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  • 二阶线性微分方程

    千次阅读 2019-02-27 23:02:30
    二阶线性微分方程定义:二阶线性微分方程定义:二阶线性微分方程定义: 形如: y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x)y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x)的方程称为...

    二阶线性微分方程

    一. 认识二阶线性微分方程
    1. 线二阶线性微分方程定义:
      形如: y+P(x)y+Q(x)y=f(x)y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)的方程称为二阶线性微分方程
      f(x)=0f(x)=0恒成立时,称该方程为二阶线性齐次方程;
      f(x)0f(x)\neq0时,称该方程为二阶线性非齐次方程。

    2. 定理:
      y1y2线y+P(x)y+Q(x)y=0y=c1y1+c2y2c1,c2R)若y_1,y_2是二阶线性齐次方程y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 的解,则y=c_1y_1+c_2y_2(c_1,c_2 \in R)仍是它的解。

    二. 二阶线性微分方程求解思路

    y=c1y1+c2y2c1,c2R)【观察发现】y=c_1y_1+c_2y_2(c_1,c_2 \in R) 在形式上存在两个常数,符合高阶微分方程通解的规律。 nn(即n阶微分方程的通解中存在n个常数)
    (【提出问题(一)】y1,y2y=c1y1+c2y2c1,c2R)是否能够认为对任意y_1,y_2,存在y=c_1y_1+c_2y_2(c_1,c_2 \in R)为y’’ + P(x)y’ + Q(x)y = 0?的通解?

    y1=x,y2=kxy+P(x)y+Q(x)y=0【找到反例】 当y_1=x, y_2=kx 满足y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 时,
    y=c1y1+c2y2=c(x+kx)=cx发现y=c_1y_1+c_2y_2=c(x+kx) = cx 中,只存在一个常数,
    不再符合高阶微分方程通解的规律。
    \Longrightarrow y1,y2y=c1y1+c2y2c1,c2R)y+P(x)y+Q(x)y=0对任意y_1,y_2,存在y=c_1y_1+c_2y_2(c_1,c_2 \in R)为y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0的通解假设错误

    (【提出问题(二)】 y1,y2使y=c1y1+c2y2c1,c2R)y+P(x)y+Q(x)y=0当y_1,y_2满足什么关系是,能够使y=c_1y_1+c_2y_2(c_1,c_2 \in R)为y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0的通解成立?

    1. 线:函数组的线性相关性:
      y1,y2....yn,yxxI,设有函数组y_1,y_2....y_n,(其中y是关于x的函数) \forall x\in I,k1,k2...kn,如果存在一组不全为零的常数k_1,k_2...k_n,使k1y1+k2y2+...+knyn=0,使得k_1y_1+k_2y_2+...+k_ny_n=0 , y1,y2....ynI线;则称函数组y_1,y_2....y_n在区间I上时线性相关的;
      k1=k2=...kn=0如果只有当k_1=k_2=...k_n=0时成立,y1,y2....ynI线则称函数组y_1,y_2....y_n在区间I上时线性无关的。

    y1,y2线y=c1y1+c2y2【观察发现】当y_1,y_2线性无关时y=c_1y_1+c_2y_2始终存在两个常数,满足高阶微分方程通解的规律。

    (线y+P(x)y+Q(x)y=0线【提出问题(三)】如何找到二阶线性齐次方程y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 的两个线性无关的解?

    1. 线线性无关的判定方法:
      (1)y1,y2kRy1=ky2,(1) y_1,y_2是一个函数组,若存在k \in R,满足y_1=ky_2,
      y1,y2线线则y_1,y_2线性相关,否则线性无关。
      (2)y1,y2....ynI=12...n,yi=0,(2) y_1,y_2....y_n是一个函数组,若存在I=1,2...n,y_i=0, y1,y2....yn线则函数组y_1,y_2....y_n线性相关。
      (3)(3)函数组:部分相关\rightarrow 整体相关 ; 整体不相关\rightarrow 部分不相关.

    (线y+P(x)y+Q(x)y=0线【提出问题(四)】若已知二阶线性齐次方程y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0的一个解,能否找到与其线性无关的另一个解?

