精华内容
下载资源
问答
  • 注:本文是刘然对常微分方程模型的简介什么是常微分方程模型常用的回归分析聚焦于直接建立响应变量和协变量之间的关系,之后根据建立的模型进行分析和预测,比如常见的线性回归模型:。而如果我们感兴趣的变量是随...

    注:本文是刘然对常微分方程模型的简介

    什么是常微分方程模型

    常用的回归分析聚焦于直接建立响应变量和协变量之间的关系,之后根据建立的模型进行分析和预测,比如常见的线性回归模型:。

    而如果我们感兴趣的变量是随时间变化的,那么还有另外一种常用的建模方式:建立变量与变量对时间的导数之间的关系,这就是我们这里要介绍的常微分方程模型。容易理解,常微分方程模型是利用常微分方程来刻画变量之间的关系的模型。假设我们关心的变量为,常微分方程的数学形式写作:715b51cc7b90f7586f5f9168753d54f5.png

    这里是线性或者非线性的函数,是未知的参数。在这种数学形式下,我们不是直接去建立变量之间的函数关系,而是通过常微分方程给出变量的导数和变量自身之间的函数关系。由于这里的一般大于1,这里给出的常微分方程一般是一个常微分方程组,构成了一个常微分方程系统。

    常微分方程模型在自然科学和社会科学中都得到了广泛的应用,比如神经科学中用来描述神经元发放的Hodgkin-Huxley Model,经济学中描述经济增长的Solow growth Model,以及传染病学中描述感染人数的SIR Model。

    常微分方程模型相比一般的回归模型有哪些优势?

    第一,在一些情况下,考虑变量的导数的建模比直接考虑变量本身的建模要更直接简便;第二,所建立的常微分方程可能比回归模型更能揭示出数据的生成机制,也就更能帮助我们理解数据以及与数据相关联的现象的本质特点。

    一个具体的例子

    cd893a4de54547cca6676dedb7e9a865.png
    https://www.shangxueba.com/ask/7834114.html

    生物学高考时我们常常见到这个例子。在一个生态系统中,捕食者和被捕食者的数量随时间变化,变化规律如图,问两条曲线哪一条代表捕食者,哪一条代表被捕食者?相信大家很容易就能给出答案:波峰在先的是被捕食者,波峰在后的是捕食者。现在,如果需要进一步通过建模刻画出两者之间的关系,我们该怎么做呢?显然,二者都是随时间变化的非线性函数,很难直接给出他们之间的关系,更没有办法知道数据为什么是这个样子。但是,通过考虑影响变量导数的因素,我们可以给出刻画生态系统的常微分方程模型。令和分别代表被捕食者和捕食者的数量,我们先考虑的导数,导数代表了变化速度,那么被捕食者的数量的变化速度和哪些因素有关呢?这一速度应该随着被捕食者种群规模的增大而增大。这一点很好理解,比如说在其他条件不变的情况下,只兔子构成的种群在单位时间内变化的规模也应该比只兔子构成的种群大,所以,我们可以把方程写作:

    这里 代表了变化率,那么这个变化率和什么有关呢?显然,变化率应该随着捕食者数量 的增大而减小,因为数量更多的捕食者增大了每一个捕食者被吃掉的概率,所以我们令 ,这里 是被捕食者在没有捕食者存在时的自然增长率, 是一个正数,使得 越大时 越小。所以我们得到 类似的,我们可以通过分析给出 的导数的形式。 这两个式子合在一起,就是生态学上著名的Lotka-Volterra Model。

    利用龙格库塔法之类的数值求解常微分方程的算法,我们可以给出Lotka-Volterra Model的数值解如下图。b089f10cb3510b03b485ab0af572f3d5.png方程清晰地复现出了我们看到的趋势。这里的模型既能够唯相地给出预测与推断,也能够通过对种群数量动力学机制的刻画让我们明白我们观察到的现象从何而来。

    实际中的统计分析

    值得注意的是,上文中我们关心的指的是系统变量的真实值,它是关于时间t的一个函数(如果模型的形式正确,那么就是常微分方程的解)。但在实践中,我们通常不可能观察到准确的连续数据,而只能得到一些带有误差的离散时间点上的观测数据,,比如在上面的例子中实际得到的数据点可能是这样的:f598c134f8a90c3d571b7739faeb0b56.png

    我们通常可以假设如下关系,

    注意这里的都是维的。和回归模型一样,这里的代表随机误差项,每个分量往往满足均值为零、方差有限等条件。

    而常微分方程中的参数(比如前例中的)一般来说也都是未知的,这样,统计学者的任务就不光要建立符合实际的模型,而且要通过观测得到的实际数据来估计未知参数。比如可以先求常微分方程的解析解或数值解(注意这里的解依赖于的值)然后利用最小二乘法的思路写出这个解和数据点的差值平方和,以此作为目标函数进行优化求解,也就是说:

    求得参数的估计值后我们可以再进一步去做更深入的统计推断。

    如果觉得本文不错,请点赞关注!

    c35f87daf550ebf25ec5690e37ba3c4d.png

    展开全文
  • 微分方程模型

    万次阅读 多人点赞 2019-04-30 09:06:05
    目录 §1 发射卫星为什么用三级火箭 1.1 为什么不能用一级火箭发射人造卫星 1.1.2 火箭推进力及升空速度 1.1.3 一级...1.2 理想火箭模型 1.3 多级火箭卫星系统 1.4 最佳结构设计 §2 人口模型 2.1 问题提出 ...

