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  • 线性代数及其应用

    千次阅读 2018-12-19 13:36:29
    看了一周的《线性代数及其应用》David C.Lay,虽然豆瓣评分9.1,但是部分翻译跟排版让自己不爽。在知乎上研究了下,发现以前《数据分析实战》作者推荐的Gilbert Strang 著的学起来更容易上手,先试着读下,斟酌下哪...

    181219

    矩阵相加:只要形状一样,两个矩阵可以相加。

    标量与矩阵相乘或相加:将标量与矩阵的每一个元素相乘或相加。

    矩阵相乘:C = A B
    矩阵A的列数与矩阵B的行数相等,A的形状为m*n,B的形状为n*p,则C的形状为m*p。

    元素对应乘积/Hadamard乘积:为矩阵内对应元素的乘积,记为A\bigodotB

    两个相同维数的向量x和y的点积可以看做矩阵乘积x转至后与y的矩阵乘积。

    矩阵满足分配律、结合律,但不满足交换律。

    182122

    看了一周的《线性代数及其应用》David C.Lay,虽然豆瓣评分9.1,但是部分翻译跟排版让自己不爽。在知乎上研究了下,发现以前《数据分析实战》作者推荐的Gilbert Strang 著的学起来更容易上手,先试着读下,斟酌下哪本更适合自己。还有人推荐MIT的线代公开课,看视频总觉得会比较慢,还容易犯困,不过也是个备选项。

    把微积分的书读了遍,现在觉得重要的是解决一个问题的思想,不是不停的算题,醒悟的晚了些吧。

    《Linear Algebra And Its Application》Gilbert Strang

    • This subject begins with two vectors \vec{v} and \vec{w}, point in different directions. The key step is to take particular combination 3\vec{v} + 4\vec{w}, same plane. Their combinations c\vec{v} + d\vec{w} fill the page, but they don't go up from the page.
    • c\vec{v} + d\vec{w} = \vec{b} can be solved when \vec{b} lies in the same plane as \vec{v} and \vec{w}.
    • column space. Linear combinations c\vec{v} + d\vec{w} fill a vector space, we call it the column space of the matrix.
    \left[  \begin{matrix}    1 & 1  \\    2 & 3  \\    3 & 4   \end{matrix}   \right]  \left[ \begin{matrix}   c\\   d \end{matrix} \right]
    • key goal: row space & column space
    • further goal: how the matric acts. Diagonal matrix(对角线矩阵), orthogonal matrix(正交矩阵), triangular matrix(三角形矩阵), symmetric matrix(对称矩阵)。
    • Eigenvalues of matrix.

    181224 -181227

    Chapter 1

    1.1 简介

    本章将深入研究4方面

    • 线性等式对应的几何平面
    • 矩阵标记
    • 消除的异常情况:无解或无限解
    • 消除的步骤数

    1.2 线性代数与几何

    • 二维方程组按行来看,在直角坐标系中表示两条直线;按列来看,左边系数表示两个向量,未知数相当于两个标量,左边向量相加后等于右边向量,即一个向量等式。
    • 当方程组由二维扩展到n维时,第一个等式表示n-1维的“面”,第二个等式与第一个等式相交后维度变成n-2, n个等式代表的"面"相交后维度变为0,结果为一个点。
    • 线性代数的中心思想:向量乘以标量后相加,如c\vec{v} + d\vec{w}被称为线性组合。
    • 特殊情况

    1. 三维空间中,两平面平行且与第三个平面相交,无交点。
    2. 三维空间中,三平面两两相交且互相平行,无交点。
    3. 三维空间中,三平面相交于同一直线,无数个交点。(两方程组相加 = 第三个方程组)
    4. 三维空间中,三个平面平行,无交点。

    1. 三个向量在一个平面,\vec{b}不在该平面,无解。
    2. 三个向量在一个平面,\vec{b}也在该平面,无数解。
    3. If the n planes have no point in common, or infinitely many points, then the n columns lie in the same plane.

