信号与系统分析导论



信号的描述及分类



信号的定义与描述(略)



信号的分类和特性

确定信号与随机信号 
连续时间信号与离散时间信号 
通常以x(t)表示连续时间信号，以x[k]表示离散时间信号
周期信号与非周期信号
能量信号与功率信号
信号的频域分析



信号的时域抽样和频率抽样



信号的时域抽样

对连续时间信号x(t)以间隔T进行等间隔抽样后的离散时间信号x[k]可表示为

x[k]=x(kT)=x(t)|t=kT,k∈Z

称T为抽样间隔。抽样频率fsam和角频率wsam与抽样间隔T的关系为

fsam=1T,wsam=2PidT=2Pidfsam

时域抽样定理的基本内容：若带限实信号x(t)的最高角频率为wm,则信号x(t)可以用等间隔的抽样序列x[k]=x(t)|t=kT唯一表示，但抽样间隔T必须满足

T≤Pidwm=12fm(wm=2Pidfm)

或者抽样频率fsam满足fsam≥2fm。其中，fsam=2fm是使抽样信号频谱不混叠时的最小的抽样频率，称魏Nyquist(奈奎斯特)频率。T=12fm是使抽样信号频谱不混叠时的最大抽样间隔称为Nyquist间隔。 
注意：带限信号是指在某个频率区间内有值，在这个区间之外就是零的信号

信号的频域抽样

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信号与系统

1.绪论

系统是指若干相互关联、相互作用的事务按一定规律组合而成的具有特定功能的整体。系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。通信系统的任务是传输信息（如语言、文字、图像、数据、指令等）。
	
在分析各类系统时，常抽去具体系统物理的或社会的含义而把它抽象为理想化的模型，将系统中运动、变化的各种量（如电压、电流、光强、力、位移、生物数量等）统称为信号。
	
信号是消息的一种表示形式，通过信号传递信息，信号是信息/消息的载体；消息是包含信息的图像、语言、文字、编码等（约定方式组成的符号），信息是消息的具体内容。


2.信号

分类：确定信号（重点讨论）与随机信号

          连续（时间）信号与离散（时间）信号

          周期信号与非周期信号：周期信号之和不一定是周期信号

          实信号和复信号：桥梁——欧拉公式

          能量（有限）信号和功率（有限）信号

3.信号的基本运算

加乘、反转和平移、尺度变化：运算都是对自变量t进行的。

尺度变换：设a＞1，f(at)表示将原信号f(t)以原点为基准，沿横轴压缩到原来的\(\frac{1}{a}\)；\(f(\frac{1}{a}t)\)表示将f(t) 沿横轴展宽至a倍。

4.常见信号

单位阶跃函数与单位冲激函数（奇异函数）
阶跃函数：



冲激函数（偶函数）：



关系：



冲激函数的性质：



冲激偶：冲激函数的导数（上下两个冲激，奇函数）

单位阶跃序列与单位（脉冲）序列


5.系统的描述

系统分类
即时（/无记忆）系统与动态（/记忆）系统（重点讨论）    

连续系统与离散系统

单输入输出系统与多输入输出系统

时变系统与时不变系统

线性系统与非线性系统

系统的数学模型、框图表示
连续系统：微分方程、积分器、加法器、数乘器、延时器

离散系统：差分方程、迟延单元、加法器、数乘器

由系统框图列写方程的步骤：
（1）选中间变量x( )，对于连续系统，选最右端积分器输出为x( )；对于离散系统，选最左端迟延单元的输入为x( )；

（2）写出各加法器输出信号的方程；

（3）消去中间变量x( )。

6.系统的特性和分析方法

按基本特性分类
线性与非线性；时变与时不变；因果与非因果；稳定与不稳定

线性


动态系统的响应不仅决定与系统的激励，而且与系统的初始状态有关，当动态系统具有分解特性（响应可分为零输入与零状态）、零状态线性、零输入线性时，其为线性系统。

时不变性
线性时不变系统：常系数线性微分/差分方程





因果性


稳定性


LTI（Linear Time Invariant）系统分析方法概述


注：我院使用教材为吴大正老师主编的信号与线性系统分析（第四版）。

文章目录
1. 信号的能量和功率
2. 自变量变换
2.1. 时移和时变
2.2. 周期性
2.3. 奇偶性
3. 典型信号与重要的奇异信号
3.1. 指数信号和正弦信号
3.2. 单位阶跃信号
3.3. 单位冲激信号
4. 基本的系统性质
4.1. 因果性
4.2. 记忆性
4.3. 线性
4.4. 时不变性
4.5. 稳定性
4.6. 可逆性

