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  • 复杂网络基础理论_

    2018-07-18 17:40:07
    复杂网络基础理论_13055965。这是全的。只是图片形式的PDF.
  • 复杂网络理论及其应用.pdf ........................................................................
  • 复杂网络

    千次阅读 2018-10-28 16:31:28
    文章目录复杂网络复杂网络基本概念平均路径长度聚类系数度与度分布网络拓扑基本模型及其性质规则网络全局耦合网络最近邻耦合网络星型耦合网络随机图(ER随机图)小世界网络模型WS小世界模型NW小世界模型小世界网络的...

    复杂网络

    复杂网络基本概念

    平均路径长度

    两个点 i i i j j j之间的距离 d i j d_{ij} dij定义为连接这两个节点的最短路径上的边数。

    网络的平均路径长度 L L L定义为任意两个节点之间的距离的平均值,即:
    L = 1 1 2 N ( N + 1 ) ∑ i ≥ j d i j L=\frac{1}{\frac{1}{2}N(N+1)}\sum_{i\ge j}{d_{ij}} L=21N(N+1)1ijdij
    其中, N N N为网络节点数。

    一个含有 N N N个节点和 M M M条边的网络的平均路径长度可以用时间量级为 O ( M N ) O(MN) O(MN)的广度优先搜索算法来确定。

    网络的平均路径长度也称为网络的特征路径长度。

    聚类系数

    在你的朋友关系网络中,你的两个朋友很可能彼此也是朋友,这种属性称之为网络的聚类特性

    在网络中的节点 i i i k i k_{i} ki条边和其他节点连接,即有 k i k_{i} ki个邻居节点。在这 k i k_{i} ki个邻居节点之间最多可能有 k i ( k i − 1 ) / 2 k_{i}(k_{i}-1)/2 ki(ki1)/2条边,而这 k i k_{i} ki个节点之间实际存在的边数 E i E_{i} Ei和总的可能的边数 k i ( k i − 1 ) / 2 k_{i}(k_{i}-1)/2 ki(ki1)/2之比就定义为节点 i i i的聚类系数 C i C_{i} Ci,即:
    C i = 2 E i k i ( k i − 1 ) C_{i}=\frac{2E_{i}}{k_{i}(k_{i}-1)} Ci=ki(ki1)2Ei
    简单描述即是:
    C i = 与 点 i 相 连 的 三 角 形 的 数 量 与 点 i 相 连 的 三 元 组 的 数 量 C_{i}=\frac{与点i相连的三角形的数量}{与点i相连的三元组的数量} Ci=ii
    三元组包含三角形,三元组两种形式为:

    在这里插入图片描述

    整个网络的聚类系数 C C C就是所有结点i的聚类系数 C i C_{i} Ci的平均值。

    度与度分布

    度是单独节点的属性中简单而又重要的概念,分为出度和入度。直观上,一个节点的度越大,那么这个节点在某种意义下越重要。网络中的所有节点 i i i的度 k i k_{i} ki的平均值成为网络的(节点)平均度,记为 ⟨ k ⟩ \langle k \rangle k,网络中节点的度的分布情况用分布函数 P ( k ) P(k) P(k)来描述。 P ( k ) P(k) P(k)表示一个随机选定的节点的度是 k k k的概率。

    • 规则图为Delta分布
    • 随机网络和小世界网络为近似Poisson分布
    • 指数分布(暂未知是哪种网络!)
    • 无标度分布,即幂律分布

    无标度分布即是分布函数 f ( x ) f(x) f(x)满足无标度条件
    f ( a x ) = b f ( x ) f(ax)=bf(x) f(ax)=bf(x)
    当满足这个条件是必定有:(这里假设 f ( 1 ) f ′ ( 1 ) ≠ 0 f(1)f'(1)\neq 0 f(1)f(1)̸=0 )
    f ( x ) = f ( 1 ) x − r , r = − f ( 1 ) f ′ ( 1 ) f(x) = f(1)x^{-r}, r = -\frac{f(1)}{f'(1)} f(x)=f(1)xr,r=f(1)f(1)
    证明见《复杂网络理论及其应用》中P12。

    幂指数一般为 2 ≤ r ≤ 3 2\le r\le 3 2r3,绝大多数节点的度相对很低,只有少量节点的度相对很高,因此这类网络为非均匀网络,那些度相对很高的节点成为网络的集线器(hubs)

    网络拓扑基本模型及其性质

    规则网络

    全局耦合网络

    构成:任意两个点之间都直接相连接,如下图a所示

    平均路径长度:1

    最大聚类系数:1

    最近邻耦合网络

    构成:每个节点只和它周围的邻居节点相连,一般具有周期边界条件的最近邻耦合网络包含N个围成一个环的点,如下图b所示,每个节点与它最近的4个节点相连

    K:最近邻的个数,图b中为4

    N:节点的数目

    聚类系数为:
    C n c = 3 ( K − 2 ) 4 ( K − 1 ) ≈ 3 4 C_{nc}=\frac{3(K-2)}{4(K-1)}\approx \frac{3}{4} Cnc=4(K1)3(K2)43
    平均路径长度为:
    L n c ≈ N 2 K → ∞ ( N → ∞ ) L_{nc} \approx \frac{N}{2K} \rightarrow \infty \quad \quad (N \rightarrow \infty ) Lnc2KNN

    星型耦合网络

    构成:一个点为中心点,其他点与这个中心点直接连接,如下图c所示

    聚类系数为:
    C s t a r = N − 1 N → 1 ( N → ∞ ) C_{star}=\frac{N-1}{N} \rightarrow 1 \quad \quad (N \rightarrow \infty ) Cstar=NN11N
    平均路径长度为:
    L s t a r = 2 − 2 ( N − 1 ) N ( N − 1 ) → 2 ( N → ∞ ) L_{star}=2- \frac{2(N-1)}{N(N-1)} \rightarrow 2 \quad \quad (N \rightarrow \infty ) Lstar=2N(N1)2(N1)2N
    在这里插入图片描述

    总体而言,这三种规则网络在很理想的情况下进行建模,很大程度上无法反映真实网络世界情况,是复杂网络研究中最基本的模型,不过有必要对他们的三要素进行理解与学习。

    在人工构建的网络中,P2P为完全耦合网络,C/S为星型网络模型,路网在一定程度上可以认为是最近邻耦合模型(这个是自己想的)。

    随机图(ER随机图)

    构成:假设有大量的纽扣( N ≫ 1 N \gg 1 N1)散落在地上,并以相同的概率 p p p给每对纽扣系上一根线,这样便可以得到一个有 N N N个点,约 p N ( N − 1 ) / 2 pN(N-1)/2 pN(N1)/2条边的ER随机图实例。

    性质存在的定义:如果当 N → ∞ N \rightarrow \infty N时产生了一个具有性质Q的ER随机图的概率为1,那么就称几乎每一个ER随即图都具有性质Q。

    ER随即图的许多性质都是突然涌现的。比如当概率 p p p大于某个临界值 p c ∝ ( l n N ) / N p_{c} \propto (lnN)/N pc(lnN)/N,那么几乎每一个图都是连通的。

    平均度: ⟨ k ⟩ = p ( N − 1 ) ≈ p N \langle k \rangle=p(N-1) \approx pN k=p(N1)pN

    平均路径长度: L E R ∝ l n N / l n ⟨ k ⟩ L_{ER} \propto lnN/ln\langle k \rangle LERlnN/lnk。在ER图中随机选择一个点,网络中大概有 ⟨ k ⟩ L E R \langle k \rangle^{L_{ER}} kLER个其他的点与该点之间的距离等于或者非常接近于 L E R L_{ER} LER,因此 N ∝ ⟨ k ⟩ L E R N\propto \langle k \rangle^{L_{ER}} NkLER,变换一下形式即得原式。这种平均路径长度为网络规模的对数增长函数的特性就是典型的小世界特征

    聚类系数: C = p = ⟨ k ⟩ / N ≪ 1 C=p=\langle k \rangle/N\ll1 C=p=k/N1,这意味着大规模的稀疏ER随机图没有聚类特征。

    ER图又称为“Poission随机图”,固定ER随机图的平均度 ⟨ k ⟩ \langle k \rangle k不变,则对于充分大的N,由于每条边的出现与否都是独立的,ER随机图的度分布可以用Poission分布来表示,即:
    P ( k ) = C N k p k ( 1 − p ) N − k ≈ ⟨ k ⟩ k e − ⟨ k ⟩ k ! P(k)=C_{N}^{k}p^{k}(1-p)^{N-k} \approx \frac {{\lang k \rang}^k e^{- \lang k \rang}}{k!} P(k)=CNkpk(1p)Nkk!kkek

    小世界网络模型

    考虑到规则的最近邻耦合网络具有高聚类特性,但是平均路径很大,不是小世界网络,而ER随机图有较小的平均路径长度,但是不具备高聚类特性。将这两者的性质结合,即可得小世界网络模型。

    WS小世界模型

    构造算法:从最近邻耦合网络这个规则网络开始,将它的边以概率 p p p进行随机化重连,一个节点固定,另一个节点随机选择。并保证任意两个不同节点之间至多一条边,节点不能有边与自身相连。 p = 0 p=0 p=0 p = 1 p=1 p=1的过程即是从完全规则网络到完全随机网络的过程。

