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  • 均匀分布

    万次阅读 多人点赞 2018-07-21 19:37:20
    一、概率密度函数和分布函数 分布函数是概率密度函数从负无穷到正...假设x服从[a,b]上的均匀分布,则x的概率密度函数如下 概率密度图像如上图所示 三、均匀分布的分布函数 四、均匀分布的期望与方差 ...

    一、概率密度函数和分布函数

    分布函数是概率密度函数从负无穷到正无穷上的积分;

    在坐标轴上,概率密度函数的函数值y表示落在x点上的概率为y;

    分布函数的函数值y则表示x落在区间(-∞,+∞)上的概率。

    二、均匀分布的概率密度函数

    假设x服从[a,b]上的均匀分布,则x的概率密度函数如下

    概率密度图像如上图所示

    三、均匀分布的分布函数

    四、均匀分布的期望与方差

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  • 离散型均匀分布 & 连续型均匀分布

    万次阅读 2019-04-11 10:48:25
    均匀分布(Uniform distribution) 是一种简单的概率分布,其分为离散型均匀分布(discrete uniform distribution)和连续型均匀分布(continuous uniform distribution)两种类型的机率分布。 1. 离散型均匀分布...

    均匀分布(Uniform distribution)

    是一种简单的概率分布,其分为离散型均匀分布(discrete uniform distribution)连续型均匀分布(continuous uniform distribution)两种类型的机率分布。

    1. 离散型均匀分布(discrete uniform distribution)

    统计学概率理论中,离散型均匀分布是一个离散型概率分布,其中有限个数值拥有相同的概率。

     

    若随机变量有n个不同值,具有相同概率,则我们称之为离散均匀分布,通常发生在我们不确定各种情况发生的机会,且认为每个机会都相等,例如:投掷骰子等. 

    2. 连续型均匀分布(continuous uniform distribution)

    如果连续型随机变量X的概率密度为

    则称 X 服从 [a,b] ​​​​​上的均匀分布(uniform distribution),记作  。


    指数分布

    若连续型随机变量X XX的概率密度为

    其中θ>0,则称X 服从参数为θ 的指数分布。


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    出处:

    百度百科--均匀分布

    概率统计学习笔记(9)——连续型:均匀分布、指数分布

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  • 均匀分布的期望和方差

    万次阅读 2019-05-07 18:37:36
    均匀分布的期望和方差 .

    均匀分布的期望和方差

    .在这里插入图片描述

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  • 13. 均匀分布和指数分布

    千次阅读 2019-12-05 13:59:45
    文章目录均匀分布和指数分布均匀分布的定义性质:均匀分布具有等可能性均匀分布的概率计算指数分布的定义性质:指数分布具有无记忆性 均匀分布和指数分布 均匀分布的定义 若 XXX 的概率密度函数为 f(x)={1b−a,x∈(a...

    均匀分布和指数分布

    均匀分布的定义

    XX 的概率密度函数为

    f(x)={1ba,x(a,b);0,其他. f(x)=\begin{cases} \cfrac{1}{b-a}, & x\in(a,b); \\ 0, &\text{其他.} \end{cases}

    其中 a<ba<b,就称 XX 服从 (a,b)(a,b) 上的均匀分布(Uniform{\it Uniform}

    记为 XU(a,b)X\sim U(a,b)XUnif(a,b)X\sim {\it Unif}\,(a,b).

    其中

    f(x)={c,x(a,b);0,其他. f(x)=\begin{cases} c, & x\in(a,b); \\ 0, & \text{其他.} \end{cases}

    +f(x)dx=1,abcdx=1    c=1/(ba) \because \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, {\rm d}x = 1,即 \int_a^b c \, {\rm d}x=1 \implies c = 1 / (b-a)


    性质:均匀分布具有等可能性

    即,对于任意的 a<k<k+l<ba<k<k+l<b,均有

    P(k<X<k+l)=kk+l1badt=lba    kl P(k<X<k+l) = \int_{k}^{k+l} \cfrac{1}{b-a} \, {\rm d}t = \cfrac{l}{b-a} \quad \quad \implies \quad \quad 与 k 无关,仅与 l 有关。

    即,服从 U(a,b)U(a,b) 上的均匀分布的随机变量 XX 落入 (a,b)(a,b) 种的任意子区间上的概率只与其区间长度有关与区间所处的位置无关。

    即,XX 落入 (a,b)(a,b) 中的等长度的任意子区间上是等可能的

    XU(a,b)X\sim U(a,b),则 P(a<X<b)=1P(a<X<b)=1.

    且分布函数为

    F(x)={0,x<a;xaba,ax<b;1,xb. F(x)=\begin{cases} 0,& x<a; \\ \cfrac{x-a}{b-a}, & a\leq x < b; \\ 1, & x\geq b. \end{cases}

    \becauseax<ba\leq x < b 时, F(x)=xf(t)dt=ax1badt=xabaF(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) \, {\rm d}t = \int_a^x \cfrac{1}{b-a} \, {\rm d}t = \cfrac{x-a}{b-a}


    例 1: 在区间 (-1,2) 上随机取一数 XX,求:(1)试写出 XX 的概率密度函数;(2)概述在 (-0.5,1) 的概率;(3)该数为正数的概率。

    解:

    (1) XX 应在区间 (-1,2) 服从均匀分布,故 XX 的概率密度函数为

    f(x)={1/3,x(1,2);0,其他. f(x)=\begin{cases} 1/3, & x\in (-1,2); \\ 0, &\text{其他.} \end{cases}

    (2)
    P(0.5<X<1)=0.51f(x)dx=0.5113dx=1(0.5)3=12P(-0.5<X<1)=\int_{0.5}^1 f(x) \, {\rm d}x = \int_{0.5}^1 \cfrac{1}{3} \, {\rm d}x = \cfrac{1 - (-0.5)}{3} = \cfrac{1}{2}

    可以看到 分子 1-(-0.5) 其实是 (-0.5, 1) 的长度,而分母是 (-1, 2)的长度。

    (3)

    P(X>0)=0+f(x)dx=0213dx=203. P(X>0)=\int_0^{+\infty} f(x) \, {\rm d}x = \int_0^2 \cfrac{1}{3} \, {\rm d}x = \frac{2-0}{3}.

