目录
 
1.1  绪言
 
1.2  信号
 
1.连续信号与离散信号
 
2.周期信号和非周期信号
 
3.实信号和复信号
 
4.能量信号和功率信号
 
1.3  信号的基本运算
 
1.加法和乘法
 
2.反转和平移
 
3.尺度变换（横坐标展缩）
 
1.4  阶跃函数和冲激函数
 
1.阶跃函数和冲激函数
 
2.冲激函数的广义函数定义
 
3.冲激函数的导数和积分
 
4.冲击函数的性质
 
1.5  系统的描述
 
1. 系统的数学模型
 
2.系统的框图表示
 
1.6  系统的特性和分析方法
 
1.线性
 
2.时不变性
 
3.因果性
 
4.稳定性
 
5.LTI系统分析方法概述
 
 
 

1.1  绪言
 
（前前一段时间准备蓝桥杯，前一段时间在准备十佳标兵，所以对于学习上的事情感觉不够多，现在要腾出很多时间来开始写写信号，写写数理方程，蓝桥的很多代码也忘了，所以有空也会写写蓝桥，要是后续课程有需要，也写一写后边的课程，一定要坚持下来，加油！）
 
信号与系统首先要知道什么是信号什么是系统？？？
 
信号：随时间，空间变化的物理量或者物理现象。
 
系统：指的是若干相互关联，互相作用的事实按一定规律组合而成的具有特定功能的整体。
 
信号与系统的关系：
 
 
 
 
 信号的决定因素——信息
 
所以：信号是信息的载体，信息决定信号。
 
信号主要是：电、光、声、磁、机械、热等
 
信息主要是：语言、文字、图像等
 
信号和信息的关系：
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2  信号
 
确定信号：如果一个信号可以用一个确定的时间函数（或序列）表示，就称其为确定信号（或规则信号）。
 
随机信号：幅度未可预知但又服从一定统计特性的信号，又称不确定信号。
 
（因为确定信号是基础，所以接下来讨论的都是确定信号）。
 
1.连续信号与离散信号
 
区分：根据定义域的特点可将信号分为连续信号和离散信号。
 
连续信号：在连续时间范围内（-∞<t<+∞）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。
 
如：阶跃函数（取1的时候不包括0）
 
 
 
 
 
离散信号：“离散”是指信号的定义域——时间（或其他量）是离散的，它之取某些规定的值。（可闭合表示，也可以列举表示）
 
如单位阶跃序列：
 
单位阶跃序列定义为
 
ε（k）=0，k<0
 
ε（k）=1，k=0
 
ε（k）=1，k>0
 
它类似于连续时间信号中的单位阶跃信号ε（t）
 
（但应注意ε（t）在t=0处发生跃变，所以在t=0此点常常不予定义或定义为t=0.5），
 
而单位阶跃序列在ε（k）在t=0处为1。
 
 
 
2.周期信号和非周期信号
 
周期函数：定义在（-∞，+∞）区间，每隔一定的时间T（或整数N），按相同规律重复变化的信号。
 
连续周期信号可表示为
 
                        f(t) = f(t + mT),  m = 0, 1,2，…… （周期T为最小正周期）
 
离散周期信号可表示为
 
                      f(t) = f(k + mN), m = 0, 1,2，……
 
对于一个三角函数（（k + ））
 
                     当       =  N（正整数）， N为其周期；
 
                    当     =  M / N (有理数)， M为其周期；
 
                    当   =  无理数，则该函数为非周期；
 
3.实信号和复信号
 
实信号：物理可实现的信号常常是时间t（或k）的实函数（或序列），其在各时刻的函数（或序列）值为实数，如单边指数信号，正弦信号（正弦，余弦统称为正弦信号）等，称为实函数。
 
复信号：函数（或序列）值为复数的信号成为复信号，做常用的是复指数信号。（一个复指数信号可以分解为实、虚两部分）
 
例如：
 
 
其中
 
  
 
借助欧拉公式展开，可得                                
 
              （欧拉公式为： ）
 
此结果表明，一个复指数信号可分为实、虚两部分。其中，实部包含余弦信号，虚部则为正弦信号。
 
4.能量信号和功率信号
 
连续信号f(t)
 