    聚类系数
    C ( p ) = 3 ( K − 2 ) 4 ( K − 1 ) ( 1 − p ) 3 C(p)=\frac{3(K-2)}{4(K-1)}(1-p)^3 C(p)=4(K1)3(K2)(1p)3
    平均路径长度(目前暂无精确解析表达式,利用重正化群方法可以得到如下公式):
    L ( p ) = 2 N K f ( N K p / 2 ) L(p)=\frac{2N}{K}f(NKp/2) L(p)=K2Nf(NKp/2)
    其中 f ( u ) f(u) f(u)为一普适标度函数,满足:
    f ( u ) = { c o n s t a n t , u ≪ 1 ( l n u ) / u , u ≫ 1 f(u)= \left \{ \begin{aligned} constant,u \ll 1 \\ (lnu)/u,u \gg 1 \end{aligned} \right. f(u)={constantu1(lnu)/uu1
    后来,基于均场方法有如下表达式:
    f ( x ) ≈ 1 2 x 2 + 2 x a r c t a n h x x + 2 f(x) \approx \frac{1}{2\sqrt{x^2+2x}}arctanh\sqrt{\frac{x}{x+2}} f(x)2x2+2x 1arctanhx+2x
    度分布:由于每个节点有 K K K个邻居节点,在随机化重连的过程中,对于每个节点而言,有 K / 2 K/2 K/2条边是不会离开该节点的,因此,当 k &lt; K / 2 k&lt;K/2 k<K/2时, P ( k ) = 0 P(k)=0 P(k)=0,当 k ≥ K / 2 k\geq K/2 kK/2时,分布如下:
    KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ P(k)= \sum_{n=…
    WS小世界模型构造方式中的随机化过程可能破坏网络的连通性,于是:

    NW小世界模型

    构造算法:从最近邻耦合网络这个规则网络开始,将它的边以概率 p p p进行随机化加边。并保证任意两个不同节点之间至多一条边,节点不能有边与自身相连。 p = 0 p=0 p=0对应原始最近邻耦合网络,而 p = 1 p=1 p=1对应全局耦合网络。

    聚类系数:
    C ( p ) = 3 ( K − 2 ) 4 ( K − 1 ) + 4 K p ( p + 2 ) C(p)=\frac{3(K-2)}{4(K-1)+4Kp(p+2)} C(p)=4(K1)+4Kp(p+2)3(K2)
    平均路径长度(同WS小世界模型):
    L ( p ) = 2 N K f ( N K p / 2 ) L(p)=\frac{2N}{K}f(NKp/2) L(p)=K2Nf(NKp/2)
    其中 f ( u ) f(u) f(u)为一普适标度函数,满足:
    f ( u ) = { c o n s t a n t , u ≪ 1 ( l n u ) / u , u ≫ 1 f(u)= \left \{ \begin{aligned} constant,u \ll 1 \\ (lnu)/u,u \gg 1 \end{aligned} \right. f(u)={constantu1(lnu)/uu1
    后来,基于均场方法有如下表达式:
    f ( x ) ≈ 1 2 x 2 + 2 x a r c t a n h x x + 2 f(x) \approx \frac{1}{2\sqrt{x^2+2x}}arctanh\sqrt{\frac{x}{x+2}} f(x)2x2+2x 1arctanhx+2x
    度分布:由于每个节点至少有 K K K个邻居节点,因此,当 k &lt; K k&lt;K k<K时, P ( k ) = 0 P(k)=0 P(k)=0,当 k ≥ K k\geq K kK时,分布如下:
    KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ P(k)= C_{N}^{k…
    p p p足够小且 N N N足够大时,NW小世界网络本质上等同于WS小世界网络。

    小世界网络的小波分析

    见《复杂网络理论及其应用》中P23。

    大概就是利用小波变化,在一个粗化的状态下,观察网络的统计特性,进而研究在粗化状态下, L L 1 LL_{1} LL1低频区间所展现出来的网络特性,即网络的平均路径长度以及聚类系数。

    无标度网络模型(重点)

    基本性质

    ER随机图和WS小世界模型的一个共同特征是度分布近似为Poisson分布,这样度基本上存在于平均度 ⟨ k ⟩ \langle k \rangle k峰值附近,当 k ≫ ⟨ k ⟩ k\gg\langle k \rangle kk时,度为 k k k的节点几乎不存在。而许多现实生活中的网络,如Internet、WWW、新陈代谢网络等的连接度分布函数具有幂律形式,由于这类网络的节点的连接度没有明显的特征长度(比如平均度 ⟨ k ⟩ \langle k \rangle k),因此,称之为无标度网络

    最初是的无标度网络模型:BA无标度网络,通过考虑现实情况下,网络的增长特性(每天都有新的节点和边加入)和优先连接特性(新的节点更加倾向于与那些高度节点相连接,“富者更富”“马太效应”)。该部分为我目前的研究重点。

    **BA无标度网络构造算法:**从一个具有 m 0 m_{0} m0个节点的网络开始,每次加入一个节点并连接到 m m m个已存在的节点上,当然,必须满足 m ≤ m 0 m \leq m_{0} mm0。在连接时,一个新的节点与一个已经存在的节点 i i i之间的连接概率 Π i \Pi_{i} Πi与节点 i i i的度 k i k_{i} ki和所有其他节点的度关系如下:
    Π i = k i ∑ j k j \Pi_{i}=\frac{k_{i}}{\sum\limits_{j}{k_{j}}} Πi=jkjki
    平均路径长度:
    L ∝ l o g N l o g l o g N L \propto \frac{logN}{loglogN} LloglogNlogN
    L L L l o g N logN logN一个量级,表明该网络具有小世界特性

    聚类系数:
    C = m 2 ( m + 1 ) 2 4 ( m − 1 ) [ l n m + 1 m − 1 m + 1 ] [ l n ( t ) ] 2 t C=\frac{m^2(m+1)^2}{4(m-1)}\big[ln\frac{m+1}{m}-\frac{1}{m+1}\big]\frac{[ln(t)]^2}{t} C=4(m1)m2(m+1)2[lnmm+1m+11]t[ln(t)]2
    m m m:每次一个新的节点与 m m m个已经存在的节点连接

    t t t:经过 t t t步,即总共加入 t t t个节点,最后共有 N = t + m 0 N=t+m_{0} N=t+m0个节点,大概 m t mt mt条边

    与ER随即图类似,当网络规模充分大时,BA无标度网络不具有明显的聚类特征

    度分布:

    对于无标度网络的度分布研究主要有三种方法:连续场理论,主方程法,速率方程法。

    主方程法的结果:

    定义 p ( k , t i , t ) p(k,t_{i},t) p(k,ti,t)为在 t i t_{i} ti时刻记录的节点 i i i t t t时刻的度恰好是 k k k的概率。在BA模型中,当一个新节点加入到系统中来时,节点 i i i的度增加 1 1 1的概率为 m Π i = k 2 t m\Pi_{i}=\frac{k}{2t} mΠi=2tk (根据前文,可以推导出来),否则该节点的度保持不变。那么有:
    &lt; E m p t y   M a t h   B l o c k &gt; &lt;Empty \space Math \space Block&gt; <Empty Math Block>

    p ( k , t i , t + 1 ) = k − 1 2 t p ( k − 1 , t i , t ) + ( 1 − k 2 t ) p ( k , t i , t ) p(k,t_{i},t+1)=\frac{k-1}{2t}p(k-1,t_{i},t)+(1-\frac{k}{2t})p(k,t_{i},t) p(k,ti,t+1)=2tk1p(k1,ti,t)+(12tk)p(k,ti,t)

    网络的度分布为:
    P ( k ) = lim ⁡ t → + ∞ ( 1 t ∑ t i p ( k , t i , t ) ) P(k)=\lim_{t\to +\infty}\big(\frac{1}{t}\sum\limits_{t_{i}}p(k,t_{i},t)\big) P(k)=t+lim(t1tip(k,ti,t))
    它满足如下递推方程式:
    P ( k ) = { k − 1 k + 2 P ( k − 1 ) , k ≥ m + 1 2 m + 2 , k = m P(k)= \left \{ \begin{aligned} \frac{k-1}{k+2}P(k-1),k \geq m+1 \\ \frac{2}{m+2} \quad \quad ,k =m \qquad \end{aligned} \right. P(k)=k+2k1P(k1)km+1m+22k=m
    从而可得BA网络的度分布函数为:
    P ( k ) = 2 m ( m + 1 ) k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ∝ 2 m 2 k − 3 P(k)=\frac{2m(m+1)}{k(k+1)(k+2)} \propto 2m^2k^{-3} P(k)=k(k+1)(k+2)2m(m+1)2m2k3
    m m m:每次一个新的节点与 m m m个已经存在的节点连接

    k k k:随机取一个节点,度为 k k k的概率 P ( k ) P(k) P(k)

