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  • 克莱姆法则

    万次阅读 多人点赞 2019-05-09 17:19:16
    克莱姆法则 基于线性方程组的解空间理论,线性方程组有唯一解当且仅当有效方程数等于未知数的个数。这时,可以运用各种方法具体求出唯一存在的解。克莱姆法则是一种求解线性方程组的方法,大多数线性代数教材都会...

    克莱姆法则

    基于线性方程组的解空间理论,线性方程组有唯一解当且仅当有效方程数等于未知数的个数。这时,可以运用各种方法具体求出唯一存在的解。克莱姆法则是一种求解线性方程组的方法,大多数线性代数教材都会提到。例如对于如下的线性方程组:

    {\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{cases}}

    运用克莱姆法则,这个方程组的解可以如下:

    x={\frac  {D_{x}}{D}},\qquad y={\frac  {D_{y}}{D}}

     

    其中,D_{x},D_{y},D分别是如下三个行列式

    D=\left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{matrix}}\right|D_{x}=\left|{\begin{matrix}c_{1}&b_{1}\\c_{2}&b_{2}\end{matrix}}\right|,D_{y}=\left|{\begin{matrix}a_{1}&c_{1}\\a_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right|

    对于更一般的情况:

    {\mathbf  {A}}{\mathbf  {x}}={\mathbf  {b}}

    解可以由同样的公式给出:

    {\begin{cases}x_{1}={\frac  {D_{1}}{D}}\\x_{2}={\frac  {D_{2}}{D}}\\\vdots \qquad \vdots \\x_{n}={\frac  {D_{n}}{D}}\end{cases}}

    其中的

    D=\det(A),

    \forall 1\leqslant i\leqslant n,\,\,D_{i}=\det(A_{i}),

    A_{i}是将矩阵A的第i纵列换成向量b之后得到的矩阵。

    可以看出,这些表达式只有在D=\det(A)存在并且不等于0的时候才是有意义的,这点只有在有效方程数等于未知数的个数的时候才能得到保证。

    以上内容转载自:https://blog.csdn.net/szlcw1/article/details/20550041

    对于克莱姆法则,我的困惑点是怎么知道D1,D2的值呢?

    下面给出一个例子:

    这时候对应的D1,D2,D3分别是:

    D1=

    D2=

    就拿这两个来说,等号右边的b1,b2,b3被分别插在第一列第二列第三列,这样就得出了D1,D2,D3.

     

    克莱姆法则的作用是用来求行列式的解的,当然,我们也可以使用逆矩阵的方法来求解。

    逆矩阵公式:

    我们要求的是:Ax=b

    那么:x=A-1*b

    在题目中给出的增广矩阵的最右边就是给出的b,所以可以直接求解。

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  • 满意答案用C语言设计克莱姆法则的计算程序【摘要】 本文以线性代数中的克莱姆法则为依据,讨论其计算程序的设计方法,并给出在微机上运行的模拟人工解题的计算程序和应用示例。关键词 克莱姆法则 程序一、引 言我们...

    满意答案

    用C语言设计克莱姆法则的计算程序

    【摘要】 本文以线性代数中的克莱姆法则为依据,讨论其计算程序的设计方法,并给出在微机上运行的模拟人工解题的计算程序和应用示例。

    关键词 克莱姆法则 程序

    一、引 言

    我们知道,在代数课的教学中无论是工科院校的线代数还是数学专业的高等代数都离不开克莱姆法则。由于该法则涉及到行列式的计算,在教学中只是挑选一些简单的例子进行教学,作业也比较少,致使学生练习不够充分。现在计算机已普及,但线性代数的教学并没有与算法语言的教学联系起来,而现有文献所研究的都是一些数值解法,从来不涉及象克莱姆法则这样的概念。现在已有按照行列式的定义计算行列式的计算程序[1,2],本文将在该程序的基础上进行扩展,编写出与克莱姆法则相对应的程序。

    二、克莱姆法则简述

    设A=(aij)是一个n×n矩阵,设D=det A≠0那么方程组

    有唯一解

    这里Dj是用方程组右边的常数项代替矩阵A中第j列所构成的矩阵的行列式。

    三、程序设计步

    从克莱姆法则知,首先要把方程组的系数aij及bi( i,j=1,…,n)输入计算机,计算出Dj(j=1,2,…,n)最后算出xj(j=1,2,…,n),具体方法述于下。

    1. 方程的个数N及方程组的系数与数组间的关系简述

    由于克莱姆法则的计算工作量是很大的,方程组的个数n也不可能取的很大,又由于C编译程序中二维数组的行是从0行开始,每行元素编号也从0开始,这样用二维数组a来代表数学中的(aij),其对应关系为a[i-1][j-1]对应aij (i,j=1,…,n)。

    2. 计算D和Dj (j=1,…,n).

