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  • 数学建模方法 — 【01】模糊数学
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    2020-08-06 14:55:59

    模糊数学

    概念

    现象的划分:

    现象具体现象
    确定性现象水加温到100摄氏度就沸腾
    随机现象掷骰子,其中一面向上
    模糊现象今天天气很热

    处理现实对象的数学模型可分为三大类:

    模型模型介绍
    确定性数学模型背景对象具有确定性或固定性
    随机性数学模型背景对象的发生具有或然性或随机性
    模糊性数学模型背景对象及其关系均具有模糊性

    那什么是模糊数学呢?

    模糊概念:从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线
    模糊概念导致模糊现象
    模糊数学——研究和揭示模糊现象的定量处理方法

        经典数学是以精确性为特征的, 然而, 与精确性相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值 的, 甚至可以这样说,有时模糊性比精确性还要好

    属于程度代替属于或不属于
    例:
    某个人属于秃子的程度为0.8,另一个人属于秃子的程度为0.3

    模糊集合

    设X是论域:
        A:X→ [0,1],则称A是X上的模糊集
        ∀x∈X,A(x)∈[0,1],A(x)称为x属于A的隶属度
        X上全体模糊集集合记为F(X),即F(X)={A|A:X→[0,1]}
        A(x)=1,x完全属于A
        A(x)=0,x完全不属于A
        0<A(x)<1,x部分属于A
        x变化时,A(x)称为隶属函数
    隶属函数
    当映射A(x)只能取0或1时,模糊集A就是经典集,而A(x)就是它的特征函数,可见经典集就是模糊集的特殊情形。
    例:
    例1

    模糊关系(Fuzzy relation)

    X × \times × Y上的模糊集R称为从X到Y上的模糊关系
    (𝑥,𝑦)→𝑅(𝑥,𝑦)∈[0,1]表示𝑥,𝑦具有关系𝑅的程度
    X=Y时,R称为X上的模糊关系
    例:
    例2
    G(x,y)表示x远远大于y的程度
    x=20,y=18时,x远远大于y的程度为0.038
    x=20,y=10时,x远远大于y的程度为0.5
    x=1000,y=100时,x远远大于y的程度为0.9999

    模糊矩阵

    有限论域上的模糊关系

    X、Y均有限,一般用矩阵表示
    对于有限论域 X = {x1, x2, … , xn}和Y = { y1, y2, … , yn},则X到Y模糊关系R可用n ×m阶模糊矩阵表示,即
    [ r 11 r 12 . . . r 1 m r 21 r 22 . . . r 2 m . . . . . . . . . . . . r n 1 r n 2 . . . r n m ] , \left[ \begin{matrix} r_{11} & r_{12} & ... & r_{1m}\\ r_{21} & r_{22} & ... & r_{2m}\\ ... & ... & ... & ...\\ r_{n1 }& r_{n2} & ... & r_{nm}\\ \end{matrix} \right], r11r21...rn1r12r22...rn2............r1mr2m...rnm,
    其中rij ∈[0, 1]表示xi 与yj 具有模糊关系R的程度
    例:
    例3

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    模糊数学模型系列博文:

    【1】基本概念: 隶属函数、模糊集合的表示方法、模糊关系、模糊矩阵

    【2】模糊模式识别:海明贴近度 、欧几里得贴近度 、黎曼贴近度、 格贴近度、最大隶属原则、择近原则

    【3】模糊聚类分析方法:模糊等价矩阵、模糊相似矩阵、传递闭包法、布尔矩阵法

    【4】模糊决策分析方法


    目录

    1.1 模糊数学简介

    1.2.1 模糊集和隶属函数

    1.2.2 模糊集合的表示方法

    i) zadeh 表示法                          ii) 序偶表示法                            iii) 向量表示法

    1.2.3 模糊集的运算  

    1.2.4 隶属函数的确定方法                     

    (1)模糊统计方法                             (2)指派方法

    1.3 模糊关系、模糊矩阵

    1.3.1 基本概念

    1.3.2 模糊矩阵的运算及其性质

    (1) 模糊矩阵间的关系及并、交、余运算                               (2) 模糊矩阵的合成

    (3) 模糊矩阵的转置                                                                 (4) 模糊矩阵的λ − 截矩阵