    表明:BA无标度网络的度分布函数可以由幂指数为3的幂律函数近似描述

    缺陷:BA无标度网络的幂指数固定为3

    鲁棒性与脆弱性

    见《复杂网络理论及其应用》中P29。

    无标度网络对随机故障策略,即随机移除一些点,有很高的鲁棒性;对蓄意攻击策略,即移除网络中部分度最高的节点,表现得非常脆弱。其中表现情况以整个图的连通性为标准。

    鲁棒但又脆弱是复杂系统的最重要和最基本的特征之一。

    Broder等人研究了更大规模WWW子网络的鲁棒性。他们发现只有删除所有度大于5的节点才能完全破坏WWW的连通性。这其实是因为WWW具有高度倾斜的度分布,度数大于5的节点在整个网络中所占的比例还是很小的。(这个发现以及相关的具体数值的研究,可能对我的研究有帮助

    适应度模型

    BA模型只能生成度分布的幂律指数固定为3的无标度网络,而各种实际复杂网络的幂律指数则不甚相同,且大多属于2到3的范围内。

    实际网络常常还具有一些非幂律特征,如指数截断,小变量饱和等。

    在BA无标度网络的增长过程中,节点的度也在发生变化并且满足如下幂律关系(流式处理中,应该很有用):
    k i ( t ) = ( t t i ) 1 2 k_{i}(t)=\big(\frac{t}{t_{i}}\big)^{\frac{1}{2}} ki(t)=(tit)21
    k i ( t ) k_{i}(t) ki(t):为第 i i i个节点在时刻 t t t的度

    t i t_{i} ti:为第 i i i个节点加入到网络中的时刻

    则可以有一个很直观的认识:就是越老的节点具有越高的度,在完全随机的情况下,这一点基本成立。

    适应度模型构造算法:在原有的BA模型上,为每个节点增加了一个适应度权值

    从一个具有 m 0 m_{0} m0个节点的网络开始,每次加入一个节点并连接到 m m m个已存在的节点上,当然,必须满足 m ≤ m 0 m \leq m_{0} mm0,每一个节点的适应度按照概率分布$ \rho ( \eta ) 选 取 。 在 连 接 时 , 一 个 新 的 节 点 与 一 个 已 经 存 在 的 节 点 选取。在连接时,一个新的节点与一个已经存在的节点 i 之 间 的 连 接 概 率 之间的连接概率 \Pi_{i} 与 节 点 与节点 i 的 度 的度 k_{i} 以 及 适 应 度 以及适应度 \eta_{i}$和所有其他节点的度关系如下:
    Π i = η i k i ∑ j η j k j \Pi_{i}=\frac{\eta_{i}k_{i}}{\sum\limits_{j}{\eta_{j}k_{j}}} Πi=jηjkjηiki

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  • 复杂网络 常用数据集

    2016-07-02 21:46:14
    常用的复杂网络的数据集,包括karate,dolphins,football等 此外部分数据集还提供了相应的论文 针对数据集进行了无向图和有向图以及加权无权的分类,方便使用
  • 7种复杂网络MATLAB经典算法,包含GN;ER;BA;WS;NW等算法,可直接使用,仅限个人
  • 最全的复杂网络的MATLAB工具箱,内含大量源代码,直接可用,找了很久才找到的的,觉得不错记得分享应用心得哦!
  • 复杂网络数据

    热门讨论 2013-03-27 10:17:11
    文档包含了所有复杂网络研究中用到的Newman数据集,即所有的gml文档,为了统一格式,方便后续研究的方便,本人将其按照统一的方法为每个数据建立了一个对应的统一文档,格式为: 第一行为数据的基本信息,名称、节点...
  • 主要是用MATLAB来实现几类典型的复杂网络模型的仿真
  • 复杂网络、社会网络分析工具pajek

    热门讨论 2012-06-29 08:32:43
    很好的复杂网络、社会网络分析工具,压缩包中含有中文使用手册。软件简单易用,计算效率高,能够以图形化的方式显示计算结果。非常适合于进行复杂网络、社会网络分析以及利用这两种技术解决其它问题的研究者们使用。
  • 复杂网络】自学笔记整理

    万次阅读 多人点赞 2020-06-29 17:15:45
    一、复杂系统与复杂网络 1.研究目的        复杂网络是研究复杂系统的一种角度和方法,它主要关注系统中个体相互关联的作用。(一种拓扑结构) 2.当今应用    &...

    一、复杂系统与复杂网络

    1.研究目的
    复杂网络是研究复杂系统的一种角度和方法,它主要关注系统中个体相互关联的作用。(一种拓扑结构
    2.当今应用
    通过分析社交网络之间的关系,确定人们在社会中的社会关系,比如我们用复杂网络分析恐怖分子的多层社会网络,进而得到追踪他们的线索,以此方便警方抓捕。
    3.发展背景
    (1)计算机技术的飞速发展
    (2)网络普适性的发现
    (3)理论研究的发展
    4.关心问题
    (1)如何定量刻画复杂网络?
    (2)网络如何实现发展?
    (3)网络特定结构的后果是什么?
    5.复杂网络的结构及特点
    (1)规则网络
    一般情况下,集聚系数较大,平均最短路径较长。
    (2)随机网络
    当p不小时,集聚系数较小,平均最短路径较短。
    (3)小世界网络
    (4)无标度网络
    一般情况下,分成呈幂律分布。
    6.顶点重要性度量
    (1)度:你有几个朋友 (度是个体指标,分布是整体指标)
    (2)集聚系数:你的朋友之间,他们还是不是朋友
    (3)介数:整个网络中,通过你的最短路径有多少
    (4)接近中心性:你是否位于网络中心
    扩展:
    (5)谷歌PageRank:通过扩散行为,建立了从全局刻画重要性的指标,它是一个迭代过程
    7.顶点度的匹配关系
    (1)同向匹配:高度的顶点与高度的顶点相连接(社会网络)
    (2)反向匹配:高度的顶点与低度的顶点相连接

    二、复杂性思维——北师大教授张江课程

    课时一 什么是复杂性思维

    1.研究复杂系统的目的:用来做计算机模拟。
    2.“时间之箭”和 “因果箭头”
    前者表示任何事物的演化都有一个方向性,后者表示有因必有果,有果必有因。
    3.区块链
    定义:它是一个分布式的存储系统,不需要中心控制者,全部由机器控制管理。
    4.技术奇点
    定义:它表示机器发展到超越人类认知的时间点。
    5.复杂系统
    关键点:
    (1)系统中个体数有一定的数量级(一般10^2以上)
    (2)系统中的个体具有紧密的联系
    6.复杂性科学
    关键点:
    (1)统一性 :统一的观点看待不同学科
    (2)涌现:整体大于部分之和

    课时二 系统科学简史与现代复杂系统科学

    1.小世界现象
    表现:任何地球上的两个人都可以通过最多6个人相互联系起来。
    2.无标度现象
    表现:任何网络都存在不平等的现象(幂律分布)。
    3.PageRank算法
    中心思想:实现按从大到小的顺序得到搜索后网站的排序,常用于搜索引擎中。
    4.产品空间(Product Space)
    具体表现:
    (1)附加价值越高的产品会集中在中心位置,附加价值越低的产品会集中在边缘位置。
    (2)发展迅速的国家,在映射到产品空间的图后,其位置会随时间从边缘逐渐移动到中心位置。
    5.复杂系统中的物理学
    定义:复杂系统中的物理学与广义上的物理学不同,它主要使用到的物理学的研究方法
    6.列维飞行
    定义:列维飞行是从分布角度上讲,大部分情况在小范围内流动,也有一小部分情况会流动到较远位置的一种运动模式。另外,它也是动物和人的普遍游走规律。
    7.系统科学的发展规律:由数据驱动得到一些发现规律。
    8.复杂性科学的核心问题:回答什么是生命。

    课时三 蜂群思维与涌现

    1.自然界中复杂系统:蜂群、蚁群、鸟群、鱼群
    ①针对蜂群如何确定最短路径这个问题
    (1)生物学角度:蚁群根据信息素浓度大小确定最短路径
    (2)计算机角度:可以通过计算机模拟方式确定最短路径
    ②鸟群的飞行规则(没有随机数,但有随机性)
    (1)靠近 (2)对齐 (3)避免碰撞
    2.群集系统的特点
    (1)由许多单元组织而成
    (2)每个个体按照简单的规则行事
    (3)个体之间具有一定的自治性
    (4)单元之间相互连接
    (5)没有强制的中心控制
    3.如何运用群集思维
    (1)建立隐喻
    (2)保证交互
    (3)激活个体
    (4)减少干预

    课时四 涌现与关于“马姨”的讨论

    1.涌现与斑图
    涌现:人的心理和外在的事物发生的某种共振沟通。
    斑图(Pattern):由系统的时空构型形成的整体模式。
    2.涌现的分类
    (1)强涌现:“我”的存在。
    (2)弱涌现:自然界普遍现象的存在。
    3.涌现与因果倒置


    注:强涌现发生时,因果箭头开始发生颠倒。

    课时五 群体模拟与Netlogo

    1.计算机模拟:虚拟世界中的空间(数据)与时间(算法、程序)的互动。
    2.Netlogo:用来的模拟复杂系统的软件
    (1)模拟小球运动
    初始化设置:每次点击setup会出现50个随机小球

    to setup
       clear-all
       create-turtles 50[
           setxy random-xcor random-ycor
       ]
       set-default-shape turtles "circle"
    end
    

