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  • 为解决人脸表情识别任务中存在的类内表情差异性大、类间表情相似度高的问题,基于传统的Softmax损失函数和Island损失函数,提出一种新的基于余弦距离损失函数来指导深度卷积神经网络的学习。该方法不仅可以减小特征...
  • 余弦距离 计算两个数组之间的。 根据分隔两个向量的角度来定义向量相似度。 计算出的相似度位于区间[-1,1] ,其中具有相同方向的向量的相似度等于1 ,正交方向的相似度等于0 ,相反方向的相似度等于-1 。 试图...
  • 余弦距离

    2020-12-23 19:44:39
    例如将两篇文章向量化,余弦距离可以避免因为文章的长度不同而导致距离偏大,余弦距离只考虑两篇文章生成的向量的夹角。 余弦相似度的取值范围是[-1,1],相同两个向量的之间的相似度为1。 余弦距离的取值范围是[0,2]...

    原文:https://blog.csdn.net/lucky_kai/article/details/89514868
    概述: 在机器学习领域中,通常将特征表示为向量的形式,所以在分析两个特征向量之间的相似性时,常用余弦相似度表示。例如将两篇文章向量化,余弦距离可以避免因为文章的长度不同而导致距离偏大,余弦距离只考虑两篇文章生成的向量的夹角。
    余弦相似度的取值范围是[-1,1],相同两个向量的之间的相似度为1。
    余弦距离的取值范围是[0,2]。
    余弦相似度的定义公式为 c o s ( A , B ) = A ⋅ B ∥ A ∥ 2 ∥ B ∥ 2 cos(A,B)=\frac{A\cdot B}{\left \| A \right \|_{2}\left \| B \right \|_{2}} cos(A,B)=A2B2AB
    归一化后 ∥ A ∥ 2 = 1 \left \| A \right \|_{2}=1 A2=1, ∥ B ∥ 2 = 1 \left \| B \right \|_{2}=1 B2=1,
    ∥ A ∥ 2 ∥ B ∥ 2 = 1 \left \| A \right \|_{2}\left \| B \right \|_{2} = 1 A2B2=1
    余弦距离:
    d i s t ( A , B ) = 1 − c o s ( A , B ) = ∥ A ∥ 2 ∥ B ∥ 2 − A ⋅ B ∥ A ∥ 2 ∥ B ∥ 2 dist(A,B)= 1-cos(A,B) = \frac{\left \|A \right \|_{2}\left \|B \right \|_{2}-A\cdot B}{\left \| A\left \|_{2} \right \|B \right \|_{2}} dist(A,B)=1cos(A,B)=A2B2A2B2AB
    欧式距离:
    ∥ A − B ∥ 2 = ∥ A ∥ 2 + ∥ B ∥ 2 − 2 A ⋅ B = 2 − 2 A ⋅ B = 2 d i s t ( A , B ) \left \| A-B \right \|^{2} = \left \| A \right \|^{2} + \left \| B \right \|^{2} -2A\cdot B = 2-2A\cdot B =\sqrt[]{2dist(A,B)} AB2=A2+B22AB=22AB=2dist(A,B)

    由公式可以看出归一化后,欧式距离与余弦距离存在单调性关系。此时两种距离的值域都为[0,2]。

    欧式距离与余弦距离的对比:
    1.欧式距离的数值受到维度的影响,余弦相似度在高维的情况下也依然保持低维完全相同时相似度为1等性质。
    2.欧式距离体现的是距离上的绝对差异,余弦距离体现的是方向上的相对差异。

    不同情况不同选择:
    1.两个人分别取了蓝球(1,0)与红球(0,1),这两个向量的欧式距离较小,可是事实是这两个球是不同的,而余弦距离为2表示的是完全不同的意思。所以在这种情况下选择余弦距离更具合理性

    2.两个人对APP的使用次数与使用时长分别表示为(1,10),(10,100),可知余弦相似度较小,说明这两个人的行为时相同的,可是,事实是不同的,两个人的活跃度有着极大的差异,第二个人的活跃度更高

    余弦距离满足正定性和对称性,但是不满足三角不等式,因此余弦距离不是一个严格定义的距离。

    距离的定义:
    在一个集合中,如果每一对元素均可唯一确定一个实数,使得三条距离公理(正定性,对称性,三角不等式)成立,则该实数可以称为这对元素之间的距离。

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  • 余弦距离介绍

    万次阅读 2019-04-25 14:01:26
    涉及到数学公式的地方,还请查看原文链接。...例如将两篇文章向量化,余弦距离可以避免因为文章的长度不同而导致距离偏大,余弦距离只考虑两篇文章生成的向量的夹角。 余弦相似度的取值范围是[-1,1],相同两个...