    目录

    §1 发射卫星为什么用三级火箭

    1.1 为什么不能用一级火箭发射人造卫星

    1.1.2 火箭推进力及升空速度                            1.1.3 一级火箭末速度上限

    1.2 理想火箭模型                 1.3 多级火箭卫星系统                          1.4 最佳结构设计

    §2 人口模型

    2.1 问题提出                                                          2.2 Malthus 模型

    2.3 阻滞增长模型(Logistic 模型)                      2.4 模型推广

    §3 战争模型

    3.1 模型一  正规战模型                            3.2 模型二 游击战模型

    3.3 模型三 混合战模型                           3.4 模型四 一个战争实例                  习 题


    微分方程建模是数学建模的重要方法,因为许多实际问题的数学描述将导致求解微 分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题,大体上可以按以 下几步:

    1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系

    2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。

    3. 运用这些规律列出方程和定解条件。

     列方程常见的方法有:

    (i)按规律直接列方程

    在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉, 并直接由微分方程所描述。如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。我们常利用 这些规律对某些实际问题列出微分方程。

    (ii)微元分析法与任意区域上取积分的方法

    自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。对 于这类问题,我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式,而是通过 微元分析法,利用已知的规律建立一些变量(自变量与未知函数)的微元之间的关系式, 然后再通过取极限的方法得到微分方程,或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立 微分方程。

    (iii)模拟近似法

    在生物、经济等学科中,许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂,因而需 要根据实际资料或大量的实验数据,提出各种假设。在一定的假设下,给出实际现象所 满足的规律,然后利用适当的数学方法列出微分方程。 在实际的微分方程建模过程中,也往往是上述方法的综合应用。不论应用哪种方法, 通常要根据实际情况,作出一定的假设与简化,并要把模型的理论或计算结果与实际情 况进行对照验证,以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。 本章将利用上述方法讨论具体的微分方程的建模问题。

    §1 发射卫星为什么用三级火箭

    采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行,为什么不能用一级火箭而必须用 多级火箭系统? 下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。 火箭是一个复杂的系统,为了使问题简单明了,我们只从动力系统和整体结构上分 析,并且假设引擎是足够强大的。

    1.1 为什么不能用一级火箭发射人造卫星

    下面用三个数学模型回答这个问题

    1.1.1 卫星进入 600km 高空轨道时,火箭必须的最低速度 首先将问题理想化,假设:

    (i)卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周,卫星在此轨道上以地球 引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动;

    (ii)地球是固定于空间中的一个均匀球体,其质量集中于球心;

    (iii)其它星球对卫星的引力忽略不计。 建模与求解:设地球半径为 R ,质量为 M ;卫星轨道半径为 r ,卫星质量为m 。

    根据假设(ii)和(iii),卫星只受到地球的引力,由牛顿万有引力定律可知其引力大小为

    即要把卫星送入离地面 600km 高的轨道,火箭的末速度最低应为 7.6km/s。

    1.1.2 火箭推进力及升空速度

    火箭的简单模型是由一台发动机和一个燃料仓组成。燃料燃烧产生大量气体从火箭 末端喷出,给火箭一个向前的推力。火箭飞行要受地球引力、空气阻力、地球自转与公 转等的影响,使火箭升空后作曲线运动。为使问题简化,假设:

    (i)火箭在喷气推动下作直线运动,火箭所受的重力和空气阻力忽略不计。

    (ii)在t 时刻火箭质量为m(t) ,速度为v(t) ,且均为时间t 的连续可微函数;

    (iii)从火箭末端喷出气体的速度(相对火箭本身)为常数u 。

    建模与分析:由于火箭在运动过程中不断喷出气体,使其质量不断减少,在 (t,t + Δt) 内的减少量可由台劳展式表示为

    1.1.3 一级火箭末速度上限

     

    因此,用一级火箭发射卫星,在目前技术条件下无法达到相应高度所需的速度。

    1.2 理想火箭模型

    从前面对问题的假设和分析可以看出:火箭推进力自始至终在加速着整个火箭,然 而随着燃料的不断消耗,所出现的无用结构质量也在随之不断加速,作了无用功,故效 益低,浪费大。

    所谓理想火箭,就是能够随着燃料的燃烧不断抛弃火箭的无用结构。下面建立它的 数学模型。

    假设:在(t,t + Δt) 时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以α 与1−α 的比例同 时进行。

