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  • 向量投影

    万次阅读 2018-04-18 15:36:49
    向量投影给定一个向量u和v,求u在v上的投影向量,如下图。假设u在v上的投影向量是u’,且向量u和v的夹角为theta。一个向量有两个属性,大小和方向,我们先确定u’的大小(即长度,或者模),从u的末端做v的垂线,...

    向量投影

    给定一个向量u和v,求u在v上的投影向量,如下图。


    假设u在v上的投影向量是u’,且向量u和v的夹角为theta。一个向量有两个属性,大小和方向,我们先确定u’的大小(即长度,或者模),从u的末端做v的垂线,那么d就是u’的长度。而u’和v的方向是相同的,v的方向v/|v|也就是u’的方向。所以有

                              (1)

    再求d的长度。

                          (2)

    最后求cos(theta)

                       (3)

    联合求解方程(1)(2)(3)得到

    这就是最终的投影向量。

    而这个向量的长度d是

    ============================

    以下是旧的推导,也保留。

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  • 向量投影向量投影矩阵

    万次阅读 2018-12-03 21:03:11
    向量投影向量投影矩阵 向量投影 以下是向量a在向量b上的投影,θ 为两向量的夹角。 其中a = a||+a⊥,a||则是a在b上的投影。 所以投影公式如下: 向量投影矩阵 将以上投影公式写成矩阵形式,...

    向量投影与向量投影矩阵

    向量投影

    以下是向量a在向量b上的投影,θ 为两向量的夹角。

     

    其中a = a||+a⊥,a||则是a在b上的投影。

     

     

     

    所以投影公式如下:

    向量投影矩阵

    将以上投影公式写成矩阵形式,这里使用的是列优先的矩阵,即向量写成一列多行。

     

    因为矩阵相乘符和结合律,所以:

    是一个矩阵,如果是二维向量则是2*2的矩阵,如果是三维向量则是一个3*3的矩阵,这个也就是向量投影矩阵。

    将向量投影矩阵记作P,则:

    P矩阵有些特性,首先P矩阵是一个对称矩阵,所以转置矩阵PT = P。其次如果一个向量在另一个向量上进行多次投影,其结果相等的,所以P^2 = P

    也就有 PT = P = P^2 = P^3 = … = P^n

     

    参考:

    https://blog.csdn.net/williamgavin/article/details/77427164

    《3D数学基础:图形与游戏开发》—— 5.10.3

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  • 1.9 向量投影

    2020-03-19 19:37:09
    向量投影 力的正交分解就是投影,高中时一般向坐标轴投影,有时也需计算力在任意方向分量,即力在这个方向的投影,可通过内积计算。但有时需要计算力在某个平面内的分量,即力在平面内的投影,或者计算力垂直于某...

    向量投影

    力的正交分解就是投影,高中时一般向坐标轴投影,有时也需计算力在任意方向分量,即力在这个方向的投影,可通过内积计算。但有时需要计算力在某个平面内的分量,即力在平面内的投影,或者计算力垂直于某平面的分量,都可通过投影解决。

    几何上,也经常涉及投影,如点到直线或平面的距离,此距离是点到直线或平面的最短距离,求此距离可通过投影解决。

    再举个例子,为什么称为“投影”,投影就是物体在太阳光的照射下在地面形成的影子。当太阳光与地面垂直时是正投影,这就是线性代数中研究的投影。当物体与地面垂直时,影子长度(投影)为0。中国古时利用投影来计时,发明了日晷。希望读者根据物理学和几何学,获得投影的几何图像。

    当转向高维空间时,投影不局限于低维子空间,可投向任意维度的子空间,所以需要代数方法,但理解需要几何图像。向量在子空间的投影,本质上是向量的正交分解,分解为两个向量:一个向量位于子空间,另一个位于其正交补空间。

    子空间 S1S_1无关组 V=(v1,,vn)V = (\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n}) 张成,如何求任意向量 v\mathbf{v} 在子空间的投影向量呢?这是线性代数基本问题之一,也是理解线性方程的核心之一,必须十分重视。

