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  • 数据分析之正态分布检验及python实现

    万次阅读 多人点赞 2019-02-22 10:30:54
    正态分布(Normal distribution),也称“常态分布”,又名高斯分布(Gaussian distribution),最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯...

    正态分布(Normal distribution),也称“常态分布”,又名高斯分布(Gaussian distribution),最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。
      正态曲线呈钟型,两头低,中间高,左右对称因其曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线。
      若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布,记为N(μ,σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置,其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

    正太性检验

    利用观测数据判断总体是否服从正态分布的检验称为正态性检验,它是统计判决中重要的一种特殊的拟合优度假设检验。

    直方图初判 / QQ图判断 / K-S检验

    import numpy as np
    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt
    % matplotlib inline
    

    直方图初判

    s = pd.DataFrame(np.random.randn(1000)+10,columns = ['value'])
    print(s.head())
    # 创建随机数据
    
    fig = plt.figure(figsize = (10,6))
    ax1 = fig.add_subplot(2,1,1)  # 创建子图1
    ax1.scatter(s.index, s.values)
    plt.grid()
    # 绘制数据分布图
    
    ax2 = fig.add_subplot(2,1,2)  # 创建子图2
    s.hist(bins=30,alpha = 0.5,ax = ax2)
    s.plot(kind = 'kde', secondary_y=True,ax = ax2)
    plt.grid()
    # 绘制直方图
    # 呈现较明显的正太性
    

    在这里插入图片描述
    这里的直方图呈现出非常明显的正态分布特性。

    QQ图判断

    # QQ图通过把测试样本数据的分位数与已知分布相比较,从而来检验数据的分布情况
    
    # QQ图是一种散点图,对应于正态分布的QQ图,就是由标准正态分布的分位数为横坐标,样本值为纵坐标的散点图
    # 参考直线:四分之一分位点和四分之三分位点这两点确定,看散点是否落在这条线的附近
    
    # 绘制思路
    # ① 在做好数据清洗后,对数据进行排序(次序统计量:x(1)<x(2)<....<x(n))
    # ② 排序后,计算出每个数据对应的百分位p{i},即第i个数据x(i)为p(i)分位数,其中p(i)=(i-0.5)/n (pi有多重算法,这里以最常用方法为主)
    # ③ 绘制直方图 + qq图,直方图作为参考
    
    s = pd.DataFrame(np.random.randn(1000)+10,columns = ['value'])
    print(s.head())
    # 创建随机数据
    
    mean = s['value'].mean()
    std = s['value'].std()
    print('均值为:%.2f,标准差为:%.2f' % (mean,std))
    print('------')
    #  计算均值,标准差
    
    s.sort_values(by = 'value', inplace = True)  # 重新排序
    print(s.head())
    s_r = s.reset_index(drop = False)  # 重新排序后,更新index
    print("----------\n", s_r.head())
    s_r['p'] = (s_r.index - 0.5) / len(s_r)  
    s_r['q'] = (s_r['value'] - mean) / std
    print(s_r.head())
    print('------')
    # 计算百分位数 p(i)
    # 计算q值
    
    # st = s['value'].describe()
    # x1 ,y1 = 0.25, st['25%']
    # x2 ,y2 = 0.75, st['75%']
    # print('四分之一位数为:%.2f,四分之三位数为:%.2f' % (y1,y2))
    # print('------')
    # # 计算四分之一位数、四分之三位数
    
    # fig = plt.figure(figsize = (10,9))
    # ax1 = fig.add_subplot(3,1,1)  # 创建子图1
    # ax1.scatter(s.index, s.values)
    # plt.grid()
    # # 绘制数据分布图
    
    # ax2 = fig.add_subplot(3,1,2)  # 创建子图2
    # s.hist(bins=30,alpha = 0.5,ax = ax2)
    # s.plot(kind = 'kde', secondary_y=True,ax = ax2)
    # plt.grid()
    # # 绘制直方图
    