    (使用与推导一阶线性非齐次方程相似的常数变易法进行求解)

    :y1y+P(x)y+Q(x)y=0假设 :y_1 是y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0的一个解,
                y2=C(x)y1y+P(x)y+Q(x)y=0y_2=C_{(x)}y_1为y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0的另一个解(在求证过程中,始终认为C是关于x的函数
    \Rightarrow       y2=Cy1+Cy1y_2'=C'y_1+Cy_1'
                y2=Cy1+2Cy+Cyy_2''=C''y_1+2C'y'+Cy''     y+P(x)y+Q(x)y=0代入y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0
    \Rightarrow       Cy1+[2y+P(x)y]C=0C''y_1+[ 2y' + P(x)y ]C'=0
               u=C,令u= C' ,         u=Cu'=C''

    \Rightarrow       uy1+[2y+P(x)y]u=0u'y_1+[ 2y' + P(x)y ]u=0             ()(分离变量)

    \Rightarrow       1udu=2y1+P(x)y1y1dx\int \frac{1}{u}du = -\int \frac{2y_1+P(x)y_1}{y_1}dx

               lnu=ln1y12P(x)dx+lnC1lnu=ln\frac{1}{y_1^2}-\int P(x)dx +lnC_1

    y+P(x)y+Q(x)y=0y1线又\because 只需求得y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0的一个与y_1线性无关的特解,                  C1=1可以令C_1=1

    \Rightarrow       u=1y12eP(x)dxu=\frac{1}{y_1^2}e^{-\int P(x)dx }

    \Rightarrow       C=1y12eP(x)dxdx+C2C=\int \frac{1}{y_1^2}e^{-\int P(x)dx} dx+C2

                 C2=0令C_2=0

    \Rightarrow      y1y2=1y12eP(x)dxdx\frac{y_1}{y_2}=\int \frac{1}{y_1^2}e^{-\int P(x)dx} dx

       \therefore     y2=y11y12eP(x)dxdxy_2=y_1\int \frac{1}{y_1^2}e^{-\int P(x)dx} dx

    1. 【刘维尔公式】
      y1y+P(x)y+Q(x)y=0若y_1 是y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0的一个解, y1线:则方程另一个与y_1线性无关的特解:
      y2=y11y12eP(x)dxdxy_2=y_1\int \frac{1}{y_1^2}e^{-\int P(x)dx} dx
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  • 导言如果你是一名数学工作者,在研究二阶线性微分方程的通解,你首先写出了二阶线性微分方程的一般形式:如果你熟悉物理里的阻尼振动与受迫振动,或许你会很快想到特征方程或者复数法,但是,物理里的方程仅仅是这个...

    导言

    如果你是一名数学工作者,在研究二阶线性微分方程的通解,你首先写出了二阶线性微分方程的一般形式:

    e320c83208051b6947633e2522e4d827.png

    如果你熟悉物理里的阻尼振动与受迫振动,或许你会很快想到特征方程或者复数法,但是,物理里的方程仅仅是这个一般的方程中其中 p(x), q(x) 及 f(x)都是取到某些特殊的值情况下的方程,把这些方法应用到解一般的情况下会遇到困难,下文我将以求解这个方程的通解为主线,探讨整体的理论架构。

    整体的概览

    对于原二阶线性非齐次微分方程,其对应的二阶线性齐次微分方程是:

    26162566976867a1d3caef0f8a6698c8.png

    我们有以下结论:

    二阶线性非齐次的微分方程的通解等于其一个特解与相应的二阶线性齐次的微分方程的通解之和。

    即有如下定理:

    4cfa38db9d9a3710a820992a3222e479.png

    在该定理的基础上,现在我们的问题归结于以下几个问题:

    1.非齐次方程的特解存在吗?如果存在的话我们该怎样找到它?

    2.齐次方程的通解存在吗?如果存在的话我们该怎样找到它?

    我们先来讨论第二个问题。

    齐次方程的通解的求解

    af51d5da4c782f8ad71d8e48477ecc32.png

    对于齐次方程很容易验证下面的结论定理若是齐次方程的解其中是任意常数,则与的线性组合也是齐次方程的解

    假设齐次方程的通解是存在的(注意现在是假设,其证明我们会在后面会有定理给出)

    那么其通解一定可以表示为

    52fe22a6c39f39ca1455991ac0abaf0a.png

    那么这里引入了线性无关解的的概念,关于这个概念,你可以这样理解:我们把具有具有一种特殊的关系的两个解称为线性相关的,反之则称为线性无关的。(其真正的定义你可以去看附录),为了不打断我们的思路,正文中我们先不提这些概念。

    那么是否一定会存在这样的一组线性无关解呢?

