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  • 函数 CLT.m 使用一些离散随机变量说明了中心极限定理
  • 爱因斯坦说:“如果你不能简单的说清楚一件事,说明你对它理解还不够透彻”,显然,文档基于矩母函数的性质以及limt(n→∞)(1+c/n)^n=e^c ,给出了中心极限定理极其简单明了的证明。
  • 用MATLAB模拟大数定律和中心极限定理.pdf
  • 引言设{ξ_k}是独立同分布的随机变量序列,其均值Eξ_k=0,方差D(ξ_k)=1,(k=1、2…)。记η_n=sum from K=1 to=n(ξ_k) ξ_n=η_n/n~(1/2) 那么独立同分布的中心极限定理成立,即n→∞P(ξ_n
  • 大数定律和中心极限定理这部分教学内容理论性较强,结论奇特。运用Mathematica软件强大的符号计算和图形处理功能,对大数定律和中心极限定理进行随机模拟,从不同角度进行演示和论证,给出形象直观的解释和说明,可以加强...
  • 中心极限定理指出,在给定的某些条件下,足够多的独立随机变量的均值将近似正态分布,每个变量都具有有限的均值和方差。
  • 概率论中的一些定律,尤其在贝叶斯分类器中的独立同分布的中心极限定理
  • In this lecture, we describe two proofs of a central theorem of mathematics, namely the central limit theorem. One will be using cumulants, and the other using moments. Actually, our proofs won’t be ...
  • 中心极限定理的仿真

    2015-04-14 10:07:40
    中心极限定理的仿真,matlab实现,课程作业,希望能有所帮助
  • 中心极限定理 (CLT) 指出 N iid 随机变量的样本平均值接近正态分配。 此脚本显示 N iid 变量的样本平均值相对于 N 的概率密度函数。变量可以根据 chi-2、指数或均匀分布进行分布。
  • Lindeberg中心极限定理的概率算子证法 (1982年)
  • 大数定律和中心极限定理 应用题.doc
  • 中心极限定理表明,某些原来并不服从正态分布的独立随机变量,其总和却渐近地服从正态分布.运用3个引理证明了独立随机变量序列的中心极限定理
  • 考研真题集-大数定律与中心极限定理
  • 它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的,而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的,这种随机变量往往近似地服从正太分布,本次编程主要实现了三个常用的中心极限定理的计算,精确到小数点...
  • 中心极限定理

    万次阅读 多人点赞 2018-04-30 20:58:22
    中心极限定理指的是给定一个任意分布的总体。每次从这些总体中随机抽取 n 个抽样,一共抽 m 次。 然后把这 m 组抽样分别求出平均值。 这些平均值的分布接近正态分布。我们先举个栗子现在我们要统计全国的人的体重,...

    中心极限定理指的是给定一个任意分布的总体。每次从这些总体中随机抽取 n 个抽样,一共抽 m 次。 然后把这 m 组抽样分别求出平均值。 这些平均值的分布接近正态分布。

    我们先举个栗子

    现在我们要统计全国的人的体重,看看我国平均体重是多少。当然,我们把全国所有人的体重都调查一遍是不现实的。所以我们打算一共调查1000组,每组50个人。 然后,我们求出第一组的体重平均值、第二组的体重平均值,一直到最后一组的体重平均值。中心极限定理说:这些平均值是呈现正态分布。并且,随着组数的增加,效果会越好。 最后,当我们再把1000组算出来的平均值加起来取个平均值,这个平均值会接近全国平均体重。


    其中要注意的几点


    1.总体本身的分布不要求正态分布

    上面的例子中,人的体重是正态分布的。但如果我们的例子是掷一个骰子(平均分布),最后每组的平均值也会组成一个正态分布。(神奇!)


    2.样本每组要足够大,但也不需要太大

    取样本的时候,一般认为,每组大于等于30个,即可让中心极限定理发挥作用。


    话不多说,我们现在来一步步看到中心极限定理是如何起作用的。


    第一步, 生成数据

    假设我们现在观测一个人掷骰子。这个骰子是公平的,也就是说掷出1~6的概率都是相同的:1/6。他掷了一万次。我们用python来模拟投掷的结果:


    平均值接近3.5很好理解。 因为每次掷出来的结果是1、2、3、4、5、6。 每个结果的概率是1/6。所以加权平均值就是3.5。

    第二步,画出来看看

    我们把生成的数据用直方图画出来直观地感受一下:


    可以看到1~6分布都比较平均,不错。

    第三步,抽一组抽样来试试

    我们接下来随便先拿一组抽样,手动算一下。例如我们先从生成的数据中随机抽取10个数字:

    平均值:3.9

    标准差:1.51

    可以看到,我们只抽10个的时候,样本的平均值(3.9)会距离总体的平均值(3.5)有所偏差。

    有时候我们运气不好,抽出来的数字可能偏差很大,比如抽出来10个数字都是6。那平均值就是6了。 为什么会出现都是6的情况呢?因为这就是随机的魅力呀!

