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  • 随机变量及其分布

    千次阅读 2019-04-18 09:26:05
    随机变量XXX的概率分布,指的是它的分布函数。进一步的 XXX是连续型随机变量,指的是它的概率密度。 XXX是离散型随机变量,指的是它的分布律。 1 均匀分布 随机变量XXX落在(a,b)(a,b)(a,b)中任意位置的概率...

    1 随机变量及其分布律或分布函数

    随机变量有两种:离散型随机变量,连续型随机变量。
    离散型随机变量:随机变量可能取的值是有限个可列无限个。
    连续型随机变量:可能取的值是连续的(这个定义是笔者自己简单总结的)。

    关于连续型随机变量,专业(大学课本)的定义需要用到分布函数,所以在1.3中讲连续型变量的分布函数时,再讲其专业定义。

    1.1 离散型随机变量的分布律

    离散型随机变量 X X X所有可能取的值有 x k ( k = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ) x_k(k=1,2,\cdot \cdot \cdot) xk(k=1,2,) X X X取各个可能值的概率为
    P ( X = x k ) = p k , k = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ . ( 1 ) P(X=x_k)=p_k,k=1,2,\cdot \cdot \cdot.(1) P(X=xk)=pkk=1,2,.(1)
    由概率的定义, p k p_k pk满足以下条件:

    1. p k ≥ 0 , k = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ; p_k \geq 0,k=1,2, \cdot \cdot \cdot; pk0k=1,2,
    2. ∑ k = 1 ∞ p k = 1. \sum_{k=1}^\infty p_k = 1 . k=1pk=1.

    因为概率1以一定的规律分布在各个可能值上,所以称公式(1)为离散型随机变量 X X X的分布律。分布律也可以用表格的形式表示

    X x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2 ⋅ ⋅ ⋅ \cdot \cdot \cdot x n x_n xn ⋅ ⋅ ⋅ \cdot \cdot \cdot
    p k p_k pk p 1 p_1 p1 p 2 p_2 p2 ⋅ ⋅ ⋅ \cdot \cdot \cdot p n p_n pn ⋅ ⋅ ⋅ \cdot \cdot \cdot

    1.2 分布函数

    为什么在离散型随机变量的分布律、连续型随机变量的分布函数中间插上这么一节呢?
    因为讲了离散型随机变量的分布律,才能讲离散型随机变量的分布函数;
    讲了分布函数,才能引出连续型随机变量的定义。

    1. 由连续型随机变量引出分布函数的概念
      对于连续型随机变量,我们不会对某一个值感兴趣,而是对某一个区间感兴趣。但由于
      P { x 1 &lt; X ≤ x 2 } = P { X ≤ x 2 } − P { X ≤ x 1 } P\left \{ x_1&lt;X\leq x_2 \right \} = P \left \{ X\leq x_2 \right \} - P \left \{ X\leq x_1 \right \} P{x1<Xx2}=P{Xx2}P{Xx1}
      所以只需知道 P { X ≤ x 2 } P \left \{ X\leq x_2 \right \} P{Xx2} P { X ≤ x 1 } P \left \{ X\leq x_1 \right \} P{Xx1}即可。

    注意:连续型随机变量和离散型随机变量都有分布函数。

    1. 分布函数
      X X X是一个随机变量, x x x是任意实数,函数
      F ( x ) = P { X ≤ x } , − ∞ &lt; x &lt; ∞ F(x)=P\left \{X\leq x \right \},-\infty &lt; x&lt; \infty F(x)=P{Xx}<x<
      称为 X X X分布函数

    2. 分布函数的性质
      <1> 分布函数是一个不减函数。
      <2> 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 0 \leq F(x) \leq 1 0F(x)1,且
      F ( − ∞ ) = lim ⁡ x − &gt; − ∞ F ( x ) = 0 F(-\infty)=\lim_{x-&gt;-\infty}F(x)=0 F()=x>limF(x)=0
      F ( ∞ ) = lim ⁡ x − &gt; ∞ F ( x ) = 1 F(\infty)=\lim_{x-&gt;\infty}F(x)=1 F()=x>limF(x)=1