    投影向量位于子空间 S1S_1 内,故其可表示为生成向量的线性组合,这是解决问题的关键一步,令投影向量为 v=α1v1++αnvn\mathbf{v}^{\bot} = \alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n} ,只要算出表示系数组就可得到投影向量。另一正交分量 v=vv\mathbf{v}^{-} = \mathbf{v}-\mathbf{v}^{\bot} 位于正交补空间 S1S_1^{\bot} ,垂直子空间 S1S_1 内任意向量。故两个分向量垂直,内积为零!这是关键第二步。
    0=(v,v)=(v,vv)=(v,v)(v,v)(v,v)=(v,v)(α1v1++αnvn,v)=(α1v1++αnvn,α1v1++αnvn)=ijαiαj(vi,vj) 0 = (\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}^{-}) = (\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}-\mathbf{v}^{\bot}) = (\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}) - (\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}^{\bot})\\ 得:(\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}) = (\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}^{\bot}) \\ 得:(\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n}, \mathbf{v}) =(\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n},\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n})=\sum_{ij}\alpha_i\alpha_j(\mathbf{v_i},\mathbf{v_j})

    根据正交分解的唯一性,v\mathbf{v}^{\bot} 是唯一的,根据无关组表示向量的唯一性,表示系数组存在且唯一。无关组是任意向量时,利用向量理论很难表示出表示系数,必须用矩阵理论才能方便表示。

    无关组是标准正交基时,却很容易求出表示系数。 根据标准正交基性质: (vi,vj)=0,ij;=1i=j(\mathbf{v_i},\mathbf{v_j})=0,\forall i\ne j; \quad =1 ,\forall i= j 。代入上式,
    (α1v1++αnvn,v)=α1(v1,v)++αn(vn,v)=α12++αn2 (\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n}, \mathbf{v}) = \alpha_1(\mathbf{v_1}, \mathbf{v})+\cdots+\alpha_n(\mathbf{v_n}, \mathbf{v}) = \alpha_1^2+\cdots+\alpha_n^2
    显然当 αi=(vi,v),i[1,n]\alpha_i = (\mathbf{v_i}, \mathbf{v}), \forall i \in [1,n] 时,等式恒成立!故投影向量为:
    v=(v1,v)v1++(vn,v)vn \mathbf{v}^{\bot}=(\mathbf{v_1}, \mathbf{v})\mathbf{v_1}+\cdots+(\mathbf{v_n}, \mathbf{v})\mathbf{v_n}
    标准正交基可以看作坐标轴,向量与坐标轴的内积就是向量在该轴方向的分量(坐标值),子空间内所有坐标轴方向的分量相加就是投影!

    特别重要的特例,当子空间就是整个空间时,显然投影向量就是向量本身,得:

    重要性质 mm 维空间任意向量 v\mathbf{v} 与标准正交基 VV 的正交分解:
    v=(v1,v)v1++(vm,v)vm \mathbf{v}=(\mathbf{v_1}, \mathbf{v})\mathbf{v_1}+\cdots+(\mathbf{v_m}, \mathbf{v})\mathbf{v_m}

    这就是物理学中的正交分解!得到最简基节同样结论。

    下面证明垂线距离最短,几何上就是直角三角形斜边长度大于直角边,线性代数也是这样证明的。假设子空间 S1S_1 内任意向量 u\mathbf{u} ,向量 v\mathbf{v} 分解为 v=u+w\mathbf{v}=\mathbf{u}+\mathbf{w} ,则向量 w\mathbf{w} 是斜边,向量 vv\mathbf{v}-\mathbf{v}^\bot 是垂线,请想象出二维点到直线距离,三维点到平面距离的图像。
    w2=vu2=(vv)+(vu)2=(vv)2+(vu)2(vv)2 \|\mathbf{w}\|^2 = \|\mathbf{v}-\mathbf{u}\|^2=\|(\mathbf{v}-\mathbf{v}^\bot) + (\mathbf{v}^\bot-\mathbf{u})\|^2 = \|(\mathbf{v}-\mathbf{v}^\bot)\|^2 + \|(\mathbf{v}^\bot-\mathbf{u})\|^2 \ge \|(\mathbf{v}-\mathbf{v}^\bot)\|^2
    向量 vv\mathbf{v}-\mathbf{v}^{\bot} 位于正交补空间 S1S_1^{\bot} ,垂直子空间内任意向量,向量 (v,u)(\mathbf{v}^\bot,\mathbf{u}) 位于子空间内,故 vv\mathbf{v}-\mathbf{v}^{\bot} 垂直 (vu)(\mathbf{v}^\bot-\mathbf{u}) ,根据勾股定理,得到中间等式。

