低通滤波

1.硬件低通滤波

公式推导
一阶RC滤波器的硬件电路如图：

图中输入电压是Vi，电阻R，电容C，输出电压为Vo。

假设电路的输出阻抗很大（即不带任何负载），输入阻抗很小（理想情况）。可以得到以下公式：

电容的阻抗是:

而

那么截止频率为：

此频率下的信号，通过这个电路，输出电压和输入电压的关系式是

或者时域上的表达式：

上式离散后，可以得到：

假如要过滤掉10KHz以上的频率，可以选择fcut = 1K，并计算RC的值，代入上式。

2.软件低通滤波

• 软件实现1

/**
  * @brief  implement 1 order RC low pass filter
  *         raw data filtered by a simple RC low pass filter@cufoff=5Hz
  * @param  Vi 		: 	Vi(k)
  * @param  Vi_p 	: 	Vi(k-1)
  * @param  Vo 		: 	Vo(k)
  * @param  Vo_p 	: 	Vo(k-1)
  * @note   This example shows a simple way to report end of conversion
  *         and get conversion result. You can add your own implementation.
  * @retval None
  */
void Filter_RC_LPF(float *Vi, float *Vo, float *Vo_p, float sampleFrq )
{
	float CutFrq, RC, Cof1, Cof2;
		
	//low pass filter @cutoff frequency = 5 Hz		
	CutFrq = 5;
	RC = (float)1.0/2.0/PI/CutFrq;
	Cof1 = 1/(1+RC*sampleFrq);
	Cof2 = RC*sampleFrq/(1+RC*sampleFrq);
	*Vo = Cof1 * (*Vi) + Cof2 * (*Vo_p);		
	
	//update 	
	*Vo_p = *Vo;		
}

• 软件实现2

//*********** Structure Definition ********//
typedef struct {
	float  Vi;
	float  Vo_prev;
	float  Vo;
	float  Fcutoff;
	float  Fs;
} LPF_RC_T;
//*********** Structure Init Function ****//
void filter_RC_LPF_init(LPF_RC_T*v)
{
	v->Vi=0;
	v->Vo_prev=0;
	v->Vo=0;
 
	//low pass filter @cutoff frequency = 5 Hz		
	v->Fcutoff=5;
 
	// execute 1000 every second
	v->Fs=1000;
}
 
//*********** Function Definition ********//
float filter_RC_LPF(LPF_RC_T*v)
{
	float RC, Cof1, Cof2;
		
	RC = (float)1.0/2.0/PI/v->Fcutoff;
	Cof1 = 1/(1+RC*v->Fs);
	Cof2 = RC*v->Fs/(1+RC*v->Fs);
 
	v->Vo = Cof1 * v->Vi + Cof2 * v->Vo_prev;
 
	v->Vo_prev = v->Vo;
	
	return v->Vo;
}
 

本例程展示了信号处理中低通滤波的作用，首先生成一个高斯白噪声，然后对其进行低通滤波。低通滤波器的截止频率和Q值可以自己设定，得到低通滤波器的传输函数后，在经过双线性变换法得到其单位脉冲响应。滤波后对原始信号的频谱和滤波后的信号的频谱进行了对比。

%% 低通滤波器演示程序
%% 生成白噪声信号
clc;clear all; close all;
N = 1000; %采样点数
fs = N;   %采样频率
fre_base = -N/2:N/2-1;
a = randn(N,1); %生成符合高斯分布的随机噪声
F = fftshift((fft(a)))*2/N;  %对其进行快速傅里叶变换
%% 生成低通滤波器
cut_off_freq = 50;          
Q = 0.625;                   
plot_enable_L = 1;            
[Hs, H_z] = produce_LPF(cut_off_freq, Q, fs, plot_enable_L);  
%% 进行低通滤波
filterd_signal = filter(H_z.num{:}, H_z.den{:}, a);    
filter_sig_f = fftshift(fft(filterd_signal))*2/N;
%% 绘图
figure;
subplot(2,1,1); %绘制子图
plot(fre_base,abs(F)); %绘制频率图
xlabel('Hz');
title('原始信号频谱图');
subplot(2,1,2); %绘制子图
plot(fre_base,abs(filter_sig_f)); %绘制频率图
xlabel('Hz');
title('低通滤波后信号频谱图');

产生低通滤波器的子函数代码如下:

function [Hs, H_z] = produce_LPF(cut_off_freq, Q, fs, plot_enable_L)
%% 构造低通滤波器
	w0 = 2*pi*cut_off_freq;					% 滤波器截止频率对应的角频率
	A=1; B=w0/Q; C=w0^2;                    % 传递函数构造因子
	numerator = C;                          % 传递函数的分子的矩阵表示
	denominator = [A B C];                  % 传递函数的分母的矩阵表示
	disp('二阶低通滤波器的传递函数');
	Hs = tf(numerator, denominator)         % 构造模拟低通滤波器传递函数

	H_z = c2d(Hs, 1/fs, 'tustin');          % 将滤波器的脉冲响应用双线性变换法离散化
    
%% 绘制图形     
    if plot_enable_L == 1
        %%计算坐标，画模拟滤波器的频率特性
        w = logspace(1,6);                        % 产生10^1到10^4次的对数坐标
        hs = freqs(numerator,denominator,w);      % 滤波器的幅频、相频特性曲线

        mag = abs(hs);          % 取幅值 
        phase = angle(hs);      % 取相角
        f = w/(2*pi);                           % 将横坐标的单位由rad变为Hz   
        phase = phase*180/pi;                   % 将纵坐标的单位变为度。

        figure; semilogx(f, mag); grid on    
        xlabel('频率（Hz）'); ylabel('增益'); title('滤波器的幅频特性曲线');
    
        figure; semilogx(f, phase); grid on; 
        xlabel('频率（Hz）'); ylabel('相位（°）'); title('滤波器的相频特性曲线');

        figure; impulse(Hs); grid on                    
        xlabel('时间'); ylabel('幅度'); title('模拟滤波器脉冲响应');
    
        figure; impz(H_z.num{:}, H_z.den{:}); grid on;     %画双线性变换后的数字滤波器的脉冲响应 
        xlabel('点数'); ylabel('幅度'); title('数字滤波器脉冲响应');
    end
    
end