    如何求三维空间两平面相交直线?
    方程系数为平面法向量,两方程系数的外积即为直线方向向量。

    如何验证三维空间内直线与平面的位置关系?
    验证直线的方向向量与平面法向量的关系。

    如何判断三个向量在一个平面?
    乘以系数后两个向量相加等于第三个向量。

    1.3 高斯消元法

    • 高斯消元法
      后面的方程乘以系数后与第一个方程相减,消去第一个未知数,如此操作直至最后一个方程剩下一个未知数,然后反过来求每个未知数的值。
    • 无法消元
      Triangular system某方程组某未知数系数为0,调换方程组顺序后仍不能获得正常Triangular system。
    • 高斯消元法的计算量
    O(\frac{n^3}{3})

    第二个方程组的第二项 (为了消去第一项) 百度文库有PPT可以参考

    a_{22}\frac{a_{11}}{a_{21}}-a_{11}

    若把对同一项的加减乘除看做一次运算,则first stage的计算量为n*(n-1)。每一方程的要对n项进行计算,共计n-1个方程组。

    (1^2 + ... + n^2)-(1+ ... +n) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^3-n}{3}

    当n足够大时预算量约等于

    \frac{n^3}{3}

    190109

    1.4 矩阵符号及矩阵乘法

    这节主要讲矩阵符号及矩阵乘法,因为如果要写出方程组的所有消除步骤工作量相当大。矩阵符号描述了最初的方程,矩阵乘法将描述消除步骤变得更简单。
    m by n matrix means m rows and n columns.
    矩阵相加与相乘同向量类似,向量相当于紧有一列的矩阵。形状相同的矩阵可以相加,矩阵与数值相乘相当于矩阵的每一个元素与数值相乘。

    • 矩阵和向量乘法

    方程组可以用矩阵的形式表达


    行与列相乘是矩阵乘法里最基础的,类似于向量的内积。
    The product Ax可以看做以x中元素为系数,矩阵A中各列构成的新矩阵。

    矩阵A中的元素用a_{ij}表示,i表示第i行,j表示第j列。向量x中元素用x_j表示。The product Ax中的元素通过如下方式表示。

    • 方程组消除步骤中的矩阵形式
      方程组在消除的过程中右侧的向量发生了什么变化?
      可以通过乘以Elementary matrix的方式表示,将第一行的元素*(-2)加上第二行的元素可以表示为
      identity matrix I , I b = b
      elementary matrix E
    • 矩阵乘法
      怎么理解下面这句话呢?E这个消除矩阵乘以一个方程组的系数矩阵乘以未知数向量x, 仔细想想这三个数好像怎么相乘结果都是一致的呢。
      (AB)_{ij} = A中第i行与B中第j列对应的元素相乘再相加
      矩阵乘法的性质:
    • (AB)C = A(BC)
    • A(B+C) = AB+AC and (B+C)D = BD+CD

    1901016

    1.5 三角因子及行交换

    A = LU
    由原矩阵转化为上三角矩阵:
    U = GFEA
    E、F、G分别为每个步骤消除元素时包含所成倍数的消除矩阵
    下三角矩阵为:
    L = E^{-1}F^{-1}G^{-1}
    两个矩阵相乘之后结果为对称轴为1其他位置为0的矩阵,那么两个矩阵互为逆矩阵。

    将原矩阵化为两个三角矩阵,即
    Ax = b -> Lc = b and Ux = c
    先求出c,然后求x
    U的对称轴上元素不都为1,那么将每一行除以该行对称轴上的元素,方程转化为 A = LDU

    行交换:
    通过将原矩阵前乘以P(转换矩阵)得到预期位置的矩阵。

    行交换后,由于U进行了行交换,计算L时要按照交换后的矩阵计算。

    不太理解的地方:

    • 转化为两个三角矩阵后的计算量变为\frac{n^2}2
    • 计算微积分时的顺序不一定一样

    190109

    1.7 Special Matrices and 应用

    现实中遇到的矩阵很多情况下是对称的,大部分系数为0。这节主要讲了tridiagonal matrix.如second derivativea

    运算量为P = 1/3w(w-1)(3n-2w+1)

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  • 此资源是线性代数及其应用的第三版的中文版,原书作者为David。
  • 线性代数及其应用:绪论-附件资源
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  • 线性代数及其应用第五版答案.pdf
  • 阶梯型矩阵:每一行的第一个不为零的元素的左边及其所在列以下全为零。约束变元与自由变元:非零行的首个非零元为约束变元(基本变量),其他的都是自由变元(自由变量)。解的唯一性:是否有唯一解的问题;简化阶梯...