     


    1.1 模糊数学简介

    1965 年,美国著名计算机与控制专家查德(L.A.Zadeh)教授提出了模糊的概念,并 在国际期刊《Information and Control》并发表了第一篇用数学方法研究模糊现象的论文 “Fuzzy Sets”(模糊集合),开创了模糊数学的新领域。 模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性”或“亦此亦彼性”。如高个子 与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境污染严重与不严重等。在决策中,也有 这种模糊的现象,如选举一个好干部,但怎样才算一个好干部?好干部与不好干部之间 没有绝对分明和固定不变的界限。这些现象很难用经典的数学来描述。 模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。它作为一门崭新的学科,它 是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。经过短暂的沉默和争议之 后,迅猛的发展起来了,而且应用越来越广泛。如今的模糊数学的应用已经遍及理、工、 农、医及社会科学的各个领域,充分的表现了它强大的生命力和渗透力。 统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域,即从必然 现象到偶然现象,而模糊数学则是把数学的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域,即 从精确现象到模糊现象。 实际中,我们处理现实的数学模型可以分成三大类:第一类是确定性数学模型,即 模型的背景具有确定性,对象之间具有必然的关系。第二类是随机性的数学模型,即模 型的背景具有随机性和偶然性。第三类是模糊性模型,即模型的背景及关系具有模糊性。

    1.2 基本概念

    1.2.1 模糊集和隶属函数

    【定义 1】 论域 X 到[0,1]闭区间上的任意映射

    1.2.2 模糊集合的表示方法

    当论域 X 为有限集时,记\large X= \left \{ x_1\, , x_2\, ,... x_n\, \right \} ,则 X 上的模糊集 A 有下列三种常 见的表示形式。

    i) zadeh 表示法

    ii) 序偶表示法

    iii) 向量表示法

    当论域 X 为无限集时, X 上的模糊集 A 可以写成

    1.2.3 模糊集的运算

    1.2.4 隶属函数的确定方法

    模糊数学的基本思想是隶属度的思想。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建 立符合实际的隶属函数。如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未解决的问题。这 里仅仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。

    (1)模糊统计方法

    模糊统计方法是一种客观方法,主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客 观存在性来确定的。所谓的模糊统计试验包含以下四个要素:

    (2)指派方法

    指派方法是一种主观的方法,它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函 数的一种方法。

    如果模糊集定义在实数域 R 上,则模糊集的隶属函数称为模糊分布。所谓指派方 法就是根据问题的性质主观地选用某些形式地模糊分布,再根据实际测量数据确定其中 所包含地参数,常用的模糊分布如表 1 所示。 实际中,根据问题对研究对象的描述来选择适当的模糊分布:

    ① 偏小型模糊分布一般适合于描述像“小,少,浅,淡,冷,疏,青年”等偏小 的程度的模糊现象。

    ② 偏大型模糊分布一般适合于描述像“大,多,深,浓,热,密,老年”等偏大 的程度的模糊现象。

    ③ 中间型模糊分布一般适合于描述像“中,适中,不太多,不太少,不太深,不 太浓,暖和,中年”等处于中间状态的模糊现象。 但是,表 1 给出的隶属函数都是近似的,应用时需要对实际问题进行分析,逐步修 改进行完善,最后得到近似程度更好的隶属函数。

    (3)其它方法

    在实际应用中,用来确定模糊集的隶属函数的方法示多种多样的,主要根据问题的 实际意义来确定。譬如,在经济管理、社会管理中,可以借助于已有的“客观尺度”作 为模糊集的隶属度。下面举例说明。

    如果设论域 X 表示机器设备,在 X 上定义模糊集 A =“设备完好”,则可以用“设 备完好率”作为 A 的隶属度。如果 X 表示产品,在 X 上定义模糊集 A =“质量稳定”, 则可以用产品的“正品率”作为 A 的隶属度。如果 X 表示家庭,在 X 上定义模糊集 A =“家庭贫困”,则可以用“Engel 系数=食品消费/总消费”作为 A 的隶属度。