    不过不要担心,接下去就是见证奇迹的时刻。

    第四步,见证奇迹的时刻

    我们让中心极限定理发挥作用。现在我们抽取1000组,每组50个。

    我们把每组的平均值都算出来。



    我们把这1000个数字用直方图画出来:


    结果打印如下:

    平均值:3.46508

    标准差:1.68772


    在实际生活当中,我们不能知道我们想要研究的对象的平均值,标准差之类的统计参数中心极限定理在理论上保证了我们可以用只抽样一部分的方法,达到推测研究对象统计参数的目的

    在上文的例子中,掷骰子这一行为的理论平均值3.5是我们通过数学定理计算出来的。而我们在实际模拟中,计算出来的样本平均值的平均值(3.48494)确实已经和理论值非常接近了。






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  • 大数据定律与中心极限定理 数据科学 (Data Science) The Central Limit Theorem is at the center of statistical inference what each data scientist/data analyst does every day. 中心极限定理是每个数据科学家/...

    大数据定律与中心极限定理

    数据科学 (Data Science)

    The Central Limit Theorem is at the center of statistical inference what each data scientist/data analyst does every day.

    中心极限定理是每个数据科学家/数据分析师每天所做的统计推断的中心。

    Central Limit Theorem performs a significant part in statistical inference. It depicts precisely how much an increase in sample size diminishes sampling error, which tells us about the precision or margin of error for estimates of statistics, for example, percentages, from samples.

    中心极限定理在统计推断中起着重要作用。 它精确地描述了样本数量的增加在多大程度上减少了抽样误差,从而告诉我们关于统计估计值(例如,样本中的百分比)的精度或误差范围。

    Statistical inference depends on the possibility that it is conceivable to take a broad view results from a sample to the population. How might we guarantee that relations seen in an example are not just because of the possibility?

    统计推断取决于是否有可能对样本进行总体评估。 我们如何保证在示例中看到的关系不仅仅是因为可能性?

    Significance tests are intended to offer a target measure to inform decisions about the validity of the broad view. For instance, one can locate a negative relationship in a sample between education and income. However, added information is essential to show that the outcome isn’t just because of possibility, yet that it is statistically significant.

    重要性测试旨在提供一种目标度量,以告知有关广泛视野有效性的决策。 例如,可以在样本中发现教育与收入之间的负相关关系。 但是,添加信息对于显示结果不仅是因为可能,而且在统计上也很重要至关重要。

    The Central Limit Theorem (CLT) is a mainstay of statistics and probability. The theorem expresses that as the size of the sample expands, the distribution of the mean among multiple samples will be like a Gaussian distribution.

    中心极限定理 (CLT)是统计和概率的中流tay柱。 该定理表示,随着样本大小的扩展,多个样本之间的均值分布将类似于高斯分布

    We can think of doing a trial and getting an outcome or an observation. We can rehash the test again and get another independent observation. Accumulated, numerous observations represent a sample of observations.

    我们可以考虑进行试验并获得结果或观察结果。 我们可以再次重新测试,并获得另一个独立的观察结果。 累积的大量观察值代表观察值样本。

    On the off chance that we calculate the mean of a sample, it will approximate the mean of the population distribution. In any case, like any estimate, it will not be right and will contain some mistakes. On the off chance that we draw numerous independent samples, and compute their means, the distribution of those means will shape a Gaussian distribution.

    在计算样本均值的偶然机会上,它将近似于总体分布的均值。 无论如何,像任何估计一样,这都是不正确的,并且会包含一些错误。 在偶然的机会下,我们将抽取大量独立样本并计算其均值,这些均值的分布将形成高斯分布。

    It is significant that every trial that outcomes in an observation be autonomous and acted similarly. This is to guarantee that the sample is drawing from the equivalent fundamental population distribution. More officially, this desire is alluded to as autonomous and indistinguishably distributed or set of comparative statements.

    重要的是,观察结果中的每项试验都应具有自主性并采取类似的行动。 这是为了确保样本来自等效的基本人口分布。 更正式地说,这种愿望被指为自主的,无差别的分布或一组比较表述。

    As far as possible, the central limit theorem is regularly mistaken for the law of large numbers (LLN) by beginners. They are non -identical, and the key differentiation between them is that the LLN relies upon the size of a single sample, though the CLT relies upon the number of samples.

    初学者经常将中心极限定理经常误认为是大数定律 (LLN)。 它们是不同的,它们之间的主要区别在于LLN依赖于单个样本的大小,而CLT则依赖于样本的数量。

    LLN expresses that the sample means of independent and indistinguishably distributed observations perceptions joins to a certain value as far as possible CLT portrays the distribution of the distinction between the sample means and the value.

    LLN表示,独立且无差别分布的观测知觉的样本均值将加入一个特定值,而CLT则描绘了样本均值与值之间的区别的分布。

    Since as far as possible, the central limit theorem gives us a certain distribution over our estimations. We can utilize this to pose an inquiry about the probability of an estimate that we make. For example, assume we are attempting to think about how an election will turn out.

