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  • 向量叉乘

    万次阅读 多人点赞 2017-04-19 15:00:02
    向量叉乘公式以及推导: 向量叉乘几何意义:

    向量叉乘公式以及推导:

    向量叉乘几何意义:

    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面,该向量也被称作法向量


    向量叉乘运用:

    在三维模型中可以根据三角面的两条边计算出垂直于三角面的法线向量


    向量叉积的和:

    将叉乘的到的向量每个分量相加,得到叉积和

    a x b = y1z2- y2z1 + z1x2 - x1z2+ x1y2 - y1x2

    向量叉积和的应用:

    判断两个向量之间的顺逆关系

    若 P x Q > 0,则P在Q的顺时针方向

    若 P x Q > 0,则P在Q的逆时针方向

    若 P x Q > 0,则PQ共线

    判断凸多边形

    以多边形相邻两条边为向量进行叉积和,如果全部大于零则是凸多边形,如果全部为零则共线,否则就是凹多边形

    判断点和直线的位置关系

    在线上选两个点和需要判断的点构成向量叉积和

    判断点在矩形内部



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  • 很多时候这些题目要求你计算某一个面的法向量(normal vector),这在高中阶段也是有固定方法的,我们这里想要介绍的是一种更高级也更迅速的方法,也就是引入向量叉乘(cross product,“向量”同物理中的“矢量”概念...

    一般我们在解决立体几何题目时会选择建立坐标系,因为这样做比较保险也有固定套路。很多时候这些题目要求你计算某一个面的法向量(normal vector),这在高中阶段也是有固定方法的,我们这里想要介绍的是一种更高级也更迅速的方法,也就是引入向量叉乘(cross product,“向量”同物理中的“矢量”概念,一直想不通为啥数学和物理用不一样的名字,英文都是vector)这一概念。

    我们都学过向量的标量积,也就是所谓的点乘(dot product),两个向量做标量积后得到的是一个标量。我们这里定义一种新的向量运算,也就是向量积或者叫叉乘:

    3cefb32928fb855a46ab3bf7853b5097.png

    其运算结果仍是一个向量,我们记之为向量c,它的模定义为:

    c249682ff4ce73d7acb4df65031ec2e3.png

    其中θ为向量a和向量b的夹角,如下图所示,c的模即以ab为两条边的平行四边形的面积。

    be3496fe994017e1fcb7c2a6172a1c7b.png

    c的方向定义为垂直于ab所构成的平面,并且abc构成右手螺旋定则,也就是右手四指方向从a转向b,大拇指即得到c方向。定义了这一新的运算之后,我们从这个定义出发能证明以下几条重要性质:

    20106f674f6e43d43e6eb92bb44637c7.png

    前两条性质根据定义一眼就能看出,第三条叉乘的分配律是非常重要的性质,证明也比较困难,我们不打算赘述了。

    那么在三维坐标系中,ab拥有了坐标表示后,c的坐标该怎么计算呢?记x,y,z轴正方向的单位向量分别为ijk,则有:

    de9f3dfbfacab7381173e7cf4b1cbefa.png

    则根据叉乘的上述三条性质我们得到c为:

    10cdbf36977b0b3e926c96fcef8b7ad1.png

    第二个等号我们运用了性质3,第三个等号我们运用了性质1和性质2,最后一个等号则运用了简单的ijk之间的叉乘关系。这一计算公式让我们直接能够从ab的坐标表示得到c的坐标表示,用行列式可以更简洁地表示并方便记忆:

    f6de1db773fdd5b425c5fcb5310b979f.png

    有了这个公式,对于任意一个面的法向量,我们总可以选取该面上的两个不共线向量来直接叉乘出来,一般解题中直接就选该面的两条边上的单位向量就行了。

    警告:这个方法比高中阶段介绍的方程求解法要方便许多,但是用这种方法解题万一出错了很可能得不到求解法向量这一步的过程分。

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  • cbaθ高中数学知识背景下对向量叉乘运算的探讨在高中数学的学习中,同学们接触到向量的概念,并了解其性质、线性运算、坐标表示、数量积以及在实际问题中的应用。在此基础上,可进一步深化,引入向量的叉乘运算,...

    c

    b

    a

    θ

    高中数学知识背景下对向量叉乘运算的探

    在高中数学的学习中,同学们接触到向量的概念,并了解其性质、线性运算、坐标表

    示、数量积以及在实际问题中的应用。在此基础上,可进一步深化,引入向量的叉乘运算,

    能够提升对向量的理解,方便问题的解决。

    1.

    叉乘的定义

    1

    要确定一个向量,需要知道它的模和方向。

    如图

    1

    ,对于给定的向量

    a

    b

    ,规定向量

    b

    a

    c

    ,满足:

    (

    1

    )模:

    b

    a

    b

    a

    c

    ,

    sin

    (

    2

    )方向:向量

    c

    的方向垂直于向量

    a

    b

    (向量

    a

    b

    构成的平面)

    且符合

    右手定则

    用右手的食指表示向量

    a

    的方向,

    然后手指朝着

    手心的方向摆动角度

    )

    0

    (

    到向量

    b

    方向,大拇指所指的方向就是向量

    c

    的方向。

    这里的

    也就是

    b

    a

    ,

    这样的运算就叫向量的

    叉乘

    ,又叫

    外积

    向量积

    。应特别注意的是,不同于向量的数

    量积,向量的叉乘的结果仍是一个向量。

    给定叉乘的定义后,就可以利用高中数学知识推导出一系列结论。

    2.