    3. 离散型随机变量的分布函数
      设离散型随机变量 X X X的分布律为 P { X = x k } = p k , k = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ . P\left\{ X=x_k\right \}=p_k,k=1,2,\cdot \cdot \cdot. P{X=xk}=pkk=1,2,.
      X X X的分布函数为
      F ( x ) = P { X ≤ x } = ∑ x k ≤ x P { X = x } F(x)=P\left\{ X \leq x \right \} = \sum_{x_k \leq x} P\left\{ X = x \right \} F(x)=P{Xx}=xkxP{X=x}
      F ( x ) = ∑ x k ≤ x p k F(x) = \sum_{x_k \leq x}p_k F(x)=xkxpk
      总之,离散型随机变量的分布函数即各个可能取值概率值的累加和。
      举例:如(0-1)分布

    X01
    p k p_k pk 1 − p 1-p 1p p p p

    其分布函数为
    F ( x ) = { 0 X &lt; 0 p 0 ≤ X &lt; 1 1 X ≥ 1 F(x) = \begin{cases} 0 &amp; X&lt;0\\ p &amp; 0 \leq X &lt;1\\ 1 &amp; X \geq 1\\ \end{cases} F(x)=0p1X<00X<1X1

    连续型随机变量的分布函数要繁琐些,后面细讲。

    1.3 连续型随机变量的分布函数

    1. 连续型随机变量的定义
      对于随机变量 X X X的分布函数 F ( x ) F(x) F(x),存在非负函数 f ( x ) f(x) f(x),使得对于任意实数(即事件) x x x
      F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x)=\int_{-\infty}^{x}{f(t)}dt F(x)=xf(t)dt
      则称 X X X为连续型随机变量,函数 f ( x ) f(x) f(x)称为 X X X的概率密度函数,简称概率密度。

    2. 概率密度 f ( x ) f(x) f(x)的性质
      <1> f ( x ) ≥ 0 f(x) \geq 0 f(x)0
      <2> ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1 f(x)dx=1
      F ( x ) F(x) F(x)等于 X = − ∞ X=-\infty X= X = x X=x X=x y = 0 y=0 y=0 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)四条线之间的面积。

    2 随机变量的分布

    2.1 离散型随机变量的分布

    离散型随机变量的分布包括 (0-1)分布伯努利(二项)分布泊松分布

    2.1.1 (0-1)分布

    随机变量只可能取0与1两个值,它的分布律是
    P { X = k } = p k ( 1 − p ) ( 1 − k ) P \left \{X=k \right \}=p^k(1-p)^{(1-k)} P{X=k}=pk(1p)(1k)
    或拆开写为
    P ( X ) = { p , X = 1 1 − p , X = 0 P(X)=\begin{cases} p &amp;,&amp;X=1 \\ 1-p &amp;,&amp; X=0 \\ \end{cases} P(X)={p1pX=1X=0
    分布律表格是

    X01
    p k p_k pk 1 − p 1-p 1p p p p

    注意:我们暂且将(0-1)分布记为 X X X~ N ( p ) N(p) N(p)(这是笔者自己的记法),此举是为了突出(0-1)分布有一个参数 p p p。后面讲参数估计(例如点估计方法族中的极大似然估计)的时候会用到。

    2.1.2 伯努利分布(也称二项分布)

    **伯努利试验:**只有两个可能结果( A A A A ‾ \overline{A} A)的试验。设 P ( A ) = p P(A)=p P(A)=p,则 P ( A ‾ ) = 1 − p P(\overline A)=1-p P(A)=1p。将伯努利试验重复进行 n n n次称为 n n n 重伯努利试验

    X X X表示 n n n重伯努利试验中事件 A A A发生的次数,X是一个随机变量,求它的分布律。
    n次试验中,事件A发生了 k k k次的概率为 C n k p k ( 1 − p ) ( n − k ) C_n^kp^k(1-p)^{(n-k)} Cnkpk(1p)(nk),即有
    P ( X = k ) = C n k p k ( 1 − p ) ( n − k ) , k = 0 , 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n . P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{(n-k)},k=0,1,2,\cdot \cdot \cdot ,n. P(X=k)=Cnkpk(1p)(nk)k=0,1,2,,n.
    显然 P { X = k } P\left \{X=k \right \} P{X=k}满足离散型随机变量分布律的条件,即 P { X = k } ≥ 0 P\left \{X=k \right \} \geq 0 P{X=k}0并且 ∑ k = 0 n P ( X = k ) = 1 \sum_{k=0}^nP(X=k)=1 k=0nP(X=k)=1
    所以称随机变量 X X X从参数为 n n n, p p p的二项分布,并记为 X X X~ b ( n , p ) b(n,p) b(n,p)。(特别的,当 n = 1 n=1 n=1即只进行一次伯努利试验时,二项分布化为(0-1)分布)

