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  • 视觉SLAM十四讲;李群李代数;公式证明
  • [Unity游戏开发]向量在游戏开发中的应用(三)博客中的案例源码。 本Demo使用的的开发工具是Unity5.0.1f1和VS2013,建议下载源码后用Unity5.0.1f1或者更高的版本打开。 本源码可以配合Sheh伟伟的博客来学习。
  • 向量叉乘

    万次阅读 多人点赞 2017-04-19 15:00:02
    向量叉乘公式以及推导: 向量叉乘几何意义:

    向量叉乘公式以及推导:

    向量叉乘几何意义:

    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面,该向量也被称作法向量


    向量叉乘运用:

    在三维模型中可以根据三角面的两条边计算出垂直于三角面的法线向量


    向量叉积的和:

    将叉乘的到的向量每个分量相加,得到叉积和

    a x b = y1z2- y2z1 + z1x2 - x1z2+ x1y2 - y1x2

    向量叉积和的应用:

    判断两个向量之间的顺逆关系

    若 P x Q > 0,则P在Q的顺时针方向

    若 P x Q > 0,则P在Q的逆时针方向

    若 P x Q > 0,则PQ共线

    判断凸多边形

    以多边形相邻两条边为向量进行叉积和,如果全部大于零则是凸多边形,如果全部为零则共线,否则就是凹多边形

    判断点和直线的位置关系

    在线上选两个点和需要判断的点构成向量叉积和

    判断点在矩形内部



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  • 向量叉乘计算公式

    2021-11-08 11:16:24
    二维向量叉乘 A=(a1,a2) B=(b1,b2) A×B =(a1,a2)×(b1,b2) =a1b2-a2b1 三维向量叉乘 A=(a1,a2,a3) B=(b1,b2,b3) A×B =(a1,a2,a3)×(b1,b2,b3) =(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)

    二维向量叉乘

    A=(a1,a2)
    B=(b1,b2)
    
    A×B
    =(a1,a2)×(b1,b2)
    =a1b2-a2b1
    

    三维向量叉乘

    A=(a1,a2,a3)
    B=(b1,b2,b3)
    
    A×B
    =(a1,a2,a3)×(b1,b2,b3)
    =(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)
    
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  • 一、向量叉乘的几何意义 二、法向量的叉乘公式

     一、向量叉乘的几何意义
          

    1.1 向量叉乘的几何意义:
    ①|a x b|可表示为当这两个叉乘向量a,b共起点时,所构成的平行四边形的面积。
    ②在三维几何中,两个向量的叉乘的运算结果不是标量,而是一个新的向量,更通俗的叫法是法向量,并且a x b所得到的新向量c 垂直于向量a和b组成的坐标平面,即向量c同时垂直于向量a和b。


    常用于以下情况:

    • 通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a、b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系;
    • 当a是单位向量时,计算b终点到a所在直线的距离;
    • 在二维空间中,axb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。


    1.2 向量积(矢积)与数量积(标积)的区别

    名称标积/内积/数量积/点积矢积/外积/向量积/叉积
    运算式a·b = |a||b|·cosθaxb = c, 其中|c| = |a||b|·sinθ,向量c的方向遵守右手定则。
    几何意义和物理意义几何意义:向量a在向量b方向上的投影与向量b的模的乘积,
    物理意义:是力向量产生的位移向量所做的功

    几何意义:c是垂直a、b所在平面,且以|b|·sinθ为高、|a|为底的平行四边形的面积

    物理意义:二维空间中向量叉乘的物理意义就是 a 和 b 的力矩(力矩可以理解为一个物体在力的作用下,绕着一个轴转动的趋向。它是一个向量,等于力臂 a 和力 b 的叉乘)

    运算结果的区别标量(常用于物理)/数量(常用于数学)矢量(常用于物理)/向量(常用于数学)

    1.2.1  向量点积
            在N维线性空间中,a、b向量点积的几何意义,是a向量乘以b向量在a向量上的投影分量。它的物理意义相当于a力作用于物体,产生b位移所做的功。点积公式如下图所示:

     1.2.2  向量叉乘
            叉乘和点乘有两点不同:首先,向量叉乘运算的结果不是标量,而是一个向量;其次,两个向量的叉积与两个向量组成的坐标平面垂直。
            以二维空间为例,向量a和b的叉积,就相当于向量a(蓝色带箭头线段)与向量b沿垂直方向的投影(红色带箭头线段)的乘积。如下所示,二维向量叉积的几何意义就是向量a、b组成的平行四边形的面积

     二、法向量的叉乘公式


     公式速记:




     同理,当我们求y值时,先把y1, y2遮挡,只看x值和z值。最后得出结果如下所示:

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  • 向量叉乘的几何意义

    千次阅读 2021-01-10 20:14:06
    向量叉乘的几何意义 对于两个2维向量: a⃗=(x1,y1)b⃗=(x2,y2) \begin{aligned} \vec{a} &= (x1,y1) \\ \vec{b} &= (x2,y2) \end{aligned} ab​=(x1,y1)=(x2,y2)​ 叉乘定义: |a⃗×b⃗|=x1y2−x2y1|\vec...

