哈密顿算子 点乘 叉乘
1、定义与性质
哈密顿算子：（数学符号：$\nabla$（又称nabla，奈布拉算子）），读来作Hamilton。

向量微分算子：$\nabla=\frac{\partial }{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial }{\partial z}\vec{k}$
性质：

矢量性
微分算子
只对算子$\nabla$右边的量发生微分作用

麦克斯韦方程的微分形式：

$\frac{\partial D_{x}}{\partial x}+\frac{\partial D_{y}}{\partial y}+\frac{\partial D_{z}}{\partial z}=\rho$$\frac{\partial B_{x}}{\partial x}+\frac{\partial B_{y}}{\partial y}+\frac{\partial B_{z}}{\partial z}=0$

$\frac{\partial H_{z}}{\partial y} -\frac{\partial H_y}{\partial z} = \delta_{x}+\frac{\partial D_{x}}{\partial t}$$\frac{\partial H_{x}}{\partial z}-\frac{\partial H_{z}}{\partial x}=\delta_{y}+\frac{\partial D_{y}}{\partial t}$$\frac{\partial H_{y}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x}}{\partial y}=\delta_{z}+\frac{\partial D_{z}}{\partial t}$

$\frac{\partial E_{z}}{\partial y}-\frac{\partial E_{y}}{\partial z}=-\frac{\partial B_{x}}{\partial t}$
$\frac{\partial E_{x}}{\partial z}-\frac{\partial E_{z}}{\partial x}=-\frac{\partial B_{y}}{\partial t}$
$\frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}=-\frac{\partial B_{z}}{\partial t}$
引进哈密顿算子，上式简化为：

$\begin{cases}
\nabla \cdot \vec{D}=\rho \\
\nabla \cdot \vec{B}=0 \\
\nabla \times \vec{H}=\vec{\delta}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \\
\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
\end{cases}$
2、标量场的梯度
笛卡尔坐标系下的梯度：

$\nabla{P}=\frac{\partial P}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial P}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial P}{\partial z} \vec{k}=gradP$
（结果为矢量）
3、矢量场的散度
$\nabla \bullet \vec{V}=\frac{\partial V_{x}}{\partial x}+\frac{\partial V_{y}}{\partial y}+\frac{\partial V_{z}}{\partial z}=div \vec{V}$

（结果为标量）
4、矢量场的旋度
笛卡尔坐标系下旋度定义：

$\nabla \times \vec{V}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
V_{x} & V_{y} & V_{z}
\end{array}\right|
= \left(\frac{\partial V_z}{\partial y} -\frac{\partial V_{y}}{\partial z}\right) \vec{i}+\left(\frac{\partial V_{x}}{\partial z}-\frac{\partial V_{z}}{\partial x}\right) \vec{j}+\left(\frac{\partial V_{y}}{\partial x}-\frac{\partial V_{x}}{\partial y}\right) \vec{k} = rot  \vec{V}$

（结果为矢量）
5、哈密顿算子重要运算性质
$\nabla \cdot(\vec{A} \times \vec{B})=\vec{B} \cdot \nabla \times \vec{A}-\vec{A} \cdot \nabla \times \vec{B}$
6、向量内积与外积的性质与几何意义
向量内积的性质：

a^2 ≥ 0；当a^2 = 0时，必有a = 0. （正定性）
a·b = b·a. （对称性）
(λa + μb)·c = λa·c + μb·c，对任意实数λ, μ成立. （线性）
cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
|a·b| ≤ |a||b|，等号只在a与b共线时成立.