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    概述: 在机器学习领域中,通常将特征表示为向量的形式,所以在分析两个特征向量之间的相似性时,常用余弦相似度表示。例如将两篇文章向量化,余弦距离可以避免因为文章的长度不同而导致距离偏大,余弦距离只考虑两篇文章生成的向量的夹角。

    余弦相似度的取值范围是[-1,1],相同两个向量的之间的相似度为1。

    余弦距离的取值范围是[0,2]。

    余弦相似度的定义公式为 c o s ( A , B ) = A ⋅ B ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 ∣ ∣ B ∣ ∣ 2 cos(A,B)=\frac{A\cdot B}{||A||_2||B||_2} cos(A,B)=A2B2AB

    归一化后 ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 = 1 , ∣ ∣ B ∣ ∣ 2 = 1 , ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 ∣ ∣ B ∣ ∣ 2 = 1 ||A||_2=1,||B||_2=1,||A||_2||B||_2=1 A2=1,B2=1,A2B2=1

    余弦距离:

    d i s t ( A , B ) = 1 − c o s ( A , B ) = ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 ∣ ∣ B ∣ ∣ 2 − A ⋅ B ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 ∣ ∣ B ∣ ∣ 2 dist(A,B)=1-cos(A,B)=\frac{{||A||_2||B||_2} -A\cdot B}{||A||_2||B||_2} dist(A,B)=1cos(A,B)=A2B2A2B2AB,距离恒大于等于0

    欧式距离: ∣ ∣ A − B ∣ ∣ 2 = ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 2 + ∣ ∣ B ∣ ∣ 2 2 − 2 A ⋅ B = 2 − 2 A ⋅ B = 2 ( 1 − A ⋅ B ) = > ∣ ∣ A − B ∣ ∣ = 2 d i s t ( A , B ) ||A-B||^2 = ||A||^2_2+||B||^2_2-2A\cdot B=2-2A\cdot B=2(1-A\cdot B)=>||A-B|| =\sqrt{2dist(A,B)} AB2=A22+B222AB=22AB=2(1AB)=>AB=2dist(A,B)

    由公式可以看出归一化后,欧式距离与余弦距离存在单调性关系。此时两种距离的值域都为[0,2]。

    欧式距离与余弦距离的对比:

    1.欧式距离的数值受到维度的影响,余弦相似度在高维的情况下也依然保持低维完全相同时相似度为1等性质。

    2.欧式距离体现的是距离上的绝对差异,余弦距离体现的是方向上的相对差异。

    不同情况不同选择:

    1.两个人分别取了蓝球(1,0)与红球(0,1),这两个向量的欧式距离较小,可是事实是这两个球是不同的,而余弦距离为2表示的是完全不同的意思。所以在这种情况下选择余弦距离更具合理性。

    2.两个人对APP的使用次数与使用时长分别表示为(1,10),(10,100),可知余弦相似度较小,说明这两个人的行为时相同的,可是,事实是不同的,两个人的活跃度有着极大的差异,第二个人的活跃度更高。

    余弦距离满足正定性和对称性,但是不满足三角不等式,因此余弦距离不是一个严格定义的距离。

    距离的定义:

    在一个集合中,如果每一对元素均可唯一确定一个实数,使得三条距离公理(正定性,对称性,三角不等式)成立,则该实数可以称为这对元素之间的距离。

    证明:

    1.正定性

    余弦距离公式: d i s t ( A , B ) = 1 − c o s θ dist(A,B)=1-cos\theta dist(A,B)=1cosθ ,因为 − 1 ≤ c o s θ ≤ 1 -1\leq cos\theta \leq 1 1cosθ1,所以 d i s t ( A , B ) ≥ 0 dist(A,B)\geq 0 dist(A,B)0满足正定性。

    2.对称性:

    d i s t ( A , B ) = 1 − c o s ( A , B ) = ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 ∣ ∣ B ∣ ∣ 2 − A ⋅ B ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 ∣ ∣ B ∣ ∣ 2 = ∣ ∣ B ∣ ∣ 2 ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 − B ⋅ A ∣ ∣ B ∣ ∣ 2 ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 = d i s t ( B , A ) dist(A,B)=1-cos(A,B)=\frac{{||A||_2||B||_2} -A\cdot B}{||A||_2||B||_2} =\frac{{||B||_2||A||_2} -B\cdot A}{||B||_2||A||_2} =dist(B,A) dist(A,B)=1cos(A,B)=A2B2A2B2AB=B2A2B2A2BA=dist(B,A),满足对称性。

    3.三角不等式:

    给定A=(1,0),B=(1,1),C=(0,1),则有 d i s t ( A , B ) = 1 − 2 2 dist(A,B)=1-\frac{\sqrt{2} }{2} dist(A,B)=122 , d i s t ( B , C ) = 1 − 2 2 dist(B,C)=1-\frac{\sqrt{2} }{2} dist(B,C)=122 , d i s t ( A , C ) = 1 dist(A,C)=1 dist(A,C)=1

