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  • 随机变量及其分布

    2021-03-31 12:32:01
    随机变量及其分布2.1随机变量1: 随机变量概念的引入2:随机变量的定义3:随机变量的意义2.2 离散型随机变量及其概率分布1:离散型随机变量及其概率分布2:常用离散分布2.3随机变量的分布函数1:随机变量的分布函数2:离散...

    2.1随机变量

    1: 随机变量概念的引入

    2:随机变量的定义

    3:随机变量的意义

    2.2 离散型随机变量及其概率分布

    1:离散型随机变量及其概率分布

    2:常用离散分布

    2.3随机变量的分布函数

    1:随机变量的分布函数

    2:离散型随机变量的分布函数

    2.4:连续性随机变量及其概率密度

    1:连续性随机变量及其概率密度

    2:常用连续分布

    2.5随机变量函数的分布

    1:随机变量函数

    随机变量函数是根据正态分布引入的,根据已有结论:若随机变量服从正太分布X~U(μ,σ)则随机变量:
    Y=(Xμ)/σN(0,1)Y = (X-μ)/σ - N(0,1)
    这里Y是X的函数,故引申了下面一个定义:

    定义1:

    如果存在一个函数Y=g(x)Y = g(x)使自变量X,Y满足: Y=g(x)Y = g(x) ,则称随机变量Y是随机变量X的函数.
    就是自变量y本身是一个函数的同时 他又作为因变量满足另外一个函数
    这里就引申出来一些性质:
    1:如果Y=g(x)Y = g(x) z这个函数的自变量x是连续的,那么g(x)不一定会连续
    2:如果Y=g(x)Y= g(x) 这个函数的自变量x是离散的,那么g(x) 一定离散

    2:离散型随机变量函数的分布

    离散型随机变量的概率分布为:
    P(X=xi)=pi,i=1,2,3...P(X = xi) = pi , i=1,2,3...
    这里也可以很清楚的看见X的函数Y=g(x)Y=g(x) 显然还是离散型随机变量,明显其他点没有取值嘛,只有固定的点有取值

    所以要求出当Y=g(x)Y = g(x)的这个y的概率函数分布,就要根据x来求就是通过x算出y的对应的取值范围然后再看联系以前的x的概率分布进行运算得到y的概率函数分布
    这个很好理解的,不用想太多

    3:连续性随机变量的函数分布

    这里我们根据前面已经学到的离散型随机变量函数分布来想,总体思路还是根据x的取值可能得到y的取值可能再来算y的概率分布函数.

    • 分割线----------------------下面的可以-----不用看-------说得不是很好
      然后我们来看分布函数,我们已知的概率分布函数是F(x)F(x)或者密度函数f(x)f(x),在前面我们已经学到了通过这个来反应连续性随机变量的概率情况,所以目前的情况就是如何把x的概率分布函数F(x)F(x)转为y的概率分布函数

    我们来想想,y的概率分布函数即设为是Fy(y)Fy(y) 那么我们来一步步的推到:
    Fy(y)=Fy(Y<y)Fy(y)=Fy(Y<y)(这里的Y是具体的值)=Fy(g(X)<y)=Fy(g(X)<y)然后我们把Fy(y)Fy(y)里面的y用g(x)g(x)换掉就得到了Fx(x)Fx(x)了故我们可以得到这里可能会想换回去能一样吗,肯定一样的,因为我们Fy(y)Fy(y) 就是根据Fx(x)Fx(x)推到来的具体证明我也不会
    所以我们根据离散型随机变量的求法来求连续型随机变量的概率函数时就依葫芦画瓢把x和y进行相应的替换就行,用y表示x然后在带入原来的Fx(x)Fx(x)中然后变掉原来的取值范围你变成y的取值范围就行了
    但是如果是密度函数的话就比较复杂了
    就是要算积分
    Fy(y)=P(X=g(x))=C(y)fx(x)Fy(y) =P(X=g(x))=∫C(y)fx(x)
    推到就不写了

    定理1:

    好了不做了 在这上面做笔记真的不好

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  • 目录第一节 离散型随机变量及其分布随机变量定义概率分布律常用离散型随机变量及其分布律分布函数定义性质 第一节 离散型随机变量及其分布 随机变量 定义 设EEE是随机试验,它的样本空间是U={e}U=\{e\}U={e}。如果...

