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  • 用Matlab解二阶非齐次微分方程

    千次阅读 2020-11-07 21:44:59
    用Matlab解二阶非齐次微分方程大纲函数代码 大纲 用Matlab解二阶非齐次微分方程,网上很多麻烦又累赘又无用的东西,一句话解决的事。 函数 dsolve(‘a’,‘b’,‘c’):解微分方程函数 a:(二阶)微分方程 b: ...

    用Matlab解二阶非齐次微分方程

    大纲

    用Matlab解二阶非齐次微分方程,网上很多麻烦又累赘又无用的东西,一句话解决的事。

    函数

    dsolve(‘a’,‘b’,‘c’):解微分方程函数

    a:(二阶)微分方程
    b: 初值,可不填
    c: 自变量

    代码

    a=dsolve('D2y+2*Dy+5*y=sin(2*t)','t')
    simplify(a)
    
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  • 不要嘲笑我,我百度经验搬过来的二阶常系数线性非齐次方程的形式如下2基本求解思路如下,我们先要有一个总的思路用于解题3难点:对于特解的求法END一.特解求法一:待定系数法1优点:简单易懂,不易错缺点:计算量...
    1. 不要嘲笑我,我百度经验搬过来的

      二阶常系数线性微分方程---非齐次方程解法


    2. 二阶常系数线性非齐次方程的形式如下

    3. 2

      基本求解思路如下,我们先要有一个总的思路用于解题

      二阶常系数线性微分方程---非齐次方程解法
    4. 3

      难点:对于特解的求法

      二阶常系数线性微分方程---非齐次方程解法
      END

    一.特解求法一:待定系数法

    1. 1

      优点:简单易懂,不易错

      缺点:计算量相比其他较大

    2. 2

      总的思路如下:

      二阶常系数线性微分方程---非齐次方程解法
    3. 3

      二阶常系数非齐次方程的非齐次项f(x)与特解的关系如下,该表需要记住才能用于解题。

      二阶常系数线性微分方程---非齐次方程解法
      二阶常系数线性微分方程---非齐次方程解法
      二阶常系数线性微分方程---非齐次方程解法
      二阶常系数线性微分方程---非齐次方程解法
      二阶常系数线性微分方程---非齐次方程解法
    4. 4

      这里小编把例题的详细过程已经写出来了,一般辅导书不会有详细的解答,如果还没有明白,请联系小编。

      二阶常系数线性微分方程---非齐次方程解法
      END

    一.特解求法二:微分算子法

    1. 1

      优点:简单快捷,适合处理2次以上微分方程

    2. 2

      要学习微分算子,我们先引入以下几个符号

      二阶常系数线性微分方程---非齐次方程解法
      二阶常系数线性微分方程---非齐次方程解法
    3. 3

      那么,该如何表示特解呢?

      二阶常系数线性微分方程---非齐次方程解法
    4. 4

      不知道同学们能否理解?其实不理解也没关系,和小编一起做下面这道题基本就没问题了。这道题{}符号里的在具体解题时不用写出,因为那是小编为了你们更好理解才写出来的,公式的变化和推导要多做才会。

      二阶常系数线性微分方程---非齐次方程解法
    5. 5

      所以上面一题原方程的通解为

      二阶常系数线性微分方程---非齐次方程解法

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  • 二阶线性非齐次微分方程非齐 重要的性质、定理(共6条): 证明1:若y1、y2、y3是非齐的解,a、b、c为常数且a+b+c=0,y=a y1+by2+cy3则y是齐的解 由(7) ,则需要证明a y1+by2+cy3是 齐的解。 因为y1、...

    以下简称

    • 二阶线性齐次微分方程 为 齐
    • 二阶线性非齐次微分方程 为 非齐

    重要的性质、定理(共6条):
    重要的6条性质

    证明1:若y1、y2、y3是非齐的解,a、b、c为常数且a+b+c=0,y=a y1+by2+cy3则y是齐的解

    由(7) ,则需要证明a y1+by2+cy3是 齐的解。

    因为y1、y2、y3是非齐的解,故y1-y2、y2-y3是齐的解,则
    C1(y1-y2)+C2(y2-y3)也是齐的解
    故C1(y1-y2)+C2(y2-y3)就是齐的解
    显然y1的系数=C1=a
    y2的系数=-C1+C2=b
    y3的系数=-C2=c
    a+b+c=0