信号能量定义为在区间（-∞，+∞）中信号f(t)的能量，用字母E表示，即
 
                           
 
信号功率定义为在区间（-∞，+∞）中信号f(t)的平均功率，用字母P表示，即
 
                         
 
若信号f(t)的能量有界（即0<E<,这时P = 0），则称其为能量有限信号（持续时间有限），简称能量信号。
 
若信号f(t)的功率有界（即0<P<,这时E = ），则称其为功率有限信号（如有始信号，周期信号，直流信号），简称功率信号。
 
离散信号f(k)
 
离散信号有时也需要讨论能量和功率，
 
序列f(k)的能量定义为
 
                                     
 
序列f(k)的功率的定义为
 
                                   
 
 
 
1.3  信号的基本运算
 
1.加法和乘法
 
连续信号f(t)
 
信号与之和（瞬时和）是指同一瞬时两信号之值对应相加所构成的“和信号”，
 
                      即               (例如调音台，将音乐与语音混合在一起)
 
信号与之积是指同一瞬时两信号之值对应相乘所构成的“积信号”，
 
                      即                   （例如收音机的调幅信号，是将音频信号加载到被称为载波的正弦信号上）
 
离散信号f(k)
 
离散序列相加（相乘）可采用对应样点的值分别相加（或相乘）的方法来计算。
 
2.反转和平移
 
反转：将信号f(t)[或f(k)]中的自变量t（或k）转换为-t（或k）。——几何含义为将信号以纵坐标为轴反转（或称反折）
 
平移:    
 
          连续信号f(t)
 
             对于连续信号f(t),若常数   >0, 延时信号  是将原信号沿t轴正方向平移 时间       
 
                                                               延时信号  是将原信号沿t轴负方向平移 时间
 
        离散信号f(k)             
 
             对于离散信号f(t),若常数   >0, 延时信号  是将原信号沿k轴正方向平移 时间       
 
                                                               延时信号  是将原信号沿k轴负方向平移 时间
 
平移和反转的先后顺序：要先平移后反转
 
3.尺度变换（横坐标展缩）
 
要想将信号横坐标的尺寸展宽或者压缩（常称为尺度变换），可将变量at(a为非零常数)代替原信号f(t)的自变量t，得到信号f(at)。
 
 连续信号f(t)
 
               f(t) ----->f(at)
 
          若|a| > 1,则以原点为基准压缩   ,
 
         若|a| < 1,则以原点为基准展宽   ,         （信号在时域内压缩，在频域会展宽）
 
离散信号f(k)   
 
           f(k) ----->f(ak) ,要求ak是整数，离散信号进行尺度变换常常会丢失原信号的部分信息，因而不能将f(ak)看作f(k)的压缩或者展宽。   
 
 
 
总结：已知f(t),求f(at+b) ：  要先平移，再反转，最后尺度变换（所有变得都是自变量）
 
          已知f(at+b),求f(t) ：  要先尺度变换，再反转，最后再平移。
 
1.4  阶跃函数和冲激函数
 
阶跃函数和冲激函数不同于普通的函数，称为奇异函数。
 
1.阶跃函数和冲激函数
 
阶跃函数
 
 
 
冲激函数
 
            
 
 
狄拉克（Dirac）给出了冲激函数的另一种定义
 
（1） ， 
 
（2） 
 
冲激函数与阶跃函数的关系
 
 
 
2.冲激函数的广义函数定义
 
粗浅的说，广义函数是这样定义的，选择一类性能良好的函数,称为检验函数（它相当于定义域），一个广义函数g(t)是对检验函数空间中每个函数赋予一个数值N的映射，该数与广义函数g(t)和检验函数有有关，记作 
 
通常广义函数g(t)可写为
 
                              
 
式中的检验函数是连续的，具有任意阶导数，且本身及其各阶导数在无限远处急速下降的普通函数。（本身即无穷阶导数为零）
 
 
 
若
 
                      
 
就认为两个广义函数相等，并记作f(t) = g(t)
 
按广义函数理论，冲激函数由下式
 
                             
 
单位阶跃函数的定义为
 
                             
 
 
 
3.冲激函数的导数和积分
 
冲激函数的一阶导数的定义为
 
                                       
 
  :   
 
，  的积分为：
 
                           
 
                           
 
4.冲击函数的性质
 
   一、以普通函数的乘积
 
          1.    
 