    这里同样可以看出 分子相当于 (0,+)(1,2)=(0,2)(0, +\infty) \bigcap (-1, 2) = (0, 2) 的长度,分母是 (-1, 2) 的长度。


    均匀分布的概率计算

    XU(a,b)X\sim U(a,b),则对于 IR\forall I\subset R,有

    方法一:P(XI)=If(x)dxP(X\in I) = \int_I f(x) \, {\rm d}x

    方法二:P(XI)=I(a,b)(a,b)P(X\in I) = \cfrac{I\bigcap(a,b)的长度}{(a,b)的长度}


    指数分布的定义

    XX 的概率密度函数为

    f(x)={λeλx,x>0;0,x0, f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x>0; \\ 0, & x\leq 0, \end{cases}

    其中 λ>0\lambda > 0,就称 XX 服从参数为 λ\lambda 的指数分布(Exponential\it Exponential),

    记为 XE(λ)X\sim E(\lambda)XExp(λ)X\sim Exp(\lambda).

    分布函数为

    F(x)={1eλx,x>0;0,x0. F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, & x>0; \\ 0, & x\leq 0. \end{cases}


    性质:指数分布具有无记忆性

    F(x)={1eλx,x>0;0,x0. F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, & x>0; \\ 0, & x\leq 0. \end{cases}

    对于 t0>0,t>0t_0 > 0, t>0,

    P(X>t0+tX>t0)=P(X>t0+t,X>t0)P(X>t0=P(X>t0+t)P(X>t0)=1F(t0+t)1F(t0)=eλ(t0+t)eλt0=eλt=P(X>t) \begin{aligned} P(X>t_0+t|X>t_0) &= \frac{P(X>t_0+t, X>t_0)}{P(X>t_0} \\ &= \cfrac{P(X>t_0+t)}{P(X>t_0)} = \cfrac{1-F(t_0+t)}{1-F(t_0)} \\ &= \cfrac{e^{-\lambda(t_0+t)}}{e^{-\lambda t_0}} = e^{-\lambda t} = P(X>t) \end{aligned}


    例 2: 设某人电话通话时间 XX (分钟)服从指数分布,概率密度为

    f(x)={115ex15,x>0;0,x0. f(x)=\begin{cases} \cfrac{1}{15} e^{-\frac{x}{15}}, &x>0; \\ \\ \,0, & x\leq 0. \end{cases}

    求:
    (1)她的通话时间在 10~20 分钟之间的概率;
    (2)若她已打了 10 分钟,求她继续通话超过 15 分钟的概率(即,若她已打了 10 分钟,求她总共通话超过 25 分钟的概率)

    解:

    由概率密度

    f(x)={115ex15,x>0;0,x0. f(x)=\begin{cases} \cfrac{1}{15} e^{-\frac{x}{15}}, &x>0; \\ \\ \,0, & x\leq 0. \end{cases}

    得出分布函数为

    F(x)={1ex15,x>0;0,x0. F(x)=\begin{cases} 1-e^{-\frac{x}{15}}, &x>0; \\ \\ 0, &x\leq 0. \end{cases}

    (1)

    P(10<x<20)=1020f(x)dx=1151020ex15dx=e23e43 P(10<x<20)=\int_{10}^{20} f(x) \, {\rm d}x = \cfrac{1}{15}\int_{10}^{20} e^{-\frac{x}{15}} \, {\rm d}x = e^{-\frac{2}{3}} - e^{-\frac{4}{3}}

    或者利用分布函数

    P(10<X<20)=F(20)F(10)=1e2015(1e1015)=e23e43 P(10<X<20) = F(20) - F(10)=1-e^{-\frac{20}{15}}-(1-e^{-\frac{10}{15}})=e^{-\frac{2}{3}} - e^{-\frac{4}{3}}

    (2)根据无记忆性,

    P(X>25X<10)=P(X>15)=15115ex15dx=e1 P(X>25|X<10)=P(X>15)=\int_{15}^{\infty} \cfrac{1}{15} e^{-\frac{x}{15}} \, {\rm d}x = e^{-1}


    例 3: 设一地段相邻两次交通事故的间隔时间(小时) XX 服从参数为 2/13 的指数分布。求:已知在已过去的 13 小时中没有发生交通事故 ,那么在未来的 2 小时内不发生交通事故的概率。

    解:

    F(x)={1eλx,x>0;0,x0. F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, & x>0; \\ 0, & x\leq 0. \end{cases}

    已知 XE(λ),λ=2/13X\sim E(\lambda), \lambda = 2/13.

    P(X>15X>13)=P(X>2)=1F(2)=e2132=e413P(X>15|X>13)=P(X>2)=1-F(2)=e^{-\frac{2}{13} ·2}=e^{-\frac{4}{13}}


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