    因此有 d i s t ( A , B ) + d i s t ( B , C ) = 2 − 2 < 1 = d i s t ( A , C ) dist(A,B)+dist(B,C) = 2 - \sqrt{2} < 1 = dist(A,C) dist(A,B)+dist(B,C)=22 <1=dist(A,C),所以得出余弦距离不符合三角不等式。

    python下的一棵樱花树:
    PYthon开发者的画笔

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  • 欧氏距离和余弦距离

    千次阅读 2019-05-06 10:00:40
    欧氏距离和余弦距离 参考:https://blog.csdn.net/mr_evanchen/article/details/77511312 一、欧几里得距离(Euclidean Distance)  欧氏距离是最常见的距离度量,衡量的是多维空间中各个点之间的绝对距离。公式如下...
     
    

    一、欧几里得距离(Euclidean Distance)
       欧氏距离是最常见的距离度量,衡量的是多维空间中各个点之间的绝对距离。公式如下:
    在这里插入图片描述
    因为计算是基于各维度特征的绝对数值,所以欧氏度量需要保证各维度指标在相同的刻度级别
    eg:在深度学习中,提取CNNs倒数的第二层fc作为最后的特征向量,来进行人脸比对(1:1,1:N)。

    Python实现如下:

    import numpy as np
    
    x = np.random.random(10)
    y = np.random.random(10)
    
    # solution1
    dist1 = np.linalg.norm(x-y)
    
    # solution2
    dist2 = np.sqrt(np.sum(np.square(x-y)))
    
    print('x',x)
    print('y',y)
    print('dist1',dist1)
    print('dist2',dist2)
    

    二、余弦距离
    余弦相似度用向量空间中两个向量夹角的余弦值作为衡量两个个体间差异的大小。相比距离度量,余弦相似度更加注重两个向量在方向上的差异,而非距离或长度上。公式如下:
    在这里插入图片描述
    Python实现如下:

    import numpy as np
    from scipy.spatial.distance import pdist
     
    x=np.random.random(10)
    y=np.random.random(10)
     
    # solution1
    dist1 = 1 - np.dot(x,y)/(np.linalg.norm(x)*np.linalg.norm(y))
     
    # solution2
    dist2 = pdist(np.vstack([x,y]),'cosine')
     
    print('x',x)
    print('y',y)
    print('dist1',dist1)
    print('dist2',dist2)
    

    三、欧氏距离和余弦距离的区别
    余弦距离使用两个向量夹角的余弦值作为衡量两个个体间差异的大小。相比欧氏距离,余弦距离更加注重两个向量在方向上的差异。
    借助三维坐标系来看下欧氏距离和余弦距离的区别:
    在这里插入图片描述
    从上图可以看出,欧氏距离衡量的是空间各点的绝对距离,跟各个点所在的位置坐标直接相关;而余弦距离衡量的是空间向量的夹角,更加体现在方向上的差异,而不是位置。如果保持A点位置不变,B点朝原方向远离坐标轴原点,那么这个时候余弦距离cosθ是保持不变的(因为夹角没有发生变化),而A、B两点的距离显然在发生改变,这就是欧氏距离和余弦距离之间的不同之处。

    欧氏距离和余弦距离各自有不同的计算方式和衡量特征,因此它们适用于不同的数据分析模型:
    欧氏距离能够体现个体数值特征的绝对差异,所以更多的用于需要从维度的数值大小中体现差异的分析,如使用用户行为指标分析用户价值的相似度或差异。

    余弦距离更多的是从方向上区分差异,而对绝对的数值不敏感,更多的用于使用用户对内容评分来区分兴趣的相似度和差异,同时修正了用户间可能存在的度量标准不统一的问题(因为余弦距离对绝对数值不敏感)。

    注:在CNNs中,对特征向量进行L2范数归一化后,欧式距离和余弦距离可以等价。
    参考《stack-exchange, is-cosine-similarity-identical-to-l2-normalized-euclidean-distance》
    cosine similarity is identical to l2-normalized euclidean distance someway.
    在这里插入图片描述
    从上式中可以看出, 夹角越大, 欧氏距离的平方就越大。


    注:博众家之所长,集群英之荟萃。
    展开全文
  • 改进后的OPTICS聚类算法matlab代码,将原来的欧氏距离改为余弦距离的倒数,适用于文本聚类。
  • 模型评估之余弦距离

    2021-02-08 14:59:39
    对于两个向量AAA和BBB,余弦距离=1−cos(A,B)余弦距离=1-cos(A,B)余弦距离=1−cos(A,B),其中,cos(A,B)cos(A,B)cos(A,B)为余弦相似度,计算公式为: cos(A,B)=A⋅B∥A∥2∥B∥2cos\left ( A,B\r