    17d2ce8f598110a14c4fb66d08ab990f.png

    既然这样,假如我们获得了两个解,我们如何判断这两个解是否是线性无关解呢?

    57e7bf90edfb6006eb3424722d5d462a.png

    那么为了讨论两个解是否是线性无关解我们又引入了Wronski行列式的概念,为了方便讨论,我们简要介绍一下该概念。

    7fd65bc387b7554948c2ba69e141b2ea.png

    Wronski行列式有一个很独特的性质:

    14f727e1669a5c50201f1084619cbf5b.png

    Wronski行列式对于判断两个函数是否是线性相关有很大的价值。

    edc802600ee3b7a0e56de698aa2eb97e.png

    这里的两条定理给出了判断两个函数是否线性相关的方法。

    事实上,

    dc20f5dfbb521b8e83c9ab1b36673ef3.png

    现在我们已经证明了齐次方程的通解的存在性,但是我们不知道如何确切的找到这个解,对此我们有以下的结论:

    0bb60021d4103f62b20e73b6be385993.png

    至于找一个解的方法,用得最多的是观察法。

    非齐次方程的通解的求解

    在齐次方程通解已经解出的情况下,我们的问题落到第一个问题:非齐次方程的特解存在吗?如果存在的话我们该怎样找到它?

    当然是存在的,因为我们可以找到它。

    那么如何找到它呢?

    首先还是观察法

    第二在已知齐次方程的通解的情况下,我们可以得到这个特解

    0ffc28569967f454cf7455313a2c63c8.png

    最后的一个问题

    我们来检查一下我们目前已有的结论,非齐次方程的一个特解与齐次方程的一个通解之和就是非齐次方程的通解,而非齐次方程的一个特解可以由齐次方程的通解得到,齐次方程的通解需要两个线性无关解,而一个解可以用另一个解导出,所以我们的问题在于找到齐次方程的一个特解。

    有如下的结论:

    3007f83afcbdd39c979f7455406be5b7.png

    至此,所有的问题被全部解决。

    附录

    8a386a91e3d559d0fe92e4724474899b.png

    读者如果希求本文中定理的证明,可以参考有关的论著(如《数学分析教程》(中国科学技术大学出版社))

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  • 12.8二阶线性微分方程及其解的结构1. 二阶线性微分方程的基本概念二阶线性微分方程:齐次与非齐次方程:当时,称为齐次方程,否则称为非齐次方程.2. 齐次方程的解叠加原理若函数是二阶线性齐次方程的两个解,则也是该...

    12.8二阶线性微分方程及其解的结构

    1. 二阶线性微分方程的基本概念

    二阶线性微分方程:

    齐次与非齐次方程:

    时,称为齐次方程,否则称为非齐次方程.

    2. 齐次方程的解叠加原理

    若函数是二阶线性齐次方程的两个解,则也是该方程的解.

    3. 线性相关与线性无关的定义

    是定义在区间上的个函数, 若存在不全为的常数使得则称这个函数在上线性相关,否则称为线性无关.

    4. 二阶齐次方程解的结构

    是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则 (为任意常数)是该方程的通解.

    5. 例题

    1.证明:

    (1) 函数组内是线性相关的;

    (2) 函数组在任何区间都线性无关.

    课堂索引:12.8二阶线性微分方程及其解的结构
    12.8.2例题1

    2.验证都是方程的解,并写出该方程的通解.

    课堂索引:12.8二阶线性微分方程及其解的结构
    12.8.3例题2

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    6. 二阶非齐次线性方程解的结构

    是二阶非齐次方程的一个特解,是相应齐次方程的通解,则是非齐次方程的通解.

    7. 例题

    已知微分方程有三个解求此方程满足初始条件的特解.

    课堂索引:12.8二阶线性微分方程及其解的结构
    12.8.5例题1

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    8. 非齐次方程的解叠加原理

    定理 设分别是方程 的特解, 则是方程的特解.

    例题答案

    例5答案

    1.略.