    # ax3 = fig.add_subplot(3,1,3)  # 创建子图3
    # ax3.plot(s_r['p'],s_r['value'],'k.',alpha = 0.1)
    # ax3.plot([x1,x2],[y1,y2],'-r')
    # plt.grid()
    # # 绘制QQ图,直线为四分之一位数、四分之三位数的连线,基本符合正态分布
    

    在这里插入图片描述

    KS检验,理论推导

    使用K-S检验一个数列是否服从正态分布、两个数列是否服从相同的分布
    https://www.cnblogs.com/chaosimple/p/4090456.html

    在这里插入图片描述
    使用K-S检验一个数列是否服从正态分布、两个数列是否服从相同的分布
    data = [87,77,92,68,80,78,84,77,81,80,80,77,92,86,
    76,80,81,75,77,72,81,72,84,86,80,68,77,87,
    76,77,78,92,75,80,78]
    # 样本数据,35位健康男性在未进食之前的血糖浓度

    df = pd.DataFrame(data, columns =['value'])
    u = df['value'].mean()
    std = df['value'].std()
    print("样本均值为:%.2f,样本标准差为:%.2f" % (u,std))
    print('------')
    # 查看数据基本统计量
    
    s = df['value'].value_counts().sort_index()
    df_s = pd.DataFrame({'血糖浓度':s.index,'次数':s.values})
    # 创建频率数据
    
    df_s['累计次数'] = df_s['次数'].cumsum()
    df_s['累计频率'] = df_s['累计次数'] / len(data)
    
    # len(data)
    
    df_s['标准化取值'] = (df_s['血糖浓度'] - u) / std
    df_s['理论分布'] =[0.0244,0.0968,0.2148,0.2643,0.3228,0.3859,0.5160,0.5832,0.7611,0.8531,0.8888,0.9803]  # 通过查阅正太分布表
    df_s['D'] = np.abs(df_s['累计频率'] - df_s['理论分布'])
    dmax = df_s['D'].max()
    print("实际观测D值为:%.4f" % dmax)
    # D值序列计算结果表格
    
    df_s['累计频率'].plot(style = '--k.')
    df_s['理论分布'].plot(style = '--r.')
    plt.legend(loc = 'upper left')
    plt.grid()
    # 密度图表示
    
    df_s
    

    在这里插入图片描述
    下面是正态分布表和显著性对照表
    在这里插入图片描述
    因为样本数为35,大于30且小于50,所以p值在这个区间
    在这里插入图片描述
    另外的,由于D值为0.1597. 大于0.158,小于0.197,且样本数量接近于30.所以我们可以认为P值的取值区间在0.20 - 0.40
    在这里插入图片描述
    满足p > 0.5的情况,所以服从正态分布。

    直接用算法做KS检验

    from scipy import stats
    # scipy包是一个高级的科学计算库,它和Numpy联系很密切,Scipy一般都是操控Numpy数组来进行科学计算
    
    data = [87,77,92,68,80,78,84,77,81,80,80,77,92,86,
           76,80,81,75,77,72,81,72,84,86,80,68,77,87,
           76,77,78,92,75,80,78]
    # 样本数据,35位健康男性在未进食之前的血糖浓度
    
    df = pd.DataFrame(data, columns =['value'])
    u = df['value'].mean()  # 计算均值
    std = df['value'].std()  # 计算标准差
    stats.kstest(df['value'], 'norm', (u, std))
    # .kstest方法:KS检验,参数分别是:待检验的数据,检验方法(这里设置成norm正态分布),均值与标准差
    # 结果返回两个值:statistic → D值,pvalue → P值
    # p值大于0.05,为正态分布
    

    在这里插入图片描述
    此时,pvalue > 0.05,不拒绝原假设。因此上面的数据服从正态分布。且一般情况下, stats.kstest(df[‘value’], ‘norm’, (u, std))一条语句就得到p值的结果。

    展开全文
  • 正态分布检验

    千次阅读 2019-08-27 00:09:49
    在正式开始之前,首先介绍了偏度与峰度的定义,然后用偏度与峰度检测数据集是否符合正态分布,最后分析该检测算法的适用条件以及SPSS的结果分析。 1、 偏度与峰度 (1) 偏度(Skewness) 偏度衡量随机变量概率...