    由⑴和⑵式看出,对行列式的计算程序要使用n+1次,将该部分程序写在主程序中程序显得很长,不便于阅读和维护。为此,将计算行列式的程序段写成一个函数并命名为int det (int n),以便计算D与Dj(j=1,…,n)时调用,在调用该函数计算出A的行列式D后再用一偱环来调用该函数计算Dj(j=1,…,n)。

    调用函数det()计算出A 的行列式D。

    在计算Dj之前,先把A中的第j列元素存入数组c中,然后用常数bi(i=1,…,n)代替a中的第j列元素,调用函数det(),计算出Dj,当j≠n时恢复A数组,重复这一过程直到算出全部Dj,(j=1,…,n)为止。

    3.计算xj(j=1,…,n)

    按⑵式进行。

    4.det()函数

    在该函数中j0,j1,j2,j3,j4,j5,j6是循环变量,每个循环确定一个行列式定义中元素的列下标,并将这个下标存在数组k中,以便计算行列式的项时使用,当各下标均确定好后调用term()函数计算出行列式的一个项。

    四、计算程序

    #define N 7

    static int a[N][N] ,b[N];

    int di[N],c[N];

    double x[N];

    int term (int n, int k[])

    {

    int p,q,t=1;

    for (p=1; p)

    for(q=0; q)

    if(k[q]>k[p]) t=-t;)

    for (p=0;p

    t*=a[p][k[p]];

    return (t);

    }

    int det(int n)

    {

    int j0,j1,j2,j3,j4,j5,j6,d,k[N];

    d=0;

    for (j0=0;j0

    if(a[0][j0]==0) continue;

    k[0]=j0;

    for (j1=0;j1

    if(j1==j0) continue;

    if(a[1][j1]==0) continue;

    k[1]=j1;

    if(n==2) d+=term(n,k);

    for (j2=0;j2

    if(j2==j0) continue;

    if(j2==j1) continue;

    if(a[2][j2]==0) continue;

    k[2]=j2;

    if(n==3) d+=term(n,k);

    for (j3=0; j3

    if(j3==j0) continue;

    if(j3==j1) continue;

    if(j3==j2) continue;

    if(a[3][j3]==0) continue;

    k[3]=j3;

    if(n==4) d+=term(n,k);

    for(j4=0; j4

    if(j4==j0) continue;

    if(j4==j1) continue;

    if(j4==j2) continue;

    if(j4==j3) continue;

    if(a[4][j4]==0) continue;

    k[4]=j4;

    if(n==5) d+=term(n,k);

    for(j5=0;j5

    if(j5==j0) continue;

    if(j5==j1) continue;

    if(j5==j2) continue;

    if(j5==j3) continue;

    if(j5==j4) continue;

    if(a[5][j5]==0) continue;

    k[5]=j5;

    if(n==6) d+=term(n,k);

    for(j6=0;j6

    if(j6==j0) continue;

    if(j6==j1) continue;

    if(j6==j2) continue;

    if(j6==j3) continue;

    if(j6==j4) continue;

    if(j6==j5) continue;

    if(a[6][j6]==0) continue;

    k[6]=j6;

    d+=term(n,k);

    }

    }

    }

    }

    }

    }

    }

    return (d);

    }

    #include "stdio.h"

    main()

    {

    int i,j,n,d;

    printf("n=2,3,...,7\n");

    printf("n=");

    scanf("%d",&n);

    for (i=0;i

    for(j=0;j

    printf("a[%d][%d]=",i+1,j+1);

    scanf("%d",&a[i][j]);

    }

    printf("b[%d]=",i+1);

    scanf("%d",&b[i]);

    printf("\n");

    }

    printf("elements of det:\n");

    for (i=0;i

    for (j=0;j

    printf("%d\t",a[i][j]);

    printf("%d\t",b[i]);

    printf("\n");

    }

    printf("computing D and Di ...\n");

    d=det(n);

    printf("D = %d\n",d);

    for (j=0;j

    for (i=0;i

    c[i]=a[i][j];

    a[i][j]=b[i];

    }

    di[j]=det(n);

    printf("D%d= %d\n",j+1,di[j]);

    for(i=0;i

    a[i][j]=c[i];

    }

    for (i=0;i

    x[i]=(0.0+di[i])/d;

    printf("x%d=%f\t",i+1,x[i]);

    }

    printf("\nend!\n");

    }

    五、程序运行时的屏幕信息介绍及程序运行示例

    在运行中,计算机屏幕上显示“n=2,3, …,7”的信息是告诉用户该程序可计算二元、…、七元一次线性方程组。“n=”的信息是请用户输入要解的方程组中方程的个数,这里为2到7的任何整数。

    屏幕上显示“a[i][j]=”时,是请用户输入第i个方程中xj的系数aij,输入aij后按一下回车键;屏幕上显示“b[i]=”时,是请用户输入第i个方程等号右边的常数bi,输入bi后按一下回车键;这里i,j为小于或等于n的正整数,当输入完毕后,屏幕上将以方阵的形式显示所输入的数据及计算结果。

