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  • 对称矩阵与反对称矩阵

    万次阅读 2019-04-17 22:10:17
    对称矩阵:沿对角线两边的元素,对称相等...反对称矩阵:设A为n维方阵,若有A′=−A,则称矩阵A为反对称矩阵反对称矩阵的性质:对于反对称矩阵,它的主对角线上的元素全为0,而位于主对角线两侧对称的元素反号。 ...

    对称矩阵:沿对角线两边的元素,对称相等。
    反对称矩阵:矩阵的转置等于原来所有矩阵元素与-1相乘。
    反对称矩阵:设A为n维方阵,若有A′=−A,则称矩阵A为反对称矩阵。
    反对称矩阵的性质:对于反对称矩阵,它的主对角线上的元素全为0,而位于主对角线两侧对称的元素反号。

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  • 反对称矩阵乘以反对称矩阵 当您练习开放式交流并邀请反馈时,您会得到很多有价值的意见,可以改善您的想法,项目和决策。 但是,我听到的最常见的问题之一是:“这很好,我也同意,最好让自己接受这种反馈。但是那个...

    反对称矩阵乘以反对称矩阵

    当您练习开放式交流并邀请反馈时,您会得到很多有价值的意见,可以改善您的想法,项目和决策。 但是,我听到的最常见的问题之一是:“这很好,我也同意,最好让自己接受这种反馈。但是那个人呢...?”

    你知道他们在说什么。 是格鲁比先生,他不可避免地出现,并说诸如“哦,在这里行不通”或“我们已经尝试过类似的事情”之类的话,但似乎从来没有提供任何有用或富有成效的选择。

    不要被格鲁比先生的名字愚弄了。 脾气暴躁的先生可以是男人或女人,有时她的举止比起辩论更持怀疑态度。 但是无论您的脾气暴躁先生采取什么形式,您都知道我在说谁,并且我已采取了七个步骤来帮助您让脾气暴躁的先生参与富有成效的对话。

    1.提出积极的意愿(总是有帮助)

    Grumpy先生说的话并不容易,因为您听到他的各种评论和反馈肯定听起来像是出于良好的意愿。

    但是,一旦您认识了Grumpy先生,您就会发现,由于他的举止,他已经习惯于像对待所有人一样失望。 您可以通过故意选择假设他正在尝试提供帮助而使他感到惊讶。

    在此步骤中发挥您的想象力。 挑战自己,想出一个积极的原因,为什么有人会说那一刻格鲁比先生在说什么。 毕竟,如果条件成熟的话,我们每个人都有潜力成为脾气暴躁的先生。 您可以归因于Grumpy先生的一些常见的积极意图包括:

    • 想要防止某人(或每个人)浪费时间在不会成功的事情上
    • 想要预防问题
    • 想要限制团队承担的风险
    • 看到计划中的缺陷,很难找到合适的词向他人解释

    大声说出这个意图。 像这样说: “听起来您担心我们会破坏今天运行良好的某些东西,而从这些更改中获得的价值不足以证明这一点。这是对的吗?”

    挑战自己,想出一个积极的原因,为什么有人会说那一刻格鲁比先生在说什么。

    即使您猜错了,Grumpy先生也会纠正您,说: “不,不是那样。这是我们之前曾尝试过类似的事情,而且似乎我们又走了同样的路。”

    在此过程中,即使格鲁比先生没有以积极的意图参加对话,他也会抓住这种积极的意图来解释自己的不良行为。 反过来,这将使他在谈话中更有效率。

    2.首先寻求理解,然后理解

    在您帮助Grumpy先生在对话中找到她的积极意图之后,是时候开始提出有关她的观点的问题了。 通常,我们会错误地假设我们知道格鲁比先生要说的话,以及她背后的原因。 当您倾向于解释自己的观点或推理时,请注意这一时刻,并告诉自己别让步。 先问更多问题。