    另外,对于有些模糊集而言,直接给出隶属度有时是很困难的,但可以利用所谓的 “二元对比排序法”来确定,即首先通过两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出 顺序,然后用数学方法加工处理得到所需的隶属函数。

    1.3 模糊关系、模糊矩阵

    1.3.1 基本概念

    这是二元模糊关系的数学定义,多元模糊关系也可以类似定义。

    由此确定一个从U 到V 的模糊关系 R ,这个模糊关系的隶属度函数是一个 5×4 阶 的矩阵,记为

    则 R 为一个模糊关系矩阵。

    1.3.2 模糊矩阵的运算及其性质

    (1) 模糊矩阵间的关系及并、交、余运算

     

     (2) 模糊矩阵的合成

     

    两模糊矩阵合成的 MATLAB 函数如下:

    function ab=synt(a,b);
    m=size(a,1);n=size(b,2);
    for i=1:m
        for j=1:n
            ab(i,j)=max(min([a(i,:);b(:,j)']));
        end
    end

    (3) 模糊矩阵的转置

    (4) 模糊矩阵的λ − 截矩阵


    模糊数学模型系列博文:

    【1】基本概念: 隶属函数、模糊集合的表示方法、模糊关系、模糊矩阵

    【2】模糊模式识别:海明贴近度 、欧几里得贴近度 、黎曼贴近度、 格贴近度、最大隶属原则、择近原则

    【3】模糊聚类分析方法:模糊等价矩阵、模糊相似矩阵、传递闭包法、布尔矩阵法

    【4】模糊决策分析方法


     

    展开全文
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    一、概述

    (1)数学中研究的量的划分
            确定性的量:经典数学(几何、代数)
            不确定性的量:随机性(概率论、随机过程);灰性(灰色系统);模糊性(模糊数学)
    (2)什么是模糊性
            模糊性是与确定性相对的概念。比如生活中的性别、天气、年龄、身高、体重……这些都是确定性概念;而帅、高、白、年轻……则都是模糊性概念(因为没有非常科学的方法来定义这些量)。
    (3)模糊数学的介绍
            模糊数学⼜称Fuzzy (模棱两可的)数学,是研究和处理模糊性现象的⼀种数学理论和方法。模糊性数学发展的主流是在它的应⽤⽅⾯。 由于模糊性概念已经找到了模糊集的描述⽅式,⼈们运⽤概念进⾏判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以⽤模糊性数学的⽅法来描述。例如模糊聚类分析、模糊模式识别、模糊综合评判、模糊决策与模糊预测、模糊控制、模糊信息处理等。 这些⽅法构成了⼀种模糊性系统理论,构成了⼀种思辨数学的雏形,它已经在医学、⽓象、⼼理、经济管理、⽯油、地质、 环境、⽣物、农业、林业、化⼯、语⾔、控制、遥感、教育、体育等⽅⾯取得具体的研究成果。


    二、经典集合和模糊集合的基本概念

    (1)经典集合(classical set)和特征函数(characteristic function)
            a)经典集合:具有相同属性的事物的集体。例如自然数集、颜色、性别、手机品牌。
            b)经典集合的基本属性:①互斥性:若a∈A,b∈A,则a \neq b ; ②确定性:对于a,要么有a∈A,要么有a∉A(非此即彼)。
            c)数学中对于经典集合的刻画:特征函数
            f_{A}:U\rightarrow{0,1}  (意思是函数 f_{A}作用于U上,把U中的每一个元素映射到0和1的一个集合里面)。其中 f_{A}:A集合的特征函数;U:论域(我们感兴趣的一些对象的集合)。
            举个例子:
            设A是表示成绩及格的集合,即A = {60,61,…,100}, f_{A} = \left\{\begin{matrix} 1, &score\geqslant 60 \\0, & score< 60 \end{matrix}\right.,U是全班成绩的一个集合{68,77,…,40};则对 \forall\in U, f_{A} = \left\{\begin{matrix} 1, &x\in A \\ 0, & x\notin A \end{matrix}\right. (注:U可看作定义域,{0,1}可视为值域)