          2.   
 
          3.  
 
          4.   
 
二、位移
 
          1.
 
          2. 
 
          3.
 
          4.
 
          5.
 
          6.
 
  间断点：当信号有第一类间断点时，其一阶导数将在间断点处出现冲激，间断点处向上突跳时出现正冲激，向下突跳时出现负冲激，其强度等于突跳的幅度。
 
三、尺度变换
 
          
 
1.5  系统的描述
 
1. 系统的数学模型
 
2.系统的框图表示
 
1.6  系统的特性和分析方法
 
1.线性
 
2.时不变性
 
3.因果性
 
4.稳定性
 
5.LTI系统分析方法概述
 
 
 
 

注：本博客是基于奥本海姆的《信号与系统》第二版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。
 

 
 

 
 
一、指数信号与正弦信号
 
一）、连续时间复指数信号与正弦信号
 
1、连续时间复指数信号具有如下形式：
 
 
其中C和a一般为复数。根据这些参数值的不同，复指数信号可有几种不同的特征。
 

 
 
2、实指数信号
 

 
 
如上图所示，若C和a都是实数，这时的x(t)称为实指数信号，具有两种类型的特征：
 
1）、若a实正数，那么x(t)随t的增加而呈指数增长。
 
2）、若a实复数，则x(t)随t的增加而呈现指数衰减。
 

 
 
3、周期复指数
 
第二种重要的复指数是将a限制为纯虚函数。特别考虑一下函数
 
 
该信号的一个重要性质是，他是周期信号。
 

 
 
4、正弦信号
 
与周期复指数信号密切相关的一种信号是正弦信号
 
 

 
 
5、复指数信号与正弦信号的转换（欧拉公式）
 
1）、利用欧拉公式，副指数信号可以用预期相同基波周期的正弦信号来表示，即
 
 
2）、而正弦信号也能用相同基波周期的复指数信号来表示，即
 
 
注意：上面的式子中的两个指数信号都有复数振幅，所以正弦信号还可以用复指数信号表示为：
 
 
其中，若c是一个复数，则Re{c}记为它的实部。Im{c}记为它的虚部，即
 
 

 
 
6、基波频率
 
连续时间正弦信号或一个周期复指数信号，其基波周期T0是与|w0|成反比的，也称w0的基波频率。
 

 
 
7、周期信号，尤其是复指数信号和正弦信号，给出了具有无限能量弹有有限平均功率的此类信号的例子。
 

 
 
8、周期复指数信号在讨论信号与系统的大部分问题都起着十分重要的作用，部分原因是由于对许多其他信号来说，它们可用来作为极其有用的信号基本构造单元。
 
同时，一组成谐波关系的复指数信号也是很有用的，也就是说，周期复指数信号的集合内的全部信号都是周期的，且有一个公共周期T0.具体而言，对一个复指数信号，要成为
 
具有周期为T0的周期信号的必要条件是：
 
 
这就意味着wT0是2π的倍数，即
 
 
由此，若定义
 
 
则一个城谐波关系的复指数信号的集合就是一组其基波频率是某一正频率w0的整数倍的周期复指数信号，即
 
 
若k=0，其就是一个常数；而对任何其他的k值，其实周期的，其基波频率为|k|w0，级波周期为
 
 

 
 
9、一般复指数信号
 
最一般的情况下的复指数信号可以借助于已经讨论过的实指数信号和周期复指数信号来表示和说明。
 
 
利用欧拉关系，可以进一步展开为
 
 
由此可见：
 
1）、若r=0，则负指数信号的实部和虚部都是正弦的。
 
 2）、若r>0，其实部和虚部则是一个振幅呈指数增长的正弦信号。
 
 3）、若r<0，则为振幅呈指数衰减的正弦信号。
 
如下图所示
 
 

 
 

 
 
