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  • 二元函数求极值
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    2021-04-18 07:59:13

    实验五用matlab求二元函数及极值

    实验五?? 用matlab求二元函数的极值

    ?

    1.计算二元函数的极值

    对于二元函数的极值问题,根据二元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:

    步骤1.定义二元函数.

    步骤2.求解方程组,得到驻点.

    步骤3.对于每一个驻点,求出二阶偏导数

    步骤4. 对于每一个驻点,计算判别式,如果,则该驻点是极值点,当为极小值, 为极大值;如果,需进一步判断此驻点是否为极值点; 如果则该驻点不是极值点.

    2.计算二元函数在区域D内的最大值和最小值

    设函数在有界区域上连续,则在上必定有最大值和最小值。求在上的最大值和最小值的一般步骤为:

    步骤1. 计算在内所有驻点处的函数值;

    步骤2. 计算在的各个边界线上的最大值和最小值;

    步骤3. 将上述各函数值进行比较,最终确定出在内的最大值和最小值。

    3.函数求偏导数的MATLAB命令

    MATLAB中主要用diff求函数的偏导数,用jacobian求Jacobian矩阵。

    ?

    ?

    diff(f,x,n)? 求函数f关于自变量x的n阶导数。

    jacobian(f,x) 求向量函数f关于自变量x(x也为向量)的jacobian矩阵。可以用help diff, help jacobian查阅有关这些命令的详细信息

    例1? 求函数的极值点和极值.

    首先用diff命令求z关于x,y的偏导数

    >>clear;? syms x y;

    >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;

    >>diff(z,x)

    >>diff(z,y)

    结果为

    ans =4*x^3-8*y

    ??? ans =-8*x+4*y

    即再求解方程,求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve命令,当方程组不存在符号解时,solve将给出数值解。求解方程的MATLAB代码为:

    >>clear;

    >>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y')

    结果有三个驻点,分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数:

    >>clear;? syms x y;

    >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;

    >>A=diff(z,x,2)

    >>B=diff(diff(z,x),y)

    >>C=diff(z,y,2)

    结果为

    A=2*x^2

    B =-8

    ??? C =4

    由判别法可知和都是函数的极小值点,而点Q(0,0)不是极值点,实际上,和是函数的最小值点。当然,我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。

    >>clear;

    >>x=-5:0.2:5;? y=-5:0.2:5;

    >>[X,Y]=meshgrid(x,y);

    >>Z=X.^4-8*X.*Y+2*Y.^2-3;

    >>mesh(X,Y,Z)

    >>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')

    结果如图16.5.1

    ?

    图16.5.1? 函数曲面图

    可见在图6.1中不容易观测极值点,这是因为z的取值范围为[-500,100],是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值.

    >>contour(X,Y,Z, 600)

    >>xlabel('x'),ylabel('y')

    结果如图16.5.2

    图16.5.2? 等值线图

    由图16.5.2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点和.根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点周围没有等高线环绕,不是极值点,是鞍点.

    例2 求函数在条件下的极值..构造Lagrange函数

    求Lagrange函数的自由极值.先求关于的一阶偏导数

    >>clear; syms x y k

    >>l=x*y+k*(x+y-1);

    >>diff(l,x)

    >>diff(l,y)

    >>diff(l,k)

    得再解方程

    >>clear; syms x y k

    >>[x,y,k]=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-1=0','x','y','k')

    得进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值.

    ?

    例3 抛物面被平面截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离.

    这个问题实际上就是求函数

    在条件及下的最大值和最小值问题.构造Lagrange函数

    求Lagrange函数的自由极值.先求关于的一阶偏导数

    >>clear; syms x y z u v

    >>l=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1);

    >>diff(l,x)

    >>diff(l,y)

    >>diff(l,z)

    >>diff(l,u)

    >>diff(l,v)

    再解方程

    >>clear;

    >>[x,y,z,u,v]=solv

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    二元函数定义

    设平面点集D包含于R2,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有唯一的实数z与之对应,则称f为在D上的二元函数。且称D为f的定义域,P对应的z为f在点P的函数值,记作z=f(x,y);全体函数值的集合称为f的值域。

    一般来说,二元函数是空间的曲面,如双曲抛物面(马鞍形)z=xy。二元函数可以认为是有两个自变量一个因变量,可以认为是三维的函数,空间函数。

    二元函数求极值的步骤

    二元函数的条件

    1、二元函数可微的充要条件:[f(x+dx,y+dy)-f(x,y)]是[(x²+y²)^1/2]的高阶无穷小。

    2、二元函数可微的必要条件:若函数在某点可微,则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

    3、二元函数可微的充分条件:若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在且均在这点连续,则该函数在这点可微。