    第一节 离散型随机变量及其分布

    随机变量

    定义

    EE是随机试验,它的样本空间是U={e}U=\{e\}。如果对于每一个eUe\in U,有一个实数X(e)X(e)与之对应,这样就得到一个定义在UU上的单值实值函数X(e)X(e),称X(e)X(e)随机变量

    随机变量
    离散型
    非离散型
    连续型
    其他

    概率分布律

    表示离散型随机变量XX的所有不同取值xi(i=1,2,,n,)x_i(i=1,2,\cdots,n,\cdots)与相应概率的关系式P{X=xi}=pi(i=1,2,,n,)P\{X=x_i\}=p_i(i=1,2,\cdots,n,\cdots)X(x1xipipi)X\sim\begin{pmatrix} x_1\cdots x_i\cdots \\ p_i\cdots p_i\cdots\end{pmatrix}称为离散型随机变量的概率分布律

    常用离散型随机变量及其分布律

    • (0-1)分布(又称两点分布)

      P{X=k}=pk(1p)1k  (k=0,1;0<p<1)P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k}\ \ (k=0,1;0<p<1)

    • 二项分布

      P{X=k}=Cnkpk(1p)nk=n!k!(nk)!pkqnkP\{X=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}

    • 泊松(Poisson)分布

      P{X=k}=λkk!eλ  (k=0,1,2,)(λ>0)P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\ \ (k=0,1,2,\cdots)(\lambda>0)

      nn比较大,有Cnkpk(1p)nkλkk!eλC_n^kp^k(1-p)^{n-k}\approx\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}成立。其中λ=np\lambda=np

    • 几何分布 进行重复独立试验,每次试验事件AA发生的概率为p(0<p<1)p(0<p<1),设XX表示事件AA首次发生时的试验次数,则称XX服从几何分布

      P{X=k}=p(1p)k1(k=1,2,,n,)P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1}(k=1,2,\cdots,n,\cdots)

    • 超几何分布 一个口袋里装有aa个红球、bb个白球,从中任取mm个球(1ma+b)(1\leq m\leq a+b),设XX表示从中取出的红球的个数,则称XX服从超几何分布

      P(X=k)=CakCbmkCa+bm(1kmin{m,a})P(X=k)=\frac{C_a^kC_b^{m-k}}{C_{a+b}^m}(1\leq k\leq min\{m,a\})

    分布函数

    定义

    对任意试试xx,随机变量XX的取值不超过xx的累计概率P{Xx}P\{X\leq x\}是实数xx的函数,称为随机变量XX的累积分布函数(cumulative distrubution function)或累积概率,简称XX分布函数,记作FX(x)F_X(x)或简记作F(x)F(x),即F(x)=P{Xx}F(x)=P\{X\leq x\}

    F(x)F(x)是随机变量XX分布函数,对任意实数x1,x2(x1<x2)x_1,x_2(x1<x_2),有P{x1<Xx2}=P{Xx2}P{Xx1}=F(x2)F(x1)P\{x_1<X\leq x_2\}=P\{X\leq x_2\}-P\{X\leq x_1\}=F(x_2)-F(x_1)

    即分布函数F(x)F(x)可以表示随机变量XX落在任一区间(x1,x2](x_1,x_2]上的概率,所以分布函数可以完整地描述随机变量概率分布的规律性。

    性质
    • 0F(x)1  (<x<+)0\leq F(x)\leq1\ \ (-\infty<x<+\infty)
    • x1<x2x_1<x_2,则F(x1)F(x2)F(x_1)\leq F(x_2),即任一分布函数都是单调不减的
    • F()=limxF(x)=0F(-\infty)=\lim_{x \to -\infty}F(x)=0F(+)=limx+F(x)=1F(+\infty)=\lim_{x\to+\infty}F(x)=1
    • 右连续,即limxx0+0F(x)=F(x0)\lim_{x\to x_0+0}F(x)=F(x_0)

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  • 目录第二节 连续型随机变量及其分布密度函数定义性质常用离散型随机变量的分布 第二节 连续型随机变量及其分布 密度函数 定义 设F(x)F(x)F(x)是随机变量XXX的分布函数,若对任意的实数xxx,存在f(x)>0f(x)>0f...

    第二节 连续型随机变量及其分布

    密度函数

    定义

    F(x)F(x)是随机变量XX的分布函数,若对任意的实数xx,存在f(x)>0f(x)>0,使F(x)=xf(t)dtF(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt,则称XX为连续型随机变量,称f(x)f(x)XX密度函数(也称为分布密度概率密度),并称XX的分布为连续型分布

    性质
    • f(x)0  (<x<+)f(x)\geq0\ \ (-\infty<x<+\infty)
    • +f(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1
    • P{a<xb}=abf(x)dx=F(b)F(a)P\{a<x\leq b\}=\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)
    • f(x)f(x)xx处连续,则F(x)=f(x)F'(x)=f(x)
    • 连续型随机变量XX取任一指定实数值aa的概率都等于0。即P{X=a}=0P\{X=a\}=0