    建模与分析:由动量守恒定律,有

    1.3 多级火箭卫星系统

    理想火箭是设想把无用结构质量连续抛弃以达到最佳的升空速度,虽然这在目前的 技术条件下办不到,但它确为发展火箭技术指明了奋斗目标。目前已商业化的多级火箭 卫星系统便是朝着这种目标迈进的第一步。多级火箭是从末级开始,逐级燃烧,当第i 级燃料烧尽时,第i +1级火箭立即自动点火,并抛弃已经无用的第i 级。我们用 \large m_{i}表 示第i 级火箭质量,\large m_{p} 表示有效负载。为了简单起见,先作如下假设:

    实际上,由于受技术条件的限制,采用四级或四级以上的火箭,经济效益是不合算 的,因此采用三级火箭是最好的方案。

    1.4 最佳结构设计

    §2 人口模型

    2.1 问题提出

    据考古学家论证,地球上出现生命距今已有 20 亿年,而人类的出现距今却不足 200 万年。纵观人类人口总数的增长情况,我们发现:1000 年前人口总数为 2.75 亿。经过 漫长的过程到 1830 年,人口总数达 10 亿,又经过 100 年,在 1930 年,人口总数达 20 亿;30 年之后,在 1960 年,人口总数为 30 亿;又经过 15 年,1975 年的人口总数是 40 亿,12 年之后即 1987 年,人口已达 50 亿。 我们自然会产生这样一个问题:人类人口增长的规律是什么?如何在数学上描述这 一规律。

    2.2 Malthus 模型

    1789 年,英国神父 Malthus 在分析了一百多年人口统计资料之后,提出了 Malthus 模型。 模型假设

    (i)设 x(t) 表示t 时刻的人口数,且 x(t) 连续可微。

    (ii)人口的增长率 r 是常数(增长率=出生率—死亡率)。

    (iii)人口数量的变化是封闭的,即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的 生育和死亡,且每一个体都具有同样的生育能力与死亡率.

    建模与求解

     由假设,t 时刻到t + Δt 时刻人口的增量为

    根据 1700~1961 年间世界人口统计数据,我们发现这些数据与(16)式的计算结 果相当符合。因为在这期间地球上人口大约每 35 年增加 1 倍,而(16)式算出每 34.6 年增加 1 倍。 但是,当人们用(15)式对 1790 年以来的美国人口进行检验,发现有很大差异。

    利用(16)式对世界人口进行预测,也会得出惊异的结论:当 t = 2670 年时 x(t) = 4.4× \large 10^{15},即 4400 万亿,这相当于地球上每平方米要容纳至少 20 人。

    显然,用这一模型进行预测的结果远高于实际人口增长,误差的原因是对增长率 r 的估计过高。由此,可以对 r 是常数的假设提出疑问。

    2.3 阻滞增长模型(Logistic 模型)

    如何对增长率 r 进行修正呢?我们知道,地球上的资源是有限的,它只能提供一定 数量的生命生存所需的条件。随着人口数量的增加,自然资源、环境条件等对人口再增 长的限制作用将越来越显著。如果在人口较少时,我们可以把增长率 r 看成常数,那么 当人口增加到一定数量之后,就应当视 r 为一个随着人口的增加而减小的量,即将增长 率 r 表示为人口 x(t) 的函数 r(x) ,且 r(x) 为 x 的减函数。

    模型假设

    实际数据都能较好地吻合,在 1930 年之后,计算与实际偏差较大。原因之一是 60 年代 的实际人口已经突破了假设的极限人口\large x_{m} ,由此可知,本模型的缺点之一就是不易确 定 \large x_{m}

    2.4 模型推广

    可以从另一个角度导出阻滞增长模型,在 Malthus 模型上增加一个竞争项  \large -bx^{2} ( b > 0)  ,它的作用是使纯增长率减少。如果一个国家工业化程度较高,食品供应 较充足,能够提供更多的人生存,此时b 较小;反之b 较大,故建立方程

    参数a 和b 可以通过已知数据利用 Matlab 中的非线性回归命令 nlinfit 求得。

    §3 战争模型

    早在第一次世界大战期间,F. W. Lanchester 就提出了几个预测战争结局的数学模 型,其中包括作战双方均为正规部队;作战双方均为游击队;作战的一方为正规部队, 另一方为游击队。后来人们对这些模型作了改进和进一步的解释,用以分析历史上一些 著名的战争,如二次世界大战中的美日硫黄岛之战和 1975 年的越南战争。 影响战争胜负的因素有很多,兵力的多少和战斗力的强弱是两个主要的因素。士兵 的数量会随着战争的进行而减少,这种减少可能是因为阵亡、负伤与被俘,也可能是因为疾病与开小差。分别称之为战斗减员与非战斗减员。士兵的数量也可随着增援部队的 到来而增加。从某种意义上来说,当战争结束时,如果一方的士兵人数为零,那么另一 方就取得了胜利。如何定量地描述战争中相关因素之间的关系呢?比如如何描述增加士 兵数量与提高士兵素质之间的关系。

    3.1 模型一  正规战模型

    模型假设

    以上是研究双方之间兵力的变化关系。下面将讨论每一方的兵力随时间的变化关 系。

     

