1. 线性方程组
线性方程：形如
a
1
x
1
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
n
x
n
=
b
a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b
a1x1+a2x2+⋯+anxn=b 的方程。
线性方程组：线性方程的组合。
解集：线性方程组所有可能的解的集合。当两个线性方程组的解集相同时，称这两个线性方程组等价。
线性方程组解的情况只有三种：
- 无解
- 有唯一解
- 有无穷多解
通过几何来理解，（二元一次）线性方程组中的每个方程都代表了一条直线，当方程组无解时，代表这些直线没有任何交点，也就是互相平行；有唯一解时，一个公共交点；无穷多解时，直线的公共相交部分是一条直线。
若一个线性方程组有一个或多个解，则称这个线性方程组是相容的；若线性方程组无解，则不相容，此时方程组的解集是空集。
线性方程组可以通过矩阵来表示。矩阵提供了线性方程组的一种简约记法：
{
x
1
−
2
x
2
+
x
3
=
0
2
x
2
−
8
x
3
=
8
5
x
1
−
5
x
3
=
10
\begin{cases} \ x_1-2x_2+x_3=0\\ \ 2x_2-8x_3=8 \\ \ 5x_1-5x_3=10\\ \end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧ x1−2x2+x3=0 2x2−8x3=8 5x1−5x3=10
⟶
{\longrightarrow}
⟶
[
1
−
2
1
0
0
2
−
8
8
5
0
−
5
10
]
\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8\\ 5 & 0 & -5 & 10 \end{array}\right]
⎣⎡105−2201−8−50810⎦⎤
该矩阵又称为增广矩阵，意思是扩大了的矩阵。
上面矩阵的子矩阵
[
1
−
2
1
0
2
−
8
5
0
−
5
]
\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -8\\ 5 & 0 & -5 \end{array}\right]
⎣⎡105−2201−8−5⎦⎤ 称为系数矩阵。
1.1 解线性方程组
通过对线性方程组所代表的矩阵进行初等行变化，可以解线性方程组。
解方程组的过程：
- 方程组是否有解？
- 若有解，是有唯一解，还是有无穷多解？
初等行变换：
- （倍加）将某一行换成它本身或另一行的倍数的和。
- （对换）把两行互换。
- （倍乘）让某一行的所有元素乘以同一个非零数。
行变换是可逆的。
若两个矩阵彼此间可以通过若干行变换来得到，则称这两个矩阵行等价。
1.1.1 方程组的解
对于
[
1
0
−
5
1
0
1
1
4
0
0
0
0
]
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
⎣⎡100010−510140⎦⎤
⟶
{\longrightarrow}
⟶
{
x
1
−
5
x
3
=
1
x
2
+
x
3
=
4
0
=
0
\begin{cases} \ x_1-5x_3=1\\ \ x_2+x_3=4\\ \ 0=0\\ \end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧ x1−5x3=1 x2+x3=4 0=0
⟶
{\longrightarrow}
⟶
{
x
1
=
1
+
5
x
3
x
2
=
4
−
x
3
\begin{cases} \ x_1 = 1 + 5x_3\\ \ x_2 = 4 - x_3\\ \end{cases}
{ x1=1+5x3 x2=4−x3
这里
x
1
x_1
x1 和
x
2
x_2
x2 称为基本变量，其他变量称为自由变量，自由变量可取任意值。最后给出的方程组的解称为该方程组的通解。
1.1.2 行化简和阶梯形矩阵
矩阵中，非零行(列)是指至少包含一个非零元素的行(列)。
非零行的先导元素是指该行最左边的非零元素。
阶梯形矩阵：相同高度的台阶，台阶长度无所谓。
[
1
−
2
1
0
0
2
−
8
8
0
0
−
5
10
]
\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8\\ 0 & 0 & -5 & 10 \end{array}\right]
⎣⎡100−2201−8−50810⎦⎤
简化阶梯形矩阵：
[
1
0
1
0
0
1
−
4
4
0
0
1
−
2
]
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4\\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right]
⎣⎡1000101−4104−2⎦⎤
简化阶梯形矩阵的定义：
- 非零行的先导元素为 1。
- 这些先导元素是其所在列的唯一非零元素。
任何非零矩阵可通过行化简（也就是初等行变换）变为阶梯形矩阵。一个矩阵可转化为的阶梯形矩阵可以有很多种，但简化阶梯形矩阵只有唯一一种。
主元位置：一个矩阵的行简化阶梯形中先导元素 1 所在的位置。
如：
[
1
−
2
1
0
0
2
−
8
8
5
0
−
5
10
]
\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8\\ 5 & 0 & -5 & 10 \end{array}\right]
⎣⎡105−2201−8−50810⎦⎤ 的行简化阶梯形为
[
1
0
1
0
0
1
−
4
4
0
0
1
−
2
]
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4\\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right]
⎣⎡1000101−4104−2⎦⎤ ，则该矩阵的第 1 行第 1 列、第 2 行第2 列、第 3 行第 3 列是该矩阵的主元位置。
主元列：主元位置所在的列。
主元：主元位置上非零的元素，用于将其下方的元素化为 0 。
如
[
1
−
2
1
0
0
2
−
8
8
5
0
−
5
10
]
\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8\\ 5 & 0 & -5 & 10 \end{array}\right]
⎣⎡105−2201−8−50810⎦⎤ ，该矩阵中，第 1 行第 1 列的元素 1 就是该矩阵的一个主元，可用于将下方的 5 化为 0 。
2. 向量方程
给定
n
n
n 维向量
v
1
,
v
2
,
…
,
v
p
v_1,v_2,\dots,v_p
v1,v2,…,vp 和标量
c
1
,
c
2
,
…
,
c
p
c_1,c_2,\dots,c_p