    (2)模糊集合(fuzzy set)和隶属函数(membership function)
            a)模糊集合:用来描述模糊性概念的集合。(帅、高、白、年轻)
            b)与经典集合相比,模糊集合承认亦此亦彼(所以对于a,它可能属于A,也可能属于B,我们关心的是a∈A或者a∈B的“概率”,也就是隶属度
            c)数学中对于模糊集合的刻画:隶属函数
            g_{A}:U\rightarrow[0,1]  (注意与{0,1}的区别,经典集合{0,1}中只有0和1两个元素,而模糊集合[0,1]是一个区间,其中有无数种可能)其中g_{A}称为模糊集合A的隶属函数。
            举个例子:
            设A是表示“年轻”的一个集合,U=(0,150)表示年龄的集合,那什么是隶属函数呢?
            u_{A(X)} = \left\{\begin{matrix} 1, &0< x< 20 \\ \frac{40-x}{20},&20\leqslant x\leqslant 40 \\0 , &40< x< 150 \end{matrix}\right.
            比如u_{A(x)}就是一个隶属函数,对应的1,(40-x) / 20 ,0就是相应x值的隶属度。注意:隶属函数不唯一!这里20\leqslantx\leqslant40时,还可以是其他的解析式。(后面我们再来讲确定隶属函数的三种常见方法)因此,对于U中每一个元素,均对应于模糊集合A中的一个隶属度,隶属度介于[0,1],越大表示越属于这种集合。
    注:若对于一个模糊集合A我们给定了一个隶属函数u_{A},则我们可以将A和u_{A}视为等同。(方便符号表示,即A_{(x)} = u_{A(x)}
            d)模糊集合的三种表示方法
            设论域U = {x_{1},x_{2},…,x_{n}}是我们感兴趣的一些对象的集合,模糊集合为A,隶属度为A_{(x_{i})},i=1,2,…,n.

            ①Zadeh表示法(扎德表示法)

    A = \frac{A(x_{1})}{x_{1}} + \frac{A(x_{2})}{x_{2}} + \cdots + \frac{A(x_{n})}{x_{n}}

    注意:这里的“+”不要理解为加法,只是一种记法而已,便于论域U为无限集合的表示。

            ②序偶表示法

    A = \{(x_{1},A_{(x_{1})}), (x_{2},A_{(x_{2})}),\cdots ,(x_{n},A_{(x_{n})})\}

            ③向量表示法

    A = {\{A_{(x_{1})}}, {A_{(x_{2})}},\cdots ,{A_{(x_{n})}}\}

    举个例子:现有四个人:张三、李四、王五、老六,其知法程度分别为0.9、0.6、0.7、0.8,试用模糊集合对其表示。
    解:U = {张三,李四,王五,老六},A = 知法程度,A(张三) = 0.9(即 u_{A}(张三)=0.9 ),A(李四) = 0.6,A(王五) = 0.7,A(老六) = 0.8.则

            ① A = 0.9/张三 + 0.6/李四 + 0.7/王五 + 0.8/老六 
            ② A = { (张三,0.9),(李四,0.6),(王五,0.7),(老六,0.8) }
            ③ A = {0.9,0.6,0.7,0.8}
    特别地,当论域U为无限集合时,A = \int _{x\in U}\frac{u_{A(x)}}{x} (用一个积分号来表示)

            e)模糊集合的分类
            一般的,我们可以将模糊集合分为三类:
                    偏小型:年轻、小、冷
                    中间型:中年、中、暖
                    偏大型:年老、大、热
            一般在确定隶属函数时,偏小型图像递减,中间型图像先递增后递减,偏大型图像递增。


    三、隶属函数的三种确定方法

    (1)模糊统计法(比赛中很少用,要设计发放问卷,可能来不及,但在实际做研究中用的较多)