    由于尽可能地,中心极限定理给了我们估计值的一定分布。 我们可以利用它来提出关于我们做出估计的概率的询问。 例如,假设我们试图考虑选举的结果。

    We take a survey and discover that in our sample, 30% of individual would decide in favor of candidate A over candidate B. Obviously, we have just seen a small sample of the total population, so we had preferred to know whether our outcome can be said to hold for the whole population, and if it can’t, we’d like to understand how substantial the error may be.

    我们进行了一项调查,发现在我们的样本中,有30%的人会选择候选人A胜过候选人B。显然,我们只看到了总人口中的一小部分,因此我们更想知道我们的结果是否可以据说可以容纳整个人口,如果不能,我们想了解这个错误可能有多大。

    As far as possible, the central limit theorem discloses to us that on the off chance that we ran the survey over and again, the subsequent theories would be normally distributed across the real population value.

    中心极限定理尽可能地向我们揭示,如果我们不需一次又一次地进行调查,那么随后的理论将在实际人口价值上呈正态分布。

    The CLT works from the center out. That implies on the off chance that you are presuming close to the center, for example, that around two-thirds of future totals will fall inside one standard deviation of the mean, you can be secure even with little samples.

    CLT从中央开始工作。 这意味着您很有可能会假设自己靠近中心,例如,大约三分之二的未来总量将落在均值的一个标准差之内,即使样本量很少,您也可以放心。

    However, if you talk about the tails, for example, presuming that whole in excess of five standard deviations from the mean is almost unthinkable, you can be mortified, even with sizable samples.

    但是,如果您谈论的是尾巴,例如,假设与平均值相比超出5个标准差的整数几乎是不可想象的,那么即使有相当大的样本,您也可能会被贬低。

    The CLT disappoints when a distribution has a non-limited variance. These cases are rare yet might be significant in certain fields.

    当分布具有无限制的方差时,CLT会令人失望。 这些情况很少见,但在某些领域可能很重要。

    CLT asserts the prominence of the Gaussian distribution as a natural restricting distribution. It legitimizes numerous theories associated to statistics, for example, the normality of the error terms in linear regression is the independent totality of numerous random variables with limited variance or undetectable errors, we can normally expect it is normally distributed.

    CLT断言, 高斯分布的突出之处是自然的限制性分布。 它使与统计有关的众多理论合法化,例如,线性回归中误差项的正态性是方差有限或无法检测到的众多随机变量的独立总数,我们通常可以期望其呈正态分布。

    Solidly, when you don’t have a clue about the distribution of certain data, at that point, you can utilize the CLT to presume about their normality.

    当然,当您对某些数据的分布一无所知时,可以使用CLT推测其正常性。

    In any case, the drawback of the CLT is that it is frequently utilized without checking the suspicions, which has been the situation in finance domain for quite a while, assuming returns were normal, though they have a fat-tailed distribution, which characteristically carries a greater number of dangers than the normal distribution.

    无论如何,CLT的缺点是经常使用它而没有检查怀疑,这在金融领域已经存在了相当长的一段时间,假设收益是正常的,尽管它们具有肥大的分布 ,通常具有危险性比正常分布更大。

    CLT doesn’t have any significant bearing when you are managing with sums of dependent random variables or sums of non- indistinguishably distributed random variables or sums of random variables that breach both the autonomy condition and the indistinguishably distributed condition.

    当您处理因变量随机和的总和,不可区分分布的随机变量的总和或违反自治条件和不可区分分布的条件的随机变量的总和时,CLT没有任何重要意义。

    There are additional central limit theorems that loosen up the autonomy or indistinguishably distributed conditions. For example, there is the Lindberg-Feller theorem, which despite everything, necessitates that the random variables be independent, yet it loosens up the indistinguishably distributed condition.

    还有其他的中心极限定理,可以放宽自治性或难以区分的分布条件。 例如,有一个Lindberg-Feller定理,尽管有所有这些定理,但它要求随机变量是独立的,但它却松开了难以区分的分布条件。

    In conclusion, the advantage of the CLT is that it is powerful, meaning implying that regardless of whether the data originates from an assortment of distributions if their mean and variance are the equivalent, the theorem can even now be utilized.

    总之,CLT的优势在于功能强大,这意味着无论数据的均值和方差是否相等,无论数据是否源自各种分布,该定理现在都可以使用。

    翻译自: https://medium.com/towards-artificial-intelligence/why-is-central-limit-theorem-important-to-data-scientist-49a40f4f0b4f

    大数据定律与中心极限定理

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  • 中心极限定理的理解

    2020-10-22 16:51:30
    中心极限定理的理解1 背景2 Python模拟中心极限定理2.1 生成总体数据2.2 可视化2.3 抽一组看看2.4 抽很多组看看3 应用3.1 应用1:对于总体的估计3.2 应用2:多场景下统计量的近似使用4 中心极限定理可视化5 参考 ...

