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  • 二元函数求极限
    2020-12-21 19:31:26

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    二元函数极限的求法

    数学与统计学院、数学与应用数学、

    0701

    班,湖北,黄石,

    435002

    1.

    引言

    多元函数的极限在高等数学中非常重要,但由于多元函数的自变量多

    ,

    因此对于判断其极限存在与否及其求法,

    比起一元函数的极限就显得比较困

    .

    求极限和证明极限的方法很多,一般我们常用定义法,初等变形法,两

    边夹准则,阶的估计等

    .

    在这几种方法中,定义法是基础,但是比较繁琐

    ,

    他方法有的较易,有的较难,让人不知道从何下手

    .

    因此,我们有必要总结

    探讨出比较容易好的方法去求多元函数的极限

    .

    多元函数极限在现在的生活

    中也有很大的用处,

    比如工程计算方面

    .

    从以上来看,

    研究归纳总结多元函数

    极限的求法问题是有意义和必要的

    .

    本文主要研究二元函数极限的定义以及

    二元函数极限求解的几种方法,并以实例加以说明

    .

    2.

    二元函数极限的定义

    定义

    1

    E

    2

    R

    的一个子集,

    R

    是实数集

    ,

    f

    是一个规律,

    如果对

    E

    的每一点

    (

    ,

    )

    x

    y

    ,

    通过规律

    f

    ,

    R

    中有唯一的一个

    u

    与此对应

    ,

    则称

    f

    是定

    义在

    E

    上的一个二元函数

    ,

    它在点

    (

    ,

    )

    x

    y

    的函数值是

    u

    ,

    并记此值为

    (

    ,

    )

    f

    x

    y

    (

    ,

    )

    u

    f

    x

    y

    .

    有时

    ,

    二元函数可以用空间的一块曲面表示出来

    ,

    这为研究问题提供了

    直观想象

    .

    例如,

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    解析:因为 ∣ sin ⁡ x ∣ ≤ ∣ x ∣ |\sin x| \leq|x| sinxx,因为有
    0 ≤ ∣ sin ⁡ ( x 2 y + y 4 ) x 2 + y 2 ∣ ≤ ∣ x 2 y + y 4 x 2 + y 2 ∣ 0 \leq\left|\frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}\right| \leq\left|\frac{x^{2} y+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}\right| 0x2+y2sin(x2y+y4)x2+y2x2y+y4
    又因为
    ∣ x 2 y + y 4 x 2 + y 2 ∣ ≤ x 2 x 2 + y 2 × ∣ y ∣ + y 2 x 2 + y 2 × y 2 ≤ ∣ y ∣ + y 2 → 0 \begin{aligned} \left|\frac{x^{2} y+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}\right| & \leq \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \times|y|+\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \times y^{2} \\ & \leq|y|+y^{2} \rightarrow 0 \end{aligned} x2+y2x2y+y4x2+y2x2×y+x2+y2y2×y2y+y20
    由夹逼准则知,极限为0

    例2:求极限 lim ⁡ x → + ∞ y → + ∞ ( x y x 2 + y 2 ) x 2 \lim \limits_{x \rightarrow+\infty \atop y \rightarrow+\infty}\left(\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\right)^{x^{2}} y+x+lim(x2+y2xy)x2
    解析:注意到
    0 ≤ x y x 2 + y 2 ≤ 1 2 ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 = 1 2 0 \leq \frac{x y}{x^{2}+y^{2}} \leq \frac{\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{1}{2} 0x2+y2xyx2+y221(x2+y2)=21
    所以
    0 ≤ ( x y x 2 + y 2 ) x 2 ≤ ( 1 2 ) x 2 → 0 0 \leq\left(\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\right)^{x^{2}} \leq\left(\frac{1}{2}\right)^{x^{2}} \rightarrow 0 0(x2+y2xy)x2(21)x20
    由夹逼准则知极限为0

    例三 求极限 lim ⁡ x → ∞ y → ∞ x + y x 2 − x y + y 2 \lim \limits_{x \rightarrow \infty \atop y \rightarrow \infty} \frac{x+y}{x^{2}-x y+y^{2}} yxlimx2xy+y2x+y

    解法一:由于
    ∣ x + y x 2 − x y + y 2 ∣ ≤ ∣ 1 y + 1 x ∣ ∣ x y − 1 + y x ∣ ≤ ∣ 1 y + 1 x ∣ ∣ x y + y x ∣ − 1 ≤ ∣ 1 y + 1 x ∣ → 0 \left|\frac{x+y}{x^{2}-x y+y^{2}}\right| \leq \frac{\left|\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right|}{\left|\frac{x}{y}-1+\frac{y}{x}\right|} \leq \frac{\left|\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right|}{\left|\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right|-1} \leq\left|\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right| \rightarrow 0 x2xy+y2x+yyx1+xyy1+x1yx+xy1y1+x1y1+x10