1. 信号的能量和功率
信号主要分为两种，连续信号和离散信号，连续信号采样可以得到离散信号，离散信号也可以恢复成为连续信号。
关于信号本身最重要的概念是能量和功率。

对于电功率一般定义为：

$\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}p(t)\,\mathrm dt= \frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}\frac{1}{R}v^2\,\mathrm dt$

这个例子给出了我们定义能量和功率的一个思路。由于信号可能是复数，通过平方将为我们提供极大的便利。
随后考虑去掉常数，更简单地定义一个信号的能量和功率。


2. 自变量变换
2.1. 时移和时变
高中考点：函数的平移和伸缩变换综合应用
一般地讨论：

Q1：如何绘制$Ax(at+b)$：先向左平移$b$，然后将横坐标变为原来的$\frac{1}{a}$，纵坐标变为原来的$A$倍。或者先压缩，再平移$\frac{b}{a}$
Q2（DSP）：通过$x[n]$，构成$x[an]$中可能出现无定义或者信息损失。$a\in \N, |a| > 1$时，比如$a = 2$，此时奇数无定义，如果无定义处补齐称为内插。若$|a|<1$，比如$a=\frac{1}{2}$时，信息发生损失，称为抽取。

2.2. 周期性
基波周期（Fundamental Period）：最小正周期
思考

Q1：无基波周期的周期函数？Dirichlet函数
Q2：周期函数相加不一定是周期函数，比如$\displaystyle\frac{T_1}{T_2} = \pi$，由于无最小公倍数，加和所得函数的周期将趋近无穷大。
Q3：$f$和$g$是$T$为基波周期的函数，相加所得函数的可能周期为$\frac{T}{m}, m\in\N$
Q4：$f$和$g$分别是$T$和$2T$为基波周期的函数，相加所得函数的可能周期为$\frac{2T}{2m+1},m\in\N$


对两个函数可以构造出更小的基波周期的函数，我们可以反向理解。我们可以通过先构造$\frac{2T}{3}$为基波周期的$H$函数，然后同$f$相加，就可以得到$g$
分母不能为偶数，否则利用如上的方法，上下约分之后，得到$g$的周期为$T$，这是矛盾的。




2.3. 奇偶性
$\mathrm{Ev}\{x(t)\}\xlongequal{\triangle}\frac{x(t)+x(-t)}{2}\\
\mathrm{Od}\{x(t)\}\xlongequal{\triangle}\frac{x(t)-x(-t)}{2}$
$\delta$函数为偶函数。
3. 典型信号与重要的奇异信号
3.1. 指数信号和正弦信号
复指数在工程上不存在，但为数学的分析提供了便利。
3.2. 单位阶跃信号

是冲激函数的积分。
用于截取正向的信号

3.3. 单位冲激信号
极限定义比较直观但数学上不易使用。利用Dirac定义和分布函数定义更易使用。

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\,\mathrm dt = 1\\
\delta(t) = 0, (t \not =0)$
4. 基本的系统性质
4.1. 因果性
不依赖未来（非记忆也可）情况，物理可实现的系统均具有因果性，表示如下：

$y(t) = \sum\limits_{i = 0}^n x(t-t_i)$
其中$t_i \geq 0$则称为因果系统。
例 $y(t) = x(\frac{t}{3})$不是因果系统，$t<0$时，系统取决于未来的情况。$y(t)=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}$当导数通过右导数定义时，就是非因果的。
4.2. 记忆性
记忆性可以看成非因果系统的扩充。

非因果系统一定是记忆系统。这句话反过来说，非记忆系统一定是因果系统。




按照定义，非因果系统也称为记忆系统
通常，利用导数定义的系统都会有记忆性（通过积分，可以把过去的情况呈现在当下）
实际系统中，记忆直接与能量存储相关

4.3. 线性
齐次性+可加性
线性的证明通常判别两个不同如数的输出是否可以按权加和输出。


$\color{#FF0000}{反例}$

$y(t) = x(t) + 1$

不是一个时不变系统。但是除去常数部分之后，具有线性，因而称为增量线性系统


$\color{#FF0000}{看似反例的例1}$$y(t) = 2y(1) + x(t)$


代入$t = 1$，可求$y(1) = -x(1)$，从而使得原式化简为：

$y(t)=-x(1)+x(t)$

此例是一个线性系统。同上一例不同的是，看似是常数的$x(1)$实际上是与输入函数相关的。
与输入关联和非关联的输出成分，分别对应后面讲到的零状态相应和零输出响应。
4.4. 时不变性
激励和响应可以成对进行时移而不发生变化。在不同的时间点施加激励，得到的结果应该只表现为时间的变化，即分别对自变量进行时移和对输入函数进行时移得到的结果相同。