    矩阵:一个数组。它的核心作用是它是线性方程组的一种判断解和求解的方法。

    系数矩阵:线性方程的所有系数构成的一个数组。

    增广矩阵:系数和参数共同构成的数组。

    阶梯型矩阵:每一行的第一个不为零的元素的左边及其所在列以下全为零。

    约束变元与自由变元:非零行的首个非零元为约束变元(基本变量),其他的都是自由变元(自由变量)。

    解的唯一性:是否有唯一解的问题;简化阶梯型矩阵只有基本变量,就是唯一解,有自由变元也有基本变量,就是多个解。如果有0=b一类的情况,就是无解。

    平凡解:简单而显而易见就能得到的解。

    非平凡解:不那么容易得到的解。

    向量:可以简单理解为由两个数在二维空间确定的这个点和0点的连线。

    span:所有向量生成的所有线性组合的一个子集。

    单位矩阵:主对角线为1,其他为0。

    线性组合或矩阵方程:列向量与矩阵的乘积。Ax=b

    齐次线性方程组:可以写成AX=0形式的。

    向量加法:其实就是向量平移。

    解集:有多个解时解的集合,是形如w=p+(任意解)的集合。p是自由向量。

    线性相关:一个向量可以为其他的向量通过运算所表示。线性无关与之相反。

    函数、映射、变化:其实是一个意思。在一般函数里,一个数是一个元,在线性映射里,一个向量是一个元。

    满射:每个y至少是一个x的象(对应单位),称为满射。

    单射:1对1映射。

    线性差分方程:序列的每一项目是定义为前一项的函数。一种递归关系(递推)。

    矩阵乘法:乘以数=各个相乘。矩阵乘矩阵必须前行=后列。

    矩阵的逆:两个矩阵相乘=单位矩阵,则互为逆矩阵。

    矩阵分解:将矩阵拆散为数个矩阵的乘积。

    行列式:简单的说,行列式是一个运算矩阵的函数,在 n 维欧几里得空间中,行列式描述的是一个线性变化对“体积”所造成的影响,它能带来伸缩变化。矩阵中各种元素的交叉相乘再加减正好能表达这种变化,它就是行列式。

    克拉默法则:一套算法,能算出Ax=b的唯一解。矩阵乘以某个参数=向量的唯一解。

    向量空间:向量构成的空间。子空间是其中一个子集。

    零空间:映射之后象为0的原象构成的空间。

    列空间:矩阵的列的所有线性组合构成的空间。

    线性变换核:齐次线性方程组的解集。

    基向量:向量空间中任意一个元素,都可以唯一地表示成基向量的线性组合。

    维数:

    秩:去掉无用的线性方程后的方程组数。

    稳态向量:

    特征向量:变换后方向不变。

    特征空间:特征向量构成的空间。

    特征值:设 A 是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量x,使得 Ax=mx 成立,则称 m 是A的一个特征值。乘以列向量=矩阵乘以列向量。

    复向量:向量中包含了复数。

    鞍点:一个数在所在行中是最大值,在所在列中是最小值。

    函数矩阵:矩阵里的每个元素都是一个关于x的函数。

    矩阵微分方程:将级数式表达的微分方程写成y=Ax的形式,A是所有a(t)类函数构成的矩阵

    幂算法:

    内积:

    正交性:“正交性”是从几何中借来的术语。如果两条直线相交成直角,他们就是正交的。

    范数:长度。

    正交集:

    单位正交集:

    正交投影:

    格拉姆~施密特方法:把线性无关向量系进行正交化的过程,称为格拉姆-施密特正交化过程。

    正交基:基向量两两正交。

    QR分解:

    内积空间:

    对称矩阵:

    谱定理:谱定理给出了算子或者矩阵可以对角化的条件(也就是可以在某个基底中用对角矩阵来表示)