    上篇讲到排队论,这期讲解一下数据分布的检验。先从正态分布的检验开始。
    在正式开始之前,首先介绍了偏度与峰度的定义,然后用偏度与峰度检测数据集是否符合正态分布,最后分析该检测算法的适用条件以及SPSS的结果分析。

    1、 偏度与峰度

    (1) 偏度(Skewness)
    偏度衡量随机变量概率分布的不对称性,是相对于平均值不对称程度的度量,通过对偏度系数的测量,我们能够判定数据分布的不对称程度以及方向。
    具体来说,对于随机变量X,我们定义偏度为其的三阶标准中心距:
    偏度定义

    偏度的衡量是相对于正态分布来说,正态分布的偏度为0,即若数据分布是对称的,偏度为0。若偏度大于0,则分布右偏,即分布有一条长尾在右;若偏度小于0,则分布为左偏,即分布有一条长尾在左(如下图);同时偏度的绝对值越大,说明分布的偏移程度越严重。
    【注意】数据分布的左偏或右偏,指的是数值拖尾的方向,而不是峰的位置。

    (2) 峰度(Kurtosis)

    峰度,是研究数据分布陡峭或平滑的统计量,通过对峰度系数的测量,我们能够判定数据相对于正态分布而言是更陡峭还是平缓。比如正态分布的峰度为0,均匀分布的峰度为-1.2(平缓),指数分布的峰度为6(陡峭)。

    峰度,定义为四阶中心距除以方差的平方减3。
    峰度定义

    若峰度≈0,分布的峰态服从正态分布;

    若峰度>0,分布的峰态陡峭(高尖);

    若峰度<0,分布的峰态平缓(矮胖);

    2、 正态性检验

    利用变量的偏度和峰度进行正态性检验时,可以分别计算偏度和峰度的Z评分(Z-score)。

    偏度Z-score = 偏度值 ÷偏度值的标准差

    峰度Z-score = 峰度值 ÷峰度值的标准差

    在α=0.05的检验水平下,偏度Z-score和峰度Z-score是否满足假设条件所限制的变量范围,若都满足则可认为服从正态分布,若一个不满足则认为不服从正态分布。

    3、 正态性检验的适用条件

    样本的增加会减小偏度值和峰度值的标准差,相应的Z-score会变大,最终会拒绝条件假设,会给正确判断样本数据的正态性情况造成一定的干扰。因此,当样本量小于100时,用偏度和峰度来判断样本的正态分布性比较合理。

    4、 SPSS结果分析
    SPSS分析

    峰度Z-score = 5.166/0.425 > Z(α),α=0.05;因此该特征不符合正态分布。

    参考文献:https://blog.csdn.net/algorithmPro/article/details/83868709

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  • 正态分布的C++实现

    2019-02-24 15:50:07
    正态分布的C++实现。 利用多项式模拟来模拟正态分布的累积函数,并于excell中的进行了对比,效果还不错 c++ 正态分布
  • 用SPSS做正态分布检验

    千次阅读 2020-12-31 12:03:27
    SPSS经常会做Pearson 相关系数分析,在分析前,首先需要先判断变量是否服从正态分布,目前常用的方法包括以下几种: 1. 用偏态系数和峰态系数检验数据正态性 偏态系数Skewness,它用于检验不对称性; 当Sk≈0,分布...