    叉乘的性质

    (

    1

    )显然有

    0

    a

    a

    (

    2

    )反交换律:和其他运算不同,向量的叉乘满足反交换律,即

    a

    b

    b

    a

    ,这是

    因为右手定则中手指一定是从乘号前的向量摆动到乘号后的向量,

    如果将二者顺序交换,

    一定要将手倒过来才能满足

    0

    ,也就使得积向量反向。

    (

    3

    )易得对数乘的结合律,即

    a

    b

    )

    (

    )

    (

    b

    a

    b

    a

    (

    4

    )可以证明分配律:

    c

    b

    c

    a

    c

    b

    a

    )

    (

    c

    a

    b

    a

    c

    b

    a

    )

    (

    3.

    叉乘的几何意义

    如图

    2

    ,在平面上取点

    ,

    ,

    b

    a

    OB

    OA

    O

    ,作

    b

    a

    b

    a

    b

    a

    ,

    sin

    ,由三角形面积

    公式

    sin

    2

    1

    ab

    S

    可知

    b

    a

    表示以

    OB

    OA

    ,

    为相邻两边的三角形的面积的两倍,也就是

    1

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  • 向量叉乘与叉乘矩阵

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    本文以三维向量来说明向量的叉乘计算原理以及叉乘矩阵如何求取

    1、向量叉乘的计算原理

                 a、b分别为三维向量:

                                       a=({a_1},{a_2},{a_3})

                                       b=({b_1},{b_2},{b_3})

                 a叉乘b一般定义为:

                                       a{\times}b  或 a{\otimes}b

                 可是这只是一个符号的定义啊,具体怎么得到代数值

                    关键方法就是引入单位坐标向量

                 这里用i j k来表示三维坐标轴,这里只是举例,可以扩展到更多维,只是比较抽象

                    a、通过引入单位向量,向量就可以转化为代数形式:

                                              a{\rm{=}}{a_1}i+{a_2}j+{a_3}k

                                              {\rm{b=}}{{\rm{b}}_1}i+{b_2}j+{b_3}k

                     b、定义单位向量间的运算规则

                                              i*i=0           j*j=0           k*k=0

                                              i*j=k          j*k=i           k*i=j

                                             j*i=-k       k*j=-i        i*k=-j

                     c、计算叉乘

                                     a{\times}b=({a_1}i+{a_2}j+{a_3}k)*({b_1}i+{b_2}j+{b_3}k)

                                     a{\times}b=({a_2}{b_3}-{a_3}{b_2})i+({a_3}{b_1}-{a_1}{b_3})j+({a_1}{b_2}-{a_2}{b_1})k

    2、计算叉乘矩阵

                  a{\times}b=({a_2}{b_3}-{a_3}{b_2})i+({a_3}{b_1}-{a_1}{b_3})j+({a_1}{b_2}-{a_2}{b_1})k

                  把叉乘结果写成向量的形式:

                                     a{\times}b=\left[\begin{array}{l} {a_2}{b_3}-{a_3}{b_2}\\ {a_3}{b_1}-{a_1}{b_3}\\ {a_1}{b_2}-{a_2}{b_1} \end{array}\right]

                  变换形式得到叉乘矩阵:

                                     a{\times}b={\left[a\right]_\times}b=\left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0&{-{a_3}}&{{a_2}}\\ {{a_3}}&0&{-{a_1}}\\ {-{a_2}}&{{a_1}}&0 \end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}\\ {b{}_2}\\ {{b_3}} \end{array}}\right]

                   其中{\left[a\right]_\times}称为a向量的叉乘矩阵。

    3、高维向量求取叉乘矩阵

                       对于三维和三维以下向量的叉乘计算和叉乘矩阵的求取通过定义单位向量间的运算规则可以计算得到。

                   对于高维向量,这种方法显得有些繁琐不易理解且容易出错。

                   下面介绍另外一种方法,先举个二维的例子:

                       假设向量a是一个二维的向量(这里只使用二维是为了让例子容易理解)

                                     a=\left({\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}} \end{array}}\right)

                   这里引入一个反对称(anti-symmetric)矩阵H:

                                     H=\left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0&{-1}\\ 1&0 \end{array}}\right]

                   通过计算aH{a^T},发现结果为0

                   由叉乘的规则,a叉乘a的结果为0:

                                     a{\times}a={\left[a\right]_\times}a=0

                   通过对比,可以发现 aH 就是a向量的叉乘矩阵,当a为列向量时{a^T}H为a向量的叉乘矩阵。

     

                   如果a为三维向量,那么H为:

                    H=\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{H_1}}\\ {{H_2}}\\ {{H_3}} \end{array}}\right]    {H_1}=\left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0\\ 0&0&{-1}\\ 0&{-1}&0 \end{array}}\right]     {H_2}=\left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1\\ 0&0&0\\ {-1}&0&0 \end{array}}\right]     {H_3}=\left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0&{-1}&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0 \end{array}}\right]

                   可以发现H就是由一个个反对称矩阵构成。

                   如果向量a的维数为 p ,那 H 就有 \frac{{p(p-1)}}{2}个子矩阵。

    4、扩展

                   对于向量的点乘、四元数乘法都可以通过定义单位向量 i j k…之间的运算规则来推导。

    转载于:https://www.cnblogs.com/monoSLAM/p/5349497.html

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空空如也

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