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  • 隐函数存在定理

    千次阅读 2017-11-22 20:20:18
    隐函数存在定理

    m,nN,m,n1, 考虑mn+m 元函数组成的方程组:

    F1(x1,x2,,xn,y1,y2,,ym)=0,F2(x1,x2,,xn,y1,y2,,ym)=0,Fm(x1,x2,,xn,y1,y2,,ym)=0,

    定义:

    (F1,F2,,Fm)(y1,y2,,ym)=F1y1,F1y2,,F1ymF2y2,F2y2,,F2ymFmy1,Fmy2,,Fmym

    为函数 F1,F2,,Fm 关于变量 y1,y2,,ym 的 Jacobi 行列式。

    mn+m 元函数Fi(x1,x2,,xn,y1,y2,,ym),iN,1im 满足以下条件:

    (1) Fi(x1,x2,,xn,y1,y2,,ym)=0,iN,1im
    (2) 在闭长方体
    D={(x1,x2,,xn,y1,y2,,ym)||xix0i|a,|yjy0j|b,
    i,jN,1in,1jm} 上, 函数 Fi(iN,1im) 连续, 且具有
        连续偏导数;
    (3) 在点 (x01,x02,,x0n,y01,y02,,y0m) 处,Jacobi 行列式

    (F1,F2,,Fm)(y1,y2,,ym)0,

    那么:
    (1) 在点 (x01,x02,,x0n,y01,y02,,y0m) 的某个邻域上,可以从函数方程组

    F1(x1,x2,,xn,y1,y2,,ym)=0,F2(x1,x2,,xn,y1,y2,,ym)=0,Fm(x1,x2,,xn,y1,y2,,ym)=0,

    唯一确定向量值隐函数

    y1y2ym=f1(x1,x2,,xn)f2(x1,x2,,xn)fm(x1,x2,,xn)

    它满足方程
    Fi(x1,x2,xn,f1(x1,x2,,xn),f2(x1,x2,,xn),,fm(x1,x2,,xn))=0, 以及 y0i=fi(x01,x02,,x0n),iN,1im
    (2) 这个向量值隐函数在 O((x01,x02,,x0n),ρ) 上连续;
    (3) 这个向量值隐函数在 O((x01,x02,,x0n),ρ) 上具有连续的导数, 且

    y1x1y2x1ymx1y1x2y2x2ymx2y1xny2xnymxn=F1y1F2y1Fmy1F1y2F2y2Fmy2F1ymF2ymFmym1F1x1F2x1Fmx1F1x2F2x2Fmx2F1xnF2xnFmxn

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  • 利用不动点定理证明隐函数存在定理及隐函数组定理。
  • 隐函数存在定理 证明

    2010-09-26 10:23:50
    隐函数存在定理 隐函数微分法一个方程一个自变量的情形
  • 隐函数存在定理问题引入一个方程确定的隐函数定理1 隐函数存在定理隐函数的几何解释隐函数图像的切线方程例1定理2(隐函数存在定理)例2例3方程组确定的隐函数例5隐函数反函数的导数 问题引入 一个方程确定的隐...

    问题引入

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    一个方程确定的隐函数

    定理1 隐函数存在定理

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    隐函数的几何解释

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    隐函数图像的切线方程

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    例1

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    定理2(隐函数存在定理)

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    例2

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    例3

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    方程组确定的隐函数

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    例5

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    隐函数反函数的导数

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  • 我们已经知道,隐函数存在定理叙述如下: Theorem 1 (隐函数存在定理) 设 $ f:\mathbf{R}^{n+m}\rightarrow\mathbf{R}^m$ 为连续可微函数, $ \mathbf{R}^{n+m}$ 中的元素写 成$ \mathbf{(x,y)}=(x_1,\cdots,x_n,y_1,\...

    我们已经知道,隐函数存在定理叙述如下:

    Theorem 1 (隐函数存在定理) 设 $ f:\mathbf{R}^{n+m}\rightarrow\mathbf{R}^m$ 为连续可微函数, $ \mathbf{R}^{n+m}$ 中的元素写 成$ \mathbf{(x,y)}=(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_m)$ 的形式.对于任意 一 点$ (\mathbf{a,b}) = (a_{1},\cdots, a_{n}, b_{1},\cdots,b_m)$ 使 得$ f(\mathbf{a,b}) = 0$,隐函数存在定理给出了一个充分 条件,用来判断 能否在$ (\mathbf{a,b})$附近定义一 个$ \mathbf{y}$关于$ \mathbf{x}$的函数$ g$,使得只 要$ f(\mathbf{x,y})=0$,就有 $ \mathbf{y}=g(\mathbf{x})$.严格地说,就是存 在$ \mathbf{a}$和$ \mathbf{b}$的邻域$ U$ 和 $ V$,使得$ g$是 从 $ U$ 到 $ V$ 的函数,并 且$ g$的函数图像满足