    1 背景

    统计学上有一个重要的理论,就是中心极限定理,它的定义如下:
    在这里插入图片描述
    下面我们希望直观上来去理解下中心极限定理,以及看看它的应用场景!

    2 Python模拟中心极限定理

    假设我们现在观测一个人掷骰子。这个骰子是公平的,也就是说掷出1~6的概率都是相同的:1/6。他掷了一万次。我们用python来模拟投掷的结果:

    2.1 生成总体数据

    import numpy as np 
    random_data = np.random.randint(1, 7, 10000) # 随机生成1~6之间的数 1万次!
    print (random_data.mean()) # 打印平均值
    print (random_data.std())  # 打印标准差
    
    3.4912
    1.713395039096355
    

    实际平均值就是:

    (1+2+3+4+5+6) / 6
    
    3.5
    

    2.2 可视化

    import matplotlib.pyplot as plt
    plt.hist(random_data)
    
    (array([1689.,    0., 1666.,    0., 1696.,    0., 1631.,    0., 1629.,
            1689.]),
     array([1. , 1.5, 2. , 2.5, 3. , 3.5, 4. , 4.5, 5. , 5.5, 6. ]),
     <a list of 10 Patch objects>)
    

    在这里插入图片描述

    2.3 抽一组看看

    我们接下来随便先拿一组抽样,手动算一下。例如我们先从生成的数据中随机抽取10个数字:

    sample1 = []
    for i in range(0, 10):
        sample1.append(random_data[int(np.random.random() * len(random_data))])
    
    print (sample1) # 打印出来
    
    [5, 1, 6, 6, 4, 4, 1, 1, 4, 6]
    

    计算平均值:

    from numpy import *
    mean(sample1)
    
    3.8
    

    结果可能和实际的均值3.5会有一些差异!随机的魅力!

    2.4 抽很多组看看

    看有没有中心极限定理说的那么神奇!

    现在我们抽取1000组,每组50个。

    我们把每组的平均值都算出来。

    samples = []
    samples_mean = []
    samples_std = []
    
    for i in range(0, 1000):
        sample = []
        for j in range(0, 50):
            sample.append(random_data[int(np.random.random() * len(random_data))])
        sample_np = np.array(sample)
        samples_mean.append(sample_np.mean())
        samples_std.append(sample_np.std())
        samples.append(sample_np)
    
    samples_mean_np = np.array(samples_mean)
    samples_std_np = np.array(samples_std)
    
    print (samples_mean_np)
    
