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  • 线性代数及其应用
    2021-03-25 16:48:55
    • 线性代数及其应用(英文第四版)
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  • 线性代数及其应用(原书第5版)

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    作者:[美] 戴维 C.雷(David C.Lay),史蒂文 R.雷(Steven R.Lay) 著,刘深泉 译 出版社:机械工业出版社 品牌:机械工业出版社 出版时间:2018-07-01 线性代数及其应用(原书第5版)

    作者:[美] 戴维 C.雷(David C.Lay),史蒂文 R.雷(Steven R.Lay) 著,刘深泉 译
    出版社:机械工业出版社
    品牌:机械工业出版社
    出版时间:2018-07-01
    线性代数及其应用(原书第5版)

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  • 线性代数及其应用

    千次阅读 2018-12-19 13:36:29
    看了一周的《线性代数及其应用》David C.Lay,虽然豆瓣评分9.1,但是部分翻译跟排版让自己不爽。在知乎上研究了下,发现以前《数据分析实战》作者推荐的Gilbert Strang 著的学起来更容易上手,先试着读下,斟酌下哪...

    181219

    矩阵相加:只要形状一样,两个矩阵可以相加。

    标量与矩阵相乘或相加:将标量与矩阵的每一个元素相乘或相加。

    矩阵相乘:C = A B
    矩阵A的列数与矩阵B的行数相等,A的形状为m*n,B的形状为n*p,则C的形状为m*p。

    元素对应乘积/Hadamard乘积:为矩阵内对应元素的乘积,记为A\bigodotB

    两个相同维数的向量x和y的点积可以看做矩阵乘积x转至后与y的矩阵乘积。

    矩阵满足分配律、结合律,但不满足交换律。

    182122

    看了一周的《线性代数及其应用》David C.Lay,虽然豆瓣评分9.1,但是部分翻译跟排版让自己不爽。在知乎上研究了下,发现以前《数据分析实战》作者推荐的Gilbert Strang 著的学起来更容易上手,先试着读下,斟酌下哪本更适合自己。还有人推荐MIT的线代公开课,看视频总觉得会比较慢,还容易犯困,不过也是个备选项。

    把微积分的书读了遍,现在觉得重要的是解决一个问题的思想,不是不停的算题,醒悟的晚了些吧。

    《Linear Algebra And Its Application》Gilbert Strang

    • This subject begins with two vectors \vec{v} and \vec{w}, point in different directions. The key step is to take particular combination 3\vec{v} + 4\vec{w}, same plane. Their combinations c\vec{v} + d\vec{w} fill the page, but they don't go up from the page.
    • c\vec{v} + d\vec{w} = \vec{b} can be solved when \vec{b} lies in the same plane as \vec{v} and \vec{w}.
    • column space. Linear combinations c\vec{v} + d\vec{w} fill a vector space, we call it the column space of the matrix.
    \left[  \begin{matrix}    1 & 1  \\    2 & 3  \\    3 & 4   \end{matrix}   \right]  \left[ \begin{matrix}   c\\   d \end{matrix} \right]
    • key goal: row space & column space
    • further goal: how the matric acts. Diagonal matrix(对角线矩阵), orthogonal matrix(正交矩阵), triangular matrix(三角形矩阵), symmetric matrix(对称矩阵)。
    • Eigenvalues of matrix.

    181224 -181227

    Chapter 1

    1.1 简介

    本章将深入研究4方面

    • 线性等式对应的几何平面
    • 矩阵标记
    • 消除的异常情况:无解或无限解
    • 消除的步骤数

    1.2 线性代数与几何

    • 二维方程组按行来看,在直角坐标系中表示两条直线;按列来看,左边系数表示两个向量,未知数相当于两个标量,左边向量相加后等于右边向量,即一个向量等式。
    • 当方程组由二维扩展到n维时,第一个等式表示n-1维的“面”,第二个等式与第一个等式相交后维度变成n-2, n个等式代表的"面"相交后维度变为0,结果为一个点。
    • 线性代数的中心思想:向量乘以标量后相加,如c\vec{v} + d\vec{w}被称为线性组合。
    • 特殊情况

    1. 三维空间中,两平面平行且与第三个平面相交,无交点。
    2. 三维空间中,三平面两两相交且互相平行,无交点。
    3. 三维空间中,三平面相交于同一直线,无数个交点。(两方程组相加 = 第三个方程组)
    4. 三维空间中,三个平面平行,无交点。

    1. 三个向量在一个平面,\vec{b}不在该平面,无解。
    2. 三个向量在一个平面,\vec{b}也在该平面,无数解。
    3. If the n planes have no point in common, or infinitely many points, then the n columns lie in the same plane.

