• ## 隐函数存在定理

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隐函数存在定理
设 m,n∈N,m,n≥1,$m,n \in \mathbb N, m, n \ge 1,$ 考虑m$m$ 个 n+m$n + m$ 元函数组成的方程组：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪F1(x1,x2,⋯,xn,y1,y2,⋯,ym)=0,F2(x1,x2,⋯,xn,y1,y2,⋯,ym)=0,⋯⋯Fm(x1,x2,⋯,xn,y1,y2,⋯,ym)=0,
\left\{
\begin{array}{c}
F_1 (x_1, x_2, \cdots, x_n, y_1, y_2, \cdots, y_m) = 0,  \\
F_2 (x_1, x_2, \cdots, x_n, y_1, y_2, \cdots, y_m) = 0,  \\
\cdots \cdots             \\
F_m (x_1, x_2, \cdots, x_n, y_1, y_2, \cdots, y_m) = 0,
\end{array}
\right.

定义：
∂(F1,F2,⋯,Fm)∂(y1,y2,⋯,ym)=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂F1∂y1,∂F1∂y2,⋯,∂F1∂ym∂F2∂y2,∂F2∂y2,⋯,∂F2∂ym∂Fm∂y1,∂Fm∂y2,⋯,∂Fm∂ym∣∣∣∣∣∣∣∣∣
\frac { \partial ( F_1, F_2, \cdots, F_m)} { \partial (y_1, y_2, \cdots, y_m) } =
\begin{vmatrix}
\frac { \partial F_1 } { \partial y_1}, \frac { \partial F_1 } { \partial y_2}, \cdots, \frac { \partial F_1 } { \partial y_m} \\
\frac { \partial F_2 } { \partial y_2}, \frac { \partial F_2 } { \partial y_2}, \cdots, \frac { \partial F_2 } { \partial y_m} \\
\frac { \partial F_m } { \partial y_1}, \frac { \partial F_m } { \partial y_2}, \cdots, \frac { \partial F_m } { \partial y_m}
\end{vmatrix}

为函数 F1,F2,⋯,Fm$F_1, F_2, \cdots, F_m$ 关于变量 y1,y2,⋯,ym$y_1, y_2, \cdots, y_m$ 的 Jacobi 行列式。

设 m$m$ 个 n+m$n + m$ 元函数Fi(x1,x2,⋯,xn,y1,y2,⋯,ym),i∈N,1≤i≤m$F_i(x_1, x_2, \cdots, x_n, y_1, y_2, \cdots, y_m), i \in \mathbb N, 1 \le i \le m$ 满足以下条件：

(1) Fi(x1,x2,⋯,xn,y1,y2,⋯,ym)=0,i∈N,1≤i≤m$F_i(x_1, x_2, \cdots, x_n, y_1, y_2, \cdots, y_m) = 0, i \in \mathbb N, 1 \le i \le m$；
(2) 在闭长方体
D={(x1,x2,⋯,xn,y1,y2,⋯,ym)||xi−x0i|≤a,|yj−y0j|≤b,$\quad D = \{ (x_1, x_2, \cdots, x_n, y_1, y_2, \cdots, y_m) \vert \vert x_i - x_i^0 \vert \le a, \vert y_j - y_j^0 \vert \le b,$
i,j∈N,1≤i≤n,1≤j≤m}$\quad i, j \in N, 1 \le i \le n, 1 \le j\le m \}$ 上， 函数  Fi(i∈N,1≤i≤m)$F_i (i \in N, 1 \le i \le m)$ 连续， 且具有
$\ \ \$ 连续偏导数；
(3) 在点 (x01,x02,⋯,x0n,y01,y02,⋯,y0m)$(x_1^0, x_2^0, \cdots, x_n^0, y_1^0, y_2^0, \cdots, y_m^0)$ 处，Jacobi 行列式

∂(F1,F2,⋯,Fm)∂(y1,y2,⋯,ym)≠0,\frac { \partial ( F_1, F_2, \cdots, F_m)} { \partial (y_1, y_2, \cdots, y_m) } \ne 0,

