雅可比(Jacobi)方法、豪斯霍尔德(Householder)方法、实对称矩阵的三对角化、QR方法、求根位移QR方法计算实对称矩阵特征值、广义特征值问题...
  • §6.5 对称矩阵实特征值,正交特征向量Symmetric Matrices, Real Eigenvalues, Orthogonal EigenvectorsMIT公开课《微分方程和线性代数》6.5 对称矩阵实特征值和正交特征向量​v.youku.com在线性微分方程组中会...
  • Lanczos法的目的:将实对称矩阵转换成为三对角矩阵(稀疏矩阵),从而便于计算机储存和后续的计算。 在三对角矩阵矩阵上,采用QR分解,得到矩阵的特征值。 # -*- coding: utf-8 -*- """ Created ...
  • 我通过外部文件导入建立了一个无向图的邻接矩阵,是一个实对称矩阵,矩阵规模较大,然后计算特征值和特征向量的时候,为什么特征值和特征向量里面会出现复数?该怎样处理?谢谢了!
  • 根据网上资源(C++)改编的 c#版本;测试成功;
  • 实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交,而且实对称矩阵特征值全为实数。在考研中,我们一定要重点掌握会求一个正交矩阵来相似对角化,这里的正交矩阵是矩阵的彼此正交且为单位向量的特征向量组成的,这里的...
  •  设有实对称矩阵$A$,它的特征值与对应的特征向量分别为$\lambda,x$,另外记$\overline{A},\overline{\lambda},\overline{x}$分别为它们对应的共轭复数(矩阵和向量是对每个元素共轭)。  首先有: \begin{equation}...
  • jacob求解实对称矩阵特征值特征向量c代码
  • AHBEIGS:将为标准特征值问题 A*x = lambda*x 或广义特征值问题 A*x = lambda*B*x 找到一些特征值和特征向量。 [V,D,FLAG] = AHBEIGS(A,OPTIONS) [V,D,FLAG] = AHBEIGS(A,B,OPTIONS) [V,D,FLAG] = AHBEIGS('Afunc...
  • 从正交矩阵开始正交矩阵 定义1 称n阶方阵A是正交矩阵,若 正交矩阵有几个重要性质: A的逆等于A的转置,即 A的行列式为±1,即 A的行(列)向量组为n维单位正交向量组上述3个性质可以看做是正交矩阵的判定准则,我们...
  • 1. 实对称矩阵特征值都是实数 2. 实对称矩阵不同特征值特征向量相互正交
  • 【内容介绍】利用Rayleigh 商迭代法计算对称矩阵特征值
  • 实对称矩阵特征值的图论意义 实对称矩阵特征值的图论意义
  • **不同特征值对应的特征向量相互正交**,是实对称矩阵的一个重要属性,而且从这个属性出发可以证明实对称矩阵的另一个属性:**实对称矩阵必可相似对角化**。如果一个 n 维矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交,...

空空如也

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实对称矩阵的特征值

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