    让小球运动起来

    to go
       ask turtles[
           forward 1
       ]
    end
    

    让小球像虫子一样运动

    to go
       ask turtles[
           if random-float 1 < 0.5[
               set heading random 360
           ]
           forward 1
       ]
    end
    

    (2)模拟生命游戏
    新的对象:Patch
    对象属性:patches-own[]
    ask patches:对所有的patch对象循环
    ask turtles:对所有的turtle对象循环
    补:patch对象与turtle对象的不同:前者不需要创建,后者需要创建。
    (3)基本思想

    在这里插入图片描述

    课时六 元胞自动机

    1.元胞自动机组成
    空间:格点
    时间:CPU时钟
    物理:规则
    注:生命游戏(Game of Life)是一个二维的元胞自动机。
    2.冯诺依曼贡献
    (1)创建了冯诺依曼结构
    (2)创立了博弈论
    (3)量子计算的奠基人
    3.二维元胞自动机的邻域
    (1)冯诺依曼型领域:上下左右4个邻居
    (2)摩尔性邻域:8个邻居
    4.火灾模型
    特点:遍历所有格点
    neighbors:冯诺依曼邻居
    numbers:摩尔型邻居
    density(森林密度):density越大,火灾传播速度越快。
    在这里插入图片描述

    5.沙堆模型
    特点:二维的元胞自动机;属于冯诺依曼邻居;有五种状态
    自组织临界
    (1)崩塌会产生级联效应
    (2)崩塌的时空呈现幂律分布
    (3)系统自发组织进入临界态

    课时七 元胞自动机扩展

    1.投票模型
    特点:随机元胞自动机
    结果:最后只有一种观点
    2.其他元胞自动机
    (1)四角格 (2)三角格 (3)六角格
    3.一维元胞自动机(最基础)
    特点:每个格子的左右两侧半径为r内的方格为其邻居
    基础元胞自动机:r=1,状态为2
    可能的规则数:2^8=256
    4.一维元胞自动机的运行
    按照时间先后顺序上下排列,得到一张二维图
    在这里插入图片描述
    5.一维元胞自动机的应用:奏乐
    6.混沌边缘
    λ:用来衡量元胞自动机运行后的混沌状态
    扩展:
    如何得到复杂——让系统运行在混沌的边缘

    三、网络科学导论

    第一章 引论

    1.复杂网络相关应用

    随着信息技术的飞速发展,当今社会越来越多的现象会涉及到复杂网络相关应用。
    举例:社交网络、搜索引擎

    2.Internet的拓扑结构

    原因:为预测和提高Internet的性能,特此引入Internet的拓扑结构
    具体形式:(1)IP层次 (2)路由器层次 (3)自治系统层次
    表现:随时间的推移,IPv4中的IP地址和AS数量逐渐增加

    3.WWW

    表现:万维网地位的提高以及发展,与搜索引擎的迅速发展密不可分,而搜索引擎属于复杂网络的一个应用领域,因此可见,研究复杂网络有所重要。

    4.金融网络和经济网络

    背景:经济全球化的大势,给世界上各个国家带来诸多机遇和挑战。提高国际地位的关键,在于成为相对应网络中的关键节点
    表现:在产品空间(Product Space) 相关知识中,我们可以了解到附加价值越高的产品会集中在中心位置,附加价值越低的产品会集中在边缘位置,类比于全球的金融网络和经济网络,我们会发现位于网络中心位置的往往是传播能力强的发达国家。

    在这里插入图片描述

    5.社会网络

    背景:六度分离理论的提出
    发展:为探究六度分离理论的正确性,科学家们进行了Internet上的小世界实验,进而提出了弱连带和强连带的概念。
    弱连带与强连带的示意图

    6.网络科学的研究目的与研究内容

    研究目的:网络科学所要研究的是各种复杂网络之间的共性和处理他们的普适方法
    研究内容:网络科学着眼于复杂网络的定量与定性特征的科学理解。
    (1)发现 (2)建模 (3)分析 (4)设计
    在这里插入图片描述
    网络系统的复杂性主要体现在:
    (1)结构复杂性
    (2)节点复杂性
    (3)结构与节点之间的相互影响
    (4)网络之间的相互影响(不同领域网络之间相互作用)

    第二章 网络与图

    1.图的引入

    图:用抽象的点和线表示各种实际网络。
    图的拓扑性质:主要与网络中结点个数哪些节点有边直接相连相关。
    好处:研究抽象的图,我们可以通过比较不同网络拓扑性质的异同点来建立网络拓扑性质的有效算法。

    2.图的类型

    (1)加权有向图 (加权和有向指的是
    (2)加权无向图
    (3)无权有向图
    (4)无权无向图

    3.简单图

    类型:没有重边和闭环的无权无向图
    假设边数为M,顶点数为N,则无向图中边数与顶点数的关系为:

    极端情形:
    (1)空图 (2)完全图
    假设边数为M,顶点数为N,则有向图中边数与顶点数的关系为:
    在这里插入图片描述

    4.图的计算机表示

    (1)邻接矩阵(稠密图)
    (2)邻接表(稀疏图)
    (3)三元组(加权有向图)

    5.共引与文献耦合

    共同点:都属于有向网络到无向网络的对偶方法
    (1)共引:有向网络中节点i和j的共引数(Cij)定义为同时有出边指向节点i和节点j的节点数
    在这里插入图片描述特殊情况:Cii表示节点i的入度
    转换到无向网络:基于共引矩阵,一个有向网络对应的无向网络定义为:如果Cij>0,那么节点i和j之间就有一个边。
    (2)文献耦合:有向网络中节点i和j的文献耦合(Cij)定义为两个节点同时指向其他节点的数量
    在这里插入图片描述
    结论:共引程度反映的是两篇文章同时被多少篇其他文章引用;文献耦合程度反映的是两篇文章引用了多少篇相同的参考文献。

    6.路径与连通性

    简单路径:各个顶点都互不相同的路径是简单的。
    判断网络是否连通
    (1)当且仅当I+A+A2+…+AN-1是正矩阵,即所有元素都是正的。
    (2)当且仅当邻接矩阵是不可约的。

    7.Menger定理(门杰定理)

    点形式:所需去除的顶点的最少数目等于连接两个顶点的独立的简单路径的最大数目。->点割集
    边形式:所需去除的边的最少数目等于连接两个顶点不相交的简单路径的最大数目。 ->边割集

    8.最小生成树

    Prim算法:适合计算边稠密的网络的最小生成树。
    Kruskal算法:适合计算边稀疏的网络的最小生成树。

    9.二分图

    定义:图中的每条边的两个节点分别属于顶点集的两个子集中。
    在这里插入图片描述
    二分图的匹配:设G=(X,E,Y)为二分图,F为边集E的一个子集。如果F中任意两条边都没有公共端点,就称F为图G的一个匹配。

    第三章 网络基本拓扑性质

    1.网络稠密性与稀疏性

    网络的密度ρ在这里插入图片描述
    注:M表示网络中的实际边数,分母表示具有N个节点的网络中可能存在的最大边数。
    网络稠密:当N趋于无穷时,ρ为非零常数,表示网络是稠密的;
    网络稀疏:当N趋于无穷时,ρ为0,表示网络是稀疏的。

    2.平均路径长度与直径

    节点i与j之间的距离:连接这两个节点的最短路径上的边的数目。
    在无向无权图中:
    平均路径长度:任意两个节点之间的距离的平均值。
    注意:一个含有N个节点和M条边的网络的平均路径长度可以用时间量级为O(MN)的广度优先搜索算法来确定。
    直径:网络中任意两个节点之间的距离最大值称为网络的直径。

    3.聚类系数(Clustering Coefficient)

    (1)无向无权图情形
    定义:表示一个节点的邻居之间有边的个数与所有邻居之间都有边个数的比值。
    在这里插入图片描述
    注:其中Ei表示节点的邻居实际存在边的个数,若一个节点有0个或1个邻居节点,那么聚类系数Ci=0。
    三元组定义:
    在这里插入图片描述
    一个网络的聚类系数:网络中所有节点聚类系数的平均值。
    (2)有向有权图情形
    在这里插入图片描述

    4.度分布与幂律分布

    度分布定义:指网络中一个随机选择的节点度为k的概率。
    均匀网络:正态分布、泊松分布
    长尾分布:幂律分布
    幂律分布公式:
    在这里插入图片描述
    其中γ为幂指数,一般取2-3.
    :幂律网络和无标度网络不能说它们是等价的,一般只有幂指数较小的幂律网络才能说是无标度网络。

    第四章 度相关性与社团结构

    1.度相关性

    定义:又称为网络的二阶度分布特性。
    平均度:K = 2M/N
    度分布:P(k) = n(k) / N,其中n(k)表示度为k的节点个数,即如果随机选择一个节点i,那么节点的度为k的概率为P(k)。

    2.联合概率分布

    定义:联合概率P(j,k)定义为网络中随机选取的一条边的两个端点的度分别为j和k的概率,即为网络中度为j的节点和度为k的节点之间存在的边数占网络总边数的比例。
    公式
    在这里插入图片描述
    性质
    (1)对称性 (2)归一化 (3)余度分布