    解法二:由于
    ∣ x + y x 2 − x y + y 2 ∣ ≤ 2 ∣ x + y ∣ x 2 + y 2 ≤ 2 ∣ x ∣ + ∣ y ∣ x 2 + y 2 ≤ 2 ( 1 ∣ x ∣ + 1 ∣ y ∣ ) → 0 \left|\frac{x+y}{x^{2}-x y+y^{2}}\right| \leq \frac{2|x+y|}{x^{2}+y^{2}} \leq 2 \frac{|x|+|y|}{x^{2}+y^{2}} \leq 2\left(\frac{1}{|x|}+\frac{1}{|y|}\right) \rightarrow 0 x2xy+y2x+yx2+y22x+y2x2+y2x+y2(x1+y1)0
    故由夹逼准则知极限为0

    解法三
    注意到 x 2 + y 2 − x y ≥ 2 x y − x y = x y x^{2}+y^{2}-x y \geq 2 x y-x y=x y x2+y2xy2xyxy=xy
    由于
    ∣ x + y x 2 − x y + y 2 ∣ ≤ ∣ x + y x y ∣ ≤ ( 1 ∣ y ∣ + 1 ∣ x ∣ ) → 0 \left|\frac{x+y}{x^{2}-x y+y^{2}}\right| \leq\left|\frac{x+y}{x y}\right| \leq\left(\frac{1}{|y|}+\frac{1}{|x|}\right) \rightarrow 0 x2xy+y2x+yxyx+y(y1+x1)0
    所以极限为0

    • 极坐标

    例题一:求极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 3 + y 3 x 2 + y 2 \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} (x,y)(0,0)limx2+y2x3+y3
    解析
    x = ρ cos ⁡ θ , y = ρ sin ⁡ θ x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta x=ρcosθ,y=ρsinθ,则
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 3 + y 3 x 2 + y 2 = lim ⁡ ρ → 0 ρ 3 ( cos ⁡ 3 θ + sin ⁡ 3 θ ) ρ 2 = lim ⁡ ρ → 0 ρ ( cos ⁡ 3 θ + sin ⁡ 3 θ ) = 0 \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=\lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{\rho^{3}\left(\cos ^{3} \theta+\sin ^{3} \theta\right)}{\rho^{2}}=\lim _{\rho \rightarrow 0} \rho\left(\cos ^{3} \theta+\sin ^{3} \theta\right)=0 (x,y)(0,0)limx2+y2x3+y3=ρ0limρ2ρ3(cos3θ+sin3θ)=ρ0limρ(cos3θ+sin3θ)=0

    • 化为一元函数

    例题一:求极限 lim ⁡ x → + ∞ y → + ∞ ( x 2 + y 2 ) e − ( x + y ) \lim \limits_{x \rightarrow+\infty \atop y \rightarrow+\infty}\left(x^{2}+y^{2}\right) e^{-(x+y)} y+x+lim(x2+y2)e(x+y)

    由于 0 < ( x 2 + y 2 ) e x + y = x 2 e x + y + y 2 e x + y ≤ x 2 e x + y 2 e y 0<\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)}{e^{x+y}}=\frac{x^{2}}{e^{x+y}}+\frac{y^{2}}{e^{x+y}} \leq \frac{x^{2}}{e^{x}}+\frac{y^{2}}{e^{y}} 0<ex+y(x2+y2)=ex+yx2+ex+yy2exx2+eyy2
    易知 x 2 e x 、 y 2 e y \frac{x^{2}}{e^{x}}、\frac{y^{2}}{e^{y}} exx2eyy2都为0,所以极限为0

    例题二:求极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) = 0 \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)=0 (x,y)(0,0)limx2ln(x2+y2)=0
    解析:因为
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) = lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)=\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) (x,y)(0,0)limx2ln(x2+y2)=(x,y)(0,0)limx2+y2x2(x2+y2)ln(x2+y2)
    x 2 + y 2 = t \sqrt{x^{2}+y^{2}}=t x2+y2 =t
    则有
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ( x 2 + y 2 ) ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) = lim ⁡ t → 0 + t ln ⁡ t = lim ⁡ t → 0 + ln ⁡ t 1 / t = lim ⁡ t → 0 + 1 / t − 1 / t 2 = 0 \begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(x^{2}+y^{2}\right) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) &=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} t \ln t \\ &=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln t}{1 / t}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1 / t}{-1 / t^{2}}=0 \end{aligned} (x,y)(0,0)lim(x2+y2)ln(x2+y2)=t0+limtlnt=t0+lim1/tlnt=t0+lim1/t21/t=0