二）、离散时间复指数信号与正弦信号
 
1、与连续时间情况一样，一种重要的离散时间信号时复指数信号或序列，定义为
 
 
其中C和a一般均为复数。若令a=ep，择优另一种表示形式为
 
 

 
 
2、实指数信号
 
如果C和a都是实数，name就会有下图几种特性
 
 
 
1）、若|a|>1，则信号随n呈指数增长。
 
2）、若|a|<1，则信号随n呈指数衰减。若a是正值，则Can的所有值都具有同一符号。而若a是负值，则x[n]的符号交替变化。
 
3）、若a=1，则Can的所有值都具有同一符号。
 
4）、若a=-1，x[n]的值就在+C和-C之间交替变化。
 

 
 
3、正弦信号
 
如果将p局限于纯虚数，即|a|=1，就可以得到另一个重要的复指数序列。具体而言，考虑如下序列
 
 
入连续时间信号一样，此信号是与正弦信号密切相关的，即
 
 

 
 
4、欧拉公式
 
利用欧拉公式可以将复指数和正弦序列联系起来为
 
 
以及
 
 

 
 
5、一般复指数信号
 
一般离散时间复指数信号可以用实指数和正弦信号来表示。具体而言，将C和a均以极坐标给出，即
 
 
以及
 
 
则有
 
 
 1）、对|a|=1，复指数序列的实部和虚部都是正弦序列。
 
2）、对|a|<1，其实部和虚部为正弦序列乘以一个呈指数衰减的序列。
 
3）、对|a|>1，则乘以一个呈指数增长的序列。
 
如下图所示
 
 

 
 
三）、离散时间复指数序列的周期性质
 
1、虽然连续时间时间和离散时间信号之间有许多相似之处，但是也存在一些重要的差别，其中之一是关于离散时间指数信号ejw0n的。
 
1）、w0越大，信号震荡的速率就越高。
 
2）、ejw0t对任何w0值都是周期的。
 

 
 
2、离散时间和连续时间不同
 
1）、第一个性质，研究频率为w0+2π的离散时间复指数信号：
 
 
上式表明，离散时间复指数信号在频率w0+2π与w0时是完全一样的。这一点与连续时间复指数信号ehw0t完全不同，后者不同的w0就对应着不同的信号，而在离散时间
 
情况下，具有频率为w0的复指数信号与w0+2π，w0+4π，.....等等这些频率的复指数信号则是一样的。
 
2）、第二个性质是关于离散时间复指数信号的周期问题。为了使信号ejw0n使周期的，周期为N>0，就必须
 
 
这就等效于要求
 
 
为了使上式成立，w0N必须是2π的整数倍，也就是说必须有一个整数m，满足
 
 
或者
 
 
根据上式，若w0/2π是一个有理数，ejw0n就是周期的，否则就不是周期的。
 

 
 
3、离散时间复指数信号的基波周期和基波频率
 
1）、基波频率
 
 
2）、基波周期
 
 

 
 
4、信号ejw0t和ejw0n的比较
 
 

 
 
5、组成谐波关系的周期离散时间复指数信号在离散时间与系统分析中也是有很大的价值的。这就是一组具有公共周期N的周期复指数信号，这些信号的频率都是基波频率
 
2π/N的整数倍，即
 
 式子1.6
 
在连续时间情况下，这些呈谐波关系的信号，....都是互不相同的。然而，在离散时间情况下却不是这样的，因为
 
 
这意味着，式子1.6所给出的一组信号中，仅有N个互不相同的周期复指数信号。

注：本博客是基于奥本海姆的《信号与系统》第二版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。
 

 
 

 
 
一、连续时间和离散时间信号
 
一）、举例与数学表示
 
1、信号的定义
 
 1）、在物理上，信号可以描述范围极广的一类物理现象。
 
 2）、在数学上，信号可以表示为一个或多个变量的函数。
 

 
 
注：本博客讨论的范围仅限于单一变量的函数，而且为了方便起见，以后再讨论中一般总是用时间来表示自变量，然而在某些具体应用中自变量不一定是时间。
 

 
 