那么：
(1) 在点 (x01,x02,⋯,x0n,y01,y02,⋯,y0m)$(x_1^0, x_2^0, \cdots, x_n^0, y_1^0, y_2^0, \cdots, y_m^0)$ 的某个邻域上，可以从函数方程组

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪F1(x1,x2,⋯,xn,y1,y2,⋯,ym)=0,F2(x1,x2,⋯,xn,y1,y2,⋯,ym)=0,⋯⋯Fm(x1,x2,⋯,xn,y1,y2,⋯,ym)=0,
\left\{
\begin{array}{c}
F_1 (x_1, x_2, \cdots, x_n, y_1, y_2, \cdots, y_m) = 0,  \\
F_2 (x_1, x_2, \cdots, x_n, y_1, y_2, \cdots, y_m) = 0,  \\
\cdots \cdots                  \\
F_m (x_1, x_2, \cdots, x_n, y_1, y_2, \cdots, y_m) = 0,
\end{array}
\right.

唯一确定向量值隐函数

⎛⎝⎜⎜⎜⎜y1y2⋮ym⎞⎠⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜f1(x1,x2,⋯,xn)f2(x1,x2,⋯,xn)⋮fm(x1,x2,⋯,xn)⎞⎠⎟⎟⎟⎟
\begin{pmatrix} y_1\\ y_2 \\ \vdots\\ y_m \end {pmatrix} = \begin{pmatrix} f_1(x_1, x_2, \cdots, x_n) \\ f_2(x_1, x_2, \cdots, x_n) \\ \vdots \\ f_m(x_1, x_2, \cdots, x_n) \end {pmatrix}

它满足方程
Fi(x1,x2,⋯xn,f1(x1,x2,⋯,xn),f2(x1,x2,⋯,xn),⋯,fm(x1,x2,⋯,xn))=0,$F_i (x_1, x_2, \cdots x_n, f_1(x_1, x_2, \cdots, x_n), f_2(x_1, x_2, \cdots, x_n), \cdots , f_m(x_1, x_2, \cdots, x_n) ) = 0,$ 以及 y0i=fi(x01,x02,⋯,x0n),i∈N,1≤i≤m$y_i^0 = f_i (x_1^0 , x_2^0 , \cdots, x_n^0 ), i \in \mathbb N, 1 \le i \le m$；
(2) 这个向量值隐函数在 O((x01,x02,⋯,x0n),ρ)$O((x_1^0, x_2^0, \cdots, x_n^0), \rho)$ 上连续；
(3) 这个向量值隐函数在 O((x01,x02,⋯,x0n),ρ)$O((x_1^0, x_2^0, \cdots, x_n^0), \rho)$ 上具有连续的导数， 且

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜∂y1∂x1∂y2∂x1⋮∂ym∂x1∂y1∂x2∂y2∂x2⋮∂ym∂x2⋯⋯⋯∂y1∂xn∂y2∂xn⋮∂ym∂xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=−⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜∂F1∂y1∂F2∂y1⋮∂Fm∂y1∂F1∂y2∂F2∂y2⋮∂Fm∂y2⋯⋯⋯∂F1∂ym∂F2∂ym⋮∂Fm∂ym⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟−1⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜∂F1∂x1∂F2∂x1⋮∂Fm∂x1∂F1∂x2∂F2∂x2⋮∂Fm∂x2⋯⋯⋯∂F1∂xn∂F2∂xn⋮∂Fm∂xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
\begin{pmatrix} \frac {\partial y_1} {\partial x_1} & \frac {\partial y_1} {\partial x_2} & \cdots  & \frac {\partial y_1} {\partial x_n } \\
\frac {\partial y_2} {\partial x_1} & \frac {\partial y_2} {\partial x_2} & \cdots  & \frac {\partial y_2} {\partial x_n } \\
\vdots & \vdots & &  \vdots \\
\frac {\partial y_m} {\partial x_1} & \frac {\partial y_m} {\partial x_2} &\cdots  & \frac {\partial y_m} {\partial x_n } \end {pmatrix} = -
\begin{pmatrix} \frac {\partial F_1} {\partial y_1} & \frac {\partial F_1} {\partial y_2} & \cdots & \frac {\partial F_1} {\partial y_m} \\
\frac {\partial F_2} {\partial y_1} & \frac {\partial F_2} {\partial y_2} & \cdots & \frac {\partial F_2} {\partial y_m} \\
\vdots & \vdots & &  \vdots \\
\frac {\partial F_m} {\partial y_1} &  \frac {\partial F_m} {\partial y_2} & \cdots & \frac {\partial F_m} {\partial y_m}
\end {pmatrix} ^{-1} \begin{pmatrix} \frac {\partial F_1} {\partial x_1} & \frac {\partial F_1} {\partial x_2} & \cdots  & \frac {\partial F_1} {\partial x_n } \\
\frac {\partial F_2} {\partial x_1} & \frac {\partial F_2} {\partial x_2} & \cdots  & \frac {\partial F_2} {\partial x_n } \\
\vdots & \vdots & &  \vdots \\
\frac {\partial F_m} {\partial x_1} & \frac {\partial F_m} {\partial x_2} &\cdots  & \frac {\partial F_m} {\partial x_n } \end {pmatrix}