            原理:找多个人去对同一个模糊概念进行描述,用隶属频率去定义隶属度。
            例子:定义“年轻人”的隶属函数
            ①定义人的年龄为论域U,调查n个人;
            ②让这n个人仔细考虑好“年轻人”的含义后,给出他们认为的最合适的年龄区间;
            ③对于任意一个确定的年龄,比如25岁,若这n个人中有m个人给出的“年轻人”的年龄区间包含有25,则称 m/n 为25岁对于“年轻人”这个概念的隶属频率;
            ④以此类推,我们可以找出所有年龄对于“年轻人”的隶属频率;
            ⑤若n很大时,隶属频率会趋于稳定,此时我们可将其视为隶属度,进而得到隶属函数。

    (2)借助已有的客观尺度(需要有合适的指标,并能收集到数据)

    论域模糊集隶属度
    设备设备完好设备完好率
    产品质量稳定正品率
    家庭小康家庭恩格尔系数

    比如说这里,“设备完好”、“质量稳定”、“小康家庭”都是几个比较模糊的概念,但我们可以分别借助设备完好率(设备完好个数/设备总数)、正品率(正品数/产品总数)、恩格尔系数来表示隶属度


    注:这里我们找的指标必须介于0和1之间,如果不是则需要进行归一化处理  \frac{x_{i}}{\sum x_{i}} ,(x_{i}\geqslant 0)

    (3)指派法(根据问题的性质直接套用某些分布作为隶属函数,主观性较强)


    eg1.请用柯西分布确定“年轻人”的隶属函数。
    解:“年轻人”是偏小型,对应的柯西分布。显然,这里面有三个未知参数a、α、β,其中a是分段点,根据生活经验(或别人的研究成果、常识),我们令a=20,A(30)=0.5(因为40岁一般是中年人,30在20—40中间,故其隶属度可设为1/2),同时,β在指数部分,我们一般倾向于简化模型,则β可取1或者2,由这些又可解出α=0.01.

    eg2.已知某一天SO_{2}的浓度为0.07mg/m^{3},大气污染物中关于SO_{2}的评价标准为:

    Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅳ级
    0.050.150.250.50

    试确定SO_{2}在每个等级中的隶属度。

    分析:SO_{2}浓度越大说明等级越高,因此,Ⅰ级为偏小型,Ⅳ级为偏大型,Ⅱ级和Ⅲ级为中间型。确定隶属函数我们一般用的最多的是梯形分布。结合梯形分布函数特点我们可得四个等级的隶属函数分别如下:

     (等号在哪一边无所谓,一般使用梯形分布最为简单)
    则   A_{1}(0.07) = \frac{0.15-0.07}{0.15-0.05} = 0.8A_{2}(0.07) = \frac{0.07-0.05}{0.15-0.05} = 0.2A_{3}(0.07) = A_{4}(0.07) = 0  .

    (注:使用梯形分布得到的各评语的隶属度的和恰好为1,但其他分布得到的各评语的隶属度的和不一定为1)



    下节我们主要讲下第四部分:模糊综合评价在具体案例中的应用。

        

      

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  • 数学建模评价类模型——模糊综合评价

    万次阅读 多人点赞 2020-04-05 21:54:00
    今天学习了**模糊综合评价**,想到又有一种可以用来评价的方法,不由得开心(我喜欢学这种可以在生活中用得到的东西)

    今天学习了模糊综合评价,想到又有一种可以用来评价的方法,不由得开心(我喜欢学这种可以在生活中用得到的东西)
    本文将从以下几方面来总结和介绍模糊综合评价(中间穿插一些个人的感悟):

    1、模糊综合评价法的定义

    先来看看官方标准定义

    模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评价方法。该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价,即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。它具有结果清晰,系统性强的特点,能较好地解决模糊的、难以量化的问题,适合各种非确定性问题的解决。