2、两种基本类型信号
 
 1）、连续时间信号：自变量是连续可变的，信号在自变量的连续值上都有定义。
 
 2）、离散时间信号：定义在离散时刻点上，也就是自变量仅取在一组离散值上。
 

 
 
3、基本类型信号的表示
 
 1）、用t表示连续时间变量，而且连续时间信号用圆括号（）把自变量括在里面。
 
 2）、用n表示离散时间变量，而且离散时间信号用方括号[ ]来表示。
 

 
 
4、一个离散信号x[n]可以表示一个自变量本来就是离散的现象。另一方面，有些很重要的离散时间信号则是通过对连续时间信号的采样而得到的，这时该离散信号x[n]则表示一个自变量连续变化的连续时间信号在相继的离散时刻点上的样本值。
 

 
 

 
 
二）、信号能量与功率
 
1、有限区间的功率和平均功率
 
 1）、连续时间信号
 
总能量：
 
 
平均功率：把上式除以t2-t1就可以等到。
 
2）、离散时间信号
 
总能量：
 
 
平均功率：把上式除以n2-n1+1就可以得到。
 

 
 
注：“功率”和“能量”与上面的式中的是否与真正的物理量想联系是无关的。
 

 
 
2、无限区间的功率和平均功率
 
1）、连续时间信号
 
总能量：
 
 
平均功率：
 
 
2）、离散时间信号
 
总能量：
 
 
平均功率：
 
 
 3）、利用上述定义可区分三种重要的信号
 
I、具有有限的总能量信号。
 
II、平均功率P有限的信号。
 
iii、平均功率P和总能量E都不是有限的。
 

 
 

 
 
二、自变量的变换
 
一）、自变量变换的举例
 
1、时移变换
 

 
 
离散时间信号的时移。图中n0>0
 

 
 
连续时间信号的时移。图中t0<0
 
 

 
 
2、时间反转
 

 
 
离散时间信号的反转。以t=0轴
 

 
 
连续时间信号的反转。以t=0轴
 

 
 
3、时间尺度变换
 

 
 
连续时间信号x(t)、x(2t)、x(t/2)视的时间尺度变换
 

 
 

 
 
二）、周期信号
 
1、连续时间信号周期定义：
 
一个周期连续时间信号x(t)具有这样的性质，即存在一个正值的T，对所有的t来说，有
 
x(t)=x(t+T)
 
换句话说，当一个周期信号时移T后其值不变。这时就说x(t)是一个周期信号，周期为T。
 
1）、使上式成立的最小正值T成为x(t)的基波周期
 
2）、在x(t)为一个常数的情况下，基波周期无定义。
 

 
 
2、一个信号x(t)不是周期的就称为非周期信号。
 

 
 
3、离散时间信号周期定义
 
如果一个离散时间信号x[n]时移一个N后其值不变，即对所有的n值有
 
x[n]=x[n+N]
 
则x[n]是周期的，周期为N，N为某一正整数。
 

 
 

 
 
三）、偶信号与奇信号
 
1、偶信号
 
如果一个信号x(t)或x[n]，以原点为轴反转后不变，就称为偶信号。
 
1）、连续时间信号：
 
x(-t)=x(t)
 
2）、离散时间信号
 
x[-n]=x[n]
 

 
 
2、如果一个信号x(t)或x[n]，以原点为轴反转后改变，就称为奇信号。
 
 
1）、连续时间信号：
 
x(-t)=-x(t)
 
2）、离散时间信号
 
x[-n]=-x[n]
 

 
 
3、任何信号都能分解为两个信号之后，其中一个为偶信号，另一个为奇信号

注：本博客是基于奥本海姆《信号与系统》第二版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。
 

 
 

 
 
一、基本系统性质
 
一）、记忆系统与无记忆系统
 
1、无记忆系统
 
如果对自变量的每一个值，一个系统的输出仅仅取决于该时刻的输入。
 
 1）、一个特别简单的系统就是所谓的恒等系统，系统的输出就是输入。
 
对连续时间恒等系统而言，其输入输出关系是
 
 
相应地，在离散时间情况下就是
 
 

 
 
2、记忆系统
 
在一个系统中记忆的概念相应于该系统具有保留或存储不是当前时刻输入信号的功能。
 
 1）、离散时间记忆系统一个例子是累加器或相加器。
 
 
第二个例子是延迟单元。
 
 