    注意: X X X~ b ( n , p ) b(n,p) b(n,p)有两个参数 n n n p p p,后面讲参数估计(例如点估计方法族中的极大似然估计)的时候会用到。

    2.1.3 泊松分布

    随机变量 X X X可能取的值为 0 , 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ 0,1,2,\cdot \cdot \cdot 0,1,2,,取各个值的概率为
    P ( X = k ) = λ k e − k k ! , k = 0 , 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , P(X=k)=\frac{\lambda ^ke^{-k}}{k!},k=0,1,2,\cdot \cdot \cdot, P(X=k)=k!λkekk=0,1,2,,
    其中 λ &gt; 0 \lambda&gt;0 λ>0是泊松分布的数学期望或方差(泊松分布的数学期望和方差相等,都等于参数 λ \lambda λ),则称 X X X服从参数为 λ \lambda λ的泊松分布,记为 X X X ~ π ( λ ) \pi(\lambda) π(λ)

    注意: 泊松分布只有一个参数 λ \lambda λ

    2.2 连续型随机变量的分布

    连续型随机变量的分布包括均匀分布指数分布正态分布

    下面连续型随机变量的分布,只写出概率密度,。
    分布函数,求积分即可,因为分布函数用的少就不写了。

    2.2.1 均匀分布

    若连续型随机变量 X X X具有概率密度
    f ( x ) = { 1 b − a , a &lt; x &lt; b 0 , 其 他 f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}, &amp;a&lt;x&lt;b \\ 0 ,&amp; 其他 \\ \end{cases} f(x)={ba10a<x<b
    则称 X X X在区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)上服从均匀分布,记为 X X X~ U ( a , b ) U(a,b) U(a,b)

    均匀分布的特点:等可能性。即随机变量 X X X落在 ( a , b ) (a,b) (a,b)中任意等长度子区间内的可能性(概率)是相同的。

    2.2.2 指数分布

    若连续型随机变量 X X X的概率密度为
    f ( x ) = { 1 θ e − x / θ , x &gt; 0 , 0 , 其 他 , f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}, &amp; x&gt;0,\\ 0,&amp;其他, \end{cases} f(x)={θ1ex/θ,0,x>0

    2.2.3 正态分布(又称高斯分布)

    若连续型随机变量 X X X的概率密度为
    f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − u ) 2 2 σ 2 , − ∞ &lt; x &lt; + ∞ , f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{(x-u)^2}{2\sigma^2}} ,-\infty&lt;x&lt;+\infty, f(x)=2πσ 1e2σ2(xu)2<x<+
    其中, μ , σ μ ,σ μ,σ分别是分布的数学期望和标准差( σ 2 \sigma^2 σ2即方差),则称 X X X为服从参数 μ , σ μ ,σ μ,σ正态分布高斯分布,记为 X X X~ N ( u , σ 2 ) N(u,\sigma^2) N(u,σ2)

    正态分布的性质:
    <1> 曲线关于期望( x = u x=u x=u)对称。
    <2> 当 x = u x=u x=u时取到最大值
    f ( u ) = 1 2 π σ f(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} f(u)=2πσ 1

    正态分布的期望值 μ μ μ决定了其位置,其标准差 σ σ σ决定了分布的幅度,由最大值公式可以看出, σ \sigma σ越小时图形变得越尖,因而 X X X落在 u u u附近的概率越大。

    μ = 0 μ = 0 μ=0 σ = 1 σ = 1 σ=1时的正态分布是标准正态分布
    一般正态分布转换为标准正态分布:
    X X X~ N ( u , σ 2 ) N(u,\sigma^2) N(u,σ2),则 Y = X − u σ Y = \frac{X-u}{\sigma} Y=σXu~ N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)服从标准正态分布。

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  • 概率论基础知识(二) 随机变量及其分布

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    概率论基础知识(二) 随机变量及其分布 1、随机变量 定义:设随机试验的样本空间为S={e}, X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。 这样一来,样本空间可以很好的映射到一系列的实值上...