    3.2 模型二 游击战模型

    模型假设

    3.3 模型三 混合战模型

    模型假设

    (i) x 方为游击队, y 方为正规部队。

    (ii)交战双方均无战斗减员与增援。 模型与求解 借鉴模型一与二的思想,可得

    一般来说,正规部队以火力强而见长,游击队以活动灵活,活动范围大而见长。这 可以通过一些具体数据进行计算。

    美国人曾用这个模型分析越南战争。根据类似于上面的计算以及四五十年代发生在 马来亚、菲律宾、印尼、老挝等地的混合战争的实际情况估计出,正规部队一方要想取 胜必须至少投入 8 倍于游击部队一方的兵力,而美国至多只能派出 6 倍于越南的兵力。 越南战争的结局是美国不得不接受和谈并撤军,越南人民取得最后的胜利。

    3.4 模型四 一个战争实例

    J. H. Engel 用二次大战末期美日硫黄岛战役中的美军战地记录,对正规战争模型进 行了验证,发现模型结果与实际数据吻合得很好。 硫黄岛位于东京以南 660 英里的海面上,是日军的重要空军基地。美军在 1945 年 2 月开始进攻,激烈的战斗持续了一个月,双方伤亡惨重,日方守军 21500 人全部阵亡 或被俘,美方投入兵力 73000 人,伤亡 20265 人,战争进行到 28 天时美军宣布占领该 岛,实际战斗到 36 天才停止。美军的战地记录有按天统计的战斗减员和增援情况。日 军没有后援,战地记录则全部遗失。

    用 A(t) 和 J (t) 表示美军和日军第t 天的人数,忽略双方的非战斗减员,则

    习 题

    2. 有高为 1m 的半球形容器,水从它的底部小孔流出。小孔横截面积为 1cm2 。开 始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心的 距离)随时间t 变化的规律。

    3. 在交通十字路口,都会设置红绿灯。为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路 口太近而无法停下的车辆通过路口,红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯。对于一 位驶近交叉路口的驾驶员来说,万万不可处于这样的进退两难的境地:要安全停车则离 路口太近;要想在红灯亮之前通过路口又觉太远。 那么,黄灯应亮多长时间才最为合理呢?

    4. 我们知道现在的香烟都有过滤嘴,而且有的过滤嘴还很长,据说过滤嘴可以起 到减少毒物进入体内。你认为呢?过滤嘴的作用到底有多大,与使用的材料和过滤嘴的 长度有无关系?请你建立一个描述吸烟过程的数学模型,分析人体吸入的毒量与哪些因 素有关,以及它们之间的数量表达式。

    5. 根据经验当一种新商品投入市场后,随着人们对它的拥有量的增加,其销售量 s(t)下降的速度与 s(t)成正比。广告宣传可给销量添加一个增长速度,它与广告费 a(t) 成正比,但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分(设饱和量为 M )。建立一 个销售 s(t)的模型。若广告宣传只进行有限时间τ ,且广告费为常数a ,问 s(t)如何变 化?

     


     

    展开全文
  • 提出了用于构造传感器网络中的信息位势场的一个偏微分方程模型。一个抛物方程被引 入并用于确定这个位势场;有限差分法则被用于数值求解。求解得到的位势场保留了大部分对实 际应用有利的节点特征。归功于偏微分方程...
  • 本卷以微分方程应用为主线,分析了它在群体增长、艺术晶鉴定、技术革新推广、糖尿病检测、作战运筹、交通管理、生态平衡以及能源工程与高寒地区建筑等领域的一系列典型应用问题;措词准确,分析透彻,深入浅出,实用...
  • 目录1 微分方程2 微分方程解决的主要问题3 微分方程模型4 微分方程解决问题的一般步骤第一步第二步第三步5 微分方程举例6 经典的微分方程模型7 课后习题 1 微分方程 (1)概念:微分方程是含有函数及其导数的方程,...

    1 微分方程

    (1)概念:微分方程是含有函数及其导数的方程,如果方程组只含有一个自变量(通常是时间t),则称为常微分方程,否则称为偏微分方程。
    (2)建立微分方程模型:在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统,有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系–函数表达式,但是却很容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式,这时往往采用微分关系式来描述该系统—即建立微分方程模型
    (3)微分方程的解是函数,对应一个变化过程。常微分方程的解释随时间t变化的函数,比如一辆汽车在公路上飞驰,一个球从空中落下。
    偏微分方程不但描述物体随时间变化发生位置的改变而且描述物体各部分之间位置的相对变化。如水的流动,烟雾的扩散,公路上车流的涌动等

    2 微分方程解决的主要问题

    (1)描述对象特征随时间(空间)的演变过程
    (2)分析对象特征的变化规律
    (3)预报对象特征的未来性态
    (4)研究控制对象特征的手段

    3 微分方程模型

    包括两个部分:方程和定解条件
    • 常微分方程的定解条件:对一个m阶常微分方程,需要积分m次才能将解函数求出,因此需要m个定解条件。
    • 方程组的定解条件个数是每个方程定解条件个数之和。
    • 定解问题分为初值问题和边值问题。
    • 初值问题的定解条件在同一个点上,而边值问题的定解条件在不同点上。