    [3.24 3.74 3.88 3.62 3.66 3.56 3.58 3.46 3.54 3.64 3.48 3.24 3.42 3.36
     3.5  3.44 3.12 3.1  3.7  3.38 3.66 3.78 3.38 3.26 3.26 3.1  3.26 3.72
     3.52 3.86 3.52 3.36 3.68 3.8  3.76 3.6  3.84 4.26 3.48 3.38 2.98 3.02
     3.68 3.38 4.14 3.5  3.32 3.48 3.9  3.54 3.38 3.38 3.5  3.42 3.76 3.62
     3.68 3.42 3.68 3.26 3.76 3.38 3.26 3.68 3.56 3.14 3.08 3.6  3.76 3.74
     3.76 3.68 3.42 3.28 3.08 3.58 3.62 3.26 3.54 3.48 3.66 3.48 3.48 4.12
     3.62 3.5  3.36 3.2  3.   3.32 3.14 3.24 3.52 3.62 3.18 3.68 3.24 3.08
     3.46 3.72 3.32 3.26 3.6  3.38 3.62 3.66 3.68 3.44 3.56 3.7  3.56 3.94
     3.82 3.78 3.62 3.64 3.74 3.52 3.46 3.52 3.5  3.3  3.12 3.6  3.44 3.12
     3.46 3.72 3.58 3.02 3.24 3.76 3.24 3.76 3.82 2.88 3.6  3.56 3.2  3.68
     3.26 3.46 3.4  3.18 3.6  3.36 3.18 3.5  3.34 3.68 3.56 3.28 3.96 3.52
     3.46 3.28 3.42 3.68 3.7  3.54 3.48 3.46 3.46 4.2  3.62 3.66 3.28 3.62
     3.46 3.86 3.88 3.06 3.3  3.52 3.22 3.68 3.66 3.52 3.62 3.44 2.88 3.06
     3.6  3.58 3.26 3.7  3.44 3.14 3.42 3.36 3.62 3.38 3.1  3.32 3.38 3.84
     3.46 3.64 3.72 3.58 2.8  3.68 3.38 3.4  3.46 3.38 3.5  3.6  3.48 3.18
     3.64 3.66 3.68 3.88 3.92 3.68 3.56 3.6  3.36 3.66 3.42 3.66 3.64 3.62
     3.26 3.58 3.64 3.34 3.5  3.78 3.38 3.48 3.52 3.96 3.14 3.76 3.4  3.64
     3.58 3.34 3.84 3.94 3.66 3.84 3.64 3.3  3.3  3.7  3.92 3.66 3.92 3.34
     3.72 3.16 3.74 3.7  3.8  3.4  3.64 3.74 3.58 3.46 3.28 3.22 3.44 3.34
     3.9  3.16 3.36 3.98 3.68 3.08 3.44 3.66 4.02 3.44 3.88 3.64 3.4  3.08
     3.46 3.46 3.62 3.44 3.22 3.46 3.22 3.54 3.72 3.2  3.66 3.36 3.44 3.12
     3.16 3.66 3.44 3.42 3.6  3.38 3.66 3.06 3.58 3.64 3.82 3.5  3.08 3.34
     3.32 3.68 3.36 3.5  3.4  3.48 3.72 3.38 3.32 3.5  3.6  3.64 3.44 3.24
     3.52 3.66 3.4  3.66 3.36 3.66 3.58 3.5  3.64 3.54 3.4  3.56 3.72 3.24
     3.4  3.5  3.94 3.12 3.68 4.04 3.52 3.32 3.3  3.56 3.14 3.68 3.14 3.66
     3.76 3.34 3.94 3.42 3.72 3.28 3.4  3.62 3.44 3.58 3.46 3.66 3.6  3.54
     3.38 3.46 3.38 3.86 3.42 3.5  3.6  3.74 3.36 3.4  3.42 3.44 3.56 3.34
     3.34 3.14 3.3  3.56 3.86 3.14 3.8  3.88 3.44 3.48 3.38 3.22 3.4  3.5
     3.68 3.66 3.76 3.36 3.88 3.48 3.76 3.46 3.48 3.54 3.62 3.46 3.5  3.2
     3.68 3.32 3.28 3.32 3.58 3.36 3.64 3.5  3.64 3.5  3.28 3.72 3.22 3.08
     2.84 3.32 3.44 3.68 3.58 3.68 3.36 3.64 3.8  3.24 3.58 3.68 3.4  3.48
     3.54 3.38 3.74 3.44 3.52 3.6  3.78 3.96 3.12 3.5  3.34 3.22 3.76 3.42
     3.4  3.84 3.62 3.38 3.26 3.1  3.32 3.34 3.54 3.9  3.28 3.6  3.66 3.54
     3.02 3.16 3.88 3.66 4.18 3.34 3.48 3.76 3.28 3.52 3.44 3.64 3.32 3.6
     3.34 3.2  3.54 3.92 4.04 3.26 3.26 3.7  3.96 3.42 3.46 3.54 3.68 3.74
     3.66 3.36 3.18 3.18 3.08 3.7  3.42 3.52 3.24 3.   3.68 3.42 3.78 3.88
     3.5  3.7  3.64 3.58 3.4  3.02 3.52 3.86 3.6  3.2  3.36 3.52 3.36 3.62
     3.28 3.24 3.68 3.3  3.28 3.84 3.36 3.38 3.6  3.38 3.54 3.82 3.3  3.74
     3.72 3.5  3.36 3.7  3.82 3.42 3.44 3.52 3.8  3.82 3.66 3.1  3.42 3.62
     3.3  3.36 3.16 3.02 3.4  3.28 3.7  3.8  3.76 3.3  3.32 3.36 3.12 3.38
     3.82 3.42 3.52 3.12 3.3  3.74 3.38 3.82 3.44 3.38 3.12 3.36 3.04 3.32
     3.56 3.5  3.3  3.22 3.22 3.52 3.1  3.64 3.48 3.4  3.44 3.6  3.68 3.2
     3.76 3.22 3.02 3.42 3.82 3.16 3.26 3.52 3.66 3.88 3.32 3.62 3.56 3.36
     3.54 3.5  3.8  3.08 3.5  3.08 3.64 3.38 3.12 3.34 3.94 3.52 3.54 3.5
     3.52 3.44 3.74 3.18 3.16 3.42 3.38 3.88 3.7  3.68 3.8  3.44 3.2  3.6
     3.56 3.8  3.5  3.56 3.6  3.14 3.14 3.7  3.34 3.52 3.32 3.68 3.38 3.72
     3.34 3.4  3.42 3.8  3.76 3.4  3.64 3.56 3.7  3.58 3.74 3.86 3.28 3.62
     3.42 3.5  3.56 3.66 3.54 3.84 3.26 3.4  3.42 3.16 3.44 3.3  3.76 3.42
     3.96 3.34 3.66 3.86 3.32 3.54 3.38 4.06 4.24 3.18 3.34 3.42 3.92 3.2
     3.82 3.72 3.06 3.52 3.62 3.64 3.94 3.52 3.58 3.4  3.4  3.78 3.26 3.78
     3.24 3.76 3.2  3.66 3.9  3.36 3.5  3.22 3.42 3.56 3.68 3.44 3.28 3.9
     3.24 3.7  3.88 3.98 3.6  3.96 3.2  3.7  3.3  3.2  3.26 4.08 3.3  3.88
     3.86 3.52 3.66 3.62 3.06 3.34 3.38 3.8  3.98 3.38 3.42 3.88 3.78 3.2
     3.38 3.12 3.24 3.12 3.82 3.48 3.62 3.36 3.56 3.1  3.5  3.2  3.74 3.74
     2.96 3.24 2.94 3.42 3.7  3.42 3.62 3.5  3.06 3.06 3.6  3.   3.26 3.46
     3.68 2.88 3.18 3.2  3.42 3.46 3.5  3.78 2.94 3.8  3.48 3.6  3.42 3.48
     3.24 3.58 4.34 3.42 3.24 3.56 3.6  3.78 3.04 3.72 3.22 3.64 3.26 3.6
     3.54 3.4  3.56 3.18 3.92 3.56 3.8  3.24 3.74 3.56 3.38 3.92 3.52 3.92
     3.42 3.28 3.56 3.62 3.7  3.4  3.38 3.54 3.2  3.26 3.78 3.82 3.44 3.46
     3.08 3.52 3.98 3.62 3.8  3.16 3.52 3.38 3.54 3.88 3.56 3.4  3.34 3.14
     3.56 3.3  3.96 3.66 3.18 3.02 3.52 3.56 3.1  3.34 3.48 3.44 3.64 4.06
     3.98 3.56 3.22 3.6  3.52 3.6  3.92 3.06 3.32 3.64 3.68 3.48 3.48 3.46
     3.7  2.98 3.46 3.32 3.44 3.58 3.52 3.54 3.48 3.48 3.34 3.5  3.4  3.26
     3.42 3.78 2.88 3.52 3.96 3.54 3.58 2.88 3.6  3.98 3.76 3.58 3.26 3.5
     3.32 3.14 3.62 3.98 3.42 4.4  3.44 2.86 3.86 3.62 3.22 3.38 3.38 3.32
     3.22 3.3  3.54 3.02 3.62 3.08 3.42 3.46 3.62 3.36 3.92 3.8  3.6  3.64
     3.48 3.7  3.78 3.3  3.48 3.56 2.96 3.62 3.28 3.4  3.16 3.7  3.82 3.66
     3.36 3.94 3.54 3.78 3.76 3.86 3.22 3.5  3.3  3.26 3.44 3.82 3.52 3.4
     3.38 3.48 3.94 4.2  3.58 3.44 3.66 3.3  3.28 3.22 3.3  3.8  3.52 3.16
     3.24 3.46 3.62 3.74 3.66 3.18 3.04 3.52 3.46 3.26 3.   3.72 3.78 3.58
     3.72 3.82 3.64 3.52 3.4  3.38 3.46 3.52 3.46 3.64 3.6  3.4  3.62 3.54
     3.48 3.68 3.72 3.84 3.44 3.52]
    