    概率论基础知识(二) 随机变量及其分布

    1、随机变量

    定义:设随机试验的样本空间为S={e}, X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。
    这样一来,样本空间可以很好的映射到一系列的实值上,方便了接下来各种性质的讨论。
    在这里插入图片描述

    • 随机变量可以分为:离散型随机变量和非离散型随机变量,其中非离散型随机变量主要以连续型随机变量为主。
    • 离散型随机变量:随机变量可能取到的值时有限个数或可列无限多个。 X = a 1 , a 2 , . . . X=a_1, a_2, ... X=a1,a2,...
    • 连续型随机变量:随机变量可能取到的值时无限个数。 Y ∈ ( a , b ) Y∈(a, b) Y(a,b)
    2、随机变量的分布函数

    定义:设X是一个随机变量,x是任意实数,函数 F ( x ) = P { X ≤ x } F(x)=P\{X ≤ x\} F(x)=P{Xx}称为X的分布函数,有时也记为X ~ F(x)。

    对于任意实数 x 1 , x 2 ( x 1 &lt; x 2 ) x_1, x_2(x_1&lt;x_2) x1,x2(x1<x2)
    P { x 1 &lt; X ≤ x 2 } = P { X ≤ x 2 } − P { X ≤ x 1 } = F ( x 2 ) − F ( x 1 ) P\{x_1&lt;X≤x_2\}=P\{X≤x_2\}-P\{X≤x_1\}=F(x_2)-F(x_1) P{x1<Xx2}=P{Xx2}P{Xx1}=F(x2)F(x1) P { X &gt; x 1 } = 1 − P { X ≤ x } = 1 − F ( x 1 ) P\{X&gt;x_1\}=1-P\{X≤x\}=1-F(x_1) P{X>x1}=1P{Xx}=1F(x1) 因此,若已知X的分布函数,就可以知道X落在任一区间上的概率,在这个意义上说,分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。

    如果将X看成是数轴上的随机点的坐标,那么,分布函数F(x)在x处的函数值就表示x落在区间 ( − ∞ , x ) (-\infty,x) (x)上的概率。

    性质:(1)F(x)是不减函数;
    &ThinSpace;&ThickSpace; \,\;\qquad (2) 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 0 \leq F(x) \leq 1 0F(x)1, 且 F ( − i n f ) = 0 , F ( i n f ) = 1 F(-inf) = 0, F(inf) = 1 F(inf)=0,F(inf)=1;
    &ThinSpace;&ThickSpace; \,\;\qquad (3) F ( x + 0 ) = F ( x ) F(x + 0) = F(x) F(x+0)=F(x),即F(x) 右连续

    3、离散型随机变量及其分布律

    分布律:对于离散型随机变量X,可以取的值有 x 1 , . . . , x i , . . . , x n x_1, ..., x_i, ..., x_n x1,...,xi,...,xn, 对应的概率为 P ( x 1 ) , . . . , P ( x i ) , . . . , P ( x n ) P(x_1), ..., P(x_i), ..., P(x_n) P(x1),...,P(xi),...,P(xn)

    常用离散型随机分布

    (1)0-1分布
    事件只有发生和不发生两种可能,发生的概率为p,则不发生的概率为(1-p),那么:
    P { X = k } = p k ( 1 − p ) 1 − k , k = 0 , 1 P\{X=k\} = p^k(1-p)^{1-k}, k = 0,1 P{X=k}=pk(1p)1k,k=0,1

    (2)伯努利试验、二项分布
    伯努利试验:一次试验只有两种可能结果:发生为A,不发生为 A ‾ \overline A A,并且 P ( A ) = p , P ( A ‾ ) = 1 − p P(A) = p, P(\overline A) = 1-p P(A)=p,P(A)=1p,n次独立重复的伯努利试验服从二项分布:设k表示事件A发生的次数,则:
    b ( k ; n , p ) = P { X = k } = C n k p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , . . . , n b(k;n,p)=P\{X=k\} = C_n^kp^k(1-p)^{n-k}, k = 0,1,...,n b(k;n,p)=P{X=k}=Cnkpk(1p)nk,k=0,1,...,n记为X~(n,p),即X服从参数为n,p的二项分布。
    注意:重复是指每次试验p不变;独立是指各次结果互不影响。

    例:设子弹命中目标的概率为0.01,现发射500次,则击中目标的最可能次数是多少次?并求出相应的P。
    解:
    命中目标最可能次数是5次
    b ( 5 ; 500 , 0.01 ) = C 500 5 ( 0.01 ) 5 ( 0.99 ) 4 95 = 0.1176 b(5;500,0.01) =C_{500}^5(0.01)^5(0.99)^495 =0.1176 b(5;500,0.01)=C5005(0.01)5(0.99)495=0.1176
    计算困难,方法:
    (1)极限定理
    (2)Poisson分布近似