    二次型:n个变量的二次多项式称为二次型,即在一个多项式中,未知数的个数为任意多个,但每一项的次数都为2的多项式。

    奇异值:A*A的q个非负特征值的算术平方根叫作A的奇异值。矩阵A的秩等于它的非零奇异值的个数。

    协方差矩阵:实际值1减去期望值1乘以实际值2减去期望值2,就是协方差。协方差矩阵就是两个集合之间的元素协方差构成的矩阵。

    仿射变换:一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移,变换为另一个向量空间。

    仿射集:仿射集M 指的是具有x+S 形式的集合,其中x 是某个向量,而S 是由M 唯一确定的一个子空间,并称为平行于M的子空间。

    仿射包:最小仿射集。

    超平面:n-1维度的线性子空间。

    凸集:凸集是对于集合内的每一对点,连接该对点的直线段上的每个点也在该集合内。例如,立方体是凸集,但是任何中空的或具有凹痕的例如月牙形都不是凸集。

    凸包:凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边形,它能包含点集中所有的点。

    贝塞尔曲线:依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。

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  • 线性代数及其应用第三版答案 有一些是错误的,请谅解啊
  • 线性代数及其应用答案(原书第三版),是英文的
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    《线性代数及其应用》阅读笔记(知识梳理):

    第一章 线性代数中的线性方程组

    1.1 线性方程组

    涉及如下概念:

    提纲
    1、什么是线性方程?
    2、什么是线性方程组?
    3、线性方程组解的三种情况 无解/唯一解/无穷多解
    4、相容/不相容 有解(1or无穷个)/无解
    5、矩阵表示线性方程组 系数矩阵/增广矩阵
    • 6、解线性方程组

    解线性方程组的基本思路:将方程组用一个更容易解的等价方程组代替。

    线性方程组的变换对应于增广矩阵的行变换。
    —— 把线性方程组对应的增广矩阵中的系数矩阵整理成三角矩阵/对角矩阵,增广矩阵中最后一列即为线性方程组的解。

    线性方程组 线性方程组的解
    {a11x1+a12x2+a13x3=w1a21x1+a22x2+a23x3=w2a31x1+a32x2+a33x3=w3\begin{cases}a_{11}x1+a_{12}x2+a_{13}x3=w1\\a_{21}x1+a_{22}x2+a_{23}x3=w2\\a_{31}x1+a_{32}x2+a_{33}x3=w3\end{cases} {x1=z1x2=z2x3=z3\begin{cases}x1=z1\\x2=z2\\x3=z3\end{cases}
    增广矩阵表示原方程组 化简成上三角矩阵从最后一行往上代入求得解
    [a11a12a13w1a21a22a23w2a31a32a33w3]\left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}& w_1 \\ a_{21} & a_{22}& a_{23} & w_2 \\ a_{31}& a_{32}& a_{33} & w_3 \end{array} \right] [a11a12a13z10a22a23z200a33z3]\left[ \begin{array}{cccc} a_{11}'&a_{12}'&a_{13}' &z_1' \\0&a_{22}' &a_{23}'& z_2' \\ 0&0 &a_{33}' & z_3'\end{array} \right]
    增广矩阵表示原方程组 化简成对角矩阵求得解
    [a11a12a13w1a21a22a23w2a31a32a33w3]\left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}& w_1 \\ a_{21} & a_{22}& a_{23} & w_2 \\ a_{31}& a_{32}& a_{33} & w_3 \end{array} \right] [100z1010z2001z3]\left[ \begin{array}{cccc} 1&0&0 &z_1 \\0&1 &0 & z_2 \\ 0&0 &1 & z_3\end{array} \right]

    结合《矩阵论》所学,突然想到:
    1、【任意一个n阶矩阵都和一个三角矩阵相似】
    2、【n阶矩阵A与一个对角矩阵相似\Leftrightarrow当矩阵A有n个线性无关的特征向量时】
    3、【任意矩阵A在某组基下,可以与一个Jordan标准型矩阵(类三角矩阵)相似】