    当您问了足够多的问题后,您可以用自己的话语来重新表述格鲁比先生的担忧,并且她确认您理解了,这是提供您自己的观点和推理的最佳时机。

    3.公开承认局限性和风险

    通常,脾气暴躁的先生会磨练您已经考虑的限制或风险。 发生这种情况时,很容易对格鲁比先生的担忧不屑一顾。 相反,请尝试公开承认这种限制或风险。 继续分享其他Grumpy先生还没有提出的建议。 将它们写下来,在白板上或笔记中,以便格鲁比先生看到您在听他讲话。 解释您为解决该问题所采取的措施,并对您没有所有答案的事实保持透明。 邀请格鲁比先生就此问题发表看法。

    4.表达您的恐惧

    与Grumpy先生的对话令人不舒服,部分原因是她经常使我们自己的恐惧浮出水面。 愿意让自己变得脆弱,并分享您的想法。 您可能会说: “您知道,当您提出这种风险时,它使我有些害怕,因为我知道这是我们无法完全解释的。” “我承认,我担心我将无法获得使这一成功所需的支持。”

    与Grumpy先生的对话令人不舒服,部分原因是她经常使我们自己的恐惧浮出水面。

    格鲁比先生会大吃一惊,因为她已经习惯在这些对话中扮演不同的角色。 当您对Grumpy先生表达恐惧时,她发现您没有所有答案,您常常会发现她也改变了自己的行为,并通过使项目更加成功做出回应。

    5.发挥生产性作用

    到目前为止,您可能对Grumpy先生可以在您的项目中扮演的生产性角色有一些想法。 格鲁比(Grumpy)的默认角色往往是过度利用自己的长处并将其变成弱点。 但是,如果以更高的生产率应用这些功能,则可以使他成为一项资产。

    例如,如果Grumpy先生是每个想法的破洞者,那么他是一个注重细节的思想家,当您在项目后期需要质量或用户测试时,他可能是一个很好的帮助者。 称赞他对细节的关注,并询问他是否有机会在机会可用时以这种方式做出贡献。

    如果Grumpy先生是代表Watercooler投诉协会发言的人,则他有潜力成为项目团队与其他利益相关者团体之间值得信赖的联络人,帮助各方了解彼此的关切并充当事实检查员。都。

    结束对话的一种好方法是说: “说,我真的可以找一个……我知道有很多要问的人,但是那是您可能愿意承担的事情吗?不要着急给我一个答案。”

    6.让格鲁比先生说最后一句话

    有时,尽管采取了前面的所有步骤,但格鲁比先生只是不愿意在谈话中放手。 没关系。 愿意让Grumpy先生拥有最后的决定权,然后说:“好吧,我不能说您改变了主意,但是您给了我很多思考的机会。谢谢您。 ”

    7.保持联系

    重要的是要让Grumpy先生了解该项目,并继续进行对话。 将来,您可能可以将Grumpy先生的要求重新引入项目中,或者她的要求可能会发展以更好地适应您的工作方向。 但是,唯一可能发生的方法是,如果您每隔一段时间努力检查一下,并让Grumpy先生知道情况如何。

    这些对话中经常发生一些令人惊讶的事情。 最后,您会欣赏Grumpy先生的不同观点,Grumpy先生非常重视与倾听她观点的人一起工作,即使您并没有改变她喜欢的每个细节。

    寻找一种真实的方式来表达您保持联系的愿望。

    当您准备退出与Grumpy先生的对话时,请找到一种表达您保持联系意愿的真实方法。 您可能会说: “我今天从我们的讨论中学到了很多东西,我希望我们能够继续保持联系。如果我不时与我联系,可以为您提供最新信息,那可以吗?事情走向何方,并得到您的想法?”