这一点说明，如果内层有使其加倍的，那么将成为时变的，因为时移也被再映射了。


$\color{#FF0000}{反例}$ $y(t) = x(2t)$就是一个时变系统？

$x(2t - t_0)\not = y(t-t_0) = x(2(t-t_0)) = x(2t-2t_0)$

等号左边对应于激励的时移，在右边发现与响应的时移并不对等。

4.5. 稳定性
使系统倾向于收束。
稳定性判据：BIBO

也可以利用微分方程定性分析稳定。

4.6. 可逆性
可以建立激励信号和响应信号的一一对应

多个激励信号通过不同程度时移进行线性组合时，容易构造出特定的时间特性的函数进行
不丢失定义域（原系统利用内插进行定义）

对应这两个问题，有以下两组反例：

$\color{#FF0000}{反例}1$   $y(t) = x(t) + x(1-t)$，反例就可以是利用两个时移激励的对称特性构造，如$u(t)$和$u(1-t)$
$\color{#FF0000}{反例}2$

$y(t) = x(2t)$是可逆的
$y[n] = x[2n]$是不可逆的
$y(t) = x(t)(a+\cos(\omega t))$，无论$x$是什么，只要$|a| \leq 1$则一定会出现多个零点，此时是不可逆的。

因为定义域上部分点数据丢失，这些点上即便激励不同响应都相同且为0。

[TOC]
一、信号与系统概论
1. 信号与系统的研究内容是什么
2. 信号如何描述、分类和运算
描述
函数表达式
图形描述
分类
模拟/数字
周期/非周期
功率/能量
确定/随机
运算
自变量
因变量
自变量+因变量
3. 信号如何分解，有何意义
4. 如何建立系统模型，如何分类
5. 什么是线性时不变系统，有何意义
二、信号与系统的时域分析
1. 如何建立系统数学模型(微分方程，差分方程)
在电学中一般是根据KVL，KCL以及电感电流和电容电压不突变，来建立微分方程，差分方程一般是由系统框图得来的。
2. 如何求解微分方程或差分方程
求特征根
求齐次解(包含待定系数，由初始条件求得)
求特解
3. 如何求解跳变量(从
到
的跳变量)
物理条件约束
电感电流和电容电压不能跳变
冲激函数匹配法
4. 解释什么是零输入响应，什么是零状态响应，与强迫响应与自由响应有什么关系
5. 什么是冲激响应，什么是阶跃响应，有什么意义
6. 如何理解卷积，如何计算卷积，列举几条卷积常用的性质
卷积方法的原理是将信号分解为冲激信号之和，利用系统的冲激响应与卷积的性质(线性)求解系统对任意激励信号的零状态响应。计算卷积可以直接积分，也可以使用图解法，在离散序列卷积和的计算中还可以列表格与矩阵计算。
三、傅里叶变换和离散傅里叶变换(频域)
1. 周期信号如何分解，分解表示形式有哪些，其频谱有什么特点
三角形式：单边谱
指数形式：双边谱，幅度一半，相位谱奇对称
2. 说一说傅里叶变换的性质，意义
3. 周期信号如何傅里叶变换
主要是利用频移特性，引入冲激函数，对于一般的周期序列来说，其傅里叶变换是其主值序列的傅里叶变换在频域的周期延拓
4. 抽样信号的傅里叶变换是怎样的
由冲激信号抽样得到的频谱是原信号频谱的周期延拓
有矩形脉冲抽样得到的频谱是原信号频谱的周期延拓，但包络是Sa函数
5. 简述时域抽样定理
6.
四、拉普拉斯变换及s域分析
1.  为什么需要拉氏变换，其相对于傅氏变换有什么优点
拉氏变换可以将“微分”与“积分”运算变换为“乘法”与“除法”运算，这大大简化了计算量
拉氏变换可以把卷积运算转换为乘积运算
拉氏变换可以得到连续系统的系统函数，通过分析系统函数的零极点可以得到系统的特性
拉氏变换引入了衰减因子，使变换应用范围相较于傅里叶变换变大了，原函数乘以衰减因子的极限为0即可对其进行拉氏变换
2. 说几条拉氏变换的常用性质
3. 拉氏逆变换
部分分式分解法
留数定理
4. 如何求解系统函数
冲激响应变换得来
系统的零状态响应的L变换与激励信号L变换之比
5. 试通过系统函数的零极点(一阶极点)分析其原函数波形
极点包含虚部则原函数波形是振荡的
极点位于左半平面则原函数波形总体是衰减的
极点位于右半平面则原函数波形总体是递增的
极点位于中间(虚轴上)则原函数波形是平的
零点不影响波形的形式，只影响波形的幅度和相位