    4 微分方程解决问题的一般步骤

    第一步

    注意到实际问题中有与数学中“导数”有关的常用词,
    “速度”、“速率”(运动学、化学反应中),
    “边际的”(经济学中);
    “增长”(生物学、金融、经济等中),
    衰变(放射性问题中);
    以及与“改变,、'变化”、“增加”、减少”等有关词语,都可能是微分方程的问题。

    第二步

    梳理出实际问题中所涉及的各种量,使用一致的物理单位。

    第三步

    梳理出与结果有关的并且有着函数关系(待求)的量作为要求的函数的自变量与因变量,而与变化率有关的量,即是待求函数的导数。

    5 微分方程举例

    例1
    某人的食量是2500卡1天。其中1200卡用于基本的新陈代谢。在健身训练中,他每公斤体重所消耗的热量大约是16卡/天。设以脂肪形式贮存的热量100%有效,且1公斤脂肪含热量10000卡,分析这个人体重的变化。分析:
    问题研究人体重量随时间的变化w(t)。条件给出的是热量单位时间的变化
    2500一1200一16w(t)
    转换成体重为
    (2500-1200-16w(t))/10000
    因此得到变化关系
    dw/dt = (2500-1200-16w)/10000
    例2
    将一只读数为25度的温度计放在室外,10分钟后度数为30度,又过了10分钟,读数变为33度,问室外温度是多少?
    热传导分析:
    查一下热传导,我们可以了解到:热的传导从温度高的地方向温度低的地方传导,单位时间传送的热量与温差T成正比,与两个热源的距离成反比。即 Δ \Delta ΔQ = k Δ \Delta Δ T/d
    对于两个固定热源,距离d是常数,则 Δ \Delta ΔQ= k 1 Δ k_1\Delta k1Δ T
    在这个问题中,室外温度可以看做是常数T0,大于室内温度,而热量正比于温差,从而变化规律为dT/dt = -k( T T T- T 0 T_0 T0)

    6 经典的微分方程模型

    (1)传染病模型
    (2)经济增长模型
    (3)正规战与游击战
    (4)药物在体内的分布与排除
    (5)香烟过滤嘴的作用
    (6)人口预测和控制
    (7)烟雾的扩散与消失
    (8)万有引力定律的发现

    7 课后习题

    一只小船渡过宽为d的河流,目标是起点A正对着的另一岸B点,已知河流速度v与船在静水中的速度w之比为k。试建立小船航线的微分方程,求其解析解;
    设d=100m,v=1m/s,w=2m/s,用数值解法求渡河所需的时间和任意时刻小船的位置及航行曲线。
    解:
    参考内容
    (1)建立模型
    如图所示,以B为原点,沿河岸向右为x轴正向,垂直河岸向下为y轴正向,建立坐标系。设在t时刻,船在x方向上的位移是x(t),在Y方向上的位移是y(t)。
    • 在t时刻,船在x方向上的速度是 x ‘ ( t ) x`(t) x(t) ,在y方向上的速度是 y ‘ ( t ) y`(t) y(t),将船的速度v和水度v1在x,y轴方向上分解,可得:
    v x = v 1 − v 2 s i n α v_x =v_1 - v_2 sin \alpha vx=v1v2sinα
    v y = − v 2 c o s α v_y =- v_2 cos \alpha vy=v2cosα

    又因为船头始终指向B点,所以:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    (2)数值解法
    基本思路:先将微分方程和微分方程组整理成标准形式:
    d x d t = f x ( x , y , t ) \frac{dx}{dt} = f_x(x,y,t) dtdx=fx(x,y,t)
    d x d t = f y ( x , y , t ) \frac{dx}{dt} = f_y(x,y,t) dtdx=fy(x,y,t)
    我们用一个很小的常数来代替,那么上式可以改写为:
    x ( t + Δ t ) = f x ( x ( t ) , y ( t ) , t ) ∗ Δ t + x ( t ) x(t+\Delta t)=f_x(x(t),y(t),t)*\Delta t+ x(t) x(t+Δt)=fx(x(t),y(t),t)Δt+x(t)
    y ( t + Δ t ) = f y ( x ( t ) , y ( t ) , t ) ∗ Δ t + x ( t ) y(t+\Delta t)=f_y(x(t),y(t),t)*\Delta t+ x(t) y(t+Δt)=fy(x(t),y(t),t)Δt+x(t)
    我们只需要关心各个离散的x和y的值和位置,因此可将上式进一步整理得:
    y ( n + 1 ) = f x ( x ( n ) , y ( n ) , t 0 + n ∗ Δ t ) ∗ Δ t + x ( n ) y(n+1)=f_x(x(n),y(n),t_0 + n* \Delta t)*\Delta t+ x(n) y(n+1)=fx(x(n),y(n),t0+nΔt)Δt+x(n)
    y ( n + 1 ) = f y ( x ( n ) , y ( n ) , t 0 + n ∗ Δ t ) ∗ Δ t + y ( n ) y(n+1)=f_y(x(n),y(n),t_0 + n* \Delta t)*\Delta t+ y(n) y(n+1)=fy(x(n),y(n),t0+nΔt)Δt+y(n)
    上式便是微分方程组数值解法的迭代公式,只要有初值x0,y0,t0和步长,通过迭代就可以得到微分方程组的离散近似解,从而可以绘制出微分方程组所描述的曲线。
    利用数值方法,可以求得小船渡河的近似时间: T = n ∗ Δ t T = n* \Delta t T=nΔt