c1,c2,…,cp ， 向量
y
=
c
1
v
1
+
⋯
+
c
p
v
p
y=c_1v_1+\dots+c_pv_p
y=c1v1+⋯+cpvp 称为
v
1
,
v
2
,
…
,
v
p
v_1,v_2,\dots,v_p
v1,v2,…,vp 以
c
1
,
c
2
,
…
,
c
p
c_1,c_2,\dots,c_p
c1,c2,…,cp 为权的线性组合。
向量方程：形如
x
1
a
1
+
x
2
a
2
+
⋯
+
x
n
a
n
=
b
x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n=b
x1a1+x2a2+⋯+xnan=b 的方程。其中
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
x_1, x_2, \dots, x_n
x1,x2,…,xn为标量，
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
a_1, a_2, \dots, a_n
a1,a2,…,an 和
b
b
b 为同维度的向量。
如：
x
1
[
1
1
]
+
x
2
[
0
3
]
=
[
8
2
]
x_1\left[\begin{array}{cccc} 1 \\1 \end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{cccc} 0 \\3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 8 \\2 \end{array}\right]
x1[11]+x2[03]=[82] 就是一个向量方程，可记作矩阵形式：
[
1
0
8
1
3
2
]
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 8 \\ 1 & 3 &2 \end{array}\right]
[110382]
该向量方程的等价线性方程组形式为
{
x
1
=
8
x
1
+
3
x
2
=
2
\begin{cases} \ x_1=8\\ \ x_1+3x_2=2\\ \end{cases}
{ x1=8 x1+3x2=2
总而言之，向量方程与线性方程组是互通的。
给定
n
n
n 维向量
v
1
,
v
2
,
…
,
v
p
v_1,v_2,\dots,v_p
v1,v2,…,vp ，这些向量的所有线性组合，即
c
1
v
1
+
⋯
+
c
p
v
p
c_1v_1+\dots+c_pv_p
c1v1+⋯+cpvp，称为这些向量张成的空间，记作
Span
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
p
}
\text{Span}\{v_1,v_2,\dots,v_p\}
Span{v1,v2,…,vp}
判断向量
b
b
b 是否属于
Span
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
p
}
\text{Span}\{v_1,v_2,\dots,v_p\}
Span{v1,v2,…,vp}，就是在判断向量方程
c
1
v
1
+
⋯
+
c
p
v
p
=
b
c_1v_1+\dots+c_pv_p=b
c1v1+⋯+cpvp=b 是否有解，也就是在判断对应的线性方程组是否有解。
3. 矩阵方程
向量的线性组合可以看作是矩阵与向量的积：
x
1
a
1
+
x
2
a
2
+
⋯
+
x
3
a
3
=
[
a
1
a
2
⋯
a
n
]
[
x
1
x
2
⋮
x
n
]
=
A
x
x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_3a_3=\left[\begin{array}{cccc} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right]=Ax
x1a1+x2a2+⋯+x3a3=[a1a2⋯an]⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤=Ax
其中
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
a_1,a_2,\dots,a_n
a1,a2,…,an 均为
n
n
n 维向量，
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
x_1,x_2,\dots,x_n
x1,x2,…,xn 均为标量。
矩阵方程：形如
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b 的方程。
矩阵方程、向量方程和线性方程组彼此互通：
<图> 矩阵方程、向量方程和线性方程组之间的关系
矩阵与向量之间的乘法于是可以有另一种理解：
[
2
3
4
−
1
5
−
3
6
−
2
8
]
[
x
1
x
2
x
3
]
=
x
1
[
2
−
1
6
]
+
x
2
[
3
5
−
2
]
+
x
3
[
4
−
3
8
]
=
[
2
x
1
+
3
x
2
+
4
x
3
−
x
1
+
5
x
2
−
3
x
3
6
x
1
−
2
x
2
+
8
x
3
]
\left[\begin{array}{cccc} 2& 3 & 4 \\ -1 & 5 & -3 \\ 6 & -2 & 8 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{cccc} 2 \\ -1 \\ 6 \end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{cccc} 3 \\ 5 \\ -2 \end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{cccc} 4 \\ -3 \\ 8 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 2x_1+3x_2+4x_3 \\ -x_1+5x_2-3x_3 \\ 6x_1-2x_2+ 8x_3 \end{array}\right]
⎣⎡2−1635−24−38⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=x1⎣⎡2−16⎦⎤+x2⎣⎡35−2⎦⎤+x3⎣⎡4−38⎦⎤=⎣⎡2x1+3x2+4x3−x1+5x2−3x36x1−2x2+8x3⎦⎤
上面的矩阵可以看作是 3 个列向量的组合。
and
, point in different directions. The key step is to take particular combination 3
can be solved when
= A中第i行与B中第j列对应的元素相乘再相加