    1.2 行化简与阶梯矩阵

    提出的目的:行化简算法可以求解任意线性方程组。

    行化简与阶梯矩阵
    1 阶梯矩阵和简化阶梯矩阵的定义
    2 行化简算法的步骤
    3 应用行化简算法解线性方程

    1、阶梯矩阵和简化阶梯矩阵的定义

    任一矩阵 阶梯形/行阶梯型矩阵 简化阶梯形矩阵
    定义 定义
    2. 各类型矩阵间关系 任何非零矩阵可通过行简化(利用初等变换)成阶梯矩阵。不同方法可得到不同的阶梯形矩阵。 一个矩阵只能化为唯一的简化阶梯矩阵。
    3. 主元位置和主元列:是对原矩阵中的定义 主元:
    是对化简后的阶梯形/简化阶梯形中主元位置元素的定义
    主元
    4. 线性方程组的求解 主用行化简算法对方程组的增广矩阵求解

    2、行化简算法的步骤

    行化简算法的步骤 阶梯形/行阶梯型矩阵
    向前步骤 目的:化简得到阶梯形矩阵
    1) 从最左侧非零列开始:那么这就是一个主元列主元位置在最顶端
    2) 选主元元素:主元列选最大的非0元素,对换使其在主元位置
    3) 主元下方元素 \to 0
    4) 忽略主元所在行和列,对子矩阵重复如上步骤
    向后步骤
    /矩阵算法
    目的:得到简化阶梯矩阵
    5) 从最右侧主元开始,依次:主元上方元素 \to 0,主元位置元素 \to 1

    3、应用行化简算法解线性方程

    应用行化简算法解线性方程组:
    1)线性方程组 \to 一般的增广矩阵。
    2)一般的增广矩阵 \to 阶梯矩阵;确定方程组是否相容,不相容则无解,相容则进行下一步。
    3)阶梯矩阵 \to 简化阶梯矩阵。
    4)写出由简化阶梯矩阵对应的方程组。
    5)表示原方程所有变量\to用任意自由变量表示基本变量;
    6)得到通解。

    1.3 向量方程

    • 提出的目的:
      用向量方程表示一组有序数,将线性方程组与向量方程联系起来。
    1.3 向量方程
    1 R^n向量的表示及几何意义
    2 线性组合
    3 什么是向量方程
    5 向量方程的解法
    6 生成/张成子空间
    1.3 提纲 向量方程
    1 RnR^n中的向量定义与表示 仅含一列的矩阵称为列向量,简称向量A=[a1a2an]A= \left[ \begin{matrix} a_1\\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{matrix} \right]
    或为节省篇幅,表示成空间中坐标的形式:A=(a1,a2,...,an)A= ( a_1,a_2 ,... ,a_n)
    2向量的几何意义与表示 1)空间中的点表示向量:(1,1);
    2)空间中的箭头表示向量。
    3 线性组合 y=c1v1+c2v2+...+cnvn\vec y=c_1 \vec v_1+c_2 \vec v_2+...+c_n \vec v_n
    每个基向量×相应权重之和
    4 向量方程 x1a1+x2a2+...+xnan=bx_1\vec a_1+x_2\vec a_2+...+x_n\vec a_n=\vec b
    其增广矩阵为:[a1a2...anb][\vec a_1 \vec a_2 ... \vec a_n \vec b]
    5 向量方程的解法 对增广矩阵进行行阶梯化简。
    6 生成/张成子空间 v1v2...vn\vec v_1、\vec v_2、...、\vec v_n所生成的RnR^n的子集