    展开全文
  • MATLAB微分方程模型

    2012-07-22 12:55:24
    MATLAB微分方程模型,包含了各种常见的微分模型,欢迎大家下载和指教。
  • 微分方程:描述自然界中存在的物理现象和普遍规律。 常微分方程(ODE) 偏微分方程(PDE) 偏微分方程理论: 物理/工程问题————翻译(建模)/物理工程规律————》数学问题(PDE) 物理/工程问题————...

    1. 简介

    微分方程:描述自然界中存在的物理现象和普遍规律。

    • 常微分方程(ODE)
    • 偏微分方程(PDE)

    偏微分方程理论:

    • 物理/工程问题————翻译(建模)/物理工程规律————》数学问题(PDE)
    • 物理/工程问题————求解/数学理论————》数学结果
    • 物理/工程问题————分析————》数学公式/物理意义

    偏微分方程的基本概念:

    • 定义:未知函数及其偏导数所满足的方程;F(x, u(x), Du, D2u,…, Dnu) = 0;
    • 阶数:偏微分方程中偏导数的最高阶数,有n阶就为n。
    • 线性偏微分方程:方程中的未知函数或其偏导数的项都是一次项
    • 齐次方程:每项都含有未知函数或未知函数(定义的u = u(x, y))的偏导数。

    导出微分方程的基本步骤:

    1. 明确研究的物理量
    2. 明确物理量遵守的物理规律
    3. 按物理规律写出微分方程(泛定方程)
    4. 微元法:划出一个微元,分析临近部分和ta的相互作用

    微分方程解决的主要问题:

    • 描述对象特征随时间变化的过程
    • 分析对象特征的变化规律
    • 预报对象特征的未来形态
    • 研究控制对象特征的手段

    常用的物理定律概述

    1. 牛顿第二定律:F = ma;
    2. 胡克定律,在弹性限度内,弹性体的张应力和弹性体的形变量成正比:张应力 = 杨氏模量 * 相对伸长,
    3. 热传导的傅立叶定律:在dt时间内,通过面积元dS流入一个小体积元的热量dQ,与沿着面积元法线方向的温度梯度成正比,也与dS和dt成正比:(k是导热系数,由材料决定)
    4. 牛顿冷却定律:单位时间内从周围介质,传到边界上单位面积的热量,与表面和外界的温度差成正比:(这里u1是外界媒质的温度,h为比例系数)
    5. 扩散定律(斐克定律):单位时间流过某横截面的杂质量dm与该横截面积S和浓度梯度成正比:(式中D为扩散系数,负号是指杂质浓度在减少)

    2. 栗子——香烟过滤嘴的作用

    问题:

    • 过滤嘴的作用和ta的材料与长度有什么关系;
    • 人体吸入的毒品量和哪些因素有关,因素的影响程度怎么样

    模型分析:

    • 分析吸烟时毒物进入人体的模型,建立吸烟过程模型;
    • 假设一个机器人持续吸烟,并且环境不变

    模型假设(假设的变量都在这儿哦):

    • 烟草长 l1,过滤嘴长 l2,总长度 l = l1 + l2,假设毒品均匀分布;
    • 毒物进入空气和沿香烟穿行的数量比:a’ : a, a’ + a = 1;
    • 未点燃烟草和过滤嘴的吸收率(过滤程度)分别为b和ß;
    • 烟雾沿着香烟的穿行速度为常速v,香烟的燃烧速度为u,v >> u;
    • Q为毒物进入人体的总量
    • q(x, t)为毒物的流量,w(x, t)为毒物密度

    模型建立:

    • 建立毒物进入身体的总量:Q = ƒ0T q(l, t)dt, T = l1 / u;

    • 求q(x, 0) = q(x)——流量守恒

      q(x) - q(x + ∆x) = bq(x)∆∂, 0 ≤ x ≤ l1;

      q(x) - q(x + ∆x) = ßq(x)∆∂, l1 ≤ x ≤ l2;

      (∆∂ = ∆x / v)

      同时假设:

      • q(0) = aH0;(香烟毒物被吸入的量)
      • H0 = uw0;(香烟毒物的减少量)

      可得到

      dq/dx = -b/v * q(x), 0 ≤ x ≤ l1;

      dq/dx = -ß/v * q(x), l1 ≤ x ≤ l2;

      &

      q(x) = aH0e-bx/v, 0 ≤ x ≤ l1;

      q(x) = aH0e-bx/ve-ß(x-l1)/v, l1 ≤ x ≤ l2;

    • 目标是求q(l, t),假设t时刻,香烟燃烧到了x = ut;