    当我将这些步骤应用到我自己的对话中时,我发现它们并不仅会使Grumpy先生变得更好。 他们还改变了我对脾气暴躁的先生的态度,这反过来又有助于我们建立有价值的伙伴关系,从而为每个人带来更好的结果。

    本文是“ 开放组织工作簿”项目的一部分

    翻译自: https://opensource.com/open-organization/17/10/7-steps-with-mr-grumpy

    反对称矩阵乘以反对称矩阵

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  • 叉乘与反对称矩阵

    万次阅读 多人点赞 2017-12-23 11:13:52
    反对称矩阵定义设A为n维方阵,若有A′=−AA'=-A,则称矩阵A为反对称矩阵。对于反对称矩阵,它的主对角线上的元素全为0,而位于主对角线两侧对称的元素反号。性质 若A为反对称矩阵,则A′,λAA',\lambda A均为反对称...

    反对称矩阵

    定义

    设A为n维方阵,若有A=A,则称矩阵A为反对称矩阵。

    对于反对称矩阵,它的主对角线上的元素全为0,而位于主对角线两侧对称的元素反号。

    性质

    1. 若A为反对称矩阵,则A,λA均为反对称矩阵。
    2. 若A,B为反对称矩阵,则A±B为反对称矩阵。
    3. 设A为反对称矩阵,B为对称矩阵,则ABBA为对称矩阵。
    4. 奇数阶反对称矩阵的行列式必为0.
    5. 反对称矩阵的特征值为0或纯虚数,并且对应于纯虚数的的特征向量的实部和虚部形成的实向量等长且互相正交。

    证明

    以下AAT混用。
    1.

    A=A

    (A)=(A)=(A)

    (λA)=λA=λ(A)=(λA)

    2.
    A=A,B=B

    (A±B)=A±B=(A)±(B)=(A±B)

    3.
    A=A,B=B

    (ABBA)=(AB)(BA)=BAAB=BA+AB=(ABBA)

    4.
    A=A

    |A|=(1)n|A|=|A|=|A|

    当n为奇数时,|A|=|A|于是|A|=0

    向量的反对称矩阵

    a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)

    c====a×bia1b1ja2b2ka3b3a2b3a3b2(a1b3a3b1)a1b2a2b10a3a2a30a1a2a10b1b2b3

    定义a的反对称矩阵

    (a×)=0a3a2a30a1a2a10

    所以a×b=(a×)b,a×(a×b)=(a×)2b

    参考资料

    1. 百度百科 反对称矩阵
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  • 目录反对称矩阵反对称矩阵的特征值是0和纯虚数 反对称矩阵 反对称矩阵即A=−ATA=-A^TA=−AT,例如 A=[0−a3a2a30−a1a2a10]A=\begin{bmatrix} 0 & -a_3& a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ a_2 & a_1 &...

    写在前面

    1、文中所有资源、参考已给出来源链接,如有侵权请联系删除
    2、码字不易,转载本文请注明出处,本文链接:https://blog.csdn.net/qq_41102371/article/details/115734924

    结论

    1、反对称矩阵的特征值是0或纯虚数
    2、3x3的反对称矩阵可作为一个向量的叉乘矩阵
    3、3x3的反对称矩阵的秩为2

    反对称矩阵

    A=(aij)n×nA=(a_{ij})_{n{\times}n},若其中元素满足 aij=aji,i,jAT=Aa_{ij}=a_{ji},\forall i,j{\Leftrightarrow}A^T=A,则称AA是对称矩阵;若其元素满足aij=aji,i,jAT=Aa_{ij}=-a_{ji},\forall i,j{\Leftrightarrow}A^T=-A ,则称A为反对称矩阵[1]
    若A是反对称矩阵,则aij=ajia_{ij}=-a_{ji},当i=ji=j时,便有aii=0a_{ii}=0,即反对称矩阵主对角线上的元全为零,而位于主对角线两侧对称的元反号。
    于是对于n阶方阵AA,当A=ATA=-A^TAA是反对称矩阵,例如
    A=[0a3a2a30a1a2a10]A=\begin{bmatrix} 0 & -a_3& a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}
    很明显A是一个反对称矩阵,反对称矩阵及其性质有什么用呢,一个很实际的例子就是《计算机视觉中的多视图几何》(三维重建相关)P406中的叉乘矩阵是一个n=3的反对称矩阵[2]
    在这里插入图片描述
    并且n=3的反对称矩阵的性质影响着structure from motion(sfm)中的本质矩阵E的性质[3],比如n=3的反对称矩阵秩为2,因此E矩阵秩也为2
    在这里插入图片描述