    1.4 矩阵方程

    • 提出的目的:
      线性代数中的一个基本思想是把响亮的线性组合看做是矩阵与向量的乘积。也即满足Ax=bA\vec x=\vec b的形式,其中的A就是系数矩阵,从而引出矩阵方程的概念。
    1.4 矩阵方程
    1 矩阵方程的定义
    2 矩阵方程/向量方程/线性方程组的关系
    3 矩阵方程的解法
    1.4 提纲 矩阵方程
    1 矩阵方程的定义 形如Ax=bA\vec x=\vec b的方程叫矩阵方程,
    其中,Ax=[a1a2...an][x1x2xn]=x1a1+x2a2+...+xnanA\vec x=[ \vec a_1\vec a_2...\vec a_n] \left[ \begin{matrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{matrix} \right]=x_1\vec a_1+x_2\vec a_2+...+x_n\vec a_n
    2 与向量方程/线性方程组的关系 矩阵方程:Ax=bA\vec x=\vec b
    向量方程:x1a1+x2a2+...+xnan=bx_1\vec a_1+x_2\vec a_2+...+x_n\vec a_n=\vec b 与增广矩阵为[a1a2...anb][\vec a_1 \vec a_2 ... \vec a_n \vec b]的线性方程组解集相同
    3 矩阵方程的解法 矩阵×向量:
    AxA\vec x中第i个元素是A中第i行元素与x\vec x乘积之和。
    Ax=[a11a12a13][x1x2x3]=[a11x1a12x2a13x1]A\vec x= \left[ \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ \vdots&\vdots&\vdots \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} x_1\\ x_2 \\ x_3\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} a_{11}x_1&a_{12}x_2&a_{13}x_1\\ \vdots&\vdots&\vdots \end{matrix} \right]

    总结:

    • 线性方程组的三种不同观点:
      线性方程组、向量方程、矩阵方程。

    • 线性方程组的通用解法:
      行化简算法化简增广矩阵。[是线性方程组—>矩阵的转变]

    1.5 线性方程组的解集

    1.5.1 齐次线性方程组

    1.5.2 非齐次线性方程组

    参见:线性方程组的解集

    1.5.3 参数向量形式

    把(相容方程组的)解集表示成参数向量形式
    1. 增广矩阵化简成行阶梯矩阵
    2.将每个基本变量用自由变量表示
    3. 将一般解x\vec x表示成向量,若有自由向量,其元素依赖于自由向量。
    4. 将x\vec x分解成向量的线性组合,用自由变量做参数。

    1.7 线性无关

    1.7.1 向量的线性无关与线性相关

    向量组 x=\vec x= { x1,x2,...,xn\vec x_1,\vec x_2,...,\vec x_n }
    向量方程 c1x1+c2x2+...+cnxn=0c_1\vec x_1+c_2\vec x_2+...+c_n\vec x_n=\vec 0
    线性无关 仅有平凡解:x=0\vec x=\vec 0
    线性相关 cic_i不全为0

    1.7.2 矩阵各列的线性无关与线性相关

    矩阵 A=A=[a1,a2,...,an\vec a_1,\vec a_2,...,\vec a_n]
    矩阵方程 Ax=0A\vec x=\vec 0
    c1a1+c2a2+...+cnan=0c_1\vec a_1+c_2\vec a_2+...+c_n\vec a_n=\vec 0
    矩阵各列线性无关 Ax=0A\vec x=\vec 0 仅有平凡解:x=0\vec x=\vec 0
    矩阵各列线性相关 cic_i不全为0

    1.7.3 判断线性无关与线性相关

    • 一个或两个向量的集合:
      观察法:一个向量是否是另一个的倍数。

    • 两个或更多向量的集合:
      向量组中存在某一个向量是其他向量的线性组合。
      但去验证某特定向量是其他向量的线性组合是不对的。

    • 判断线性相关:
      方程组数目小于变量数目。
      向量组中向量数目多于每个向量元素个数。
      [向量组表现为:长>宽的矩形].

    1.8 线性变换介绍

    对于式子“ Ax=bA\vec x=\vec b ”,可以理解为:把矩阵A看做一个对象,它通过乘法运算“作用”到x\vec x上,从而产生新的向量b\vec b。这就是一个线性变换的过程。

    • 对线性变换的理解:
      xAx\vec x \to A\vec x对应从一个向量集合RnR^n到另一个向量集合RmR^m的“函数”变换过程。
    函数Ax=bA\vec x=\vec b 理解
    T(x)T(\vec x) 映射规则为:TT
    T的定义域RnR^n
    T的余定义域RmR^m上的全体向量;
    x\vec xRmR^m中的向量T(x)T(\vec x)
    T的值域:所有像T(x)T(\vec x)的集合。

    对于映射规则“TT”常用AxA\vec x计算得到,其中AA为m*n阶矩阵。
    对应于T的定义域维度为A的列数nRn\to R^n
    对应于T的余定义域维度为A的行数mRm\to R^m