    例 计算四元一次线方程组

    的过程入下

    n=2,3,…,7

    n=4

    a[1][1]=2 a[2][1]=1 a[3][1]=0 a[4][1]=1 b[1]=8

    a[1][2]=1 a[2][2]=-3 a[3][2]=2 a[4][2]=4 b[2]=9

    a[1][3]=-5 a[2][3]=0 a[3][3]=-1 a[4][3]=-7 b[3]=-5

    a[1][4]=1 a[2][4]=-6 a[3][4]=2 a[4][4]=6 b[4]=0

    输入的数椐以方阵的格式显示在屏幕上(本文从略)

    computing…

    D=27 D1=81 D2=-108 D3=-27 D4=27

    X1=3 x2=-4 x3=-1 x4=1 (按(2)式计算时以实数形式输出)

    End!

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  • 1.5 克莱姆法则

    2020-01-07 15:24:44
    文章目录方程组克莱姆法则使用条件结论齐次方程组定理推论:齐次方程组有非零解的充要条件参考 方程组 克莱姆法则主要用于解方程组,只有当方程个数等于未知数个数时才能使用克莱姆法则。将方程组的系数拿出来构成...


    方程组

    克莱姆法则主要用于解方程组,只有当方程个数等于未知数个数时才能使用克莱姆法则。将方程组的系数拿出来构成一个行列式叫做系数行列式。
    在这里插入图片描述


    克莱姆法则

    使用条件

    • 方程个数等于未知数个数
    • 系数行列式不为0
      在这里插入图片描述

    结论


    在这里插入图片描述
    这里的 D j D_j Dj是什么呢?比如: D 1 D_1 D1为用方程组右边常数项替换系数矩阵第一列数值,其余保持不动。
    在这里插入图片描述
    克莱姆法则计算量非常大,适合计算机解题


    齐次方程组

    方程组右侧全等于0叫做齐次线性方程组,至少有零解
    在这里插入图片描述

    定理

    由克莱姆法则可知一下定理:
    在这里插入图片描述

    推论:齐次方程组有非零解的充要条件

    在这里插入图片描述


    参考

    以上图片均摘自宋浩老师视频,以方便以后自己查阅,感谢宋老师。
    视频传送门

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  • 与《克莱姆法则的几种证明方法》相关的范文本科生毕业论文(设计) 题 目: 克莱姆法则及应用 2012年 3月 10日 专业代码: 070101 作者姓名: 蔡婷婷 学 号: 2008200631 单 位: 数学科学学院 指导教师: 樊树芳 目录 前 言...

    与《克莱姆法则的几种证明方法》相关的范文

    本科生毕业论文(设计) 题 目: 克莱姆法则及应用 2012年 3月 10日 专业代码: 070101 作者姓名: 蔡婷婷 学 号: 2008200631 单 位: 数学科学学院 指导教师: 樊树芳 目录 前 言 ............................................... 5 1. 克莱姆法则的定义 ............................... ...

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    07-04

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    线性方程组 1.消元法求解线性方程组 例1.解线性方程组 解:将方程组的增广矩阵 通过矩阵的初等变换,化为行简化的阶梯形矩阵 由最后的矩阵写出原方程组的同解方程组(本题即为方程组的唯一解) , , , 注释:消元法是解线性方程组最有效最基本的方法,通过该例题我们得到: 求解线性方程组的一般步骤是: 第一步,首先将增广矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵: 第二步,根据阶梯形矩阵判断是否有解( 是否等于 ...

    12-25

    数三 管理类农学类 1 考试说明 一.内容概述与总要求 参加数三考试的考生应理解或了解中函数.极限.连续.一元函数微分学.一元函数积分学.向量代数与空间解析几何.多元函数微积分学.无穷级数.常微分方程以及中行列式.矩阵.线性方程组的基本概念与基本理论,掌握或学会上述各部分的基本方法:注意各部分知识结构及知识的内在联系:应具有一定的运算能力.逻辑推理能 ...

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    展开全文
  • 克莱姆法则简介

    2019-09-13 22:45:23
    克莱姆法则 若n元线性方程组 {a11x1+a12x2+...a1nxn=b1a21x1+a22x2+...a2nxn=b2...an1x1+an2x2+...annxn=bn\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\ a_...
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  • python实现克莱姆法则

    千次阅读 2020-03-05 16:38:54
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    2021-07-25 18:22:20
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  • 克莱姆法则的课件,浅显易懂,简单易学,适合初学者
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  • 克莱姆法则(Cramer's Rule)

    万次阅读 多人点赞 2019-05-31 12:00:52
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  • 方程组变换+初等变换+矩阵等价+行列式的几何意义 克莱姆法则 (ABCD)\left( \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { C } & { D} \end{array}\right)(AC​BD​)
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