    向量投影有个应用,就是判断向量是否位于子空间内?如果向量等于子空间投影,则向量位于子空间内。子空间内的向量能被子空间的生成向量组表示。

    向量投影的这两个性质对于理解线性方程很关键,特别是最小二乘法。

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  • 向量投影的性质

    千次阅读 2018-03-27 21:53:57
    向量aaa在向量uuu上的投影记为 Prju→a→Prju→a→...向量投影的性质: Prju→a→=|a→|cosϕPrju→a→=|a→|cos⁡ϕPrj_\overrightarrow u \overrightarrow a = |\overrightarrow a|\cos \phi,其中ϕϕ\phi为a...

    向量aa在向量uu上的投影记为 PrjuaPrju→a→

    向量投影的性质:

    • Prjua=|a|cosϕPrju→a→=|a→|cos⁡ϕ,其中ϕϕaa→uu→的夹角
    • Prju(a+b)=Prjua+PrjubPrju→(a→+b→)=Prju→a→+Prju→b→
    • Prjuλa=λPrjuaPrju→λa→=λPrju→a→

    对于第一条性质,在计算时常常可以化简:

    cosϕ=ab|a||b|cos⁡ϕ=a→·b→|a→||b→|

    Prjua=|a|cosϕ=|a|ab|a||b|⇒Prju→a→=|a→|cos⁡ϕ=|a→|a→·b→|a→||b→|

    Prjua=ab|b|⇒Prju→a→=a→·b→|b→|
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  • https://blog.csdn.net/wlk1229/article/details/84779370
  • 线性代数笔记3:向量投影

    千次阅读 2018-03-21 19:26:32
    向量投影是线性代数中很重要的应用,用于找到向量到目标投影空间的投影向量。这是下一节线性回归的基础。 Ax=bAx=bAx=b有解时 当计算线性方程组Ax=bAx=bAx=b 有解时, bbb就在C(A)C(A)C(A)的子空间中,则Ax=bAx=...
  • 向量投影推导

    千次阅读 2020-07-13 15:07:13
    给定一个向量u和v,求u在v上的投影向量,如下图。 假设u在v上的投影向量是u’,且向量u和v的夹角为theta。一个向量有两个属性,大小和方向,我们先确定u’的大小(即长度,或者模),从u的末端做v的垂线,那么d...
  • 向量投影证明

    千次阅读 2019-06-04 19:43:06
    a 在 b 上的投影
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  • 向量投影公式

    千次阅读 2015-07-17 14:37:00
    公式一:a.b = |a||b|cos(r) cos(r) = a.b/|a|/|b| 公式二:|c| = |a|cos(r) 公式三:|c| = a.b/|b| 公式四:c = b/|b| |c| 公式五:c = a.b/|b|2 b 公式六:c = a.b/b.b b...朝向解P1-P2 = 向量ARotationFromX...
  • 两个向量投影的计算公式推导

    千次阅读 2019-06-14 21:18:21
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  • 向量 投影的计算

    千次阅读 2019-05-31 15:12:59
  • Unity向量投影使用

    2019-10-07 05:46:17
    官方例图 测试: code: public Transform point1; public Transform point2; public Transform humanPoint; public Transform targetPoint; void Start() { } void Update() ... targe...
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    万次阅读 2015-12-26 16:49:09
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空空如也

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