    如何求三维空间两平面相交直线?
    方程系数为平面法向量,两方程系数的外积即为直线方向向量。

    如何验证三维空间内直线与平面的位置关系?
    验证直线的方向向量与平面法向量的关系。

    如何判断三个向量在一个平面?
    乘以系数后两个向量相加等于第三个向量。

    1.3 高斯消元法

    • 高斯消元法
      后面的方程乘以系数后与第一个方程相减,消去第一个未知数,如此操作直至最后一个方程剩下一个未知数,然后反过来求每个未知数的值。
    • 无法消元
      Triangular system某方程组某未知数系数为0,调换方程组顺序后仍不能获得正常Triangular system。
    • 高斯消元法的计算量
    O(\frac{n^3}{3})

    第二个方程组的第二项 (为了消去第一项) 百度文库有PPT可以参考

    a_{22}\frac{a_{11}}{a_{21}}-a_{11}

    若把对同一项的加减乘除看做一次运算,则first stage的计算量为n*(n-1)。每一方程的要对n项进行计算,共计n-1个方程组。

    (1^2 + ... + n^2)-(1+ ... +n) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^3-n}{3}

    当n足够大时预算量约等于

    \frac{n^3}{3}

    190109

    1.4 矩阵符号及矩阵乘法

    这节主要讲矩阵符号及矩阵乘法,因为如果要写出方程组的所有消除步骤工作量相当大。矩阵符号描述了最初的方程,矩阵乘法将描述消除步骤变得更简单。
    m by n matrix means m rows and n columns.
    矩阵相加与相乘同向量类似,向量相当于紧有一列的矩阵。形状相同的矩阵可以相加,矩阵与数值相乘相当于矩阵的每一个元素与数值相乘。

    • 矩阵和向量乘法

    方程组可以用矩阵的形式表达


    行与列相乘是矩阵乘法里最基础的,类似于向量的内积。
    The product Ax可以看做以 x中元素为系数,矩阵 A中各列构成的新矩阵。

    矩阵 A中的元素用 a_{ij}表示,i表示第i行,j表示第j列。向量 x中元素用 x_j表示。The product Ax中的元素通过如下方式表示。

    • 方程组消除步骤中的矩阵形式
      方程组在消除的过程中右侧的向量发生了什么变化?
      可以通过乘以Elementary matrix的方式表示,将第一行的元素*(-2)加上第二行的元素可以表示为
      identity matrix I , I b = b
      elementary matrix E
    • 矩阵乘法
      怎么理解下面这句话呢?E这个消除矩阵乘以一个方程组的系数矩阵乘以未知数向量x, 仔细想想这三个数好像怎么相乘结果都是一致的呢。
      (AB)_{ij} = A中第i行与B中第j列对应的元素相乘再相加
      矩阵乘法的性质:
    • (AB)C = A(BC)
    • A(B+C) = AB+AC and (B+C)D = BD+CD

    1901016

    1.5 三角因子及行交换

    A = LU
    由原矩阵转化为上三角矩阵:
    U = GFEA
    E、F、G分别为每个步骤消除元素时包含所成倍数的消除矩阵
    下三角矩阵为:
    L = E^{-1}F^{-1}G^{-1}
    两个矩阵相乘之后结果为对称轴为1其他位置为0的矩阵,那么两个矩阵互为逆矩阵。

    将原矩阵化为两个三角矩阵,即
    Ax = b -> Lc = b and Ux = c
    先求出c,然后求x
    U的对称轴上元素不都为1,那么将每一行除以该行对称轴上的元素,方程转化为 A = LDU

    行交换:
    通过将原矩阵前乘以P(转换矩阵)得到预期位置的矩阵。

    行交换后,由于U进行了行交换,计算L时要按照交换后的矩阵计算。

    不太理解的地方:

    • 转化为两个三角矩阵后的计算量变为\frac{n^2}2
    • 计算微积分时的顺序不一定一样

    190109

    1.7 Special Matrices and 应用

    现实中遇到的矩阵很多情况下是对称的,大部分系数为0。这节主要讲了tridiagonal matrix.如second derivativea

    运算量为P = 1/3w(w-1)(3n-2w+1)

    展开全文
  • 1. 线性方程组 Systems of Linear Equations (Linear System) 4. 解的存在性与唯一性定理 (Theorem 2.
  • 1、 图像的平移 2、 图像的转置 3、图像的缩放 4、 图像旋转
  • 线性代数及其应用 知识整理

    千次阅读 2020-08-30 09:47:40
    线性方程组 线性方程:形如 a1x1+a2x2+⋯+anxn=ba_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=ba1​x1​+a2​x2​+⋯+an​xn​=b 的方程。 线性方程组:线性方程的组合。 解集:线性方程组所有可能的解的集合。当两个线性方程组的解...