    第五章 节点重要性与相似性

    1.无向网络节点重要性指标

    (1)度中心性(Degree Centrality,DC)
    定义:一个节点的度越大,意味着该节点在网络中越重要。
    公式:度中心值(DC)
    在这里插入图片描述
    (2)介数中心性(Betweenness Centrality,BC)
    定义:表示经过该边或该点的最短路径的数量。
    公式:边介数/点介数(BC)
    在这里插入图片描述
    (3)接近中心性(Closeness Centrality,CC)
    定义:若一个点到其他所有点的平均距离为d,则接近中心性为1/d(d的倒数)。
    公式:接近数(CC)
    在这里插入图片描述
    (4)k壳与k核
    k壳分解:按度数递增k从0开始,依次去除掉图中度为k的节点,最后剩下的节点即为最重要的节点。
    优点:k壳分解相比度中心性的优点在于,可以排除一些度很大但并不是最重要的节点。
    在这里插入图片描述
    (5)特征向量中心性(Eigenvector centrality,EC)
    基本思想:一个节点的重要性既取决于其邻居节点的数量,也取决于其邻居节点的重要性
    公式:特征向量中心性
    在这里插入图片描述

    2.HITS算法

    基本思想:每个网页的重要性有两个刻画指标——权威性枢纽性。其中一个网页的权威值由指向这个网页的所有页面的枢纽值确定,而一个网页的枢纽值由该网页指向的所有页面的权威值决定。
    枢纽值 ——> 权威值
    快速理解:举一个例子,一篇具有创新性的文章被很多人引用,那么这篇文章可以说具有权威性;一篇综述概况总结很多高权威的论点,那么这篇综述可以说具有枢纽性。

    3.PageRank算法

    基本思想:WWW上一个页面的重要性取决于指向它的其他页面的数量和质量,根据网页PR值的大小确定页面的重要程度。
    计算公式:
    在这里插入图片描述
    ​其中,Bu是所有链接到网页u的网页集合,网页v是属于集合Bu的一个网页,L(v)则是网页v的对外链接数(即出度).
    步骤
    (1)给每个网页一个PR值。
    (2)通过(投票)算法不断迭代,直至达到平稳分布为止。
    补充:网络中PR值的总和为1。

    4.链路预测

    (1)链路预测
    定义:它是指如何通过已知的各种信息预测给定网络中尚不存在连边的两个节点之间产生连接的可能性。
    基本假设:如果两个节点的相似性越大,那么两个节点之间有链接的可能性越大。
    应用:朋友推荐
    (2)衡量指标

    • AUC:测试集中的边的分数值比随机选择的一个不存在的边的分数值高的概率。
      在这里插入图片描述
    • Precision:只考虑排在前L位的边是否预测准确,即前L个预测边中预测准确的比例。
      在这里插入图片描述

    5.节点相似性指标

    (1)基于局部信息的相似性指标
    典型代表:共同邻居(CN)
    (2)基于全局信息的相似性指标
    典型代表:局部路径指标(LP)——在共同邻居的基础上,考虑了三阶邻居的影响。
    (3)基于随机游走的相似性指标

    第六章 随机网络模型

    1.全局耦合网络

    定义:如果一个网络中的任意两个节点之间都有边直接相连,那么就称该网络为一个全局耦合网络。
    局限性:大型实际网络都是稀疏的,边数目最多有O(n)。
    聚类系数:1

    2.最近邻耦合网络

    定义:如果在一个网络中,每一个节点只和它周围的邻居节点相连,那么就称该网络为最近邻耦合网络。
    特征:网络的拓扑结构是由节点之间的相对位置决定的,随着节点位置的变化网络拓扑结构可能发生切换。
    特点:聚类系数较高,但平均路径长度较大。

    3.星形耦合网络

    定义:它有一个中心点,其余的N-1个点都只与这个中心点连接,而它们彼此之间不连接。
    聚类系数:0

    4.ER随机图模型

    (1)具有固定边数的ER随机图模型 G(N,M)
    定义:N个节点的图中,在任意两个节点之间添加M条边,其中选择的是两个不同的没有边连接的节点对。
    (2)具有固定连边概率的ER随机图模型 G(N,p)
    定义:把N个节点中任意两个不同的节点之间有一条边的概率固定为p,生成随机数r(0-1之间),若r<p,则在两个节点之间添加边。
    特点:具有较小的平均路径长度,但没有高聚类特性。

    第七章 小世界网络模型

    1.WS小世界模型

    构建方法:在规则网络中添加一些随机性(随机重连),通过调节重连概率p实现WS小世界模型的构建。
    在这里插入图片描述
    区分WS小世界网络模型与ER随机图模型:
    节点的度不同:在WS小世界模型中,每个节点的度至少为K/2,而ER随机图模型任意节点的度没有限制。
    在这里插入图片描述
    分析结论:当重连概率p较小时,网络的聚类系数较高和平均路径长度较小。

    2.NW小世界模型

    构建方法:通过用“随机化加边”代替“随机化重连”得到的模型,相当于在最近耦合网络中叠加一个一定边数的随机图,当p较小且N很大时,可近似等价于WS小世界网络模型。
    在这里插入图片描述

    第八章 无标度网络模型

    1.鲁棒性

    定义:对于给定的网络,如果在移走少量节点后网络中的绝大部分节点是连通的,那么就称该网络的连通性对节点故障具有鲁棒性。

    2.随机网络和无标度网络鲁棒性的比较

    (1)无标度网络
    无标度网络对随机节点故障具有较高的鲁棒性
    无标度网络对蓄意攻击具有高度的脆弱性
    原因: 无标度网络的网络度分布具有极端非均匀性,即绝大多数节点的度较小,只有一小部分节点的度较大。
    (2)随机网络
    随机网络对随机节点故障具有高度的脆弱性

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    本文主要针对数模美赛中复杂网络模型的相关知识进行了总结,此外,其余需要使用复杂网络的情况也可以参考本文

    目录

    分类

    均匀性分类

    关联性分类

    一些基础

    复杂网络上的传播机理与动力学分析

    免疫网络

    免疫模型

    免疫类型

    复杂网络的传播动力学

    复杂网络上的相继故障

    复杂网络中的搜索:(搜索需要的数据)

    复杂网络中的社团结构(可区分层次)

    分裂模型

    凝聚算法

    复杂网络中的同步

    无标度网络的完全同步

    局域世界演化网络模型的完全同步

    应用

    各因子与完全同步的关系

    改进复杂网络同步的方法

    相位同步

    复杂动态网络的控制

    应用

    描述节点间相互作用

    各种模型

    路网可达性

    节点重要性

    度中心性(degree)

    接近中心性(Closeness Centrality)

    中介中心性/中间中心性(Between Centrality)  

    特征向量中心性(Eigenvector Centrality)

    度的分布(常为幂律分布)

    复杂网络的性质分析

    衡量影响度

    排名算法汇总

    PageRank

    Hits Algorithm

    TrustRank


    分类

    均匀性分类

    均匀网络(如WS小世界模型) 度数分布较均匀

    非均匀网络(如BA无标度网络) 度数分布极度不均匀

    关联性分类

    无关联网络:任何一个节点的度与它的邻居节点的度是相互独立的

    关联网络:节点的度与它的邻居节点的度不是相互独立的


    一些基础

    1. WS、NW小世界模型:描述朋友关系
    2. BA无标度网络:描述持续的社会连接,如发表论文总会优先找已经写过论文的人。

    鲁棒性和脆弱性并存。有限支撑、无限支撑“赢者通吃”。

    1. 局域世界演化网络模型:优先连接不是整个网络而是局域,如找导师时想获取本校的学位只能找本校的导师,而不是外国知名导师。
    2. 等级网络:模块以某种迭代的方式生成一个等级网络。
    3. 超家族:自相似。
    4. 运用自相似性质来粗粒化。
    5. AS层面Internet拓扑:多层次连接
    6. 技术网络一般是异配的,而社会网络通常是同配的
    7. PFP模型:富人俱乐部,少量节点具有大量的边(富节点),它们倾向于彼此之间相互连接。
    8. DP模型:消费者-供应商关系或者对等关系,连接度低的为消费者,连接度较高的为供应商;消费者决定将要接到哪些供应商上,即由消费者来选择供应商。
    9. 多局域网模型:当一个新节点加入到一个区域网络时,它对其他局域网中的节点影响非常小,而它反过来主要受本区域网中的节点的影响。

    复杂网络上的传播机理与动力学分析

    免疫网络

    免疫模型

    1. SIR模型  易感染群众被感染,然后恢复健康并具有免疫性。(新闻传播等,知道某条新闻后对此事后不再感兴趣;娱乐信息传播与之对比,知道信息后部分人会变得更感兴趣,容易受感染)
    2. SIS模型  易感染群体被感染后,又返回到易染状态

    免疫类型

    1. 随机免疫
    2. 目标免疫:选取少量度最大的节点进行免疫
    3. 熟人免疫:从很多节点中随机选出一定比例的节点,再从每一个被选出的节点中随机选择一个邻居节点进行免疫