    可视化这1000组各自的均值:

    plt.hist(samples_mean_np)
    
    (array([ 10.,  47., 141., 196., 241., 234.,  83.,  38.,   6.,   4.]),
     array([2.8 , 2.96, 3.12, 3.28, 3.44, 3.6 , 3.76, 3.92, 4.08, 4.24, 4.4 ]),
     <a list of 10 Patch objects>)
    

    在这里插入图片描述

    加上拟合曲线,很接近正态分布!

    import seaborn as sns
    sns.distplot(samples_mean_np, bins=10)
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    3 应用

    在实际生活当中,我们不能知道我们想要研究的对象的平均值,标准差之类的统计参数。中心极限定理在理论上保证了我们可以用只抽样一部分的方法,达到推测研究对象统计参数的目的

    3.1 应用1:对于总体的估计

    根据这个定理,不管实验关注的结果指标自身分布如何,比如点赞次数、评论次数、分享次数,这些肯定不是呈正态分布。但是只要实验随机地选取用户且用户量足够大,那么每次抽样的均值作为一个样本点形成的分布会呈现正态分布。且抽样分布的均值近似为总体均值,抽样分布的标准差为总体方差的1/sqrt(n)。

    实际的社会生活中,要统计总体的一些数值的成本可能非常高,基本不可行,比如统计特朗普在美国民众中的支持率,但可以通过随机抽样得到的数据来进行估计。随着抽样选取的样本数量越大,抽样得到的数值跟真实值就越接近。

    3.2 应用2:多场景下统计量的近似使用

    A/B 测试:一般是比较实验组和对照组在某些指标上是否存在差异,当然更多时候是看实验组相比对照组某个指标表现是否更好。

    AB测试本质上是检验两总体均值是否相等!假设检验的内容!实验样本量远远大于统计学上所说的大样本量(样本量n>30),这就满足了中心极限定理。可以使用Z统计量!