    1. 线性方程组

    线性方程:形如 a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = b a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b a1x1+a2x2++anxn=b 的方程。

    线性方程组:线性方程的组合。

    解集:线性方程组所有可能的解的集合。当两个线性方程组的解集相同时,称这两个线性方程组等价

    线性方程组解的情况只有三种:

    1. 无解
    2. 有唯一解
    3. 有无穷多解

    通过几何来理解,(二元一次)线性方程组中的每个方程都代表了一条直线,当方程组无解时,代表这些直线没有任何交点,也就是互相平行;有唯一解时,一个公共交点;无穷多解时,直线的公共相交部分是一条直线。

    若一个线性方程组有一个或多个解,则称这个线性方程组是相容的;若线性方程组无解,则不相容,此时方程组的解集是空集。

    线性方程组可以通过矩阵来表示。矩阵提供了线性方程组的一种简约记法:

    {   x 1 − 2 x 2 + x 3 = 0   2 x 2 − 8 x 3 = 8   5 x 1 − 5 x 3 = 10 \begin{cases} \ x_1-2x_2+x_3=0\\ \ 2x_2-8x_3=8 \\ \ 5x_1-5x_3=10\\ \end{cases}  x12x2+x3=0 2x28x3=8 5x15x3=10   ⟶ {\longrightarrow}   [ 1 − 2 1 0 0 2 − 8 8 5 0 − 5 10 ] \left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8\\ 5 & 0 & -5 & 10 \end{array}\right] 1052201850810

    该矩阵又称为增广矩阵,意思是扩大了的矩阵。

    上面矩阵的子矩阵 [ 1 − 2 1 0 2 − 8 5 0 − 5 ] \left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -8\\ 5 & 0 & -5 \end{array}\right] 105220185 称为系数矩阵。

    1.1 解线性方程组

    通过对线性方程组所代表的矩阵进行初等行变化,可以解线性方程组。

    解方程组的过程:

    1. 方程组是否有解?
    2. 若有解,是有唯一解,还是有无穷多解?

    初等行变换:

    1. (倍加)将某一行换成它本身或另一行的倍数的和。
    2. (对换)把两行互换。
    3. (倍乘)让某一行的所有元素乘以同一个非零数。

    行变换是可逆的。

    若两个矩阵彼此间可以通过若干行变换来得到,则称这两个矩阵行等价

    1.1.1 方程组的解

    对于

    [ 1 0 − 5 1 0 1 1 4 0 0 0 0 ] \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] 100010510140 ⟶ {\longrightarrow} {   x 1 − 5 x 3 = 1   x 2 + x 3 = 4   0 = 0 \begin{cases} \ x_1-5x_3=1\\ \ x_2+x_3=4\\ \ 0=0\\ \end{cases}  x15x3=1 x2+x3=4 0=0 ⟶ {\longrightarrow} {   x 1 = 1 + 5 x 3   x 2 = 4 − x 3 \begin{cases} \ x_1 = 1 + 5x_3\\ \ x_2 = 4 - x_3\\ \end{cases} { x1=1+5x3 x2=4x3

    这里 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2 称为基本变量,其他变量称为自由变量,自由变量可取任意值。最后给出的方程组的解称为该方程组的通解

    1.1.2 行化简和阶梯形矩阵

    矩阵中,非零行()是指至少包含一个非零元素的行(列)。

    非零行的先导元素是指该行最左边的非零元素。

    阶梯形矩阵:相同高度的台阶,台阶长度无所谓。

    [ 1 − 2 1 0 0 2 − 8 8 0 0 − 5 10 ] \left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8\\ 0 & 0 & -5 & 10 \end{array}\right] 1002201850810

    简化阶梯形矩阵

    [ 1 0 1 0 0 1 − 4 4 0 0 1 − 2 ] \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4\\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right] 100010141042

    简化阶梯形矩阵的定义:

    1. 非零行的先导元素为 1。
    2. 这些先导元素是其所在列的唯一非零元素。

    任何非零矩阵可通过行化简(也就是初等行变换)变为阶梯形矩阵。一个矩阵可转化为的阶梯形矩阵可以有很多种,但简化阶梯形矩阵只有唯一一种。

    主元位置:一个矩阵的行简化阶梯形中先导元素 1 所在的位置。
    如: [ 1 − 2 1 0 0 2 − 8 8 5 0 − 5 10 ] \left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8\\ 5 & 0 & -5 & 10 \end{array}\right] 1052201850810 的行简化阶梯形为 [ 1 0 1 0 0 1 − 4 4 0 0 1 − 2 ] \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4\\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right] 100010141042 ,则该矩阵的第 1 行第 1 列、第 2 行第2 列、第 3 行第 3 列是该矩阵的主元位置。