    证明2: 若y1、y2、y3是非齐的解,a、b、c为常数且a+b+c=1,y=a y1+by2+cy3 则y是非齐的解

    由(1),则需要证明a y1+by2+cy3是非齐的解+齐的解

    因为y1、y2、y3是非齐的解,故y1-y2、y2-y3是齐的解,则
    C1(y1-y2)+C2(y2-y3)也是齐的解,而y3是非齐的解,
    故C1(y1-y2)+C2(y2-y3)+y3就是非齐的解
    显然y1的系数=C1=a
    y2的系数=-C1+C2=b
    y3的系数=-C2+1=c
    a+b+c=1


    证明3:若y1、y2、y3是非齐的线性无关解,a、b、c为任意常数且a+b+c=0,

    y=a y1+by2+cy3,则y是齐的通解
    由(7)
    y1、y2、y3是非齐的线性无关解,现假设y1-y2、y2-y3也是线性无关的,
    则齐的通解y=C1(y1-y2)+C2(y2-y3)
    显然y1的系数=C1=a
    y2的系数=-C1+C2=b
    y3的系数=-C2=c
    a+b+c=0

    补充证明:现证明y1-y2、y2-y3是线性无关的。

    假设线性有关,则存在不全为0的k1和k2,
    使得k1(y1-y2)+k2(y2-y3)恒等于0
    即:
    (k1)y1+(k2-k1)y2-(k2)y3恒等于0
    由于y1、y2、y3是线性无关的,故k1=0、k2=0,与假设相违背。因此,y1-y2、y2-y3是线性无关的。


    证明4:若y1、y2、y3是非齐的线性无关解,a、b、c为任意常数且a+b+c=1,y=a y1+by2+cy3,则y是非齐的通解

    由(5)
    y1、y2、y3是非齐的线性无关解,现假设y1-y2、y2-y3也是线性无关的,
    则齐的通解y=C1(y1-y2)+C2(y2-y3) ,
    非齐的解为y3(你换成y1或者y2都是一样的,因为最后大家系数都是要加在一起的)
    显然y1的系数=C1=a
    y2的系数=-C1+C2=b
    y3的系数=-C2+1=c
    a+b+c=1

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  • #coding = 'utf-8' import tkinter as tk class Root(object): def __init__(self,root): self.root = root self.root.title("二阶非齐竖式基本微分方程求解器") self.root.geometry("350x250") self.root....

    TIPS

    算法使用python编写,基本上除了GUI库,不使用任何第三方数学库.
    关于竖式解法请参考如下视频:
    链接:https://pan.baidu.com/s/1VynxkqseUBt9Abi9k4K-CA
    提取码:6666

    代码

    代码部分不多比比,很多变量都是直接使用中文拼音写的,不存在看不懂的问题.如果看不懂,请仔细查看上面的解法链接,或者复习python.

    #coding = 'utf-8'
    import tkinter as tk
    class Root(object):
        def __init__(self,root):
            self.root = root
            self.root.title("二阶非齐竖式基本微分方程求解器")
            self.root.geometry("350x250")
            self.root.resizable(width=False,height=False)
            self.tips = tk.StringVar()
        def Label(self):
            Label_IN = tk.Label(self.root,text="Input a integer:",fg='red',font=("宋体",10))
            Label_IN.place(x=20,y=20,width=110,heigh=20)
            tips_code = '''目前不支持复数求解,按照示例格式输入方程:\ny''+-3*y'+0*y=e^2*x*(6*x^3+-15*x^2+0*x+0),英文符号'''
            Label_TIPS = tk.Label(self.root,font=("宋体",10),text=tips_code,justify='left',fg='red')
            Label_TIPS.place(x=0,y=205,width=350,height=40)
        def B_E_Menu(self):
            self.IN_Get = tk.Entry(self.root,font=('宋体', 12),fg='gray',relief='solid',textvariable=self.tips)
            self.IN_Get.place(x=130,y=20,height=25,width=200)
            self.Show_AN = tk.Label(self.root,fg='red',font=("宋体",10),bg='blue')
            self.Show_AN.place(x=0,y=50,height=80,width=350)
            self.Check_B = tk.Button(self.root,text='Check',font=("宋体",12))
            self.Check_B.place(x=90,y=180,height=20,width=60)
            self.Quit_B = tk.Button(self.root,text='Quit',font=("宋体",12))
            self.Quit_B.place(x=180,y=180,height=20,width=60)
    class Tools(object):
        def QiuDao_F(self,nn):
            if "*" in nn and "^" in nn:
                l1 = nn.split('*')[0]
                l2 = nn.split('^')[1]
                get_s = str(float(l1)*float(l2))+'*x'+'^'+str(float(l2)-1)
                return get_s
            else:
                if '*' in nn:
                    get_s = nn.split('*')[0]
                    return get_s
    