    注:
    在这里插入图片描述
    使b(k;n,p)取最大值的项b(m;n,p)叫中心项,m叫最可能成功次数。

    (3)泊松分布
    若随机变量x(x=k)只取零和正整数值0,1,2,…,且其概率分布为:
    p ( x = k ) = λ k k ! e − λ , k = 0 , 1 , … … p(x=k)={λ^k\over k!}e^{-λ},k=0, 1, …… p(x=k)=k!λkeλk=0,1,其中λ>0;e=2.7182…是自然对数的底数,则称x服从参数为λ的波松分布(Poisson’s distribution),记为x~P(λ)。
    波松分布作为一种离散型随机变量的概率分布有一个重要的特征:这就是它的平均数和方差相等,都等于常数λ,即 μ = σ 2 = λ μ=σ^2=λ μ=σ2=λ。利用这一特征, 可以初步判断一个离散型随机变量是否服从泊松分布。

    为什么 ∑ k = 0 ∞ λ k k ! e − λ = 1 \sum_{k=0}^\infty {λ^k\over k!}e^{-λ}=1 k=0k!λkeλ=1
    由泰勒展开式 e x = ∑ k = 0 ∞ x k k ! e^x=\sum_{k=0}^\infty {x^k\over k!} ex=k=0k!xk
    ∑ k = 0 ∞ λ k k ! e − λ = e − λ ⋅ ∑ k = 0 ∞ λ k k ! = e − λ ⋅ e λ = 1 \sum_{k=0}^\infty {λ^k\over k!}e^{-λ}=e^{-λ}·\sum_{k=0}^\infty {λ^k\over k!}=e^{-λ}·e^{λ}=1 k=0k!λkeλ=eλk=0k!λk=eλeλ=1

    注:泊松分布的应用:
    (1)作为二项分布的近似;
    (2)服从Poisson分布的现象非常多(生活、物理学 …)
    (3)“基本粒子” --> 用于构造其他分布

    泊松定理:当二项分布的n很大而p很小时,泊松分布可作为二项分布的近似,其中λ为np。通常当n≧20,p≦0.05时,就可以用泊松公式近似得计算。事实上,泊松分布正是由二项分布推导而来的。

    实际中很多事件服从泊松分布:一本书一页中的印刷错误数,某地区在一天内邮递遗失的信件数、某一医院在一天内的急诊病人数、某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数,在一个时间间隔内某种放射性物质发出的、经过计算机的粒子数等。
    (可以发现这些例子中,都是小概率事件,从实际中与泊松定理联系起来。)

    分赌本问题:
    甲、乙两赌徒赌技相同,各出赌注100法郎,每局无平局。他们约定,谁先赢三局则得到全部200法郎的赌本。
    当甲赢了2局,乙赢了1局时,因故要中止赌博。现问这200法郎如何分才算公平?

    import random
    
    def Bookie(n, n1, n2):
        for i in range(2*n-1-n1-n2):
            D = random.randint(1,2)
            if D == 1:
                n1 += 1
            else:
                n2 += 1
    
            if n == n1:
                return 1
            if n == n2:
                return 2
    
    N = 10000
    win = 0
    for i in range(N):
        if Bookie(3, 2, 1) == 1:
            win += 1
    
    print("甲赢得的概率为:%f" % (float(win)/float(N)))
    print("乙赢得的概率为:%f" % (1 - float(win)/float(N)))
    

    运算结果:

    甲赢得的概率为:0.741100
    乙赢得的概率为:0.258900
    
    4、连续型随机变量及其概率密度

    对于随机变量x,若存在一个非负的可积函数f(x),使得对任意实数x,有 F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x)=\int^x_{-\infty} f(t)dt F(x)=xf(t)dt 则称x为连续性随机变量。其中f(x)为x的概率分布密度函数,简称概率密度记为x ~ f(x)。