    反对称矩阵的特征值是0或纯虚数

    由性质推导

    [1]设实反对称矩阵A的特征值为λ=a+bi(i=1)\lambda=a+bi(i=\sqrt{-1})(为什么设置为虚数呢,因为当虚部为0时包含了实数)
    ,相应的特征值向量x=u+vi0x=u+vi\neq0 ,其中uvu,v是非零实向量。那么由Ax=λxAx={\lambda}x得到
    A(u+vi)=()a+bi(u+vi)A(u+vi)=()a+bi(u+vi)

    Au+iAv=(aubv)+(bu+av)iAu+iAv=(au-bv)+(bu+av)i
    令实部虚部分别相等,则有
    Au=aubv,Av=bu+avAu=au-bv,Av=bu+av
    于是
    uTAu=auTubuTvu^TAu=au^Tu-bu^Tv
    vTAv=bvTu+avTvv^TAv=bv^Tu+av^Tv
    因为uTv=vTu=(u,v)u^Tv=v^Tu=(u,v)(u,v的內积),则上述2个式子相加得到
    uTAu+vTAv=a(u2+v2)u^TAu+v^TAv=a\left( {\left\vert u\right\vert}^2 + {\left\vert v \right\vert}^2\right)
    又因为
    uTAu  C, A=ATu^TAu\ {\in}\ C,\ A=-A^T
    uTAuu^TAu是一个数,把它看成一个1x1的矩阵,它的转置就是本身,所以
    uTAu=(uTAu)T=uTATu=uTAuu^TAu=(u^TAu)^T=u^TA^Tu=-u^TAu
    uTAu=uTAu\Rightarrow u^TAu=-u^TAu
    只有0的相反数才是0,于是
    uTAu=0u^TAu=0
    同理
    vTAv=0v^TAv=0
    因此
    uTAu+vTAv=a(u2+v2)=0u^TAu+v^TAv=a\left( {\left\vert u\right\vert}^2 + {\left\vert v \right\vert}^2\right)=0

    u+vi0u2+v20a=0u+vi\neq0 \Rightarrow {\left\vert u\right\vert}^2 + {\left\vert v \right\vert}^2\neq0 \Rightarrow a=0
    从而λ=a+bi=bi\lambda=a+bi=bi,b为任意实数,当b=0b=0时,特征值λ=bi=0\lambda=bi=0,当b0b\neq0时,λ=bi\lambda=bi为纯虚数
    因此反对称矩阵的特征值是0或纯虚数
    并且由上b0b\neq0时,λ\lambda为纯虚数,有Au=bv,Av=buAu=-bv,Av=bu
    u=b1Av,v=b1Auu=b^{-1}Av,v=-b^{-1}Au
    于是
    u2=uTu=uTb1Av=b1uTAv{\left\vert u \right\vert}^2=u^Tu=u^Tb^{-1}Av=b^{-1}u^TAv
    v2=vTv=vTb1vTAu=b1vTAu=b1(uTAv)T{\left\vert v \right\vert}^2=v^Tv=-v^Tb^{-1}v^TAu=b^{-1}v^TAu=b^{-1}(u^TAv)^T
    因为uTAv=(uTAv)Tu^TAv=(u^TAv)^T,所以u2=v2{\left\vert u \right\vert}^2={\left\vert v \right\vert}^2
    此外,由uTAu=0u^TAu=0以及uTv=uT(b1Au)=b1uTAuu^Tv=u^T(b^{-1}Au)=-b^{-1}u^TAu可知uTv=0u^Tv=0,即u,vu,v正交
    这证明了反对称矩阵对应于纯虚数的特征向量的实部和虚部形成的实向量等长且互相正交。