                elif '^' in nn:
                    l2 = nn.split('^')[1]
                    get_s = l2+'*x^'+str(float(l2)-1)
                    return get_s
                elif nn == 'x':
                    return '1'
                else:
                    return '0'
    
        def JianDao_F(self,a,b):
            if '*' in a and '*' in b:
                l1 = a.split('*')[0]
    
                l2 = b.split('*')[0]
                l3 = str(float(l1)-float(l2))+'*'+a.split('*')[1]
                return l3
            else:
                return str(float(a)-float(b))
        def ChuDao_F(self,x,lmd):
            if 'x'==x:
                return str(1/lmd)
            if '*' in x:
                l1 = x.split('*')
                l2 = '{:,.2f}'.format(float(l1[0])/lmd)
                get_s = l2+'*'+l1[1]
                return get_s
            else:
                return '{:,.2f}'.format(float(x)/lmd)
    
    
        def GET_GO(self,Need_Do,lmd):
            global star, g, end
            g = ''
            nn = Need_Do.split('+')
            star = 0
            end = len(nn)-1
            ll1=self.ChuDao_F(nn[0],lmd)
            g+=ll1
            def ADD_F(ll1):
                global star,g,end
                if star==end:
                    return g
                ll2=self.QiuDao_F(ll1)
                ll3=self.JianDao_F(nn[star+1],ll2)
                ll4=self.ChuDao_F(ll3,lmd)
                g+='+'+ll4
                star+=1
                ADD_F(ll4)
            ADD_F(ll1)
            return g
    
    
    def GetABC(x):
        if '*' not in x:
            return 1.0
        else:
            return float(x.split('*')[0])
    
    def ANSW_GET(y):
        Tool = Tools()
        QiChi = y.split('=')[0]
        FeiQiChi = y.split('=')[1]
        R_E  = FeiQiChi.split('(')[0]
        if R_E:
            Lmd = R_E.split('^')[1]
            Lmd = float(Lmd.split('*')[0])
        else:
            Lmd = 0
    
        Need_Do = FeiQiChi.split('(')[1].rstrip(')')
    
        a,b,c = map(GetABC,QiChi.split('+'))
        def TUX(a,b,c):
            N = (b**2)-4*(a*c)
            if N>=0:
                return (N**0.5)
            else:
                return 0
    
        Tux = TUX(a,b,c)
        if Tux:
            x1 = (-b+Tux)/(2*a)
            x2 = (-b-Tux)/(2*a)
            if x1 == x2:
                Omg = Lmd - x1
                g = Tool.GET_GO(Need_Do,Omg)
                s = 'y*='+R_E+'('+g+')'+'\nx = {}'.format(x1)
                return s
            else:
                Omg1 = Lmd - x1
                Omg2 = Lmd - x2
                if Omg1 <= Omg2:
                    Omgp = Omg1
                    Omg1 = Omg2
                    Omg2 = Omgp
                    g0= Tool.GET_GO(Need_Do, Omg1)
                    g = Tool.GET_GO(g0,Omg2)
                    s ='y*='+ R_E + '(' + g + ')'+'\nx1 = {},x2 = {}'.format(x1,x2)
                    return s
    
        else:
            return 0
    def Check_Go(xincan):
        print(Win.IN_Get.get())
        y = Win.IN_Get.get()
        s = ANSW_GET(y)
        if s:
            Win.Show_AN.configure(text=s,font=("宋体",10))
        else:
            Win.Show_AN.configure(text='抱歉目前不支持此类方程求解',font=("宋体",15))
    def Quit_Go(xincan):
        Win.Show_AN.configure(text='',font=("宋体",10))
        Win.tips.set('')
        Win.IN_Get.config(fg='black', textvariable=Win.tips)
    
    if __name__=='__main__':
        root=tk.Tk()
        Win = Root(root)
        Win.Label()
        Win.B_E_Menu()
        Win.Check_B.bind("<Button-1>",lambda a :Check_Go('0'))
        Win.Quit_B.bind("<Button-1>", lambda a: Quit_Go('0'))
        root.mainloop()
    
    
    

    效果

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  • 1、二阶常系数齐线性微分方程 2、二阶常系数非齐次线性微分方程
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  • 二阶方程再也不是一个梦想,在20世纪已经有人能解开齐次,而我们
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