      将q(x)中的H0拓展为H(t),x随时间会变成x-ut,l1会变成l1 - ut

      可以求得:

      q(x, t) = aH(t)e-b(x-ut)/v,ut ≤ x ≤ l1;

      q(x, t) = aH(t)e-b(l1-ut)/ve-ß(x-l1)/v,l1 ≤ x ≤ l;

    • 求w(ut, t)求∆t内毒物密度的增量。

      w(x, t + ∆t) - w(x, t) = b(q(x, t))/v * ∆t(单位长度烟雾被吸收的部分)

      我们已知:

      • q(x, t) = aH(t)e-b(x-ut)/v;
      • H(t) = uw(ut, t);(H0的拓展公式)

      结果可得到:

      w(ut, t) = w0/a’ * (1 - ae-a’but/v), a’ = 1 - a;

    • 计算Q,吸入一致烟毒物进入人体的总量;

      根据求出来的 w(x, t) 和 q(l, t) 可以代入Q = ƒ0T q(l, t)dt, T = l1 / u;求出现在的Q = aM e-ßl2/v µ®, r = a’bl1/v, µ® = 1 - e-r / r;

    结果分析:

    1. Q和a,M成正比,aM是毒物集中在x = l处的吸入量;

    2. e-ßl2/v是过滤嘴的因素;

    3. µ®是烟草的吸收作用;

    4. 判断与不带过滤嘴的香烟比较

      Q1和Q2的差别为b和ß;

      我们已知:

      • 带滤嘴:Q1 = (aw0v / a’b) e-ßl2/v(1 - e-a’bl1/v);
      • 不带滤嘴:Q~12 = (aw0v / a’b) e-bl2/v(1 - e-a’bl1/v);

      所以明显是滤嘴提高了吸收能力

    特点:

    • 引入两个基本函数:流量q(x,t)和密度w(x,t),运用物理学的守恒定律建立微分方程,构造动态模型。

    3. 偏微方程的导出

    3.1. 波动方程的导出

    • 传输线方程(电报方程 )
    • 均匀薄膜的微小横振动方程
    • 流体力学与声学方程
    • 电磁波方程

    ta们的物理本质根本不同,但这些方程的数学形式与弦振动方程和杆纵振动方程完全一样:

    3.2. 扩散方程的导出

    3.2.1. 细杆热传导

    现象描述:导热细杆各点的温度是不均匀的,热量由高到低传导。

    目的:求出细杆中温度的变化方程。

    定律:

    • 热传导的傅立叶定律:q = -k∆u(单位时间内流过单位时间的热量q与温度的梯度成正比,k为热传导系数);
    • 热量守恒定律:热量变化 = 边界流入 + 热源放出;

    第一种情况(系统无热源):

    (热传导仅由物体内部温度不均引发)

    u(x, t)为x处t时刻的温度。

    一维情况下热传导的傅立叶定律有: q = -k∂u/∂x;(q为热流强度)

    在x方向上(微元法):

    • dt时间流入左表面的热量为:q|x Adt;
    • dt时间流出右表面的热量为:q|x+dx Adt;
    • 所以净流入为:q|x Adt - q|x+dx Adt = -∂q/∂xAdxdt =(然后把q换掉再整合)= kuxxAdxdt;

    因为热量Q = c(øAdx)[u|t - u|t+dt] = c(øAdx)utdt;(假设ø为密度)

    所以更具热量守恒定律得到kuxxAdxdt = c(øAdx)utdt;

    结果:ut - a2uxx = 0, a2 = k/cp(这就得到了均匀物体内部无热源时的热传导方程)

    第二种情况(系统内有热源):

    比第一问不过就是多个热源,也就是加一个热量呗(设F(x, t)为单位时间,单位体积内产生的热量:kuxxAdxdt + F(x, t)Adxdt = c(øAdx)utdt;

    得到:ut - a2uxx = F(x, t) / cp = f(x, t);(ƒ(x, t)为热源强度)

    三维情况下就是:ut - a2∆u = f(x, t);

    3.2.2. 扩散问题

    扩散现象:系统浓度不均用时,物质从高浓度转移向低浓度的现象。

    目的:建立空间各点浓度u(x, y, z, t)的方程。

    物理规律:扩散定律和粒子数守恒定律

    • 扩散定律(裴克定律):单位时间内流过单位面积的分子数或质量,与浓度的梯度成正比:(D为扩散系数)

      沿着n方向的大小:

    • 粒子数守恒定律:单位时间流入一定体积粒子数流出同一体积粒子数的差,等于该体积单位时间内粒子数的增加量。

      同样是微元法,划出一个小立方体v分析浓度变化规律。

      • 计算单位时间沿x-方向的净流入量(负号是表示和浓度梯度的方向相反):(利用两个平面的流入流出的积分)
      • 同理可以求出y方向和z方向的净流入量:
      • 所以总的净流入量为
      • 单位时间的粒子增加数为:
      • 根据粒子数守恒定律就可以得到:

      我们在前面得到过这样的结果:

      所以我们将扩散定律代入就可以得到三维扩散方程

      我们484看到了吗有很多D,如果扩散是均匀的,D就是一个常数,我们可以令D = a2,则有

      那如果这个空间里面有扩散源,也就是扩散是从这儿来的,那么我们可以将ta们相等得到公式:

