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  • 离散型随机变量

    千次阅读 2018-01-07 11:37:39
    离散型随机变量 离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数(probability mass function,PMF)。我们可以用大写字母P来表示概率质量函数。 通常用P表示概率质量函数。通常每一个随机变量都会有一个不同的概率质量...

    离散型随机变量

    离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数(probability mass function,PMF)。我们可以用大写字母P来表示概率质量函数。
    通常用P表示概率质量函数。通常每一个随机变量都会有一个不同的概率质量函数,并且读者必须根据随机变量来推断所使用的PMF,而不是根据函数名称来推断,如P(x)通常和P(y)
    不一致。

    概率质量函数将随机变量能够取得的每个状态映射到随机变量取得该状态的概率。x=x的概率用P(x)来表示,概率为1表示x=x是确定的,概率为0表示x=x不可能发生。

    概率密度函数

    当我们研究的对象是连续型随机变量时,我们用概率密度函数(probability density function,PDF)而不是概率质量函数来描述它的概率分布。

    边缘概率分布

    有时候我们知道了一组变量的联合概率分布,但想了解其中一个子集的概率分布。这种定义在子集上的概率分布被称为边缘概率分布(marginal probability distribution)。

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  • 1. 离散型随机变量的分布律 2.离散型随机变量示例1 3.离散型随机变量示例2 4. 离散型随机变量的分布函数 5.离散型随机变量示例3 6.离散型随机变量分布函数的特点 7.离散型随机变量...

     

    1. 离散型随机变量的分布律

     

    2.  离散型随机变量示例1

     

    3. 离散型随机变量示例2

     

    4. 离散型随机变量的分布函数

     

    5. 离散型随机变量示例3

     

    6. 离散型随机变量分布函数的特点

     

    7. 离散型随机变量示例4

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  • 离散型随机变量和连续型随机变量及其常见分布

    万次阅读 多人点赞 2018-09-24 15:11:04
    离散型随机变量及其分布率 若随机变量XXX只能取有限个数值x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_nx1​,x2​,...,xn​或可列无穷多个数值x1,x2,...,xn,...x_1,x_2,...,x_n,...x1​,x2​,...,xn​,...,则称XXX为离散型随机变量...

    离散型随机变量及其分布率

    若随机变量XX只能取有限个数值x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_n或可列无穷多个数值x1,x2,...,xn,...x_1,x_2,...,x_n,...,则称XX离散型随机变量

    要掌握一个离散型随机变量XX的统计规律,必须知道XX所有可能取的值以及每一个可能值的概率

    定义:设离散型随机变量XX所有可能的取值为xi(i=1,2,...)x_i(i=1,2,...)XX取各个可能值的概率,即事件{X=xi}\{X=x_i\}的概率为P{X=xi}=pii=1,2,...P\{X=x_i\}=p_i,i=1,2,...则称该式子为离散型随机变量XX的分布律。分布律也常用表格形式表示:

    X x1x_1 x2x_2 ...... xix_i ......
    pip_i p1p_1 p2p_2 ...... pip_i ......

    由于随机变量的分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律,因此,由离散型随机变量的分布律可以推出分布函数,反之亦然。

    F(x)F(x)是离散型随机变量XX的分布函数,则XX的分布律P{X=xi}=pi0i=1,2,...P\{X=x_i\}=p_i \geq 0,i=1,2,...易得F(x)=P{Xx}=xixP{X=xi}=xixpiF(x)=P\{X \leq x\}=\sum_{x_i \leq x}P\{X=x_i\}=\sum_{x_i \leq x}p_i

    常见的离散型随机变量的概率分布

    1、两点分布 B(1,p)B(1, p)

    若随机变量的XX只能取x1x_1x2x_2,且它的分布律为P{X=x1}=p(0<p<1)P\{X=x_1\}=p,(0 < p < 1)P{X=x2}=1pP\{X=x_2\}=1-pP{X=xi}=(1p)1xipxii=1,2P\{X=x_i\}=(1-p)^{1-x_i}p^{x_i},i=1,2则称XX服从参数为pp的两点分布

    特别地,当x1=1x2=0x_1=1,x_2=0时两点分布也叫(01)(0-1)分布,记为X(0,1)X \thicksim (0,1)分布或XB(1,p)X \thicksim B(1,p)

