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  • 拉普拉斯矩阵

    千次阅读 2019-10-12 18:50:35
    拉普拉斯矩阵(Laplacian matrix) 也叫做导纳矩阵、基尔霍夫矩阵或离散拉普拉斯算子,主要应用在图论中,作为一个图的矩阵表示。 给定一个有n个顶点的图G,它的拉普拉斯矩阵 定义为: L=D-A 其中D为图的度矩阵,A...

      介绍

           拉普拉斯矩阵(Laplacian matrix) 也叫做导纳矩阵、基尔霍夫矩阵或离散拉普拉斯算子,主要应用在图论中,作为一个图的矩阵表示。

            给定一个有n个顶点的图G,它的拉普拉斯矩阵       L: = (l_{i,j}){_{m\times n}}    定义为:  L=D-A

            其中D为图的度矩阵,A为图的邻接矩阵。度矩阵在有向图中,只需要考虑出度或者入度中的一个。

            例如:下面一张图的拉普拉斯矩阵表示为:

                    图1

                  相应的矩阵表示为:

    矩阵表示

                   特点:

                      1) 拉普拉斯矩阵是半正定矩阵,对称矩阵;
                      2) 特征值中0出现的次数就是图连通区域的个数;
                      3) 最小特征值是0,因为拉普拉斯矩阵每一行的和均为0;
                      4) 最小非零特征值是图的代数连通度。

         正则化的拉普拉斯矩阵

             显然,拉普拉斯矩阵都是对称的。此外,另外一种更为常用的拉普拉斯矩阵形式是正则化的拉普拉斯矩阵(Symmetric normalized Laplacian),定义为:

    正则化拉普拉斯矩阵

    该矩阵中的元素由下面的式子给出:拉普拉斯矩阵

    常见的拉普拉斯矩阵有三种:

     

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  • 此函数返回任何图 (DAG) 的有向拉普拉斯矩阵。 这是下面提到的论文的直接实现。 Graph Laplacian 使用以下公式计算L = I - (Phi^{1/2} * P * Phi^{-1/2} + Phi^{-1/2} * P^T * Phi^{1/2} ) / 2 在哪里, I :单位...
  • 拉普拉斯矩阵 *

    千次阅读 2018-10-02 20:07:19
    graph Laplacian 拉普拉斯矩阵拉普拉斯矩阵说到谱聚类
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  • 拉普拉斯矩阵介绍

    千次阅读 2019-12-18 10:24:51
    拉普拉斯矩阵介绍: 本文源于简书,如有冒犯,还望谅解。 文章链接:https://www.jianshu.com/p/f864bac6cb7a 拉普拉斯矩阵是图论中用到的一种重要矩阵,给定一个有n个顶点的图 G=(V,E),其拉普拉斯矩阵被定义为 ...

    拉普拉斯矩阵介绍:

    本文源于简书,如有冒犯,还望谅解。

    文章链接:https://www.jianshu.com/p/f864bac6cb7a

    拉普拉斯矩阵是图论中用到的一种重要矩阵,给定一个有n个顶点的图 G=(V,E),其拉普拉斯矩阵被定义为 L = D-A,D其中为图的度矩阵,A为图的邻接矩阵。例如,给定一个简单的图,如下(例子来自wiki百科):

     

     

    把此“图”转换为邻接矩阵的形式,记为A:

     


    把W的每一列元素加起来得到N个数,然后把它们放在对角线上(其它地方都是零),组成一个N×N的对角矩阵,记为度矩阵D,如下图所示。其实度矩阵(对角线元素)表示的就是原图中每个点的度数,即由该点发出的边之数量。

     

    根据拉普拉斯矩阵的定义L = D-A,可得拉普拉斯矩阵L 为:

     


    显然,拉普拉斯矩阵都是对称的。此外,另外一种更为常用的拉普拉斯矩阵形式是正则化的拉普拉斯矩阵(Symmetric normalized Laplacian),定义为:


    该矩阵中的元素由下面的式子给出:


     
     

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  • 拉普拉斯矩阵相关

    2019-10-23 14:02:33
    拉普拉斯矩阵相关 拉普拉斯矩阵 Laplacian matrix的定义 拉普拉斯矩阵(Laplacian matrix)),也称为基尔霍夫矩阵, 是表示图的一种矩阵。给定一个有n个顶点的图,其拉普拉斯矩阵被定义为: 其中为图的度矩阵,为图的...

    拉普拉斯矩阵相关

    拉普拉斯矩阵

    Laplacian matrix的定义

    拉普拉斯矩阵(Laplacian matrix)),也称为基尔霍夫矩阵, 是表示图的一种矩阵。给定一个有n个顶点的图在这里插入图片描述,其拉普拉斯矩阵被定义为:
    在这里插入图片描述
    其中为图的度矩阵,为图的邻接矩阵。

    举个例子。给定一个简单的图,如下:
    

    在这里插入图片描述

    把此“图”转换为邻接矩阵的形式,记为:
    

    在这里插入图片描述

    把的每一列元素加起来得到个数,然后把它们放在对角线上(其它地方都是零),组成一个的对角矩阵,记为度矩阵,如下图所示:
    

    在这里插入图片描述

    根据拉普拉斯矩阵的定义,可得拉普拉斯矩阵 为:
    

    1.2、 拉普拉斯矩阵的性质
    介绍 拉普拉斯矩阵的性质之前,首先定义两个概念,如下:

    ①对于邻接矩阵,定义图中A子图与B子图之间所有边的权值之和如下:
    

    在这里插入图片描述

    其中wij ,定义为节点到节点的权值,如果两个节点不是相连的,权值为零。
    ②与某结点邻接的所有边的权值和定义为该顶点的度d,多个d 形成一个度矩阵 (对角阵)
    

    在这里插入图片描述

    拉普拉斯矩阵 具有如下性质:
    

    L是对称半正定矩阵;

    在这里插入图片描述 ,即 L的最小特征值是0,相应的特征向量是 。证明: *  = ( - ) *  = 0 = 0 * 。(此外,别忘了,之前特征值和特征向量的定义:若数字在这里插入图片描述和非零向量在这里插入图片描述满足在这里插入图片描述,则在这里插入图片描述在这里插入图片描述的一个特征向量,在这里插入图片描述是其对应的特征值)。

    L 有n个非负实特征值在这里插入图片描述

    且对于任何一个属于实向量在这里插入图片描述,有以下式子成立

    在这里插入图片描述

    其中,
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    下面,来证明下上述结论,如下:

    在这里插入图片描述

    来源来源

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  • 拉普拉斯矩阵的性质

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