http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/52788947
特征和指示特征
对数线性模型log linear model
对数线性模型有:最大熵模型和逻辑斯谛回归。
[概率图模型原理与技术]
最大熵模型的一般形式
[统计学习方法]
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ref:
建议首先看cs229讲的广义线性模型、exponential family(指数分布族)
对数线性模型包括逻辑回归、最大熵模型和条件随机场等
1、模型
条件概率分布(对数线性模型、概率模型)、判别模型
逻辑回归:
概率分布可由广义线性模型推导得到
多分类时,分子部分为:第k类exp(-wk*x+b),第一类为1
分母部分为所有类分子之和,即标准化因子
最大熵模型:
概率分布由最大熵原理进行建模
分子部分为:exp(特征函数的加权和)
分母部分为对分子的标准化因子
条件随机场:
概率分布由线性链(简单情况)条件随机场确定
分子为:
分母为:
2、策略
最大似然估计
注:凡是已知条件概率分布(其实是似然)的模型,一般策略都是最大似然估计,即最小化对数损失函数
最大似然估计是一种参数估计方法,其他还有最大后验概率(考虑先验的最大似然)、贝叶斯估计(最大后验的基础上进一步增强,分母看做归一化因子,即对分子的积分)最小二乘估计(最小平方估计,最小化误差的平方)等,会在后面总结一节
3、算法
对数线性模型参数估计用到的算法即是最大似然估计用的算法,也就是梯度下降法等
注:条件随机场其他两个问题中,概率用前向-后向算法,预测用维特比算法(同隐马尔科夫模型)
4、补充
最大熵模型推导过程:
一是最大化条件熵
条件熵等于联合熵减去熵
二是由特征函数确定约束条件
特征函数关于(联合概率的经验分布)的期望值等于特征函数关于条件分布(模型)与边缘概率的期望值
三是建立原始约束最优化问题
即max最大熵模型
s.t 约束条件
四是建立最小最大化原问题
引入拉格朗日乘子
五是转化为最大最小化问题
引入kkt条件
六是转化为极大似然估计
跟着博主的脚步,每天进步一点点
本文介绍对数线性分类模型,在线性模型的基础上通过复合函数(sigmoid,softmax,entropy )将其映射到概率区间,使用对数损失构建目标函数。首先以概率的方式解释了logistic回归为什么使用sigmoid函数和对数损失,然后将二分类扩展到多分类,导出sigmoid函数的高维形式softmax函数对应softmax回归,最后最大熵模型可以看作是softmax回归的离散型版本,logistic回归和softmax回归处理数值型分类问题,最大熵模型对应处理离散型分类问题。
作者 | 文杰
编辑 | yuquanle
Logistic回归
A、Logistic回归
分类问题可以看作是在回归函数上的一个分类。一般情况下定义二值函数,然而二值函数构成的损失函数非凸,一般采用sigmoid函数平滑拟合(当然也可以看作是一种软划分,概率划分):从函数图像我们能看出,该函数有很好的特性,适合二分类问题。至于为何选择Sigmoid函数,后面可以从广义线性模型导出为什么是Sigmoid函数。
逻辑回归可以看作是在线性回归的基础上构建的分类模型,理解的角度有多种(最好的当然是概率解释和最小对数损失),而最直接的理解是考虑逻辑回归是将线性回归值离散化。即一个二分类问题(二值函数)如下:
Sigmoid函数:
0-1损失的二分类问题属于一种硬划分,即是与否的划分,而sigmoid函数则将这种硬划分软化,以一定的概率属于某一类(且属于两类的加和为1)。
Sigmoid函数将线性回归值映射到 的概率区间,从函数图像我们能看出,该函数有很好的特性,适合二分类问题。 因此逻辑回归模型如下:
这里对于目标函数的构建不再是最小化函数值与真实值的平方误差了,按分类原则来讲最直接的损失因该是0-1损失,即分类正确没有损失,分类错误损失计数加1。但是0-1损失难以优化,存在弊端。结合sigmoid函数将硬划分转化为概率划分的特点,采用概率 的对数损失(概率解释-N次伯努利分布加最大似然估计),其目标函数如下:
同样采用梯度下降的方法有:
又:
所以有:
B、概率解释
逻辑回归的概率解释同线性回归模型一致,只是假设不再是服从高斯分布,而是 服从0-1分布,由于 ,假设随机变量y服从伯努利分布是合理的 。即:
所以最大化似然估计有:
logistic采用对数损失(对数似然函数)原因:
1) 从概率解释来看,多次伯努利分布是指数的形式。由于最大似然估计导出的结果是概率连乘,而概率(sigmoid函数)恒小于1,为了防止计算下溢,取对数将连乘转换成连加的形式,而且目标函数和对数函数具备单调性,取对数不会影响目标函数的优化值。
2)从对数损失目标函数来看,取对数之后在求导过程会大大简化计算量。
Softmax回归
A、Softmax回归
Softmax回归可以看作是Logistic回归在多分类上的一个推广。考虑二分类的另一种表示形式:
当logistic回归采用二维表示的话,那么其损失函数如下:
其中,在逻辑回归中两类分别为 , 二在softmax中采用 , 两个随机变量组成二维向量表示,当然隐含约束 .为了更好的表示多分类问题,将 (不一定理解为 的取值为 ,更应该理解为 可以取 类)多分类问题进行如下表示:
其中向量的第
其中函数值是一个
其中
二分类与多分类可以看作是二元伯努利分布到多元伯努利分布的一个推广,概率解释同Logistic回归一致。详细解释放到广义线性模型中。
B、二分类转多分类思想
对于多分类问题,同样可以借鉴二分类学习方法,在二分类学习基础上采用一些策略以实现多分类,基本思路是“拆解法”,假设N个类别