    复杂网络的传播动力学

    病毒、灾难、火灾、通信网络中的堵塞都可作为对象。

    1. 红色代码蠕虫的随机常数传播模型 假设:一是忽略了系统可能被打补丁、关闭或切断连接;二是认为易被攻击的目标数在这一模型中是常数;三是把Internet看作一个无向完全连接图。
    2. 电子邮件病毒的传播模型 对朋友寄来的邮件都予以(充分)信任,以一定概率打开邮件
    3. 谣言在复杂网络中的传播 可类似的用SIR模型来描述

    复杂网络上的相继故障

    1. 负荷—容量模型 由于某种原因某个节点的负荷超过其容量从而产生故障
    2. 二值影响模型 应用于随机网络相继故障分析
    3. 沙堆模型 随着沙堆的逐渐变大,它的坡面变陡,这时新添加的沙子引发沙崩的可能性也越来越大。
    4. OPA模型 由初始状态向自组织临界状态转化,各种小型故障的防护性工程反应,是导致电网状态向自组织临界状态发展的一个不可缺少的动因。对小型事故的防护和避免实际上是在为一次大规模相继故障作累积
      慢动态 负荷缓慢增长
      快动态 描述相继故障发生和传播,速度很快
    5. CASCADE模型 相继故障频率和故障规模的概率分布,其假设
      网络中具有很多类似的节点,并且各自具有随机的初始负荷及初始扰动
      某一结点过载后会失效并将一个固定大小的负荷传给其他节点

      复杂网络中的搜索:(搜索需要的数据)

    应用 社会网络中两个人之间的最短关系链寻找最短关系链寻找、WWW中网页的搜索和P2P网络结构及其搜索技术。

    1. 层次树结构网络模型 个体根据职业、地理位置、兴趣等聚集成一些比较小的群,这些群又根据它们共同的特性聚集成规模更大的群,这样一层一层向上聚集,最高的一层代表整个网络,从而产生一个树状的层次结构。如某大学研究生组成的网络,某实验中的个体属于实验室,然后又属于某个系,然后又都属于某个学院,最后都属于这个大学。
    2. 全局 广度优先搜索策略:可用来寻找任意两点之间的最短路径
    3. 局部 随机游走搜索策略:
    4. P2P网络中的搜索:在个人计算机之间直接进行资源和服务的共享,而不像传统的客户端/服务器结构那样需要经过服务器的介入和服务。
    5. Gnutella网络中的广播搜索:采用广度优先搜索。这样的搜索方法是十分高效的,用户可以在很短的时间内找到所需的目标文件。但是,这样的处理方式会在网络中产生大量查询数据流量,很容易形成网络流量堵塞。

    改进方法:1、迭代加深     2、有向广度优先搜索    4、K遍历器随机游走   

    1. 基于Gnutella网络中节点的度分布的改进搜索算法
    2. 同时研究复杂网络中的搜索和拥堵的模型

    复杂网络中的社团结构(可区分层次)

    分裂模型

    1. Kernighan-Lin算法:要求必须事先知道该网络的两个社团大小,否则,很可能不会得到正确的结果。这个缺陷使得它在实际网络分析中难以应用
    2. 谱平分法:最大的缺陷就是它每次只能将网络平分,如果要将一个网络分成两个以上的社团,就必须对子社团多次重复该算法。
    3. 线性时间的物理方法:不仅可以求出网络的社团结构,还可以在不考虑整个网络的社团结构的情况下,寻找一个已知节点所在的整个社团。
    4. 基于Normal矩阵的谱平分法:克服需要事先知道社团个数的缺陷,使对于社团结构不是十分明显的网络也能取得较好的效果。
    5. GN算法:GN算法弥补了一些传统算法的不足,近几年来已成为社团结构分析的一种标准算法。GN算法存在一个缺陷,即它对于网络的社团结构并没有一个量的定义。不能直接从网络拓扑结构判断它所求的社团是否是实际网络中的社团结构,从而需要一些附加的关于网络意义。在不知道社团数目的情况下,GN算法也不知道这种分解要进行到哪一步终止。
    6. 采用节点集的GN算法:和GN算法相比,显著地提高计算速度,但也降级了计算的准确度。
    7. 自包含GN算法:克服了GN算法的两个缺陷。与GN算法的效果相当,计算速度却有了较大的提高。
    8. 快速分裂算法:仅需要计算一些局部变量,因此大大减小了运算量。
    9. 基于相异性的算法:可将网络划分为一系列具有等级性的社团。其中,每一个社团都由一个相异性的上下阈值来表征,可表示出不同社团之间的差异程度。可以运用于无权网络和加权网络。
    10. 基于信息中心度的算法
    11. 极值优化算法:基本思想是通过调整局部极值来优化全局的变量,从而提高运算效率。

    凝聚算法

    1. Newman快速算法:相比GN算法,可以用于分析节点数高达100万的复杂网络。
    2. 堆结构的贪婪算法(CNM算法):复杂度低,已接近线性复杂度。
    3. 结合谱分析的凝聚算法:结合了谱分析和凝聚算法两者特点的算法。

    派系过滤算法:

    一个社团从某种意义上可以看成是一些互相连通的“小的全耦合网络”的集合,这些“全耦合网络”成为“派系”。


    复杂网络中的同步

    大量的看似巧合的同步行为可以用数学来给出解释,每个个体是一个动力学系统,而诸多的动力学个体之间存在着某种特定的耦合关系。

    Lyapunov指数

    类型1、2、3网络需要判断为哪一种网络

    假设网络是连通的,那么只要网络的耦合强度充分大,类型1网络就一定可以实现同步;

    而只有当耦合强度属于一定范围时的类型2网络才会同步,也就是说,太弱或太强的耦合强度都会使类型2网络无法实现同步。

    无标度网络的完全同步

    同步最优网络: 同步化性能要比BA无标度网络的同步化性能强,但由于存在极少量的‘hub’点,这样在恶意攻击下它要比BA无标度网络更容易奔溃

    同步优先网络:对于随机去除节点和恶意攻击都很鲁棒的同步优先网络模型。

    局域世界演化网络模型的完全同步

    一般来说,与无标度网络相比,局域世界演化网络能够在保持鲁棒性的同时,还能提高网络对恶意攻击的抗脆弱性。

    应用

    1. 规则网络:星形耦合网络
    2. 平均模型:网络中的每个节点都与其他节点相连,对于平均模型而言,耦合强度只需很小就能大幅降低同步阈值,从而提高网络的同步化性能。
    3. 闪烁小世界网络:前面的小世界模型都是长程边固定的模型,即随机选中一条长程边后,这条边就永远存在。此模型最初始最近邻耦合网络基础上,随机选中的长程边只会在一段时间内存在,而在下一段时间内,该长程边会消失,再重新选择一条长程边出现。更确切的说,在时间间隔内每条长程边都以概率连接。这与其他长程边是否连接无关,也与它本身在上一时间段内是否已经连接无关。
    4. 具有耦合时滞的连续时间网络完全同步判据: 复杂网络在传输和相应过程中常常会由于传播速度的物理限制和网络拥塞的存在而产生时滞现象
    5. 离散时间耦合网络完全同步依据

    各因子与完全同步的关系

    最近邻耦合网络在N趋近∞时不可能达到同步,但通过加入少量的长程边将网络的平均路径明显缩短,它的同步化能力便会有明显提高。

    对于小世界网络,当加边或重连概念不断变化时,会对应产生多个具有不同网络基本特性的小世界网络模型;随着概率的增加,网络变得更加非均匀,无论是新加入长程边(NW小世界)或是重新连接长程边(WS小世界),网络中度的最大值都会增加。

    对于无标度网络,当幂律指数不断变化时,也会得到多个不同的无标度网络模型;随着幂律指数的增大网络度分布变得比较均匀,因此网络的平均路径就会增加,同时平均度变小。

    单纯用度的大小、度分布或平均路径长度等指标都无法统一表征复杂网络的同步化能力。

    想要提高网络的同步化能力应该降低节点的最大介数。

    改进复杂网络同步的方法

    1. 无序扰动改进同步特性:通过小波变换来提高同步
    2. 通过时滞提高网络同步特性:在有明显时滞时,网络达到为稳定同步流形时所需要的耦合强度,要比无时滞网络达到同样的同步流形所需要的耦合强度小很多。
    3. 加权耦合提高网络同步特性:可用于耦合不对称,并且网络是有向、加权时参数对同步性能的影响。

    相位同步

    如果两个耦合节点的相位之间以一定的比率锁定,那么就称这两个节点达到相位同步。相位同步是一类同步化程度比较弱的同步现象,发生相位同步时,各节点的相位可能已经锁定,但幅值却会完全不同


    复杂动态网络的控制

    牵制控制利用无标度网络结构的非均匀行,有针对地对网络中的少数关键节点施加反馈控制,由此牵一发而动全身,从而能够将规模庞大的复杂动态网络稳定到平衡点,获得很高的控制效率。

    规则网络时空混沌的牵制控制

    可将时空混沌控制到周期轨道和非混沌状态,可控制达到混沌状态或强混沌状态。

    应用

    社团检测:潜在客户挖掘、关联群体风险分析等;

    网络中心性分析:网页排名(PageRank),供应链核心企业识别,信息传播枢纽节点识别等;(PageRank无法解决悬空节点问题)

    网络传播预测:流行病传播,金融风险传播,舆论传播;