    SPSS经常会做Pearson 相关系数分析,在分析前,首先需要先判断变量是否服从正态分布,目前常用的方法包括以下几种:

    1. 用偏态系数和峰态系数检验数据正态性

    偏态系数Skewness,它用于检验不对称性;
    当Sk≈0,分布呈正态;
    当Sk>0,分布为正偏态,拖尾在右侧,峰尖在左侧;
    当Sk<0,分布为负偏态,拖尾在左侧,峰尖在右侧。
    在这里插入图片描述
    峰态系数Kurtosis,它用于检验峰态;
    当Ku≈0时,分布呈正态;
    当Ku>0时,分布的峰态高尖;
    当Ku<0时,分布的峰态矮胖。
    在这里插入图片描述

    利用偏度和峰度进行正态性检验,需要计算相应的Z评分(Z-score),即:偏度Z-score=偏度值/标准误,峰度Z-score=峰度值/标准误。在α=0.05的检验水平下,若Z-score在±1.96之间,则可认为资料服从正态分布。

    适用条件:样本含量应大于200

    SPSS具体做法:
    分析-描述统计-频率或描述
    频率:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    描述:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    以GDP为例,计算后的Sk=-0.163(标准误差:0.309),Z-score= -0.163/0.309=-0.5275
    Ku=0.605(标准误差:0.608),Z-score= 0.605/0.608 =0.9951
    偏度和峰度都趋近于0,且Z-score在±1.96之间,可认为其服从正态分布。

    2. 用图形检验数据正态性
    (1)直方图:能够显示各组频数分布情况
    图形—旧对话框—直方图(勾选显示正态曲线)
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    (2)QQ图或PP图
    P-P图反映了变量的实际累积概率与理论累积概率的符合程度;
    Q-Q图反映了变量的实际分布与理论分布的符合程度;两者意义相似,都可以用来考察数据资料是否服从某种分布类型。
    若数据服从正态分布,则数据点应与理论直线(即对角线)基本重合

    SPSS可以直接作图:
    P-P图,分析—描述统计—P-P图或Q-Q图
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    数据出来后会得到两张图,以第一张图为准,若数据点应与理论直线(即对角线)基本重合,则满足正态分布。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3. 用综合统计量检验数据正态性
    常用的方法包括:夏皮罗-威尔克Shapiro-Wilk 法(W 检验) 、达戈斯提诺D′Agostino 法(D 检验) 、Shapiro-Francia 法(W′ 检验) 、柯尔莫哥洛夫Kolmogorov-Smirov 法(KS检验)

    适用范围:当样本量3 ≤n ≤5000 时,结果以Shapiro - Wilk (W 检验) 为准,当样本含量n > 5000,结果以Kolmogorov - Smirnov(KS检验) 为准。

    SPSS操作方法:
    分析—描述统计—探索
    在统计栏设置置信区间为95%
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    探索会给出偏度和峰度,可以通过这个判断。
    在常态检验结果中,由于样本数量为60,结果以Shapiro - Wilk (W 检验) 为准,P=0.650,在置信区间95%(α=0.05)的情况下,P>0.05,不拒绝原假设,可认为变量服从正态分布。
    在这里插入图片描述
    结论:

    1. 在实际应用中,可通过直方图来做判断
    2. 不要太过依赖Shapiro-Wilk检验及Kolmogorov-Smirnov检验,检验方法会因样本量的多少而变动,当样本量大时,检验结果过于敏感,P值会<0.05,判断变量不服从正太分布,但直方图又明显对称,因此在判断时应合理使用几种方法。
    3. 有专家根据经验提出,标准差超过均值的1/2时提示数据不服从正态分布,或者四分位间距与标准差的比值在1.35左右时提示服从正态分布,这些可以作为正态性检验的一个粗略判断依据

    本篇参考资料:
    [1] https://www.sohu.com/a/140979052_489312
    [2] http://www.datasoldier.net/archives/2290

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  • 分析数据正态分布检验方法

    千次阅读 2020-09-29 21:18:51
    此外,根据熵定理,自然参数一般服从正态分布(高斯分布),因此,在进行建模之前,需要对所分析的数据进行正态分布检验分析,根据数据正态分布特性判断数据采集策略及模型性能优化方法。 目前数据正态分布检验方法...