    常用离散型随机变量的分布

    • 均匀分布 若XX的密度函数为f(x)={1ba,x[a,b]0,x<ax>bf(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{b-a},&x\in[a,b]\\0,&x<a或x>b\end{matrix}\right.则称XX服从区间[a,b][a,b]上的均匀分布(uniform distribution),记作XU[a,b]X\in U[a,b]XX的分布函数为F(x)={0,x<axaba,ax<b1,xbF(x)=\left\{\begin{matrix}\\0,&x<a\\\frac{x-a}{b-a},&a\leq x<b\\1,&x\geq b\end{matrix}\right.
    • 指数分布 若XX的密度函数为f(x)={λeλx,x>0,λ>00,f(x)=\left\{\begin{matrix}\\\lambda e^{-\lambda x},&x>0,\lambda>0\\0,&其他\end{matrix}\right.则称XX服从参数为λ\lambda指数分布,记为XE(λ)X\sim E(\lambda)。其分布函数为F(x)={0,x<01eλx,x0F(x)=\left\{\begin{matrix}\\0,&x<0\\1-e^{-\lambda x},&x\geq0\end{matrix}\right.
    • 正态分布 若XX的密度函数为f(x)=1σ2πe(xμ)22σ2,  μR,σ>0,<x<+f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\ \ \mu\in R,\sigma>0,-\infty<x<+\infty则称XX服从参数为μ,σ\mu,\sigma正态分布,记为N(0,1)N(0,1)

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  • 1.随机变量及其分布函数的定义 2.离散型随机变量 定义:随机变量可能取得的值是有限个或者可列无限个 概率分布列 分布函数 常见的离散性随机变量:0-1分布、二项分布和泊松分布 3.连续型随机变量 定义 分布...

    本节知识点

    1.随机变量及其分布函数的定义

    2.离散型随机变量

    定义:随机变量可能取得的值是有限个或者可列无限个

    概率分布列

    分布函数

    常见的离散性随机变量:0-1分布、二项分布和泊松分布

    3.连续型随机变量

    定义

    分布函数和概率密度函数

    常见的连续型随机变量:均匀分布、正态分布和标准正态分布、指数分布

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • 文章目录2.2 离散型随机变量及其概率分布一:离散型随机变量的分布律二:常见离散型随机变量的概率分布:两点分布二项分布泊松分布几何分布 一:离散型随机变量的分布律 特点: 这个我们并不陌生,高中的时候那道...
  • 3.1 随机变量及其分布

    2020-03-16 22:32:38
    §1 随机变量及其分布
  • CH3–多维随机变量及其分布 文章目录CH3--多维随机变量及其分布联合分布函数:联合分布函数的基本性质:联合分布列联合密度函数:联合密度函数性质:常用多维分布#正态分布边缘分布:随机变量间的独立性离散场合的...
  • 文章目录3.1 二维随机变量二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量二维连续型随机变量 二维随机变量及其分布函数 上一章里我们都是用一个随机变量XXX来表述概率的。但是在现实生活里影响事情发生概率的随机变量...
  • 第三章 多维随机变量及其分布 3.5 两个随机变量的函数分布 文章目录第三章 多维随机变量及其分布 3.5 两个随机变量的函数分布Z=X+Y分布Z = X + Y分布Z=X+Y分布Z=XY、Z=X/Y的分布Z = XY 、Z = X/Y的分布Z=XY、Z=X/Y的...
  • 1.3 多维随机变量及其分布 一、二维随机变量 定义 1.3.1: 设设设 EEE 为一个随机试验,其样本空间为一个随机试验,其样本空间为一个随机试验,其样本空间 S={e},X=X(e)S=\{e\},X=X(e)S={e},X=X(e) 及及及 Y(e)Y(e)...
  • 随机变量及其分布
  • 目录第二章 随机变量及其分布(1)随机变量总结 第二章 随机变量及其分布 (1)随机变量 总结 本结重要讲了:随机变量的概念** **
  • 第三章 多维随机变量及其分布 3.3 条件分布 文章目录第三章 多维随机变量及其分布 3.3 条件分布离散型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布 离散型随机变量的条件分布 例: 求: 离散型的直接套条件概率的...
  • 随机变量及其分布

    千次阅读 2019-04-15 17:00:09
    离散型随机变量及其分布 (0-1)分布 设随机变量X只可能取0和1的两个值,他的分布律是, 则称 X 服从以p为参数的(0-1)分布或者两点分布。 分布律: X 0 1 Pk 1-p p 伯努利(Bernoulli)...
  • 第一节 随机变量第二节 离散型随机变量及其分布律第三节 随机变量的分布函数第四节 连续型随机变量及其概率密度第五节 随机变量的函数的分布
  • (概率论习题课2)--随机变量及其分布.pdf
  • 第三章 多维随机变量及其分布 3.4相互独立的随机变量 定义: 简单说就是事件X跟Y没啥关系。故他俩一起发生的概率等于他们单独都发生的概率。 对于离散型随机变量: 例: 解: 对于连续型随机变量: 例 如图:...
  • 第二章 随机变量及其分布

    千次阅读 2020-02-28 16:40:01
    概率论与数理统计浙大版 第二章 随机变量及其分布 易错题和总结
  • 概率论(二) 随机变量及其分布

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