    向量叉乘的几何意义

    对于两个2维向量:
    a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) \begin{aligned} \vec{a} &= (x1,y1) \\ \vec{b} &= (x2,y2) \end{aligned} a b =(x1,y1)=(x2,y2)

    叉乘定义:
    | a ⃗ × b ⃗ | = x 1 y 2 − x 2 y 1 |\vec{a} \times \vec{b}| = x_1y_2-x_2y_1 a ×b =x1y2x2y1

    计算面积

    在这里插入图片描述

    四边形ODCE面积:
    S = ( x 1 + x 2 ) ( y 1 + y 2 ) S = (x_1+x_2)(y_1+y_2) S=(x1+x2)(y1+y2)

    四边形GDFB面积:
    S 1 = x 2 y 1 S_{1} = x_2y_1 S1=x2y1

    三角形BFC面积:
    S 2 = 0.5 ( x 1 y 1 ) S_{2}=0.5(x_1y_1) S2=0.5(x1y1)

    三角形OGB面积:
    S 3 = 0.5 ( x 2 y 2 ) S_{3}=0.5(x_2y_2) S3=0.5(x2y2)

    平行四边形OGCA面积:
    S 平 行 四 边 形 = S − 2 S 1 − 2 S 2 − 2 S 3 = ( x 1 + x 2 ) ( y 1 + y 2 ) − 2 x 2 y 1 − x 1 y 1 − x 2 y 2 = x 1 y 1 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 2 − 2 x 2 y 1 − x 1 y 1 − x 2 y 2 = x 1 y 2 − x 2 y 1 \begin{aligned} S_{平行四边形} &= S-2S_1-2S_2-2S_3 \\ &= (x_1+x_2)(y_1+y_2) - 2x_2y_1 - x_1y_1 - x_2y_2 \\ &= x_1y_1+x_2y_1 + x_1y_2+x_2y_2 - 2x_2y_1 - x_1y_1 - x_2y_2 \\ &= x_1y_2 - x_2y_1 \end{aligned} S=S2S12S22S3=(x1+x2)(y1+y2)2x2y1x1y1x2y2=x1y1+x2y1+x1y2+x2y22x2y1x1y1x2y2=x1y2x2y1

    结论:

    向量叉乘的模表示的是所围成平行四边形的面积。

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  • 向量叉乘与叉乘矩阵

    千次阅读 2019-09-25 09:39:28
    本文以三维向量来说明向量的叉乘计算原理以及叉乘矩阵如何求取 1、向量叉乘的计算原理 a、b分别为三维向量: a叉乘b一般定义为: ...
  • **这里我们要解释向量之间叉乘的本质意义 首先来了解下 行列式 这是由基向量iii、jjj为边,形成的四边形区域,面积为S1 = 1 有一个矩阵m=[3002]\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}[30​02​]...
  • 向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用十分广泛,通常应用于...
  • 向量叉乘方向判断

    千次阅读 2021-01-17 11:12:27
    转载:向量叉乘方向判断 a x b两个向量叉乘,可以获得垂直a,b的一个向量,但这个向量有两个方向,应该如何判断? 通过将a的头与a的尾相接,并检查a到b是顺时针还是逆时针,能够确定a x b的方向。在左手坐标系中,...
  • 向量叉乘计算多边形面积

    千次阅读 2020-05-16 21:51:32
    三角形面积可以用向量积来计算:S = 1 / 2 * ab x ac =1 / 2 * |ab| * |ac| * sin @(x表示叉乘,@表示ab和ac两边之间的夹角) 为什么要乘1/2呢? 因为ab x ac 求出来的是ab和ac为边的四边形的面积。 多边形可以拆成多...
  • 二维向量叉乘:(x1,y1)×(x2,y2) = x1y2-x2y1 值为正,(x2,y2)在(x1,y1)逆时针方向 值为负,(x2,y2)在(x1,y1)顺时针方向 值为0,(x2,y2)和(x1,y1)共线 2.编程语言 # -*- coding: UTF-8 -*- from pylab import * x=...
  • 三个向量叉乘的公式的证明推导