    初次看,是不是觉得有点懵懵懂懂的?(偷笑)我来用非官方的语言解释一遍,或许你就明白了。

    大家想想,生活中,是不是有很多模糊的概念。比如班级要评三好学生,那评价的标准一般就是学习成绩好不好、思想品德好不好、身体好不好(我查了下百度才发现三好学生竟然要身体好!?感情身体不好还不行)。
    学习成绩好或者不好、思想品德好或者不好、身体好或者不好听起来是不是就很模糊?怎么样就算学习成绩好了或者思想品德好了或者身体好了?对,其实这些指标就是模糊的概念
    模糊综合评价法是什么呢?其实就是对评价对象就评价指标进行综合评判,最后给每个评价对象对于每个指标一个隶属度。(有点绕口,用三好学生的例子再来阐述一下)

    比如现在有个学生参与评判三好学生。标准假如就是评上和评不上。用模糊综合评价法得到的最终结果就是这名学生对于评上的隶属度和评不上的隶属度。假如评上的隶属度高一些,那这名学生肯定是被评上咯。(反之亦然)

    我这样介绍一下,是为了让大家知道我们这个模糊综合评价到底是干嘛的,不要嫌我啰嗦(吃手手)

    2、应用模糊综合评价法需要的一些小知识

    1)模糊集合

    ① 定义:(我觉得这段话不错,来自360百科)
    模糊集合
    这段话其实就举了模糊的一些概念,和经典集合(就是有明确数字的,高中学的那个集合)的区别及其历史。模糊集合是用来描述模糊性概念的集合。举个例子就是:{可爱、丑陋、富…}

    ② 模糊集合的表示法
    这里有三种表示方法:Zadeh表示法、序偶表示法和向量表示法。(有兴趣钻研的同学可以自己去看看,其实就是类似于经典集合的表示法,这里不介绍)

    ③ 模糊集合的类别
    模糊集合的类别

    2)隶属度、隶属函数及其确定方法

    ※※※※※※※※※※※※(我标了这么多重点符号,敲黑板,这里是重点)
    ① 隶属度
    其实就是在0-1之间的一个数,用来表示评价对象(任某)对评语集(优秀、良好、差)的归属程度。比如最后得到任某对优秀的隶属度是0.9,对良好的隶属度是0.2 ,对差的隶属度是0.1,那我们最后就评断任某是优秀的。
    ② 隶属函数
    隶属函数的话,就是用来确定隶属度的方法。(够直观吧,因为隶属度不可能凭空出现hhh)
    ③ 隶属函数的确定方法
    1)模糊统计法
    这种方法简单的讲就是找个专家或者来个问卷调查,看一下专家给出的评断或者调查统计结果显示比如给一个东西质量打分,优秀占多少,良好占多少,差又占多少。(那实际建模比赛中,由于时间比较短,可能发放问卷啥的来不及做)
    2)借助已有的客观尺度
    这种方法就是要找到数据(因为建模比赛中,有时候不会给你数据)比如评判一个设备是正品还是次品,要有正品率或者次品率这些数据。当然,假如有数据,也可以用熵权法进行打分。
    3)指派法(根据问题的性质直接套用一些已经规定好的隶属函数,这种方法主观性比较强)
    每种模糊分步都有偏大型、偏小型、中间型的数学描述(下面这些截图是出自杨纶标老师《模糊数学原理及应用》)
    ① 矩形与半矩形分布
    在这里插入图片描述
    矩形分布中间型
    ② 梯形与半梯形分布
    梯形与半梯形分布
    ③ 抛物型分布
    抛物型分布
    ④ 正态分布
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    ⑤ 柯西分布
    在这里插入图片描述
    ⑥ 岭型分布
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3)因素集、评语集、权重集

    ① 因素集
    这个集合就是评价指标集合,举个例子就是评价一个同学:{学习成绩、社交能力、竞赛成绩}
    ② 评语集
    这个集合就是对因素集中每个指标的评判标准,比如{优秀、良好、差}
    ③ 权重集
    这个集合就是上面因素集中每个指标对评价这个同学占的权重是多少,比如{0.6,0.2,0.2}(这个意思就是学习成绩占60%,社交能力占20%,竞赛成绩占20%)