    实例推导

    A=[0a3a2a30a1a2a10]令A=\begin{bmatrix} 0 & -a_3& a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}
    用特征值的计算方法[4]来直接计算
    [0a3a2a30a1a2a10][λ000λ000λ]=λa3a2a3λa1a2a1λ\left\vert{ \begin{bmatrix} 0 & -a_3& a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}- \\ \begin{bmatrix} \lambda &0& 0\\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix} }\right\vert = \begin{vmatrix} -\lambda & -a_3& a_2 \\ a_3 & -\lambda & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & -\lambda \end{vmatrix}
    于是有
    λ(λ2+a12)+a3(λa3a1a2)+a2(a1a3λa22)=0-\lambda({\lambda}^2+{a_1}^2)+{a_3}({-\lambda}a_3-a_1a_2)+a_2(a_1a_3-{\lambda}{a_2}^2)=0
    λ3λa12λa32a1a2a3+a1a2a3λa22=0{\Rightarrow} - {\lambda}^3 - {\lambda}{a_1}^2-{\lambda}{a_3}^2-{a_1a_2a_3}+{a_1a_2a_3}-{\lambda}{a_2}^2=0
    λ(λ2+a12+a22+a32)=0{\Rightarrow}-{\lambda}({\lambda}^2+{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2)=0
    λ=0,λ2+a12+a22+a32=0{\Rightarrow} {\lambda}=0, 或{\lambda}^2+{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2=0
    λ2=(a12+a22+a32)=m{\lambda}^2=-({a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2)=-m
    因为m=a12+a22+a32>0m={a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2>0
    所以λ=m1{\lambda}=\sqrt{m} * \sqrt{-1},此时为纯虚数

    3x3的反对称矩阵秩为2

    同样,A=[0a3a2a30a1a2a10]令A=\begin{bmatrix} 0 & -a_3& a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}
    对矩阵AA做初等行变换,矩阵的秩不变
    交换行顺序

    [a30a1a2a100a3a2]\begin{bmatrix} a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0\\ 0 & -a_3 & a_2 \\ \end{bmatrix}
    第一行乘以a2a_2,第二行乘以a3a_3再加上第一行
    [a2a30a1a2a2a3a1a300a3a2][a2a30a1a20a1a3a1a20a3a2]\begin{bmatrix} a_2a_3 & 0 & -a_1a_2 \\ -a_2a_3 & a_1a_3 & 0\\ 0 & -a_3 & a_2 \\ \end{bmatrix}{\Rightarrow} \begin{bmatrix} a_2a_3 & 0 & -a_1a_2 \\ 0 & a_1a_3 & -a_1a_2\\ 0 & -a_3 & a_2 \\ \end{bmatrix}
    第三行乘以a1a_1再加上第二行
    [a2a30a1a20a1a3a1a20a1a3a1a2][a2a30a1a20a1a3a1a2000]\begin{bmatrix} a_2a_3 & 0 & -a_1a_2 \\ 0 & a_1a_3 & -a_1a_2\\ 0 & -a_1a_3 & a_1a_2 \\ \end{bmatrix}{\Rightarrow} \begin{bmatrix} a_2a_3 & 0 & -a_1a_2 \\ 0 & a_1a_3 & -a_1a_2\\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}
    所以3x3的反对称矩阵的秩为2

    参考

    [1]. 百度百科:反对称矩阵
    [2]. share_noel/books/韦穗(译).计算机视觉中的多视图几何,提取码:0ooc
    [3]. 北京邮电大学鲁鹏老师计算机视觉课程三维重建部分PPT
    [4]. 特征值 是 系数行列式等于0时的 解

    如有错漏,敬请指正
    --------------------------------------------------------------------------------------------诺有缸的高飞鸟202104

