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哈密顿算子与梯度、散度、旋度
2020-05-20 11:41:07哈密顿算子 点乘 叉乘 1、定义与性质 哈密顿算子:(数学符号:∇\nabla∇(又称nabla,奈布拉算子)),读来作Hamilton。 向量微分算子:∇=∂∂xi⃗+∂∂yj⃗+∂∂zk⃗\nabla=\frac{\partial }{\partial x}\vec{i}...哈密顿算子 点乘 叉乘
1、定义与性质
哈密顿算子:(数学符号:(又称nabla,奈布拉算子)),读来作Hamilton。
向量微分算子:性质:
- 矢量性
- 微分算子
- 只对算子右边的量发生微分作用
麦克斯韦方程的微分形式:
引进哈密顿算子,上式简化为:
2、标量场的梯度
笛卡尔坐标系下的梯度:
(结果为矢量)
3、矢量场的散度
(结果为标量)4、矢量场的旋度
笛卡尔坐标系下旋度定义:
(结果为矢量)5、哈密顿算子重要运算性质
6、向量内积与外积的性质与几何意义
向量内积的性质:
- a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性)
- a·b = b·a. (对称性)
- (λa + μb)·c = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立. (线性)
- cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
- |a·b| ≤ |a||b|,等号只在a与b共线时成立.
内积(点乘)的几何意义包括:
- 表征或计算两个向量之间的夹角
- b向量在a向量方向上的投影
向量外积的性质
- a × b = -b × a. (反称性)
- (λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). (线性)
向量外积的几何意义
在三维几何中,向量a和向量b的外积结果是一个向量,有个更通俗易懂的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。在3D图像学中,外积的概念非常有用,可以通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:
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两个向量叉乘表示什么意思_旋度、哈密顿算子、叉乘
2021-01-08 09:30:34旋度等于哈密顿算子叉乘向量,什么意思呢。首先我们从二维向量开始,二维的叉乘可以通过力矩的例子很形象:用力臂和力在垂直力臂方向上的分量的乘积表示力矩的大小,以右手定则规定力矩的方向——力矩就是描述关系的...分享一些复习感悟。
旋度等于哈密顿算子叉乘向量,什么意思呢。
首先我们从二维向量开始,二维的叉乘可以通过力矩的例子很形象:用力臂和力在垂直力臂方向上的分量的乘积表示力矩的大小,以右手定则规定力矩的方向——力矩就是描述关系的算式。但是到了三维怎么就多了这么多的量?
定义一个向量A,在xyz方向上的大小分别是Ax,Ay,Az,旋度如下:
其实三维的叉乘就是计算三个方向上的“力矩”写到一起(数学上表示为加法)。看似花哨的式子其实很有道理,X方向上的“力矩”自然和x方向的“力”Ax无关,所以是Az和Ay。
那么什么是偏导呢?
偏导其实就是导数,但是由于实际上收到三个变量的影响,所以写成偏导
为什么Az的结果要和Ay做差?显然两个方向是等价概念,但是因为设定上Z方向的力和Y方向的力对X方向的旋度贡献相反,所以我们使用右手定则的时候就取Y方向为负。其他方向同理
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哈密顿算子重要性质
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- 证明
- 同理其他三项可得,证毕
- 重要公式
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- 证明
- 同理其他三项可得,证毕
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