    2、二项分布 B(n,p)B(n, p)

    若随机变量的XX分布律为P{X=k}=Cnk(1p)nkpkk=0,1,2,...nP\{X=k\}=C_n^k(1-p)^{n-k}p^k,k=0,1,2,...n则称XX服从参数为np(0<p<1)n,p(0 < p < 1)的二项分布,记为B(n,p)B(n,p)

    这与nn重伯努利试验中事件AA发生kk次的概率计算公式一致Pn(k)=P{X=k}=Cnk(1p)nkpkk=0,1,2,...nP_n(k)=P\{X=k\}=C_n^k(1-p)^{n-k}p^k,k=0,1,2,...n可知,若XB(n,p)X \thicksim B(n, p)X=kX=k就可以用来表示nn重伯努利试验中事件AA恰好发生kk

    二项分布的近似计算

    ①泊松近似:
    泊松近似即泊松定理
    XB(n,p)X\sim B(n,p),当nn很大(n40n\geqslant 40)且pp很小(p0.1p\leqslant 0.1)时,可以用泊松分布来近似拟合二项分布,有XP(k,np)X\sim P(k,np)Cnkpk(1p)nkλkk!eλC_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k} \approx\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}其中λ=np\lambda=np

    ②标准正太近似:
    XB(n,p)X\sim B(n,p),当nn充分大时,可以用标准正太分布来近似拟合二项分布,有XN(np,np(1p))X\sim N(np,np(1-p))P(a<X<b)Φ(bnpnp(1p))Φ(anpnp(1p))P(a < X < b)\approx \Phi(\frac{b-np}{\sqrt{np(1-p)}})-\Phi(\frac{a-np}{\sqrt{np(1-p)}})

    拓展
    多项式展开定理:(a+b)n=k=0nCnkakbnk(a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^ka^kb^{n-k}

    幂级数展开定理:ex=n=0xnn!e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

    3、泊松分布 P(k,λ)P(k,\lambda)

    泊松定理:设λ>0\lambda > 0是一常数,nn是正整数。若npn=λnp_n=\lambda,则对任一固定的非负整数kk有:limnCnk(1pn)nkpn=λkk!eλ\lim_{n \to \infty}C_n^k(1-p_n)^{n-k}p_n=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

    若随机变量XX的分布律为P{X=k}=λkk!eλP\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}则称XX服从参数为λ\lambda的泊松分布,记为XP(λ)X \thicksim P(\lambda)XP(k;λ)X \thicksim P(k;\lambda)

    泊松分布的概率值为:P(k;λ)=P{X=k}=λkk!eλk=0,1,2,...P(k;\lambda) = P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,...

    连续型随机变量及其概率密度函数

    定义:设XX是随机变量,F(X)F(X)是它的分布函数,若存在一个非负可积函数f(x)f(x),使得对任意的xRx \in R,有:F(x)=P{X}F(x)=P\{X \}则称XX为连续型随机变量,其中f(x)f(x)称为XX的概率密度函数,简称概率密度或密度函数

    概率密度函数的性质

    1. 非负性:f(x)0,xRf(x) \geq 0,x \in R
    2. 规范性:+f(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1
    3. p{a<Xb}=F(b)F(a)=abf(x)dx,(ab)p\{a < X \leq b\} = F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(x)dx,(a \leq b)
    4. f(x)f(x)xx处是连续的,则分布函数的导数等于概率密度函数,即:F(x)=f(x)F'(x)=f(x)
    5. XX是连续型随机变量,对aR\forall a \in R,有P{X=a}=0P\{X=a\}=0,即对于连续型随机变量,取得某一点的概率为0(注意这里的概率为0不代表不可能事件)

    常见的连续型随机变量的概率分布

    1、均匀分布 U[a,b]U[a,b]

    若随机变量XX的概率密度函数为f(x)={1ba,axb0,otherwisef(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \leqslant x \leqslant b\\ 0, & otherwise \end{cases}则称XX在区间[a,b][a,b]上服从均匀分布,记为XU[a,b]X\sim U[a,b]

    易知f(x)0f(x) \geqslant 0,并且+f(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1

    均匀分布中XX的分布函数为F(x)={0,x<axaba,ax<b1,xbF(x) = \begin{cases} 0, & x < a\\ \frac{x-a}{b-a}, & a \leqslant x < b \\ 1, & x \geqslant b \end{cases}