    概率密度函数的积分,即围成的面积,为随机变量落入某一区间的概率,如图所示:
    在这里插入图片描述
    性质:
    (1) f ( x ) ≥ 0 , − ∞ &lt; x − &lt; + ∞ f(x)\geq0, \quad -\infty \lt x -\lt +\infty f(x)0,<x<+
    (2) ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) d t = 1 \int^{+\infty}_{-\infty} f(t)dt=1 +f(t)dt=1
    (3)对任意 x 1 ≤ x 2 , P { x 1 &lt; Z ≤ x 2 } = ∫ x 1 x 2 f ( t ) d t = F ( x 2 ) − F ( x 1 ) x_1 \leq x_2,P\{x_1 \lt Z \leq x_2\}=\int^{x_2}_{x_1} f(t)dt=F(x_2)-F(x_1) x1x2P{x1<Zx2}=x1x2f(t)dt=F(x2)F(x1)
    (4)若f(x)在x点连续,则 F ′ ( x ) = f ( x ) F&#x27;(x)=f(x) F(x)=f(x)
    (5)改变f(x)在个别点处的函数值不影响F(x)
    (6)对任意x, P { X = x } = ∫ x x f ( t ) d t = 0 P\{X=x\}=\int^x_x f(t)dt=0 P{X=x}=xxf(t)dt=0

    约定:提到概率分布时,
    \qquad\qquad 离散型 <–> 分布律;
    \qquad\qquad 连续型 <–> 概率密度;

    常见的三种连续性随机变量
    (1)均匀分布
    随机变量落入区间(a,b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说它落入(a,b)区间内的概率只依赖于子区间内的长度而与子区间的位置无关,表示为 X~U(a,b)。
    P ( x ) = { 1 b − a , a &lt; x &lt; b 0 , 其它 P(x)= \begin{cases} 1 \over b-a, &amp; \text {a &lt; x &lt; b} \\ 0, &amp; \text{其它} \end{cases} P(x)={ba,10,a < x < b其它
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    均匀分布的概率密度:
    P ( x ) = { 0 , x &lt; a x − a b − a , a &lt;= x &lt; b 1 , x &gt;= b P(x)= \begin{cases} 0, &amp; \text {x &lt; a} \\ {x-a}\over {b-a}, &amp; \text{a &lt;= x &lt; b} \\ 1, &amp; \text{x &gt;= b}\end{cases} P(x)=0,ba,xa1,x < aa <= x < bx >= b
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    理解“均匀”的含义: 等可能性

    (2)指数分布
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    其中λ > 0是分布的一个参数,常被称为率参数(rate parameter)。即每单位时间内发生某事件的次数。指数分布的区间是[0,∞)。 如果一个随机变量X呈指数分布,则可以写作:X ~ E(λ)。

    在不同的教材有不同的写法,θ=1/λ,因此概率密度函数,分布函数和期望方差有两种写法。
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    其中θ>0为常数,则称X服从参数θ的指数分布。
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    指数分布的分布函数:
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    (3)正太分布 (高斯(Gauss)分布)
    若随机变量 服从一个位置参数为 μ \mu μ、尺度参数为 σ \sigma σ的概率分布,且其概率密度函数为:
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    则这个随机变量就称为正态随机变量,正态随机变量服从的分布就称为正态分布,记作 X   N ( μ , σ 2 ) X~N(\mu, \sigma^2) X N(μ,σ2),读作X服从 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2),或X服从正态分布。
    其中:正态分布的积分可以利用广义二重积分和极坐标。

    高斯分布的不同参数的影响:
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    性质:
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    买面包问题:
    ·一个叫庞加莱的哥们每次买面包都回家称,并做记录,他发现他的面包一年的平均重量为0.95kg,于是他认为面包店缺斤少两,投诉了该面包店。
    于是该面包店老板记住了庞加莱,叮嘱店员每次给他大的。
    一年后,庞加莱又投诉面包店,说面包店继续缺斤少两,欺骗老百姓。只不过是每次故意给他大的面包。
    庞加莱如何知道的?
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    比较两次模拟结果输出的偏度值,明显第一次处于正态,第二次处于正偏态。

    偏度(skewness),是统计数据分布偏斜方向和程度的度量,是统计数据分布非对称程度的数字特征。偏度(Skewness)亦称偏态、偏态系数。
    表征概率分布密度曲线相对于平均值不对称程度的特征数。直观看来就是密度函数曲线尾部的相对长度。