    主元列:主元位置所在的列。

    主元:主元位置上非零的元素,用于将其下方的元素化为 0 。
    [ 1 − 2 1 0 0 2 − 8 8 5 0 − 5 10 ] \left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8\\ 5 & 0 & -5 & 10 \end{array}\right] 1052201850810 ,该矩阵中,第 1 行第 1 列的元素 1 就是该矩阵的一个主元,可用于将下方的 5 化为 0 。

    2. 向量方程

    给定 n n n 维向量 v 1 , v 2 , … , v p v_1,v_2,\dots,v_p v1,v2,,vp 和标量 c 1 , c 2 , … , c p c_1,c_2,\dots,c_p c1,c2,,cp , 向量 y = c 1 v 1 + ⋯ + c p v p y=c_1v_1+\dots+c_pv_p y=c1v1++cpvp 称为 v 1 , v 2 , … , v p v_1,v_2,\dots,v_p v1,v2,,vp c 1 , c 2 , … , c p c_1,c_2,\dots,c_p c1,c2,,cp线性组合

    向量方程:形如 x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ + x n a n = b x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n=b x1a1+x2a2++xnan=b 的方程。其中 x 1 , x 2 , … , x n x_1, x_2, \dots, x_n x1,x2,,xn为标量, a 1 , a 2 , … , a n a_1, a_2, \dots, a_n a1,a2,,an b b b 为同维度的向量。

    如: x 1 [ 1 1 ] + x 2 [ 0 3 ] = [ 8 2 ] x_1\left[\begin{array}{cccc} 1 \\1 \end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{cccc} 0 \\3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 8 \\2 \end{array}\right] x1[11]+x2[03]=[82] 就是一个向量方程,可记作矩阵形式: [ 1 0 8 1 3 2 ] \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 8 \\ 1 & 3 &2 \end{array}\right] [110382]

    该向量方程的等价线性方程组形式为 {   x 1 = 8   x 1 + 3 x 2 = 2 \begin{cases} \ x_1=8\\ \ x_1+3x_2=2\\ \end{cases} { x1=8 x1+3x2=2

    总而言之,向量方程与线性方程组是互通的。

    给定 n n n 维向量 v 1 , v 2 , … , v p v_1,v_2,\dots,v_p v1,v2,,vp ,这些向量的所有线性组合,即 c 1 v 1 + ⋯ + c p v p c_1v_1+\dots+c_pv_p c1v1++cpvp,称为这些向量张成的空间,记作 Span { v 1 , v 2 , … , v p } \text{Span}\{v_1,v_2,\dots,v_p\} Span{v1,v2,,vp}

    判断向量 b b b 是否属于 Span { v 1 , v 2 , … , v p } \text{Span}\{v_1,v_2,\dots,v_p\} Span{v1,v2,,vp},就是在判断向量方程 c 1 v 1 + ⋯ + c p v p = b c_1v_1+\dots+c_pv_p=b c1v1++cpvp=b 是否有解,也就是在判断对应的线性方程组是否有解。

    3. 矩阵方程

    向量的线性组合可以看作是矩阵与向量的积:
    x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ + x 3 a 3 = [ a 1 a 2 ⋯ a n ] [ x 1 x 2 ⋮ x n ] = A x x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_3a_3=\left[\begin{array}{cccc} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right]=Ax x1a1+x2a2++x3a3=[a1a2an]x1x2xn=Ax
    其中 a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\dots,a_n a1,a2,,an 均为 n n n 维向量, x 1 , x 2 , … , x n x_1,x_2,\dots,x_n x1,x2,,xn 均为标量。

    矩阵方程:形如 A x = b Ax=b Ax=b 的方程。

    矩阵方程、向量方程和线性方程组彼此互通:
    在这里插入图片描述

    <图> 矩阵方程、向量方程和线性方程组之间的关系

    矩阵与向量之间的乘法于是可以有另一种理解:

    [ 2 3 4 − 1 5 − 3 6 − 2 8 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = x 1 [ 2 − 1 6 ] + x 2 [ 3 5 − 2 ] + x 3 [ 4 − 3 8 ] = [ 2 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 − x 1 + 5 x 2 − 3 x 3 6 x 1 − 2 x 2 + 8 x 3 ] \left[\begin{array}{cccc} 2& 3 & 4 \\ -1 & 5 & -3 \\ 6 & -2 & 8 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{cccc} 2 \\ -1 \\ 6 \end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{cccc} 3 \\ 5 \\ -2 \end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{cccc} 4 \\ -3 \\ 8 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 2x_1+3x_2+4x_3 \\ -x_1+5x_2-3x_3 \\ 6x_1-2x_2+ 8x_3 \end{array}\right] 216352438x1x2x3=x1216+x2352+x3438=2x1+3x2+4x3x1+5x23x36x12x2+8x3

    上面的矩阵可以看作是 3 个列向量的组合。

    展开全文
  • 线性代数及其应用(第三版)2.1节习题解答 那本经典的黄皮的外国教材
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