    3、模糊综合评价法的应用(实例)

    实际数学建模中,模糊综合评价的应用分为一级模糊综合评价多级模糊综合评价。这里就举一个一级模糊综合评价的例子(多级的其实就是好多个1级组合起来的),便于大家理解。

    一级模糊综合评价应用

    题目:
    某露天煤矿有五个边坡设计方案,其各项参数根据分析计算结果得到边坡设计方案的参数如下:
    设计方案
    据勘探,该矿探明储量8800吨,开采总投资不超过8000万元,试做出各方案的优劣排序,选出最佳方案。

    解题思路:
    ① 确定因素集、评语集
    ② 确定权重集(这里使用熵权法)
    ③ 确定隶属函数、计算隶属度

    解:
    ① 首先确定好
    因素集:{可采矿量、基建投资、采矿成本、不稳定费用、净现值}
    评语集:{方案1、方案2、方案3、方案4、方案5}

    ② 确定权重集(当然,专家评审或者找已有数据确定也可以
    使用熵权法确定权重(MATLAB)过程不再赘述
    确定好的结果如下:(A = [0.1405 0.1915 0.1724 0.2618 0.2338])
    在这里插入图片描述
    ③ 隶属函数的确定(隶属函数不唯一、只要合理就好)

    首先,具体就是对每一个因素进行判断,看它是偏大型还是偏小型,只有判断好这个,才可以带入前面提到的梯形分布。
    先来判断可采矿量,这个是个偏大型(为什么?因为肯定采的矿越多越好呀)
    再来判断基建投资,毫无疑问,这个是个偏小型(为什么?因为如果达到相同的效果,肯定投资越少越好呀)
    下面的三个指标评判方法一样。
    经评判,采矿成本、不稳定费用、净现值分别是偏小型、偏小型、偏大型。

    然后,确定隶属函数。我这里使用前文提到的指派法的梯形分布
    我写一个因素隶属函数的确定,其余四个因素类似。
    写个可采矿量吧。可采矿量是偏大型。找出可采矿量的最大值b(这里注意:题目要求可采矿量最大值是8800)和最小值a = 4700。那根据梯形分布偏大型的计算方法得到隶属函数为:
    A(x)1 = (x - a) / (b - a) 即A(x)1 = (x - 4700) / (8800 - 4700)
    这样的话,对于可采矿量的隶属函数就确定好了。
    接下来就是将五个可采矿量的值带入A(x)1
    即得到 因素评判矩阵第一列 [0 0.4878 0.2927 1.0000 0.7073]

    其余四个因素集确定各自因素评判矩阵所在列的向量类似哦!(大家自己确定一下)
    我这里确定好的是:
    基建投资:[1.000 0.7222 0.8333 0 0.444]
    采矿成本:[1.000 0.3000 0.5000 0 0.0667]
    不稳定费用:[1.000 0.8824 0.9412 0 0.2353]
    净现值:[1.000 0.4483 0.6552 0 0.0345]

    综合上述所有向量得到因素评判矩阵如下:
    R = [0 0.4878 0.2927 1.0000 0.7073
    1.000 0.7222 0.8333 0 0.444
    1.000 0.3000 0.5000 0 0.0667
    1.000 0.8824 0.9412 0 0.2353
    1.000 0.4483 0.6552 0 0.0345]

    最后一步得到诸方案的综合评价为:
    B = A * R (matlab计算)
    综合评价
    由综合评价得出:方案一隶属度最高(即方案一最佳),方案三次之,方案二再次之。
    那我们肯定选方案一咯。

    4、 最后总结

    总的来说,模糊综合评价就是确定因素集、评语集、权重集(实际中这个比较难确定)
    然后确定隶属函数计算每个因素的隶属度,组成因素评判矩阵
    再用因素评判矩阵乘以权重集就得到最后的综合评价

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    以上内容参考清风老师的数学建模视频

    https://www.bilibili.com/video/BV1DW411s7wi?p=6

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