    网络关系渗透:节点之间的关系(三度影响);

    关联交易分析及投融资黑洞:虚假交易,担保圈分析等。


    描述节点间相互作用

    各种模型

    1. 微分方程模型
    2. 神经网络
    3. 离散动力系统
    4. 线性时变系统,信号与系统

    这些模型都具有预测能力

    也可以用显式的网络结构来确定网络的局部和全局性质,或者忽略任何一种网络结构,用经典的数据挖掘和元素聚类来标识属性。

    路网可达性

    路网可达性是城市小区或路网节点相互之间居民出行或车辆行驶平均时间的倒数。表示交通难易程度的一项技术指标,计算值愈大,则可达性愈好。1959年,汉森首次提出了交通可达性的概念,这被定义为接受道路网络中节点之间相互作用的机会。


    节点重要性

    Freeman’s research[1979] 详见2014C—25318 P6

    度中心性(degree)

    度中心性(Degree Centrality)是在网络分析中刻画节点中心性(Centrality)的最直接度量指标。网络中与该节点直接相连的节点个数,一个节点的节点度越大就意味着这个节点的度中心性越高,该节点在网络中就越重要。

    接近中心性(Closeness Centrality)

    反映在网络中某一节点与其他节点之间的接近程度。某点到网络中其他点的距离总和。将一个节点到所有其他节点的最短路径距离的累加起来的倒数表示接近性中心性。即对于一个节点,它距离其他节点越近,那么它的接近性中心性越大

    中介中心性/中间中心性(Between Centrality)  

    主要描述某个节点在整个网络中的中心程度,说明整个网络的集中程度,即整个网络围绕某一结点或一组节点来运行的程度。以经过某个节点的最短路径数目来刻画节点重要性的指标。中介中心性指的是一个结点担任其它两个结点之间最短路的桥梁的次数。一个结点充当“中介”的次数越高,它的中介中心度就越大。如果要考虑标准化的问题,可以用一个结点承担最短路桥梁的次数除以所有的路径数量

    特征向量中心性(Eigenvector Centrality)

    一个节点的重要性既取决于其邻居节点的数量(即该节点的度),也取决于其邻居节点的重要性。

    用中心度的时候最好都把这几种中心度进行说明,然后说明我们为什么选择这一种中心度

    选择中心度的时候都说明了这几者的对比,表明了选择某一项的理由

    信息流网络考虑重要性时需考虑度数大的点,“桥”的作用的点,非流网络考虑度数大的点


    度的分布(常为幂律分布)

    Newman提出的模块度具有两方面的意义:

    1. 模块度的提出成为了社区检测评价一种常用指标,它是度量网络社区划分优劣的量化指标;
    2. 模块度的提出极大地促进了各种优化算法应用于社区检测领域的发展。在模块度的基础之上,许多优化算法以模块度为优化的目标方程进行优化,从而使得目标函数达到最大时得到不错的社区划分结果。

    当然,模块度的概念不是绝对合理的,它也有弊端,比如分辨率限制问题等,后期国内学者在模块度的基础上提出了模块度密度的概念,可以很好的解决模块度的弊端,这里就不详细介绍了。

      常用的社区检测方法主要有如下几种:

    1. 基于图分割的方法,如Kernighan-Lin算法,谱平分法等;
    2. 基于层次聚类的方法,如GN算法、Newman快速算法等;
    3. 基于模块度优化的方法,如贪婪算法、模拟退火算法、Memetic算法、PSO算法、进化多目标优化算法等。

    复杂网络的性质分析

    “小世界”网络在信息传递和处理的过程中具有相对高的局部效率和全局效率; 而无标度网络中节点的重要性具有极端的两极分化, 表明网络中存在超级重要的核心节点, 这些核心节点在维持整个网络的完整性和连通性中发挥着不可估量的作用。 这两大重要发现引发了复杂网络研究的热潮。 越来越多的研究表明来自不同领域的网络, 包括社会网络、经济网络、生物网络等都具有“小世界”性和无标度性。 这使得人们认识到, 真实网络既不同于规则网络, 也不同于随机网络, 而是介于规则网络和随机网络之间, 具有与两者不同的统计特征的复杂网络。

    实际上小世界和 random network 的度分布相似,点与点之间的连接是随机的,所以都是钟形正态分布,但是小世界的点点之间路径最短。

    无标度网络有巨集团和剩余度的涌现,也就是说巨集团基本代表网络的连接密度,少数的点有大量的连线,大多数点有少量或没有连线。无标度的度分布也引发了相关的对自组织临界和熵厥的讨论,是当今研究主要课题。

    分析完是否是小世界/无标度之后,写出其性质。还有一些基本性质,比如有向无向,有权无权,有环无环


    ​​​​

    衡量影响度

    1. 行为对网络的影响分为两类:自己对自己的影响和自己对别人的影响
    2. 影响分为广度和深度(2014C--25318),广度用度中心度来反映,深度用特征向量中心度来度量,这两个加上中介中心度可以反映对整张复杂网络的影响PageRank或者Hits Algorithm, 然而,它们都涉及矩阵乘法和重复迭代过程,这是不太有效的。 由于网络满足有向无环图(DAG)的特性,我们借鉴拓扑排序的思想来设计更有效的算法。 在该引文网络中,存在共同作者网络中不存在的传递关系。(2014C--27688
    3. 影响的传递可以与食物链中的能量转移进行类比,还可以找到模型的推广(2014C--27688

    排名算法汇总

    GOOGLE PageRank最为广泛使用

    Hilltop 算法

    ExpertRank

    HITS

    TrustRank

    PageRank

    可计算,特征向量中心性(Eigenvector Centrality):一个节点的重要性既取决于其邻居节点的数量(即该节点的度),也取决于其邻居节点的重要性。

    PageRank无法解决出度为零的节点(悬空节点)的问题

    传统的PageRank只适用于点有权值的图。对于加权边的图,可以根据边的权值制定一套规则转化为点的权值进行修正,然后PageRank可以适用于(可以参考2014C--25318

    Hits Algorithm

    HITS算法通过两个评价权值——内容权威度(Authority)和链接权威度(Hub)来对网页质量进行评估。其基本思想是利用页面之间的引用链来挖掘隐含在其中的有用信息(如权威性),具有计算简单且效率高的特点。HITS算法认为对每一个网页应该将其内容权威度和链接权威度分开来考虑,在对网页内容权威度做出评价的基础上再对页面的链接权威度进行评价,然后给出该页面的综合评价。内容权威度与网页自身直接提供内容信息的质量相关,被越多网页所引用的网页,其内容权威度越高;链接权威度与网页提供的超链接页面的质量相关,引用越多高质量页面的网页,其链接权威度越高。

    HITS算法也有其明显的不足。首先是权威性的确定因为权威页面必须针对某一主题或关键词而言。例如某一页面对一确定主题具有较大权威性,但这并不意味在其他与其无关的主题方面同样具有权威性。其次是非正常目的的引用。

    TrustRank

    以前依靠链接和相关性来决定排名的方式,已遭到了各种各样作弊行为的挑衅,Spam的横行,直接导致了Google必须找到一种新的反作弊机制,以确保高质量的站点来获得搜索引擎的青睐。这种情况下SandboxTrustRank被提了出来。意图确保好的站点能获得更高的搜索表现,并加强对站点的审核。Google自己关于TrustRank的最初论述也提到了这些。

    1. 域名注册时间在五年或五年以上;
    2. 网站托管在专用服务器上;
    3. 网站加载时间快;
    4. 网站内容是原创的;
    5. 访客在每个网页的停留时间超过90秒;
    6. 网站被多个国际IP段引用;
    7. 网站在其所属行业中拥有权威性。

    这些都是商业网站和博客所应有的素质,而不是那些利用垃圾内容和虚假入站链接赚些快钱的网站所具备的

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  • MATLAB复杂网络工具箱使用手册 MATLAB复杂网络工具箱使用手册 MATLAB复杂网络工具箱使用手册
  • 复杂网络基础概念总结

    万次阅读 2021-10-05 18:50:32
    前言:最近刚定下的课题,现在主要学习网络基础概念的知识,凡是学习总是得做下总结笔记才能比较清楚。也分享给大家一起学习吧,如有错误可以提出私信我或者评论。 社会网络通常显示出较强的社区效应,网络中的节点...