    4 中心极限定理可视化

    • http://mfviz.com/central-limit/

    5 参考

    • http://sofasofa.io/forum_main_post.php?postid=1001395
    • https://zhuanlan.zhihu.com/p/25241653
    • https://zhuanlan.zhihu.com/p/46963974
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  • 中心极限定理的基本概念和应用场景

    千次阅读 多人点赞 2019-03-31 19:49:41
    一、中心极限定理的基本概念 中心极限定理是说:样本的平均值约等于总体的平均值。不管总体是什么分布,任意一个总体的样本平均值都会围绕在总体的整体平均值周围,并且呈正态分布。 接下来,我们用通俗易懂的话来...

    一、中心极限定理的基本概念

    中心极限定理是说:
    样本的平均值约等于总体的平均值。
    不管总体是什么分布,任意一个总体的样本平均值都会围绕在总体的整体平均值周围,并且呈正态分布。

    接下来,我们用通俗易懂的话来解读这个定理。

     

    假设有一个群体,如我们之前提到的清华毕业的人,我们对这类人群的收入感兴趣。怎么知道这群人的收入呢?我会做这样4步:

    第1步:随机抽取1个样本,求该样本的平均值。

    例如我们抽取了100名毕业于清华的人,然后对这些人的收入求平均值。

    该样里的100名清华的人,这里的100就是该样本的大小。

    有一个经验是,样本大小必须达到30,中心极限定理才能保证成立。

     

    第2步:我将第1步样本抽取的工作重复再三,不断地从毕业的人中随机抽取100个人,例如我抽取了5个样本,并计算出每个样本的平均值,那么5个样本,就会有5个平均值。

    这里的5个样本,就是指样本数量是5。

     

    第3步:根据中心极限定理,这些样本平均值中的绝大部分都极为接近总体的平均收入。有一些会稍高一点,有一些会稍低一点,只有极少数的样本平均值大大高于或低于群体平均值。

    第4步:中心极限定理告诉我们,不论所研究的群体是怎样分布的,这些样本平均值会在总体平均值周围呈现一个正态分布。

    二、中心定理的应用案例

    根据《2017年中国家庭财富调查报告》调查数据显示,2016年我国家庭人均财富大约为16.9万元(169077元)

    (其中,房产净值是家庭财富最重要的组成部分。在全国家庭的人均财富中,房产净值的占比为65.99%)

    现在假设我们随机抽样1000个中国家庭并询问他们的年收入。

    根据已知的这些信息,从中心极限定理出发,你能得出什么信息?

    下面我们一起来用中心极限定理进行推理。

     

    1)根据中心极限定理,我们可以得出的第1个结论是:用样本来估计总体。

    任何一个样本的平均值将会约等于其所在总体的平均值。


    例如你久居大城市,过年回老家,大街上遇到了邻居大妈,虽然20年没见你,邻居大妈还是一眼认出你了,这不是隔壁老王家的孩子嘛,长的真带劲。

    这里,你爸妈就是总体,你就是你爸妈的样本,和你爸妈长的相似。


    同样的,一个正确抽取的家庭样本应该能够反映中国所有家庭的情况,里面会包含收入高的公司高管,也会包括普通的员工,快递小哥、警察以及其他人,这些人出现的频率与他们在人口构成中的占比相关。


    因此,我们能够推测,这个包含1000个中国家庭代表性样本的家庭财富的平均值约等于总体的平均值。

     

    2) 样本平均值呈正态分布

    在这个例子中,样本平均值将会围绕着群体平均值(也就是16.9万元)形成一条正态分布曲线。记住,群体本身的分布形态并不重要,中国家庭收入的分布曲线并非正态分布,但样本平均值的分布曲线却是正态分布。

    如果我们连续抽取100次包含1000个家庭的样本,并将它们的平均值的出现频率在坐标轴上标出,那么我们基本可以确定在总体平均值周围将会呈现正态分布。

    取样次数越多,结果就越接近正态分布;而且样本大小越大,分布就越接近正态分布。

    现在我们已经可以用样本来估计出总体平均值。现在我想用样本来估计出总体的标准差,该怎么办呢?

    我们已经知道,一个数据集的标准差是数值与平均值的偏离程度。

    当你选择一个样本后,相比总体,你拥有数据的数量是变少了,因此,与总体中的数值偏离平均值的程度相比,样本中很有可能把较为极端的数值排除在外,这样使得数值更有可能以更紧密的方式聚集在均值周围。

    也就是说,样本的标准差要小于总体标准差。

    所以,为了更好的用样本估计总体的标准差,统计学家就将标准差的公式做了像下面图中公式中这样的改造。

    3)如何用样本估计总体?

    现在我们已经可以用样本来估计出总体平均值。现在我想用样本来估计出总体的标准差,该怎么办呢?