内积（点乘）的几何意义包括：

表征或计算两个向量之间的夹角
b向量在a向量方向上的投影

向量外积的性质

a × b = -b × a. （反称性）
(λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). （线性）

向量外积的几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的外积结果是一个向量，有个更通俗易懂的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。
在3D图像学中，外积的概念非常有用，可以通过两个向量的外积，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：



在二维空间中，外积还有另外一个几何意义就是：|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

分享一些复习感悟。
旋度等于哈密顿算子叉乘向量，什么意思呢。
首先我们从二维向量开始，二维的叉乘可以通过力矩的例子很形象：用力臂和力在垂直力臂方向上的分量的乘积表示力矩的大小，以右手定则规定力矩的方向——力矩就是描述关系的算式。但是到了三维怎么就多了这么多的量？
定义一个向量A，在xyz方向上的大小分别是Ax，Ay，Az，旋度如下：
其实三维的叉乘就是计算三个方向上的“力矩”写到一起（数学上表示为加法）。看似花哨的式子其实很有道理，X方向上的“力矩”自然和x方向的“力”Ax无关，所以是Az和Ay。
那么什么是偏导呢？
偏导其实就是导数，但是由于实际上收到三个变量的影响，所以写成偏导
为什么Az的结果要和Ay做差？显然两个方向是等价概念，但是因为设定上Z方向的力和Y方向的力对X方向的旋度贡献相反，所以我们使用右手定则的时候就取Y方向为负。其他方向同理

重要公式

$\triangledown \cdot(\vec A \times \vec B)= \vec B \cdot \triangledown \times\vec A-\vec A\cdot\triangledown\times\vec B$
证明

$\triangledown=\frac{\partial}{\partial x}\vec e_x+\frac{\partial }{\partial y}\vec e_y+\frac{\partial }{\partial z}\vec e_z$

$\vec A \times \vec B=\left | 
\begin{matrix}
\vec e_x &\vec e_y &\vec e_z\\
A_x & A_y & A_z\\
B_x & B_y & B_z
\end{matrix}
\right |\\ 
=(A_yB_z-A_zB_y)\vec e_x+(A_zB_x-A_xB_z)\vec e_y+(A_xB_y-A_yB_x)\vec e_z$

$\triangledown \cdot(\vec A \times \vec B)=(\frac{\partial}{\partial x}\vec e_x+\frac{\partial }{\partial y}\vec e_y+\frac{\partial }{\partial z}\vec e_z)
\cdot\bigg((A_yB_z-A_zB_y)\vec e_x+(A_zB_x-A_xB_z)\vec e_y+(A_xB_y-A_yB_x)\vec e_z\bigg)\\
=\frac{\partial{(A_yB_z-A_zB_y)}}{\partial x}+\frac{\partial{(A_zB_x-A_xB_z)}}{\partial y}+\frac{\partial{(A_xB_y-A_yB_x)}}{\partial z}\\
=\left | 
\begin{matrix}
\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\
A_x & A_y & A_z\\
B_x & B_y & B_z
\end{matrix}
\right |\\$


$\vec B \cdot \triangledown \times\vec A-\vec A\cdot\triangledown\times\vec B=\vec B \cdot \left | 
\begin{matrix}
\vec e_x &\vec e_y &\vec e_z\\
\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\
A_x & A_y & A_z
\end{matrix}
\right | - \vec A \cdot \left | 
\begin{matrix}
\vec e_x &\vec e_y &\vec e_z\\
\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\
B_x & B_y & B_z
\end{matrix}\right | \\
= (B_x\vec e_x+B_y\vec e_y+B_z\vec e_z)\cdot\bigg( (\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})\vec e_x+(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})\vec e_y+(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})\vec e_z \bigg)\\
-(A_x\vec e_x+A_y\vec e_y+A_z\vec e_z)\cdot\bigg( (\frac{\partial B_z}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial z})\vec e_x+(\frac{\partial B_x}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial x})\vec e_y+(\frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y})\vec e_z \bigg)\\
=B_x( \frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})+ B_y(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})+ B_z(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})\\
-\bigg(A_x( \frac{\partial B_z}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial z})+ A_y(\frac{\partial B_x}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial x})+ A_z(\frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y})\bigg)\\
\because B_z\frac{\partial A_y}{\partial x}-B_y\frac{\partial A_z}{\partial x}+ A_y\frac{\partial B_z}{\partial x}- A_z\frac{\partial B_y}{\partial x}= \bigg(B_z\frac{\partial A_y}{\partial x}+ A_y\frac{\partial B_z}{\partial x}\bigg)-\bigg(B_y\frac{\partial A_z}{\partial x}+A_z\frac{\partial B_y}{\partial x} \bigg)\\
=\frac{\partial( A_yB_z)}{\partial x}-\frac{\partial( A_zB_y)}{\partial x}=\frac{\partial( A_yB_z-A_zB_y)}{\partial x}$