一对一的基本思想是从所有类别中选出两类来实现一个两分类学习器,即学习出
一对多的基本思想是把所有类别进行二分类,即属于
最大熵模型
很奇怪,为什么会把最大熵模型放到这,原因很简单,它和Logistic回归和SoftMax回归实在是惊人的相似,同属于对数线性模型。
A、熵的概念
信息熵:熵是一种对随机变量不确定性的度量,不确定性越大,熵越大。若随机变量退化成定值,熵为0。均匀分布是“最不确定”的分布 。
假设离散随机变量X的概率分布为
其中熵满足不等式
联合熵:对于多个随机变量的不确定性可以用联合熵度量。
假设离散随机变量
条件熵:在给定条件下描述随机变量的不确定性。
假设离散随机变量
互信息:衡量两个随机变量相关性的大小。
相对熵(KL散度):衡量对于同一个随机变量两个概率分布
有互信息和相对熵的定义有下式:
关于熵的介绍就到此,不细究,虽然上面的这些定义在机器学习中都会遇到,不过后面涉及到的主要还是熵和条件熵,互信息。
B、最大熵模型
最大熵原理是概率模型学习中的一个准则。最大熵原理认为,学习概率模型时,在所有可能的概率模型分布中(满足所有条件下),熵最大的模型是最好的模型。熵最大即为最均匀的分布,从某种角度讲均匀分布总是符合我们理解的损失风险最小,也就是“不要不所有的鸡蛋放到一个篮子里,均匀的放置”。
给定训练集:
假设
一般来讲,最大熵模型常用于处理离散化数据集,定义随机变量
特征函数:
约束条件:对于任意的特征函数
特征函数
所以,满足约束条件的模型集合为:
因此最大熵模型的形式化表示如下:
由拉格让日乘子法,引入拉格让日乘子,定义拉格让日函数:
根据拉格朗日乘子法,
里层是
对偶问题是:
求解对偶问题,第一步最小化内部:
那么外层最大化目标函数为:
为了求解
求解得:
这里,虽然我们不知道
因此,
代回
回顾对偶函数,内部最小化求解得到了
C、概率解释
已知训练集的经验概率分布
其中,我们发现对数似然函数与条件熵的形式一致,最大熵模型目标函数前面有负号(这与最大化对数似然函数完全相反),同时最大熵模型中有约束条件。也正是因为约束条件,我们将原问题转化为对偶问题后发现,在满足约束条件的对偶函数的极大化等价于最大化对数似然函数。
当条件概率
代入到对数似然函数,同样有:
最后,我们再来看对偶函数表达式,我们发现,第一项其实是
下面再来对比下Logistic回归,SoftMax回归,最大熵模型:
1)同属于对数线性模型。
2)Logistic回归和SoftMax回归都基于条件概率
3)由于都采用线性模型,三者都假设特征之间是独立的。
最大熵模型的优化问题:
最大熵模型从拉格朗日乘子法最大化对偶函数,还是从最大化对数似然函数,其目标函数如下:
常用的梯度优化算法都可以,另外对于最大熵模型也有专门的算法有GIS IIS 算法 。
代码实战
A、Logistic回归
int LogReg()
{
const char *file="data\\LogReg.txt";
const string model="gradAscent";
const double alpha=0.01;
Matrix x;
cout<<"loadData"<<endl;
cout<<"----------------------"<<endl;
x.LoadData(file);
Matrix y;
y=x.getOneCol(x.col-1);
x.deleteOneCol(x.col-1);
if(model=="gradAscent")
gradAscent_Log(x,y);
if(model=="stoGradAscent")
stoGradAscent_Log(x,y);
return 0;
}
int gradAscent_Log(Matrix x,Matrix y)
{
if(y.col!=1)
{
cout<<"logReg is two class"<<endl;
return -1;
}
Matrix weights(x.col,y.col,0.1,"T");
Matrix xT = x.transposeMatrix();
float alpha=0.01;///迭代步长
float error=0;///记录错误率
int iter=0;
int i,j;
Matrix z(y.row,y.col,0,"T");//最好确定矩阵的大小
Matrix grad(x.col,y.col,0,"T");
for(iter=0; iter<5000; iter++)
{
z = x * weights;
for(i=0; i<z.row; i++)
{
z.data[i][0]=sigmoid(z.data[i][0]);
}
z = y - z;
error=0;
for(i=0; i<x.row; i++)///统计错误率
error+=z.data[i][0];
grad = xT * z;///计算负梯度方向
for(i=0; i<grad.row; i++)
grad.data[i][0]*= alpha;///负梯度方向与步长的乘积确定迭代值
weights = weights + grad;///往负梯度方向走一个步长
}
/**
验证算法的正确性
**/
int er1=0,er2=0;
Matrix train=x * weights;
cout<<"test"<<endl;
for(i=0; i<y.row; i++)
{
if(train.data[i][0]>0)
{
cout<<1-y.data[i][0]<<endl;
er1+=(1-y.data[i][0]);
}
else
{
cout<<0-y.data[i][0]<<endl;
er2-=(0-y.data[i][0]);
}