    课堂索引:12.8二阶线性微分方程及其解的结构
    12.8.2例题1

    2.方程的通解为

    课堂索引:12.8二阶线性微分方程及其解的结构
    12.8.3例题2

    例7答案

    所求特解为

    课堂索引:12.8二阶线性微分方程及其解的结构
    12.8.5例题1

    点击进入第十二章讲解

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  • 1 二阶线性微分方程边值问题的 MATLAB 求解* 云 文 在 ( 包头师范学院 数学科学学院,内蒙古 包头 014030) 摘 要: 本文给出二阶线性微分方程边值问题数值算法的 MATLAB 实现,并举例进行了求解仿真及与解 析解的...

    2012 年 3 月第 26 卷 第 1 期 阴 山 学 刊 YINSHAN ACADEMIC JOURNAL Mar. 2012 Vo1. 26 No. 1 二阶线性微分方程边值问题的 MATLAB 求解* 云 文 在 ( 包头师范学院 数学科学学院,内蒙古 包头 014030) 摘 要: 本文给出二阶线性微分方程边值问题数值算法的 MATLAB 实现,并举例进行了求解仿真及与解 析解的精度比较。 关键词: 边值问题; 初值问题; MATLAB 中图分类号: O175 文献标识码: A 文章编号:1004 -1869( 2012) 01 -0023 -02 微分方程数值解中,侧重研究初值问题,即已知 x0 对其他时刻状态变量值进行求解的方法。在实际问题中,经常会遇到这样的问题: 已知部分状态在t = 0时刻的值,还知道部分状态在时刻t0 = tf 的值,这类问题即所谓边值问题。而在 MATLAB 语言中边值问题也是 ode45( ) 类函数无法直接求解的一类问题。本文采用将边值问题转化为初值问题的方法,给出二阶线性微分方程的边值问题的计算机求解。 1 边值问题的数学描述 二阶线性微分方程的边值问题的数学描述: ¨ y( x) + p( x)  y( x) + q( x) y( x) = f( x) ( 1) 其中 p( x) 、q( x) 和 f( x) 均为给定函数。假设在区间[a,b]上研究该方程的解,且已知在这两个边界点 上满足边界条件 y( a) = γa,y( b) = γb ( 2) 2 数值求解方法 由于不能直接获得在初始时刻的各个变量的值,因此求解初值问题的通常算法在解边值问题时是不能直接使用的。边值问题数值解法的基本思想是找出能够满足式( 2) 边值的相应初值 y( 0) 和  y( 0) ,然后再利用初值问题算法来求解这一初值问题。该算法也称为打靶算法( shooting method) 。 算法步骤: 求出下面方程初值问题的数值解 y1( b) ¨ y1( x) + p( x)  y1( x) + q( x) y1( x) = 0, y1( a) = 1, y1( a) = 0 求出下面方程初值问题的数值解 y2( b) ¨ y2( x) + p( x)  y2( x) + q( x) y2( x) = 0, y2( a) = 0, y2( a) = 1 求出下面方程初值问题的数值解 yp( b) ¨ yp( x) + p( x)  yp( x) + q( x) yp( x) = 0, yp( a) = 0, yp( a) = 1 若 y2( b) ≠ 0,则计算 m = γb - γay1( b) - yp( b) y2( b) 求出下面方程初值问题的数值解,则 y( x) 即为原边值问题的数值解 ¨ y( x) + p( x)  y( x) + q( x) y( x) = f( x) , y( a) = γa, y( a) = m 3 上面算法的 MATLAB 实现 求解时应该首先得出对应的一阶微分方程组模型,即设x1 = y,x2 =  y,则得出式( 1) 对应的方程组为:  x1 = x2  x2 = - q( x) x1 - p( x) x2 + f( x{ ) 则上面算法的 MATLAB 实现为 Function [t,y] = shooting( f1,f2,tspan,x0f,varargin) 32 * 收稿日期:2011 -11 -04 基金项目: 内蒙古自治区自然科学基金项

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  • 二阶常系数齐次线性微分方程的通解

    万次阅读 多人点赞 2018-03-25 17:13:57
    *本文略去了很多证明,只记录结论 *文中的微分方程均指代二阶常...由于是二阶线性微分方程,所以它有两个解,记为y1、y2y1、y2y_1、y_2,若y1y2≠Cy1y2≠C\frac{y_1}{y_2} \neq C(即两个解之比不为常数),则y1、...
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二阶线性微分方程