    在对特定分析对象进行建模分析时,一般假设该模型变量服从正态分布,然后采用符合该变量的分析方法建立相关的分析模型。此外,根据熵定理,自然参数一般服从正态分布(高斯分布),因此,在进行建模之前,需要对所分析的数据进行正态分布检验分析,根据数据正态分布特性判断数据采集策略及模型性能优化方法。

    目前数据正态分布检验方法主要分为3类:

    1. 图形分析方法(graphical methods)

    该类方法主要通过对分析数据建立直观图形判断是否服从正态分布,常用的图形分析方法主要有:直方图、Q-Q图及箱形图;

    2. 数值方法(numerical methods)

    该类方法通过检测分析数据的偏度(skewness)和峰度(kurtosis)实现正态测试;

    3. formal normality test(应该翻译为正式正态检测)

    主要包含经典正态分布检测方法:Shapiro(SW),Kolmogorov-Smirnov(KS),Lillefors(LF) test 和Aderson-Darling (AD),这4种方法是目前较广的分析方法,此外,在MATLAB中还有Jarque-Bera (JB)测试也用于数据正态分布测定。上述方法的数据公式表达依次为:

    W=\frac{\sum_{i=1}^n (a_iy_i )^2)}{\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y_i})^2}

    T=sup_x\left | F^*(X)-F_n(x) \right |

    D=max_x\left | F^*(X)-S_n(x) \right |

    W_n^2=n\int \left [ F_n(x)-F^*(x) \right ]^2\psi (F^*(x))dF^*(x)

    公式中各个变量含义及泛函表示请参考文献《Power comparisons of Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov,Lilliefors and Anderson-Darling tests》。

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  • 用R语言做正态分布检验,用R语言做正态分布检验,用R语言做正态分布检验
  • 使用python实现正态分布检验

    千次阅读 2019-08-12 07:27:35
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    2012-05-07 20:48:36
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  • python对数据列表进行正态分布检验 最近刚入门python,欢迎大家多多指教! 最近接到老师的一个项目,要求对一些医疗数据进行分析,数据类似于: 其中PROMS_SERIAL_NO是各例手术的编号,HR_SCORE_CHANGE是对手术的...
  • R_数据正态分布检验

    万次阅读 多人点赞 2017-04-06 23:28:35
    使用R检测数据是否符合正态分布(正态分布检验) R语言正态检验; R语言QQ图; R语言概率密度曲线比较法; 详细的方法介绍在网上已经有很多了,推荐这篇概括得来讲,主要分为4钟方法: 概率密度曲线比较法 Q-Q图法 ...
  • excel检验是否是正态分布-T分布

    千次阅读 2021-02-09 16:35:19
    概率密度函数:NORMDIST(B2,AVERAGE(B:B),STDEV.S(B:B),0) STDEV.S:标准差 0:概率密度函数 df越大,越接近正态分布,趋于正无穷时候贴近正态分布
  • MATLAB 检验数据正态分布及代码实现

    千次阅读 多人点赞 2020-09-30 09:06:56
    MATLAB检测数据正态特性主要通过数值测定和图形分析,其中数值测定指通过JB等假设检验方法进行测定分析数据,图形分析方法是指通过分析数据正态拟合程度判断数是否符合正态分布,主要有Q-Q图、直方图以及normplot...
  • Python检验样本是否服从正态分布

    千次阅读 2020-09-06 16:41:10
    在进行t检验、F检验之前,我们往往要求样本大致服从正态分布,下面介绍两种检验样本是否服从正态分布的方法。 1 可视化 我们可以通过将样本可视化,看一下样本的概率密度是否是正态分布来初步判断样本是否服从正态...

空空如也

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正态分布检验