    例题三:求极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) (x,y)(0,0)limxln(x2+y2)
    解析:因为
    lim ⁡ x → 0 y → 0 x ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) = 2 lim ⁡ x → 0 y → 0 x x 2 + y 2 x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 \lim \limits_{x \rightarrow 0 \atop y \rightarrow 0} x \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)=2 \lim \limits_{x \rightarrow 0 \atop y \rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} y0x0limxln(x2+y2)=2y0x0limx2+y2 xx2+y2 lnx2+y2
    x 2 + y 2 = t \sqrt{x^{2}+y^{2}}=t x2+y2 =t,那么
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 = lim ⁡ t → 0 + t ln ⁡ t = lim ⁡ t → 0 + ln ⁡ t 1 / t = lim ⁡ t → 0 + 1 / t − 1 / t 2 = 0 \begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} &=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} t \ln t \\ &=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln t}{1 / t}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1 / t}{-1 / t^{2}}=0 \end{aligned} (x,y)(0,0)limx2+y2 lnx2+y2 =t0+limtlnt=t0+lim1/tlnt=t0+lim1/t21/t=0
    所以 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) = 0 \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)=0 (x,y)(0,0)limxln(x2+y2)=0

    例题四:求极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 − sin ⁡ x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-\sin \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2}} (x,y)(0,0)lim(x2+y2)3/2x2+y2 sinx2+y2

    解析
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 − sin ⁡ x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 x 2 + y 2 = ρ ρ → 0 ρ − sin ⁡ ρ ρ 3 = lim ⁡ ρ → 0 ρ − ( ρ − 1 6 ρ 3 + o ( ρ 3 ) ) ρ 3 = 1 6 \begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-\sin \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2}} & \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\rho}{\rho \rightarrow 0} \frac{\rho-\sin \rho}{\rho^{3}} \\ &=\lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{\rho-\left(\rho-\frac{1}{6} \rho^{3}+o\left(\rho^{3}\right)\right)}{\rho^{3}}=\frac{1}{6} \end{aligned} (x,y)(0,0)lim(x2+y2)3/2x2+y2 sinx2+y2 ρ0x2+y2 =ρρ3ρsinρ=ρ0limρ3ρ(ρ61ρ3+o(ρ3))=61

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  • 二元函数极限知识点总结

    千次阅读 2020-05-08 23:46:32
    2.要是喜欢花里胡哨,可以设y=kx带进去一求极限和k有关,说明极限不存在。 3.或者各种不等式x2+y2<(x+y)22x^2+y^2<\frac{(x+y)^2}{2}x2+y2<2(x+y)2​权方和不等式 x2+y2>2xyx^2+y^2>2xyx2+y2>2xy...

    这个概念少,简单。
    累次极限和重极限:
    重极限就是上面说的极限,x,y任何方式趋向,结果都不变
    累次极限:先算x或者y的极限,再算另一个。
    累次极限不同->不存在重极限
    存在重极限->累次极限不一定存在
    重极限和累次极限都存在,则一定相等

    1.一般来说,可以换元成 x = r cos ⁡ ( t ) x=r\cos(t) x=rcos(t) y = r sin ⁡ ( t ) y=r\sin(t) y=rsin(t)
    t趋于0,可以解决大部分的题。

    2.出现三次和不指数不相等的情况,先试着求累次极限,如果不相等就是不存在了,再带x=y看看极限是几,不相等就不存在

    3.如果还是不行,就设y=mx,带进去,有一个m和x的式子,让分母的m等于分子的x,把x给消掉然后得到了m(x)再把m反带回去求极限看看是几

    4. sin ⁡ ( 1 x ) \sin(\frac{1}{x}) sin(x1)这种直接放成1

    5.分子是和的形式,可以考虑拆开来算

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  • 文章目录 二元函数的全微分定义 结论/定理 例题 二元函数的全微分定义 结论/定理 例题 实践出结论,其他例子可以照葫芦画瓢
  • 1-6复变函数极限.ppt

    2021-12-13 21:42:03
    复变函数
  • 1、如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为 Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),则该函数全微分存在,可以证明,此时A=?z/?x,B=?z/?y,因此.这类问题一般都是证明在某点处偏...对于z=f(x,y) ...
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  • <p>>> syms x y a >> f=exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2) ...请问怎么让其返回值为e^(a^2),而不是这一串求函数极限语言?</p>

空空如也

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二元函数求极限

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