同理其他三项可得，证毕

重要公式

$\triangledown \cdot(\vec A \times \vec B)= \vec B \cdot \triangledown \times\vec A-\vec A\cdot\triangledown\times\vec B$
证明

$\triangledown=\frac{\partial}{\partial x}\vec e_x+\frac{\partial }{\partial y}\vec e_y+\frac{\partial }{\partial z}\vec e_z$

$\vec A \times \vec B=\left | 
\begin{matrix}
\vec e_x &\vec e_y &\vec e_z\\
A_x & A_y & A_z\\
B_x & B_y & B_z
\end{matrix}
\right |\\ 
=(A_yB_z-A_zB_y)\vec e_x+(A_zB_x-A_xB_z)\vec e_y+(A_xB_y-A_yB_x)\vec e_z$

$\triangledown \cdot(\vec A \times \vec B)=(\frac{\partial}{\partial x}\vec e_x+\frac{\partial }{\partial y}\vec e_y+\frac{\partial }{\partial z}\vec e_z)
\cdot\bigg((A_yB_z-A_zB_y)\vec e_x+(A_zB_x-A_xB_z)\vec e_y+(A_xB_y-A_yB_x)\vec e_z\bigg)\\
=\frac{\partial{(A_yB_z-A_zB_y)}}{\partial x}+\frac{\partial{(A_zB_x-A_xB_z)}}{\partial y}+\frac{\partial{(A_xB_y-A_yB_x)}}{\partial z}\\
=\left | 
\begin{matrix}
\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\
A_x & A_y & A_z\\
B_x & B_y & B_z
\end{matrix}
\right |\\$


$\vec B \cdot \triangledown \times\vec A-\vec A\cdot\triangledown\times\vec B=\vec B \cdot \left | 
\begin{matrix}
\vec e_x &\vec e_y &\vec e_z\\
\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\
A_x & A_y & A_z
\end{matrix}
\right | - \vec A \cdot \left | 
\begin{matrix}
\vec e_x &\vec e_y &\vec e_z\\
\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\
B_x & B_y & B_z
\end{matrix}\right | \\
= (B_x\vec e_x+B_y\vec e_y+B_z\vec e_z)\cdot\bigg( (\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})\vec e_x+(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})\vec e_y+(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})\vec e_z \bigg)\\
-(A_x\vec e_x+A_y\vec e_y+A_z\vec e_z)\cdot\bigg( (\frac{\partial B_z}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial z})\vec e_x+(\frac{\partial B_x}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial x})\vec e_y+(\frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y})\vec e_z \bigg)\\
=B_x( \frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})+ B_y(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})+ B_z(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})\\
-\bigg(A_x( \frac{\partial B_z}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial z})+ A_y(\frac{\partial B_x}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial x})+ A_z(\frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y})\bigg)\\
\because B_z\frac{\partial A_y}{\partial x}-B_y\frac{\partial A_z}{\partial x}+ A_y\frac{\partial B_z}{\partial x}- A_z\frac{\partial B_y}{\partial x}= \bigg(B_z\frac{\partial A_y}{\partial x}+ A_y\frac{\partial B_z}{\partial x}\bigg)-\bigg(B_y\frac{\partial A_z}{\partial x}+A_z\frac{\partial B_y}{\partial x} \bigg)\\
=\frac{\partial( A_yB_z)}{\partial x}-\frac{\partial( A_zB_y)}{\partial x}=\frac{\partial( A_yB_z-A_zB_y)}{\partial x}$

同理其他三项可得，证毕