    参考资料

    1. 《百面机器学习》
    2. https://www.it1352.com/1689274.html
    3. https://blog.csdn.net/m0_37890477/article/details/80413344

    余弦距离

    定义

    对于两个向量 A A A B B B 余 弦 距 离 = 1 − c o s ( A , B ) 余弦距离=1-cos(A,B) =1cos(A,B),其中, c o s ( A , B ) cos(A,B) cos(A,B)为余弦相似度,计算公式为:

    c o s ( A , B ) = A ⋅ B ∥ A ∥ 2 ∥ B ∥ 2 cos\left ( A,B\right )=\frac{A\cdot B}{\left \| A\right \|_{2}\left \| B\right \|_{2}} cos(A,B)=A2B2AB

    余弦距离 v.s. 欧式距离

    1. 总的来说,欧式距离体现数值上的绝对差异,而余弦距离体现方向上的相对差异。

    2. 余弦距离在高维情况下依然保持[0, 2]的范围,而欧式距离的数值则受维度的影响,范围不固定,含义也比较模糊。

    3. 如果向量模长经过归一化,欧式距离与余弦距离有着单调的关系,如Word2Vec中的向量。

    余弦距离不是严格定义的距离

    距离的定义

    在一个集合中,如果每一对元素均可唯一确定一个实数,使得三条公理(正定性,对称性,三角不等式)成立,则该实数可称为这对元素之间的距离。

    余弦距离的正定性

    根据余弦距离的定义,有

    d i s t ( A , B ) = 1 − c o s θ ⩾ 0 dist\left ( A,B\right )=1-cos\theta \geqslant 0 dist(A,B)=1cosθ0

    当且仅当 A = B A=B A=B时, d i s t ( A , B ) = 0 dist\left ( A,B\right )=0 dist(A,B)=0。因此,余弦距离满足正定性

    余弦距离的对称性

    根据余弦距离的定义,有

    d i s t ( A , B ) = ∥ A ∥ 2 ∥ B ∥ 2 − A B ∥ A ∥ 2 ∥ B ∥ 2 = ∥ B ∥ 2 ∥ A ∥ 2 − A B ∥ B ∥ 2 ∥ A ∥ 2 = d i s t ( B , A ) dist\left ( A,B\right )=\frac{\left \| A\right \|_{2}\left \| B\right \|_{2}-AB}{\left \| A\right \|_{2}\left \| B\right \|_{2}}=\frac{\left \| B\right \|_{2}\left \| A\right \|_{2}-AB}{\left \| B\right \|_{2}\left \| A\right \|_{2}}=dist\left ( B,A\right ) dist(A,B)=A2B2A2B2AB=B2A2B2A2AB=dist(B,A)

    因此,余弦距离满足对称性

    余弦距离的三角不等式

    举一个反例, A = ( 1 , 0 ) A=(1,0) A=(1,0) B = ( 1 , 1 ) B=(1,1) B=(1,1) C = ( 0 , 1 ) C=(0,1) C=(0,1),则有

    d i s t ( A , B ) + d i s t ( B , C ) = 2 − 2 < 1 = d i s t ( A , C ) dist(A,B)+dist(B,C)=2-\sqrt{2}< 1=dist(A,C) dist(A,B)+dist(B,C)=22 <1=dist(A,C)

    因此,余弦距离不满足三角不等式。

    代码示例

    from sklearn.metrics.pairwise import pairwise_distances
    from sklearn.metrics.pairwise import euclidean_distances
    
    X = [[1,3,2],[2,2,1]]
    
    cosine_dist = pairwise_distances(X, metric="cosine")
    euclidean_dist = euclidean_distances(X)
    
    print(cosine_dist)
    print(euclidean_dist)
    
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  • 人脸识别之欧氏距离——余弦距离

    千次阅读 2019-11-08 16:03:40
    我们将cos(A,B)cos(A,B)cos(A,B)称为余弦相似度,1−cos(A,B)1-cos(A,B)1−cos(A,B)称为余弦距离,可以看到余弦距离和cos距离是等价的。推广到高纬空间可以得到一样的结论。 现在的人脸识别方法中,会对特征做归一...
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  • 欧氏距离与余弦距离

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  • 用于在距第一个余弦距离指定的余弦距离处变换向量的模块 安装 pip install cosine_transform 用法 >> > import cosine_transform >> > import numpy >> > from scipy . spatial . distance import cosine >> > v ...
  • 余弦距离与欧氏距离

    2020-04-20 19:22:39
    文章目录余弦距离与欧氏距离 余弦距离与欧氏距离 在机器学习领域中,通常将特征表示为向量的形式,所以在分析两个特征向量之间的相似性时,常用余弦相似度表示。例如将两篇文章向量化,余弦距离可以避免因为文章的...
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空空如也

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