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  • 7.5 反对称矩阵 A-T是不是应该是A-1
  • 向量叉乘转反对称矩阵
  • 摘要:本节我们来介绍一下实反对称矩阵,我们平时常见的是实对称矩阵,那么对于反对称矩阵的性质还是了解的比较少的,那么本节岩宝就给大家总结一些实反对称矩阵的性质.如果A是一个反对称矩阵,则对任意的列向量X有,...
  • 2.若矩阵A的第一行不全为0)\(A = \begin{bmatrix}0 & a_{12} & \dots & a_{1n} \\-a_{12} & & & \\\vdots & & B & \\-a_{1n} & & & \\\end{bmatri...
  • 两个挺重要的引理,一个挺重要的反对称矩阵的充要条件
  • 对称和反对称矩阵

    千次阅读 2018-04-07 19:21:50
    链接:https://www.nowcoder.com/acm/contest/94/H来源:牛客网时间限制:C/C++ 2秒,其他语言4秒空间限制:C/C++ 262144K,其他语言524288...其中 B为对称矩阵,C为反对称矩阵。 对于方阵S中的任意元素,若(S)ij = (...
  • 奇数阶反对称矩阵不满秩。 证明 设A为n阶反对称矩阵,n为奇数。 则det(A)=det(A′)=det(−A)=(−1)ndet(A)=−det(A)det(A)=det(A')=det(-A)=(-1)^ndet(A)=-det(A)det(A)=det(A′)=det(−A)=(−1)ndet(A)=−det(A), ...
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  • 对称矩阵AAA是一个其元素aija_{ij}aij​关于主对角线对称的实正方矩阵,即有: AT=A或aij=aji(2.1.1)\quad A^T=A \quad或\quad a_{ij}=a_{ji}\quad\quad\quad\quad (2.1.1)AT=A或aij​=aji​(2.1.1) 对称矩阵具有...
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  • 利用矩阵的奇异值分解,给出了线性流形上矩阵方程AX=B的对称正交反对称的最小二乘解表达式,并求出了给定矩阵的最佳逼近.
  • 5.3节我们会推导一些矩阵的性质,这些性质可以被用来计算坐标系之间相对速度转化关系,这些转化关系里面包括了旋转矩阵的推导。而通过介绍反对称矩阵可以简化其中的一些计算。 定义一. 当一个矩阵S有且仅有 ...
  • 这就不可避免的要计算代价函数或者量测模型对旋转矩阵的导数。一般涉及到对旋转矩阵求导,我们首先都会想到李群、李代数、李导数。这里我们用另一种思路来对旋转矩阵求导,不过本质上还是用到了李群、李代数的基础...
  • matlab : R2018a 64bitOS : Windows 10 x64typesetting : Markdownblog : my.oschina.net/zhichengjiugitee : gitee.com/zhichengjiu实对称矩阵的判断...3 0 1]% 矩阵中有复数,进行转置,取共轭.% 所以无论...
  • 参考文献:谢启宏高等代数官方博客 行列式的组合定义及其应用--反对称阵的Pfaffian - torsor - 博客园普罗斯库烈柯夫, 线性代数习题集.S. Winitzki, Linear Algebra via Exterior Products.整理了一下我看到的两种...
  • 参考: Rotation About an Arbitrary Axis Chapter 9
  • 设 $A$ 是 $n$ 阶实反对称矩阵, $D$ 是对角元均大于零的实对角矩阵. 试证: $|D+A|>0$. 证明: (1). 实反对称矩阵 $A$ 的特征值为纯虚数或零: $$\beex \bea &\quad A\al=\lm\al\quad(\al\neq 0)\\ &\ra A...
  • 反对称矩阵具有很多良好的性质,如若A为反对称矩阵,则A’,λA均为反对称矩阵;若A,B均为反对称矩阵,则A±B也为反对称矩阵;设A为反对称矩阵,B为对称矩阵,则AB-BA为对称矩阵;奇数阶反对称矩阵的行列式必为0。...
  • 先说对称矩阵吧. 可以从代数和几何两个方面上来讲.代数方面,首先每个对称矩阵A唯一对应于一个二次型x'Ax.因此对称矩阵对二次型的研究有着重要的作用.二次型是什么呢?从代数角度上讲,他是一个函数.是n唯向量x到"数"的...

空空如也

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