    • 线性变换的性质:

    T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)T(c \vec u+d \vec v)=c*T(\vec u)+d*T(\vec v)

    1.9 线性变换的矩阵

    • 提出的目的:
      线性变换T是从几何中提出来的,用语言来叙述,但这往往很抽象,不具化。我们希望可以用有关T(x)的公式来形象化表达。
      RnRmR^n \to R^m的每个线性变换实际上都是一个矩阵变换:xAx\vec x \to A\vec x

    设T为RnRmR^n \to R^m的线性变换,则存在唯一的矩阵A,使得对RnR^n中的所有x\vec x,满足T(x)=AxT(\vec x)=A \vec x
    对向量x=x1e1+x2e2+..+xnen\vec x=x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+..+x_n\vec e_n
    T(x)=T(x1e1+x2e2+..+xnen)=x1T(e1)+x2T(e2)+...+xnT(en)T(\vec x)=T(x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+..+x_n\vec e_n)=x_1T(\vec e_1)+x_2T(\vec e_2)+...+x_nT(\vec e_n)
    =[T(e1)T(e2)...T(en)][x1x2...xn]=Ax=[T(\vec e_1) T(\vec e_2) ... T(\vec e_n)]\left[ \begin{matrix} x_1\\ x_2 \\ ... \\ x_n\end{matrix} \right]=A \vec x

    A称作线性变换T的标准矩阵

    第一章毕。

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  • Linear Algebra and Its Applications 英文版 线性代数及其应用 欧美线性代数权威教材,实例丰富,讲解通俗。
  • 因为工作原因,重新复习线性代数,现做《线性代数及其应用》笔记,以备个人整理及复习所用。 第一章 线性代数中的线性方程组 定理1(简化阶梯型矩阵的唯一性)P13 每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯型矩阵 定理2...

    因为工作原因,重新复习线性代数,现做《线性代数及其应用》笔记,以备个人整理及复习所用。

    第一章 线性代数中的线性方程组

    定理1(简化阶梯型矩阵的唯一性)P13

    每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯型矩阵

    定理2(存在于唯一性定理)P19

    线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列。

    若方程组相容,则没有自由变量,有唯一解。有自由变量,有无穷多解。

    定理3 P35

    向量方程和矩阵方程等价。

    定理4 P36

    重要的定理,见原书

    定理5 P38

    矩阵和向量的运算规则

    定理6 P45

    定理7 (线性相关集特征)P57

    定理8 P58

    1.1 线性方程组

    从线性方程组开始,讨论线性方程组的解的问题,有如下3种情况:

    1. 无解(不相容)

    2. 唯一解(相容)

    3. 无穷多解(相容)

    然后引入高斯消元法来解线性方程组。

    1.2 行化简与阶梯型矩阵

    行化简,基本变量和自由变量。引入定理2.

    1.3 向量方程

    从向量角度来看

    1.4 矩阵方程

    从向量角度,到矩阵角度

    1.5 线性方程组的解集

    平凡解(过零),非平凡解。如题,从特解扩展到整个解集。

    1.6 线性方程组的应用

    1.7 线性无关

    引入了线性无关和线性相关概念

    1.8 线性变换

    引入线性变换的概念,不陌生

    1.9 线性变化矩阵

    这个概念很熟悉,唯一有用的就是本节介绍的方法对于记忆线性变换矩阵很有作用

    总结

    1. 无解(不相容),不是每一行都有主元

    2. 唯一解(相容),每一行都有主元,没有自由变量,变换矩阵A可逆,行列式不为0

    3. 无穷多解(相容),每一行都有主元,有自由变量

    这样,主元、自由变量、行列式、可逆(对于方阵)这些特性就串联起来了。

     

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  • 线性代数及其应用(第三版)2.1节习题解答 那本经典的黄皮的外国教材
  • 线性代数及其应用(原书第3版),ISBN:9787111167099,作者:(美)David C. Lay著;刘深泉[等]译
  • 线性代数及其应用(第三版)2.2节习题解答 那本经典的黄皮的外国教材
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