展开全文
• 利用不动点定理证明隐函数存在定理及隐函数组定理。
• 隐函数存在定理 隐函数微分法一个方程一个自变量的情形
• 隐函数存在定理问题引入一个方程确定的隐函数定理1 隐函数存在定理隐函数的几何解释隐函数图像的切线方程例1定理2（隐函数存在定理）例2例3方程组确定的隐函数例5隐函数反函数的导数 问题引入 一个方程确定的隐...
隐函数存在定理问题引入一个方程确定的隐函数定理1 隐函数存在定理隐函数的几何解释隐函数图像的切线方程例1定理2（隐函数存在定理）例2例3方程组确定的隐函数例5隐函数反函数的导数
问题引入

一个方程确定的隐函数
定理1 隐函数存在定理

隐函数的几何解释

隐函数图像的切线方程

例1

定理2（隐函数存在定理）

例2

例3

方程组确定的隐函数

例5

隐函数反函数的导数


展开全文
• 我们已经知道,隐函数存在定理叙述如下: Theorem 1 (隐函数存在定理) 设 $f:\mathbf{R}^{n+m}\rightarrow\mathbf{R}^m$ 为连续可微函数, $\mathbf{R}^{n+m}$ 中的元素写 成$\mathbf{(x,y)}=(x_1,\cdots,x_n,y_1,\... 我们已经知道,隐函数存在定理叙述如下: Theorem 1 (隐函数存在定理) 设$ f:\mathbf{R}^{n+m}\rightarrow\mathbf{R}^m$为连续可微函数,$ \mathbf{R}^{n+m}$中的元素写 成$ \mathbf{(x,y)}=(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_m)$的形式.对于任意 一 点$ (\mathbf{a,b}) = (a_{1},\cdots, a_{n}, b_{1},\cdots,b_m)$使 得$ f(\mathbf{a,b}) = 0$,隐函数存在定理给出了一个充分 条件,用来判断 能否在$ (\mathbf{a,b})$附近定义一 个$ \mathbf{y}$关于$ \mathbf{x}$的函数$ g$,使得只 要$ f(\mathbf{x,y})=0$,就有$ \mathbf{y}=g(\mathbf{x})$.严格地说,就是存 在$ \mathbf{a}$和$ \mathbf{b}$的邻域$ U$和$ V$,使得$ g$是 从$ U$到$ V$的函数,并 且$ g$的函数图像满足$ {\displaystyle \{(\mathbf{x},g(\mathbf{x}))\}=\{ (\mathbf{x},\mathbf{y}) | f(\mathbf{x},\mathbf{y}) =0 \}\cap(U\times V).}$要使的这样的函数$ g$存在,函数$ f$的雅可比矩阵一定要满足一定的性质.对于 给 定的一点$ (a,b)$,$ f$的雅可比矩阵写做$ {\displaystyle (Df)(\mathbf{a},\mathbf{b})=\left[\begin{matrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b})&\cdots&\frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b}) \end{matrix}\right|\left. \begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\ \end{matrix}\right]=[X|Y]}$隐函数存在定理说明了:如果$ Y$是一个可逆的矩阵,那么满足前面性质的$ U,V$和函数$ g$就会存在. 当矩阵$ Y$可逆时,我们建立了$ \mathbf{y}$和$ \mathbf{x}$的函数关系$ \mathbf{y}=g(\mathbf{x})$,下面我们来证明函数$ g$是连续可微的.也就是 证明函数$ g$的雅可比矩阵$ {\displaystyle \begin{pmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ \vdots&\cdots&\vdots\\ \frac{\partial y_m}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial y_m}{\partial x_n}\\ \end{pmatrix} }$存在,并且各项关于$ \mathbf{x}$连续.为此,我们先来求$ z=f(\mathbf{x},g(\mathbf{x}))$关于变量$ \mathbf{x}的导数.根据复合函数的求导法则,易得结果为 \begin{align*}\frac{\partial z}{\partial \mathbf{x}}&=\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}+\sum_{k=1}^m \frac{\partial f}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial x_1}&\cdots \frac{\partial f}{\partial x_j}+\sum_{k=1}^{m}\frac{\partial f}{\partial y_{k}}\frac{\partial y_k}{\partial x_j}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_n}+\sum_{k=1}^m \frac{\partial f}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial x_n}\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_j}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_n}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \sum_{k=1}^m \frac{\partial f}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial x_1}&\cdots&\sum_{k=1}^{m}\frac{\partial f}{\partial y_{k}}\frac{\partial y_k}{\partial x_j}&\cdots&\sum_{k=1}^m \frac{\partial f}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial x_n}\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_j}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_n}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial y_1}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial y_m}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\\vdots&\cdots&\vdots\\\frac{\partial y_m}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial y_m}{\partial x_n}\\\end{pmatrix}.\end{align*}由于矩阵 {\displaystyle  \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial y_1}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial y_m} \end{pmatrix} }$可逆,因此可得$ {\displaystyle  \begin{split} \begin{pmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ \vdots&\cdots&\vdots\\ \frac{\partial y_m}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial y_m}{\partial x_n}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial y_1}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial y_m} \end{pmatrix}^{-1} \left[\frac{\partial z}{\partial \mathbf{x}}-\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_j}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_n} \end{pmatrix}\right]. \end{split} \ \ \ \ \ (1)}$因此$ g$的雅可比矩阵存在,且由式 1 顺便推出了$ g$的雅可 比矩阵关于$ \mathbf{x}$的连续性.顺便还推出了$ g$的雅可比矩阵的公式! 这就是隐函数定理! 转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/p/3827370.html 展开全文 • 1. 问题引入——方程两边同时关于x求导数，求解隐函数...3. 隐函数存在定理（二元函数） 4. 隐函数存在定理的几何解释 5. 隐函数图形的切线方程 6. 隐函数存在定理（三元函数） ...  1. 问题引入——方程两边同时关于x求导数，求解隐函数导数 2. 要研究的问题：方程在什么条件下才能确定隐函数（隐函数的存在性）；隐函数的连续性、可微性、求导方法 3. 隐函数存在定理（二元函数） 4. 隐函数存在定理的几何解释 5. 隐函数图形的切线方程 6. 隐函数存在定理（三元函数）  展开全文 • 隐函数定理添加链接描述 ? 存在唯一性定理 ...隐函数存在定理与几何解释 https://blog.51cto.com/10901086/2146928 https://zhuanlan.zhihu.com/p/70286816 https://wenku.baidu.com/view/e21b710a844769e • 隐函数存在定理1及求导公式 • 隐函数存在定理3的证明Jacobi • 首先来列出隐函数存在定理概念： 首先，我们知道z = F(x,y)描述的是一个空间曲面；定理中描述的F（x,y) = 0 描述的是一种什么情况呢，我们来看图： F（x,y) = 0 描述的是用平行于平面xOy的，高度为0的平面，截取空间... • 在第二篇小结里,我们已经知道,隐函数存在定理陈述如下: Theorem 1 (隐函数存在定理) 设$ f:\mathbf{R}^{n+m}\rightarrow\mathbf{R}^m$为连续可微函数,$ \mathbf{R}^{n+m}$中的元素写 成$ \mathbf{(x,y)}=(x_1,\...
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