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    求得驻点为:(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)
    再求出二阶偏导数
    f x x ( x , y ) = 6 x + 6 f_{xx}(x,y)=6x+6 fxx(x,y)=6x+6
    f x y ( x , y ) = 0 f_{xy}(x,y)=0 fxy(x,y)=0
    f y y ( x , y ) = − 6 y + 6 f_{yy}(x,y)=-6y+6 fyy(x,y)=6y+6
    对各驻点进行判断:
    在点(1,0)处, A C − B 2 = 12 ∗ 6 > 0 AC-B^2=12*6>0 ACB2=126>0,又A>0,所以函数在(1,0)处有极大值f(1,0)=-5,
    其他以此类推。
    二、拉格朗日乘数法及条件极值
    在这里插入图片描述
    例1:
    在这里插入图片描述
    例2:
    在这里插入图片描述
    其实这道题是kkt条件的一个应用。
    在这里插入图片描述
    对于不等值约束,我们可以先计算二元函数的一个极值,判断极值是否在限制条件内(即求出来的极值点是否满足限制条件),如果是代表解在限制条件内部直接求极值,如果不是代表点在限制条件外部,则最小值一定是限制条件函数的边缘,此时相当于等值约束。
    例2:如果我将限制条件改为 y > x 2 且 y > = x y>x^2且y>=x y>x2y>=x此时题目怎么做
    在这里插入图片描述

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    目标

    原函数: f(x) = 2x1x1 + x2x2 -2x1*x2 - 4x1 + 4
    起始点 为(0,0)
    精度 :误差要求小于 10**(-3)

    过程:
    在这里插入图片描述

    直接上代码看注释吧()

    import numpy as np
    import math
    import matplotlib.pyplot as plt
    from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
    
    
    def f(x):
        return 2*x[0]**2 + x[1]**2 - 2*x[0]*x[1]-4*x[0]+4   
    
    def step(x):      # 计算每次迭代的步长,H为该函数的hessian矩阵
        H = np.matrix([[4, -2], [-2, 2]])
        a = np.matrix(grad(x))
        b = np.matrix(grad(x).reshape(2, 1))    # array.reshape() 是把原列表按顺序变成指定的形状,本来是行向量形状是(2,1),经过处理后就变成了列向量形状是(2,1)
    
        return a*b/(a*np.matrix(H)*b)     
    
    
    def grad(x):      #在该点的梯度,返回一个向量
        return np.array([4*x[0]-2*x[1]-4, 2*x[1]-2*x[0]])
    
    
    def accuracy(x):   #计算在该点的精度
        return math.sqrt(x[0]*x[0]+x[1]*x[1])
    
    
    if __name__=="__main__":
        x = np.array([0, 0])  # 定义初始点
        trace = []  # 用来记录迭代的轨迹
        deta = accuracy(grad(x)) # 精度
        while deta > 10**-3: # 一直循环,直到达到精度要求
            trace.append(np.append(x, f(x)))  
            t = float(step(x)) # step(x)为只有一个元素的矩阵(二维列表),所以先把他转化为浮点型
            x = x - t*grad(x)  # 更新点
            deta = accuracy(grad(x)) # 计算新的误差
        print(len(trace))  #看一下他迭代了多少次得到解
        
    	# 一下是画图环节
    	
        fig = plt.figure()
        ax = Axes3D(fig)
    
        X = np.arange(0, 3, 0.25)  # 先输出一下trace列表看看大致的范围再确定坐标,范围是(0,3)步长为 0.25
    
        Y = np.arange(0, 3, 0.25)
    
        X, Y = np.meshgrid(X, Y) # meshgrid是 网格 的意思,用来形成网格
        Z = 2*X**2 + Y**2 - 2*X*Y-4*X+4   # 求Z坐标的值   X,Y,Z都是列表
        plt.xlabel('x') #设置坐标轴的名称
        plt.ylabel('y')
    
        for p in trace:
            ax.scatter(*p)  # 显示轨迹点
        ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap='summer') #绘制函数在设置的坐标范围的图像 XYZ是坐标列表,后面两个是画图坐标的间隔,默认值就是1,越大跨度越大点越稀疏,cmap 是图的风格(颜色渐变等等),有很多自己去网上找
        plt.show()  # 显示
    

    效果:
    迭代次数为23
    在这里插入图片描述
    只看到两个点是因为被图覆盖了,如果只显示点,是这样的:

    在这里插入图片描述
    极值点为(2,2)

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