    • 正态分布的偏度为0,两侧尾部长度对称。若以bs表示偏度。
    • bs<0称分布具有负偏离,也称左偏态,此时数据位于均值左边的比位于右边的少,直观表现为左边的尾部相对于与右边的尾部要长,因为有少数变量值很小,使曲线左侧尾部拖得很长;
    • bs>0称分布具有正偏离,也称右偏态,此时数据位于均值右边的比位于左边的少,直观表现为右边的尾部相对于与左边的尾部要长,因为有少数变量值很大,使曲线右侧尾部拖得很长;
    • bs接近0则可认为分布是对称的。若知道分布有可能在偏度上偏离正态分布时,可用偏离来检验分布的正态性。右偏时一般算术平均数>中位数>众数,左偏时相反,即众数>中位数>平均数。正态分布三者相等。
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    5、随机变量的函数的分布

    随机变量X的函数Y=g(X)也是一个随机变量,可以根据X的分布率或概率密度求出Y的分布率或概率密度。

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  • 随机变量及其分布(包含详解例题)

    千次阅读 2020-04-26 13:25:14
    各种分布二项分布、伯努利分布、泊松分布、超几何分布、几何分布、退化分布。然后讲述一些随机变量的知识讨论分布函数的具体计算。

    本博文源于北京理工大学《概率论与数理统计》包含内容为随机变量及其分布的一些知识,下面是其目录。

    随机变量及离散型随机变量的定义

    因为我们需要根据问题的性质,通过引入一个变量,来描述随机试验的样本点。即引入样本空间到实数域空间到实数域上的映射。
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    随机变量的定义

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    随机变量与一般实函数的差别

    • X随试验结果的不同而取不同的值,因而在试验之前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值;
    • 定义域不同
    • 由于试验结果的出现具有一定的概率,于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率。

    离散型随机变量

    离散型随机变量的定义

    若随机变量X所有可能的取值为有限个或可列无穷多个,则称X为离散型随机变量。否则称为非离散型随机变量。

    离散型随机变量的分布

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    分布律的意义

    所谓的分布不过是全部概率1是如何分布在(分配到)随机变量X各个可能值xi上的。有了离散型随机变量X的分布律后,可以计算X取某值或落入某实数集合内的概率。它完全描述了X取值的概率规律。

    离散型随机变量分布的性质

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    第(2)个的归一性利用的非常多,值得记忆。

    离散型随机变量例题

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    拿到这道题目,第(1)小问直接画表格就行了,先确定X的取值,再对X取值概率求一下,写进表格里,再对概率相加是否为1,判断自己写的是不是对的。第(2)小问就是判断X是否落在区间范围内,比如1<=X<=3只有1,2落在这个范围内,就把两者的概率相加就得出最后的答案。完整的解题过程是这样子的。
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    离散型随机变量的做题步骤

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    概括起来就是画表格,满足区间的值相加即可。

    重要的离散型随机变量

    单点分布

    若随机变量X只取一个常数值C,即P(X=C)=1,则称X服从单点分布,也称为退化分布

    0-1分布

    若随机变量X只可能取0和1两个值,其分布律为
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    任何一个只有两种可能结果的随机现象,都可以用一个服从两点分布的随机变量来描述。两点分布又称为伯努利分布

    二项分布

    二项分布是两点分布做n次的情况,下面先看一下伯努利试验。

    伯努利试验

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    n重伯努利试验

    将伯努利做个n次就成为n重伯努利试验,伯努利试验学术定义如下:
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    伯努利试验—打靶问题

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    拿到问题,发现独立二字,就可能是n重伯努利试验。以四发为次数,恰好命中三发为样本空间,开始进行假设。
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    因为每个事件都是独立的,所以我们可以直接做乘积
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    伯努利试验–修机器

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    先分析一个人负责20台的情况,这种情况只需要20台机器至少一台出故障,这个工人就忙不过来考虑到就行了。
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    然后考虑3个人维修80台,只需要考虑三人四台出故障的概率,四台不好求,那就它的逆事件三台的情况
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    伯努利试验定理

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    二项分布与两点分布的图像差别

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    几何分布

    几何分布的概率背景

    要想做某实验,第一次做成功后就收手的概率。
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    几何分布的定义

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    几何分布的无记忆性

    这也是它的性质,如果前几次都没成功,后面又不成功,那么接下来是否成功不取决于前面的失败。
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    超几何分布

    超几何分布的概率背景

    就是摸球的不放回抽样的理论定义。
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    超几何分布定义

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    泊松分布

    泊松分布的概率背景

    为解决电话在一段时间的呼叫次数、公共汽车固定时间内来到的乘客数。

    泊松分布的定义

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    做题中我们用的泊松分布都是为了其他做转化的。

    泊松分布例题–呼叫电话

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    恰有四次那就是λ=3,k=4,带进去算就行了。第(2)问就是λ=3,k=0到5计算泊松分布的值就行了。
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    超几何分布、二项分布、泊松分布的转化