    前言:最近刚定下的课题,现在主要学习网络基础概念的知识,凡是学习总是得做下总结笔记才能比较清楚。也分享给大家一起学习吧,如有错误可以提出私信我或者评论。


    社会网络通常显示出较强的社区效应,网络中的节点趋于形成紧密联系的群组。

    社区定义:社区结构是网络顶点的组。 在这些组内有密集的内部联系,但在组之间有较少的边缘。

    社区特征:社团内部连接紧密,社团之间连接相对稀疏。

    社区发现/社区检测/社团检测定义:将网络节点按照其内在的拓扑结构连接紧密程度划分成若干子图的过程。

    社区结构划分的意义:社区往往代表了复杂网络中具有相同或者相似功能的元素的集合,这些元素相互协作或者相互作用,共同完成整个系统中某些相对独立的功能或者组成相对独立的组织结构。提取网络中的社区结构有助于我们理解网络的拓扑结构特性、揭示复杂网络系统内在的功能特性、理解社区内个体之间的关系及演化趋势。

    均匀网络

    泊松分布和幂律分布对应于均匀网络和非均匀网络。

    服从泊松分布的网络叫均匀网络,均匀网络和非均匀网络(无标度网络)是一个对比。

    BA 无标度网络

    1999 年 Barabási 和 Albert 提出了无标度网络模型(简称 BA 模型)。无标度网络的重要特征为: 无标度网络的节点度分布服从幂律分布

    近年在复杂网络研究上的另一重大发现就是许多复杂网络,包 Internet WWW 以及新陈代谢网络等的连接度分布函数具有幂律形式。由于这类网 络的节点的连接度没有明显的特征长度,故称为无标度网络

    ①增长 (growth) 特性 即网络的规模是不断扩大的。例如每个月都会有大量的新 的科研文章发表,而 WWW 上则每天都有大量新的网页产生。

    ②优先连接 (preferential attachment) 特性 即新的节点更倾向于与那些具有较高 连接度的"大"节点相连接。这种现象也称为"富者更富 (rich get richer)" 或"马太效应 (Matthew effect)" 。

    BA 无标度模型构造算法

    ①增长 从一个具有 mo 个节点的网络开始,每次引入一个新的节点,并且连到个已存在的节点上,这里 m<:mo

    ②优先连接:一个新节点与一个已经存在的节点 相连接的概率

    与节点 i的度ki、节点j的度kj之间满足如下关系:

     

    特征长度

    幕律分布

    幂律分布是指某个具有分布性质的变量,且其分布密度函数是幂函数(由于分布密度函数必然满足“归一律”,所以这里的幂函数,一般规定小于负1)的分布。

    幂律分布表现为一条斜率为幂指数的负数的直线,这一线性关系是判断给定的实例中随机变量是否满足幂律的依据。

    幂律分布也称为无标度 (scale- free) 分布,具有幂律度分布的网络也称为无标度网络,这是由于幂律分布函数具有如下无标度性质。即系统中个体的尺度相差悬殊,缺乏一个优选的规模。

    当样本数据较多时,变量x的概率密度函数:f(x)~x^(-α-1)。

    模块性

    系统的模块化程度。系统中的模块内聚程度越高,模块之间耦合度越低,系统的模块性越好。

    模块度(modularity)

    是常用的社团划分质量评价指标,基本想法是把社团划分后的网络与相应的零模型进行比较,度量社团划分的质量。

    零模型:与原网络具有相同节点数目、相同连边数目、相同度序列的随机网络。

    *互信息NMI(Normalized Mutual Information )

    互信息的概念大家都不陌生,它基于香农熵,衡量了两个随机变量间的依赖程度。而不同于普通的相似性度量方法,互信息可以捕捉到变量间非线性的统计相关性,因而可以认为其能度量真实的依赖性。

    模体

    模体是网络的基本拓扑结构之一, 它的大小介于网络个体和社团之间, 一般由少数几个节点连接构成, 模体也揭示了网络的演化规律, 它是社团内部成员之间基本的连接模式

    超家族

    从共同祖先进化而来、但相似性较少的一组(基因)或(蛋白质)。

    自相似性

    如果一个物体自我相似(Self-similarity),表示它和它本身的一部分完全或是几乎相似。

    自相似包含两种,一种是部分和整体严格的相似,另一种指的是统计上的相似,比如海岸线。

    层次性

    (实际双向连接的边的数量)/(可能双向连接的边的数量,即C(n,2))

    我们假想在一个企业的命令传达网络中,如果命令都是从上到下单向传递的,那么我们认为整个的网络很有层次,所以双向连接的数量就很少,层次度就更加接近于1。反之,如果一个企业中,A可以向B传达命令,同时B也可以对A下达命令,那么这个组织就不是那么的有层次性。

    结构冗余性

    模块化

    网络进化

    鲁棒性

    鲁棒是Robust的音译,也就是健壮和强壮的意思。它也是在异常和危险情况下系统生存的能力。

    在复杂网络中,如果在移走少量节点后网络中的 绝大部分节点仍是连通的,那么就称该网络的连通性对节点故障具有鲁棒性。

    脆弱性

    存在致命缺点

    同配性(assortatvity)与异配性(disassortatvity):

    在不改变节点度分布的情况下,可以使度大的节点倾向于和其它度大的节点连接。网络中的这个重要的结构特性,称之为节点之间的相关性(Correlation)。如果网络中的节点趋于和它近似的节点相连,就称该网络是同配的(Assortative);反之,就称该网络是异配的(Disassortative)。

    网络同配性(或异配性)的程度可用同配系数(也称Pearson Coefficient----皮尔森系数)r来刻画。r>0表示整个网络呈现同配性结构,度大的节点倾向于和度大的节点相连;r<0表示整个网络呈现异配性;r=0表示网络结构不存在相关性

    核数

    一个节点的核数,就是网络在进行k核分解(k-core decomposition)是的k-shell指数。对于一个网络,0核是原图;1核就是去掉所有孤立点的图;2核就是先去掉所有度小于2的点,然后再剩下的图中再去掉度小于2的点,依次类推,直到不能去掉为止;一个节点的核数定义为这个节点所在的最大核的阶数——比如一个节点最多在5核而不在6核中,就说这个节点的核数=5。

    介数

    介数通常分为边介数和节点介数两种.

    节点介数:为网络中所有最短路径中经过该节点路径的数目占最短路径总数比例.

    边介数:为网络中所有最短路径中经过该边的路径的数目占最短路径总数的比例.

    介数反映了相应的节点或者边在整个网络中的作用和影响力,是一个重要的全局几何量,具有很强的现实意义。

    最短路径

    连接两个节点最少边数的路径

    平均路径长度

    网络中任意两个节点之间路径长度的平均值,

    度分布

    度分布指的是对一个图(网络)中顶点(节点)度数的总体描述。对于随机图,度分布指的是图中顶点度数的概率分布

    集聚系数

    集聚系数(也称群聚系数、集群系数)是用来描述一个图中的顶点之间集结成团的程度的系数。具体来说,是一个点的邻接点之间相互连接的程度。例如生活社交网络中,你的朋友之间相互认识的程度。

    公式一节点的边数Ei比上全部可能的边数

    全局耦合网络 (globally coupled network) 中,任意两个点之间都有边直接相

    连(图 2-1 (a 门。因此,在具有相同节点数的所有的网络中,全局藕合网络具有最小的平均

    路径长度 gc =l 和最大的聚类系数 =1 。

    最近邻藕合网络( nearest-neighbor  coupled network)

    其中每一个节点只和它周围的邻居节点相连。真有周期边界条件的

    最近邻藕合网络包含 个围成一个环的点,其中每个节点都与它左右各 K/2 个邻居点

    相连,这里 是一个偶数(罔 2- l( b)) 。

    星形藕合网络(star coupled network) ,它有一个中心点,

    其余的 N-1 个点都只与这个中心点连接,而它们彼此之间不连接(图 2- l( c)) 。

    WS小世界模型构造算法

    作为从完全规则网络向完全随机图的过渡,Watts Strogtz 1998 年引人了一个有趣 的小世界网络模型,称为 WS 小世界模型。 WS 小世界模型的构造算法如下:

    ①从规则图开始:考虑一个含有 N 个点的最近邻耦合网络,它们围成一个环,其中每个节点都与它左右相邻的各 K/2 节点相连 ,K是偶数。

    随机化重连:以概率 P 随机地重新连接网络中的每个边,即,将边的一个端点保持不变,而另一个端点取为网络中随机选择的一个节点。其中规定,任意两个不同的节点之间至多只能有一条边,并且每一个节点都不能有边与自身相连。

    NW 小世界模型构造算法

    WS 小世界模型构造算法中的随机化过程有可能破坏网络的连通性。另一个研究较 多的小世界模型是由 Newman Watts 稍后提出的,称为 NW 小世界模型。

    该模型是通过用"随机化加边"取代 WS 小世界模型构造中的"随机化重连"而得到的 。具体构造算法如下:

    ①从规则图开始:考虑一个含有 N 个点的最近邻耦合网络,它们围成一个环,其中每个节点都与它左右相邻的各 K/2 节点相连 ,K是偶数。

    随机化加边:以概率 P 在随机选取的一对节点之间加上一条边 其中,任意两个不同的节点之间至多只能有一条边,并且每一个节点都不能有边与自身相连。

    适应度模型构造算法

    ①增长:从一个具有 m0 个节点的网络开始每次引入一个新的节点并且连到 m 个已存在的节点上,这里 m≤m0 每个节点的适应度按概率分布 ρ(η) 选取。

    ②优先连接:一个新节点与一个已经存在的节点 i 相连接的概率且∏,与节点 i 的度k 、节点 j 的度 kj 和适应度 ηi 之间满足如下关系

    富人俱乐部 (rich-club)

    Internet 中少量的节点具有大量的边,这些节点也称为"富节点 (rich nodes)"; 它们

    倾向于彼此之间相互连接(图 3-11) ,构成"富人俱乐部 (rich-club)"。


    待续……

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    千次阅读 2018-11-26 22:02:20
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空空如也

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复杂网络

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