}
}
B、SoftMax回归
int SoftMaxReg()
{
const char *file="data\\LogReg.txt";
const string model="gradAscent";
const double alpha=0.01;
Matrix x;
cout<<"loadData"<<endl;
cout<<"----------------------"<<endl;
x.LoadData(file);
Matrix y;
y=x.getOneCol(x.col-1);
y=one_hot(y,2);
x.deleteOneCol(x.col-1);
if(model=="gradAscent")
gradAscent_SoftMax(x,y);
if(model=="stoGradAscent")
stoGradAscent_SoftMax(x,y);
return 0;
}
/**
随机梯度下降与梯度下降法不同的是在负梯度方向的确定,梯度下降是根据所有的样本来确定负梯度方向,
而随机梯度下降每次只看一个样本点来确定负梯度方向,虽然不完全可信,但随着迭代次数增加,同样收敛
**/
int stoGradAscent_SoftMax(Matrix x,Matrix y)//随机梯度下降每一次选择m个样本进行求梯度下降方向,该代码中只选择一个样本进行求解梯度下降方向与数值
{
Matrix xOneRow(1,x.col,0,"T");
Matrix xOneRowT(x.col,1,0,"T");
Matrix weights(x.col,y.col,0.1,"T");
Matrix z(1,y.col,0,"T");//最好确定矩阵的大小
Matrix grad(x.col,y.col,0,"T");
double zRowSum=0;
double alpha=0.001;///步长
double error;
int i,j,k,iter;
for(iter=0; iter<5000; iter++)
{
for(i=0; i<x.row; i++)
{
xOneRow=x.getOneRow(i);///随机选择一个样本点,这里没有作随机选择,而是按序选择
z = xOneRow * weights;
zRowSum=0;
for(j=0;j<z.col;j++)
{
z.data[0][j]=sigmoid(z.data[0][j]);
zRowSum+=z.data[0][j];//求和
}
for(j=0;j<z.col;j++)
{
z.data[0][j]/=zRowSum;//归一化
if(iter%1000==0)
cout<<z.data[0][j] <<" s ";
}
if(iter%1000==0)
cout<<endl;
for(j=0;j<y.col;j++)
{
z.data[0][j]=y.data[i][j]-z.data[0][j];
}
xOneRowT = xOneRow.transposeMatrix();
grad = xOneRowT * z;///根据一样样本的预测误差来确定负梯度方向
for(k=0; k<grad.row;k++)
{
for(j=0;j<grad.col; j++)
{
grad.data[k][j]*= alpha;///负梯度方向与步长的乘积确定迭代值
}
}
weights = weights + grad; ///迭代
}
}
//验证算法的正确性
/**
验证算法的正确性
**/
Matrix test=x * weights;
cout<<"test"<<endl;
for(i=0; i<y.row; i++)
{
if(test.data[i][0]>test.data[i][1])
cout<<0-y.data[i][1]<<" ";
else
cout<<1-y.data[i][1]<<" ";
cout<<endl;
}
}
请注意:详细代码请点击阅读原文。
The End
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http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/52788947
对数线性模型有:最大熵模型和逻辑斯谛回归。
[概率图模型原理与技术]
将因子转换到对数空间,成为对数线性模型。
[PGM:无向图模型:马尔可夫网 :对数线性模型]
[最大熵模型The Maximum Entropy:模型] [最大熵模型:学习]
多类分类的LR模型生成的推导:(两类分类更简单,直接类比嘛)
lz:这里ak是对数表示的,而给定类条件概率密度p(x|ck)如高斯分布时,ak是通常是线性表示的,所以才叫对数线性模型吧。
因为ak通常可以使用线性表示,所以多类LR模型使用判别式直接定义成:
lz: 就是把一般形式中的feature特征fi(Di)定义为ak了。
lz也不知道LR模型怎么来的,不过lz总结了几种都可以解释的方面:
1 回归模型+logistic函数直接得到
2 最大熵模型的特例,即直接将特征f(x, y)设为X=x(即在所有X=x的值上搞一个权重w)。
3 广义线性模型导出[对数线性模型之一(逻辑回归), 广义线性模型学习总结]
4 生成式模型+高斯形式的类条件概率分布得到
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对数线性模型有:最大熵模型和逻辑斯谛回归。
[概率图模型原理与技术]
[统计学习方法]
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