    首先还是需要从一道题目来讲起
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    恰为两件那就用超几何分布X=2的情景
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    可是做计算过于麻烦,那就又下面的定理将其转换为二项分布

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    可是n-m太过于复杂那可如何是好?有下面的定理将二项分布转换为泊松分布。

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    两者的近似效果如图,会发现近似效果很棒。
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    例题(分布转化)–射击问题

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    至少命中一次,那就是分为命中和不命中两种类型,那就会发现这是n重伯努利试验。然后至少一次不好求,那就算一次不命中的概率然后用1减去就行了
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    λ=np,n=5000,p=0.001,所以就是λ=5,k=0,算出泊松分布的概率值
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    会发现小概率事件虽不容易发生,但重复次数多了,就成大概率事件了。

    随机变量的分布函数

    随机变量的分布函数定义

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    分布函数的3点说明

    1. 分布函数是一个普通的函数,正是通过它,我们可以用数学分析的工具来研究随机变量;
    2. 如果将X看作数轴上随机点的坐标,那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间(-∞,x]的概率;

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    例题–抛硬币问题

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    先将其分布律表格画出来,很显然这是两点分布。表格是这样子的
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    然后开始求分布函数
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    最后将各个题目的答案汇总,变成一个分段的F(x)
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    分布函数做题步骤

    先算出分布律,然后整出分布函数,公式如下:
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    分布函数的性质

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    用分布函数计算某些事件的概率

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    例题(关于分布函数性质)

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    利用分布函数的非负性 x->-∞=0 x->+∞=1.可以计算出A与B的值
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    然后算(-1<=X<=1),根据F(1)-F(-1)即可
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    连续型随机变量及其概率密度

    随机变量分为离散型随机变量和非离散型随机变量。其中非离散型随机变量又分为连续型随机变量与非连续非离散型随机变量。

    连续型随机变量与概率密度的定义

    设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在一个非负可积函数f(x),使对任意的实数x,均有

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    则称X是连续型随机变量,称f(x)是X的概率密度函数,简称概率密度函数。
    连续型随机变量X的分布函数F(x)和概率密度f(x)统称为X的概率分布,简称X的分布.
    易知此时分布函数F(x)是连续函数,即连续型随机变量的分布是连续函数。

    概率密度函数的性质

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    已知分布函数求概率密度

    若X为连续型随机变量,概率密度f(x)唯一确定了分布函数F(x);若随机变量X的分布函数F(x)满足:

    1. F(x)连续

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    相关例题

    例题1

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    利用连续性随机变量的性质,在(-∞,+∞)内定积分的值为1,可以解出k的值,k的值算出来,根据区间进行讨论
    x<0, 0<=x<3, 3<=x<4 ,x>=4这四部分区间进行讨论,最后合并得出答案,第(3)问利用区间上F(7/2)-F(1)即可。解题过程如下:
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    重要的连续性随机变量

    均匀分布

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    它的分布函数为:
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    均匀分布例题

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    均匀分布就是等可能区间上一种分布,拿到题目先发现公共汽车每隔15分钟发车,那就是7:15来一辆。7:30来一辆。只需要乘客在7:10分和7:25以后等那就不会超过五分钟,因此题目解答就可以很明显了。
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    指数分布

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    同样的指数分布有另外的一种表现形式:

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    服从指数分布的随机变量X具有以下性质:无记忆性或无后效性。如何理解呢,可以认为一个灯泡使用10年坏的概率和使用15年的概率是一样的。完整的证明是这样子的:
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    正态分布

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    正态分布是一种应用广泛的分布。其分布函数为:
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    正态分布函数图像的特点

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    第一 、正态分布的密度曲线是一条关于μ对称的钟形曲线。

    第二、
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    正态分布的标准化

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    正态分布的计算

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  • 该思维导图为概率论多维随机变量及其分布的大纲以及基本解题思路,内容较为详细。该思维导图为本人依照张宇闭关修炼2020所制作,希望能帮助大家顺利上岸

    高数————思维导图(上岸必备)(极限与连续).

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    数理统计————思维导图(上岸必备).

    写在前面

    该思维导图是本人依据张宇闭关修炼2020整理所得
    

    多维随机变量及其分布

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空空如也

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