    2、指数分布 E(λ)E(\lambda)

    若随机变量XX的概率密度函数为f(x)={λeλx,x>00,x0f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0\\ 0, & x \leqslant 0 \end{cases}其中λ>0\lambda > 0为常数

    则称随机变量XX服从参数为λ\lambda(失效率)的指数分布,记为XE(λ)X \sim E(\lambda)

    显然f(x)0f(x) \geqslant 0,且:+f(x)dx=0+λeλxdx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{0}^{+\infty}\lambda e^{-\lambda x}dx = 1指数分布中XX的分布函数为:F(x)={1eλx,x>00,x0F(x) = \begin{cases} 1-e^{-\lambda x}, & x > 0\\ 0, & x \leqslant 0 \end{cases}

    3、正态分布 N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)

    若随机变量XX的概率密度函数为f(x)=12πσe(xμ2)2σ2,<x<+f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu^2)}{2\sigma^2}},-\infty < x < +\infty其中μ,σ(σ>0)\mu,\sigma(\sigma > 0)为常数,则称XX服从参数为μ,σ\mu,\sigma的正态分布或高斯分布,记为XN(μ,σ2)X \sim N(\mu,\sigma^2)

    显然 f(x)0f(x) \geqslant 0,且+f(x)dx=+12πσe(xμ2)2σ2dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu^2)}{2\sigma^2}}dx = 1

    标准正态分布 N(0,1)N\sim (0,1):
    XN(μ,σ2),X\sim N(\mu,\sigma^2),则Y=Xμσ2N(0,1)Y=\frac{X-\mu}{\sqrt{\sigma^2}} \sim N(0, 1)标准正态分布的分布函数:Φ(x)=P(Xx)=12πxeu22du\Phi(x)=P(X \leqslant x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{u^2}{2}}du标准正态分布的概率密度函数:ϕ(x)=12πex22\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}标准正态分布的具体值可以通过查表得知:标准正态分布表

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  • 离散型随机变量和连续型随机变量

    千次阅读 2018-02-28 14:58:09
    比如,一次掷20个硬币,k个硬币正面朝上,k是随机变量,k的取值只能是自然数0,1,2,…,20,而不能取小数3.5、无理数√20,因而k是离散型随机变量。 连续型随机变量: 如果变量可以在某个区间内取任一实数...
    实例

    离散性随机变量:

    • 比如,一次掷20个硬币,k个硬币正面朝上,
    • k是随机变量,
    • k的取值只能是自然数0,1,2,…,20,而不能取小数3.5、无理数√20,
    • 因而k是离散型随机变量

    连续型随机变量:

    • 如果变量可以在某个区间内取任一实数,即变量的取值可以是连续的,这随机变量就称为连续型随机变量,
    • 比如,公共汽车每15分钟一班,某人在站台等车时间x是个随机变量,
    • x的取值范围是[0,15),它是一个区间,从理论上说在这个区间内可取任一实数3.5、√20等,因而称这随机变量是连续型随机变量。
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  • 离散型随机变量及其分布

    千次阅读 2019-09-18 18:24:05
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  • 10. 离散型随机变量

    2019-12-02 09:18:14
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  • 离散型随机变量及其分布律(五)

    千次阅读 2019-03-05 13:57:49
    有些随机变量值是有限,它全部可能取到的个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量。 三种重要的离散型随机变量
  • 1.离散型随机变量的定义 有些随机变量,它所有可能的取值只有有限个或可 列无限多个,称这种随机变量为离散型随机变量。 例1 掷两颗骰子出现的点数和X,其所有可能的取值为2,3, 4,…,12,共11个可能值。 (离散型...
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  • 离散型随机变量的概率密度
  • 离散型随机变量及其常见分布律

    千次阅读 2020-06-20 13:59:52
    1. 介绍离散型随机变量的定义,性质和分布律 2. 介绍0-1分布,二项分布,泊松分布,几何分布,超几何分布的性质以及必要性证明
  • 1.1.1.离散型随机变量 把全部可能取到的值是有限个或可列无限个的随机变量称为离散型随机变量. 2.2.2.离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量XXX所有可能取的值为xk(k=1,2,...)x_k(k=1,2,...)xk​(k=1,2,...),XXX...
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