    $ {\displaystyle \{(\mathbf{x},g(\mathbf{x}))\}=\{ (\mathbf{x},\mathbf{y}) | f(\mathbf{x},\mathbf{y}) =0 \}\cap(U\times V).}$

    要使的这样的函数$ g$存在,函数$ f$ 的雅可比矩阵一定要满足一定的性质.对于 给 定的一点 $ (a,b)$,$ f$ 的雅可比矩阵写做

    $ {\displaystyle (Df)(\mathbf{a},\mathbf{b})=\left[\begin{matrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b})&\cdots&\frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b}) \end{matrix}\right|\left. \begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\ \end{matrix}\right]=[X|Y]}$

    隐函数存在定理说明了:如果 $ Y$ 是一个可逆的矩阵,那么满足前面性质的$ U,V$ 和函数 $ g$ 就会存在.

    当矩阵 $ Y$ 可逆时,我们建立了 $ \mathbf{y}$ 和 $ \mathbf{x}$ 的函数关系 $ \mathbf{y}=g(\mathbf{x})$,下面我们来证明函数 $ g$ 是连续可微的.也就是 证明函数 $ g$ 的雅可比矩阵

    $ {\displaystyle \begin{pmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ \vdots&\cdots&\vdots\\ \frac{\partial y_m}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial y_m}{\partial x_n}\\ \end{pmatrix} }$

    存在,并且各项关于 $ \mathbf{x}$ 连续.为此,我们先来求 $ z=f(\mathbf{x},g(\mathbf{x}))$ 关于变量 $ \mathbf{x}$ 的导数.根据复合函数的求导法则,易得结果为 \begin{align*}
    \frac{\partial z}{\partial \mathbf{x}}&=\begin{pmatrix}
      \frac{\partial f}{\partial x_1}+\sum_{k=1}^m \frac{\partial
        f}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial
        x_1}&\cdots \frac{\partial f}{\partial
        x_j}+\sum_{k=1}^{m}\frac{\partial f}{\partial y_{k}}\frac{\partial y_k}{\partial x_j}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_n}+\sum_{k=1}^m
      \frac{\partial f}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial x_n}
    \end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}
      \frac{\partial f}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial
        x_j}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_n}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
        \sum_{k=1}^m \frac{\partial
        f}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial
        x_1}&\cdots&\sum_{k=1}^{m}\frac{\partial f}{\partial y_{k}}\frac{\partial y_k}{\partial x_j}&\cdots&\sum_{k=1}^m
      \frac{\partial f}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial x_n}
    \end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}
      \frac{\partial f}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial
        x_j}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_n}
    \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
      \frac{\partial f}{\partial y_1}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial y_m}
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
      \frac{\partial y_1}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial
        y_1}{\partial x_n}\\
    \vdots&\cdots&\vdots\\
    \frac{\partial y_m}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial y_m}{\partial x_n}\\
    \end{pmatrix}.
    \end{align*}
    由于矩阵

    $ {\displaystyle \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial y_1}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial y_m} \end{pmatrix} }$

    可逆,因此可得

    $ {\displaystyle \begin{split} \begin{pmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ \vdots&\cdots&\vdots\\ \frac{\partial y_m}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial y_m}{\partial x_n}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial y_1}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial y_m} \end{pmatrix}^{-1} \left[\frac{\partial z}{\partial \mathbf{x}}-\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_j}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_n} \end{pmatrix}\right]. \end{split} \ \ \ \ \ (1)}$

    因此 $ g$ 的雅可比矩阵存在,且由式 1 顺便推出了 $ g$ 的雅可 比矩阵关于 $ \mathbf{x}$ 的连续性.顺便还推出了 $ g$ 的雅可比矩阵的公式! 这就是隐函数定理!

    转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/p/3827370.html

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  • 1. 问题引入——方程两边同时关于x求导数,求解隐函数...3. 隐函数存在定理(二元函数) 4. 隐函数存在定理的几何解释 5. 隐函数图形的切线方程 6. 隐函数存在定理(三元函数) ...

     

    1. 问题引入——方程两边同时关于x求导数,求解隐函数导数

     

    2. 要研究的问题:方程在什么条件下才能确定隐函数(隐函数的存在性);隐函数的连续性、可微性、求导方法

     

    3. 隐函数存在定理(二元函数)

     

    4. 隐函数存在定理的几何解释

     

    5. 隐函数图形的切线方程

     

    6. 隐函数存在定理(三元函数)

     

     

     

     

     

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  • 隐函数定理添加链接描述 ? 存在唯一性定理 ...隐函数存在定理与几何解释 https://blog.51cto.com/10901086/2146928 https://zhuanlan.zhihu.com/p/70286816 https://wenku.baidu.com/view/e21b710a844769e
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    千次阅读 2018-07-18 20:28:04
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  • 隐函数知识点总结

    千次阅读 2020-05-11 21:48:02
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空空如也

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隐函数存在定理