 
 

 
 
二）、可逆性与可逆系统
 
1、可逆与可逆系统
 
一个系统如果在不同的输入下，导致不同的输出，就称该系统是可逆的。如果一个系统是可逆的，那么就有一个逆系统存在，当该系统与原系统级联后，就会产生一个输出w[n]
 
等于第一个系统的输入x[n]。
 

 
 
2、不可逆系统
 
系统对任何输入序列来说都产生零输出序列。
 

 
 
无法根据输出来确定输入的正负号。
 

 
 

 
 

 
 
三）、因果性
 
1、因果性
 
如果一个系统在任何时刻的输出只取决于现在的输入及过去的输入，该系统就称为因果系统。这样的系统往往也称为不可预测的系统，因为系统的输入无法预测将来的输入值。
 
1）、对于一个因果系统，若两个输入直到某一时间t0或n0以前都是相同的，那么在这同一时间以前相同的输出也一定相等。
 
2）、所有的无记忆系统都是因果性的。
 
3）、虽然因果系统很重要，但这并不表明所有具有现实意义的系统都是仅由因果系统构成的。
 

 
 
2、检验因果性
 
1）、当检验一个系统的因果性时，重要的事仔细看看系统的输入-输出关系。
 
2）、当检验一个系统的因果性时，另一点也很重要，就是把输入信号的影响仔细地与系统定义中所用到的其他函数的影响区分开来。
 

 
 

 
 
四）、稳定性
 
1、稳定性
 
一个稳定系统，若其输入是有界的（即输入的幅度不是无界增长的），则系统的输出也必须是有界的。
 

 
 
2、检验稳定性
 
1）、如果怀疑某一系统是不稳定的，那么一种实用的办法是力图找一个特定的有界输入而使输出无界。如果这样的例子找起来困难或不存在，那么就必须用一种方法检验
 
他的稳定性，不过这时就不能再用某些特殊输入信号的例子。
 
2）、为寻找一个特殊的反例来证明系统是不稳定的，可以用一个常数或阶跃输入这样的简单有界输入来试试。
 

 
 

 
 
五）、时不变系统
 
1、时不变系统
 
若系统的特性和行为不随时间而变，该系统就是时不变的。
 

 
 
2、时不变系统的描述
 
如果再输入信号上有一个时移，而在输出信号中产生同样的是移，那么这个系统就是时不变的，也就是说；
 
1）、若y[n]是一个离散时间时不变系统在输入为x[n]时的输出，那么当输入为x[n-n0]时，输出就为y[n-n0]。
 
2）、在连续时间情况下，y[t]是相应输入为x[t]时的输出，一个时不变系统就一定有当输入为x[x-t0]时，输出为y[x-t0]的结果。
 

 
 

 
 
六）、线性
 
1、线性系统
 
线性系统（连续时间或离散时间）具有的一种重要性质就是叠加性质。即如果一个输入由几个信号的加权和组成，那么输出也就是系统对这组信号中每一个的响应的加权和。更
 
准确的说，令y1（t）是一个连续时间系统对输入x1（t）的响应而y2（t）是对应于x2（t）的输出，那么一个线性系统就应该有：
 
1）、y1（t）+y2（t）是对x1（t）+x2（t）的响应。
 
2）、ay1（t）是对ax1（t）的响应，此处a为任意常数。
 
其中1）称为可加性，2）称为比例性或齐次性。
 
注意：一个系统可以使线性的，而不必是时不变的；同样，系统是时不变的却不一定是线性的。
 

 
 
2、把定义一个线性系统的两个性质结合在一起，可以简单写成：
 
连续时间
 

 
 
离散时间
 

 
 
其中，a和b都是任何复数。而且，从线性的定义可直接证明出：如果xk[n]，k=1,2,3......是某一个离散时间线性系统的一组输入，其相应的输出为yk[n]，k=1,2,3......，那么对
 
这一组输入的线性组合
 

 
 
的响应就是
 

 
 
这个很重要的试试就称为叠加性质，对连续时间和离散时间都成立。