IIR滤波器定义

IIR(infinite impulse response)滤波器，无限冲击响应滤波器,IIR滤波器定义如下，
$$\sum _{l=0}^{N}a(l)y(n-l)=\sum _{k=0}^{M}b(k)x(n-k)$$
令$a(0)=1$,$a(l),l=1,2,...N$取反后得，
$$y(n)=\sum _{k=0}^{M}b(k)x(n-k)+\sum _{l=1}^{N}a(l)y(n-l)$$

滤波器结构图

直接I型滤波器

用个例子来说明，令$N=M=3$，
$$y(n)=\sum _{l=1}^{3}a(l)y(n-l)+\sum _{k=0}^{3}b(k)x(n-k)$$
直接I型结构图，

用滤波器的系统函数表示为，
$$y(h)=h(n)\ast x(n)$$

同时做$z$变换后，系统函数为，
$$H(z)=\frac{{\sum }_{k=0}^{M}b(k)z^{-k}}{1-{\sum }_{l=1}^{N}a(l)z^{-l}}=\frac{B(z)}{A(z)}$$
从结构图中可以看出，在程序实现时，需要$2(N-1)$个缓存。

直接II型滤波器

可以看出$B(z)$对应的就是直接I型结构图中的蓝色区域，$A(z)$对应的就是粉色区域，从系统函数出发，调换其中$B(z)$和$A(z)$的顺序，
$$H(z)=B(z)\frac{1}{A(z)}=\frac{1}{A(z)}B(z)$$
调换顺序后的结构图可以看到中间一部分共有操作可以合并，合并后的结构图为直接II型结构图。

从直接II型结构图中可以看出，在程序实现时，只要$(N-1)$个缓存，比直接I型减少了(N-1)个缓存。

程序仿真

直接I型结构一阶IIR

load('HighPass50HzFs16k.mat')
fs = 16000;
data = rand(fs,1);
data_out1 = zeros(size(data));
data_out2 = zeros(size(data));
b0 = SOS(1);
b1 = SOS(2);
b2 = SOS(3);
a1 = SOS(5);
a2 = SOS(6);
x1=0; x2=0; y1=0; y2=0;
[bb,aa] = sos2tf(SOS,G);
data_out0 = filter(bb,aa,data);
for i = 1:length(data)
    x0 = data(i);
    y0 = (x0 * b0 + x1 * b1 + x2 * b2) * G(1) ...
          - y1 * a1 - y2 * a2;
    data_out1(i) = y0;
    x2 = x1;
    x1 = x0;
    y2 = y1;
    y1 = y0;
end

直接II型结构一阶IIR

s1 = 0; s2 = 0;
for i = 1:length(data)
    s0 = data(i) - a1 * s1 - a2 *s2;
    y0 = (s0 * b0 + s1 * b1 + s2 * b2) * G(1);
    data_out2(i) = y0;
    s2 = s1;
    s1 = s0;
end

代码链接
https://github.com/myuzhao/SpeechEnhance/blob/main/iir/iir.m

参考

胡广书. 数字信号处理: 理论, 算法与实现[M]. 清华大学出版社有限公司, 2005.
http://ece.uccs.edu/~mwickert/ece2610/lecture_notes/ece2610_chap8.pdf