    千次阅读 2021-03-28 17:23:19
    三个向量叉乘的公式 二重积应该都看得懂有手就行 那么三重积应该怎么推导呢? 首先看标量三重积 标量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到点积,其结果是个标量。 设a,b,c为三个向量,则标量三重...
  • 很多时候这些题目要求你计算某一个面的法向量(normal vector),这在高中阶段也是有固定方法的,我们这里想要介绍的是一种更高级也更迅速的方法,也就是引入向量叉乘(cross product,“向量”同物理中的“矢量”...
  • 向量叉乘的线性性质 几何解释

    千次阅读 2019-12-22 11:21:49
    叉乘(向量的外积)是物理里面常常用到的概念, 它是由两个向量得到一个新的向量的运算。一般我们都是从几何意义下手: 向量\(\vec a\)和\(\vec b\)叉乘, 得到一个垂直于\(\vec a\)和\(\vec b\)的向量\(\vec a \time...
  • C/C++代码实现向量叉乘

    千次阅读 2020-03-06 16:26:35
    行列式计算叉乘,以下是公式 相关代码如下: c++代码: #include<iostream> using namespace std; int main() { int a, b, x1, x2, y1, y2, z1, z2, h, m, n; cout << "请输入向量a:"; cin &...
  • int crossMul(Point& p1, Point& p2) {//两个向量叉乘 return p1.x * p2.y - p1.y * p2.x; } int main() { int xa, ya, xb, yb, xc, yc, xd, yd; while (cin >> xa >> ya >> xb >> yb >> xc >> yc >> xd >> yd) ...
  • 向量叉乘判断顺时针还是逆时针

    千次阅读 2020-11-03 10:21:05
    可以通过向量叉乘判断一条线旋转的过程是顺时针还是逆时针的。 有两个向量AB和AC,将两个向量进行叉乘: direct = AB x AC 当direct>0时,为逆时针旋转,当direct<0时为顺时针旋转。 当写类似于旋转按钮的...
  • 数学基础 向量叉乘

    千次阅读 2018-04-24 20:54:12
    向量叉乘,即求同时垂直两个向量向量,即c垂直于a,同时c垂直于b(a与c的夹角为90°,b与c的夹角为90°)c = a×b = (a.y*b.z-b.y*a.z , b.x*a.z-a.x*b.z , a.x*b.y-b.x*a.y)以上图为例a(1,0,0),b(0,1,0),c=...
  • 向量叉乘 a=(x1,y1)b=(x2,y2)a=(x_1,y_1)\quad b=(x_2,y_2)a=(x1​,y1​)b=(x2​,y2​) 点乘:a→⋅b→\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}a⋅b 得到实数,属于向量之间的标量运算 叉乘:a→×b→\...
  • 比如 行向量 A = [a,b,c],行...向量A叉乘B结果为一个垂直于A和B的向量;而向量A的转置乘以B得到是一个矩阵: ae,af,ag be,bf,bg ce,cf,cg 我之前把上面两种方法混淆了,当然现在也是不懂。懂的来帮忙解释下
  • 向量叉乘=====求法向量

    万次阅读 2018-05-22 15:18:02
    向量叉乘记录:
  • 过几天看发个word版的公式总结)上册第一篇 力学基础位移矢量: ( 是xyz轴对应的单位向量)质点运动方程: 位移: (矢量相减)速度:瞬时速度: 平均速度: 加速度:瞬时加速度: 平均加速度: 曲率: 曲率半径: ...
  • 利用向量叉乘的相关知识进行计算:假设当前连续的三个顶点分别是P1,P2,P3。计算向量P1P3,P1P2的叉乘,也可以计算三角形P1P2P3的面积,得到的结果如果大于0,则表示P2点在线段P1和P3的右侧,此时P2对应的角度小于...
  • 向量叉乘判断点的位置

    千次阅读 2018-07-04 13:34:08
    note:用到叉乘的知识,两个向量叉乘得到一个垂直于这两个向量向量,如果这两个向量不共线的话。否则,得到的是0。结果向量的方向可以用右手定则判断。如图所示,线段AB和点P印象里,只学过三维向量叉乘,将...
  • ∣R∣R(a×b)=(Ra)×(Rb) |R|R(a \times b) = (Ra) \times (Rb) ∣R∣R(a×b)=(Ra)×(Rb)
  • 向量点乘与向量叉乘的意义

    万次阅读 2018-08-15 15:47:27
    这是博客原文:向量点乘与叉乘的几何意义。我主要是为了方便自已以后添加和查找。 向量的点积公式为:a * b = |a| * |b| * cosθ,点积的结果是数量而不是向量所以点积也被称为数量积或者内积,是a向量在b向量上...

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