    我们已经知道,一个数据集的标准差是数值与平均值的偏离程度

    当你选择一个样本后,相比总体,你拥有数据的数量是变少了,因此,与总体中的数值偏离平均值的程度相比,样本中很有可能把较为极端的数值排除在外,这样使得数值更有可能以更紧密的方式聚集在均值周围。

    也就是说,样本的标准差要小于总体标准差。

    所以,为了更好的用样本估计总体的标准差,统计学家就将标准差的公式做了像下面图中公式中这样的改造。

     

    即原来的标准差公式是除以n,为了用样本估计总体标准差,现在是除以n-1。这样就是的标准略大。一般用字幕s表示用样本估计出的总体标准差。

    很多书上都会把除以n-1的标准差叫做样本标准差,其实会给人造成误解。其实这个样本标准差的目的是用于估计总体标准差

    你可能会疑惑,那我什么时候标准差除以n还是n-1呢?

    那就要看你使用标准差的目的是什么。

    如果你只是想计算一个数据集的标准差,那么就除以n,例如你有100个毕业与清华人的收入,只是想了解这100个人构成的数据集的波动大小,那你就用除以n的标准差公式。

    如果你想把这100个人当成一个样本,用这个样本来估计出总体(所有毕业与清华人的收入)的标准差,那么就除以n-1的标准差公式。

     

    我们在看下什么是标准误差?

    标准差是用来衡量数据集的波动大小。比如毕业于清华大学所有人的收入分布。

    标准误差其实也是标准差,只不过它是所有样本平均值的标准差。

    结合我刚才给的图片中的例子就更容易理解了。

    如果我从毕业于清华大学中抽取100个人作为样本1,然后我计算出标准差。那么这个标准差就是用来描述这100个人组成的数据集的波动大小。

    我连续刚才重复抽取样本的动作,最后抽取出2个样本,每个样本都有100个人。对每个样本计算平均值,这样就有2个平均值。

    这2个平均值其实组成了1个新的数据集,就是所有的“样本平均值”。然后对这2个平均值数据计算出标准差。就是标准误差。

    你看,标准误差其实也是标准差,只不过它的计算对象是所有的“样本平均值”。所以,标准误差是用来衡量总体样本平均值的波动大小。

    其实,计算标准误差有个简单的公式。下面图片我们一起看下。

    标准误差SE等于总体标准差除以n的开方。但是我们不知道总体标准差怎么办。其实前面我们已经讲了可以用样本来估计出总体标准差的公式s。

     

    根据中心极限定理,我们知道样本平均值是呈正态分布的,那么我们便可以通过这里图片中的样本平均值概率图来获得推理所需的“超能力”。

    看到这个图是不是很熟悉,这个图其实就是前面我们讲过的正态分布概率图,只不过这里的横轴是样本平均值的大小,纵轴是该平均值出现的概率。这里是标准误差。

    在前面介绍正态分布的时候,我们已经知道了正态分布的一个奇特超能力,应用到样本正态分布上,那就是:

    1)有68%的样本平均值会在总体平均值一个标准误差的范围之内

    数值范围(总体平均值-1个标准误差,总体平均值+1个标准误差)

    2)有95%的样本平均值会在总体平均值的两个标准误差的范围之内

    (总体平均值-2个标准误差,总体平均值+2个标准误差)

    3)有99.7%的样本平均值会在总体平均值3个标准误差的范围之内。

    (总体平均值-3个标准误差,总体平均值+3个标准误差)

     

    假如某个样本的平均值减去总体的平均值,大于3个标准误差。根据99.7%的样本平均值会处于总体平均值3个标准误差的范围内,因此我们可以得出该样本不属于总体。

     

    中心极限定理也就是这么两句话:

    1)任何一个样本的平均值将会约等于其所在总体的平均值。

    2)不管总体是什么分布,任意一个总体的样本平均值都会围绕在总体的平均值周围,并且呈正态分布。

     

    三、中心极限定理的应用场景

    1)在没有办法得到总体全部数据的情况下,我们可以用样本来估计总体

    如果我们掌握了某个正确抽取样本的平均值和标准差,就能对估计出总体的平均值和标准差。

    举个例子,如果你是北京西城区的领导,想要对西城区里的各个学校进行教学质量考核。

    同时,你并不相信各个学校的的统考成绩,因此就有必要对每所学校进行抽样测试,也就是随机抽取100名学生参加一场类似统考的测验。

    作为主管教育的领导,你觉得仅参考100名学生的成绩就对整所学校的教学质量做出判断是可行的吗?

    答案是可行的。中心极限定理告诉我们,一个正确抽取的样本不会与其所代表的群体产生较大差异。也就是说,样本结果(随机抽取的100名学生的考试成绩)能够很好地体现整个群体的情况(某所学校全体学生的测试表现)。

    当然,这也是民意测验的运行机制所在。通过一套完善的样本抽取方案所选取的1200名美国人能够在很大程度上告诉我们整个国家的人民此刻正在想什么。

     

    2)根据总体的平均值和标准差,判断某个样本是否属于总体

    如果我们掌握了某个总体的具体信息,以及某个样本的数据,就能推理出该样本是否就是该群体的样本之一。

    通过中心极限定理的正态分布,我们就能计算出某个样本属于总体的概率是多少。如果概率非常低,那么我们就能自信满满地说该样本不属于该群体。

     

     

     

     

     

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