    3.3. 稳定场方程

    3.3.1. 热传导方程

    如果边界条件与热源内不随时间变化,一定时间后,内部温度会达到稳态。

    u = u(x, y, z), ∂u/∂t = 0;

    so

    ut - a2∆u = f(x, y, z, t) -> ∆u = -f(x, y, z)泊松方程

    3.3.2. 静电场下的泊松方程和Laplace方程

    从高斯定理出发,我们可以结合扩散定律简单的得到:

    我们可以得到

    还因为

    我们可以得到两个方程:

    • 泊松方程:
    • Laplace方程(当的时候):

    4. PDE导出总结

    系统的物理状态除了取决于自己状态,还取决于系统环境的状态。

    • 物理、工程在t>0时刻的系统环境,在数学中称为边界条件;
    • 物理、工程在t=0时刻的系统状态,在数学中称为初始条件;

    定解条件:是边界条件和初始条件的总体,反映了问题的个性。

    泛定方程:不带边界和初始条件的方程,反映问题的个性。

    4.1. 初始条件 ——描述系统的初始状态

    • 波动方程:含有时间的二阶导数,所以需要两个初始条件
      1. u|t=0 = u(x) 系统各点的初始位移
      2. ∂u/∂t|t=0 = v(x) 系统各点的初始速度
    • 热传导方程:含有时间的一阶导数
      1. u(x, t)|t=0 = u(x)初始时刻的温度分布
    • 泊松方程和拉普拉斯方程:不含时间的倒数,不需要初始条件

    注意:初始条件给的是初始状态下物理量的分布,而不是指某一位置

    4.2. 边界条件

    未知函数在边界满足条件:

    1. 第一类Dirchlet边界条件:已知未知函数在边界上的函数值:

      基本形式:u(x, y, z, t)| = ƒ(M, t);

    2. 第二类Neumann:已知未知函数在边界上法线方向的导数值;
      基本形式:∂u(x, t)/∂n|x0 = ƒ(x0, t);

    3. 第三类Robin混合边界条件:混合牛顿冷却定律、傅立叶实验定律(一维);

      牛顿冷却定律:

      q = h(u - ø)n,u为物体表面温度,ø是周围介质温度,h是热交换系数。一维条件下简化为q = h(u - ø)。

      牛顿冷却定律可以得出流出热量与外界温差成正比。


      傅立叶实验定律:

      q|x=a = -k∂u/∂x|x=a

      基本形式:(u + H∂u/∂n)| = ƒ(x0, y0, z0, t);

    4.3. 小结

    5. 偏微分方程的求解

    5.1. 达朗贝尔公式:行波解

    基本思想:

    1. 求PDE的通解;
    2. 用定解求特解

    关键步骤:通过变量变换,将波动方程化为齐次二阶偏微分方程。(所以也叫做波动方程的初始问题,或者柯西问题)

    求解问题:

    我们根据式1可以拆分得到,变换变量也就可以转换为

    通过复合求导我们可以得到:
    ——》

    一些不要的东西删了:

    求通解:

    对两个创建的变量进行积分:

    积分得到

    再积分得到

    我们的通解就是

    其中ƒ1, ƒ2 是连续可微的一元函数。

    ƒ1(x - at)和ƒ2(x + at)的意义?

    • x - at为正方向运动的行波
    • x + at为反方向运动的行波

    确定待定函数形式,求特解:

    我们已经有初始条件:中的后两条。

    我们可以根据之前的条件可以进行两个公式的化简:

    1. image-20210714150847740
    2. image-20210714150921073

    所以可以得到我们求出的达朗贝尔公式:
    image-20210714151011495

    5.2. 分离变量法

    基本思想:将偏微分方程通过分离变量变成一个常微分方程!

    关键步骤:求特征值问题

    适用问题:有界域上的波动方程、热传导方程、稳定场方程等

    求解问题:

    特征值问题:含有未知常数的常微分方程,求非零解的问题;

    特征值:是方程有非零解的常数值;

    特征函数:和特征值相对于的非零解

    5.3. Fourier变换法(傅立叶变换法)

    基本思想:将偏微分方程通过Fourier变换变成一个常微分方程~

    关键步骤:求常微分方程定解问题和ta的解的方法,Fourier逆变换

    适用问题:无界域上的波动方程、热传导方程等

    求解问题:

    Fourier变换法基本步骤:

    1. 对偏微分方程与初始条件中实行傅立叶变换,转化为常微分方程;
    2. 解常微分方程的定解问题,得到相应的傅立叶变换式;
    3. 对该式进行逆傅立叶变换,求的原问题的解
    展开全文
  • 狼追兔高阶微分方程模型及其三维推广,潘磊,张佳晔,狼追兔二维追击模型可以通过高阶微分方程建模,然后基于matlab求解,依据狼和兔子的速度大小以及方向的关系,建立二阶微分方程,利
  • 数学建模预测方法之 微分方程模型

    千次阅读 2020-08-05 11:54:10
    微分方程模型 适用于基于相关原理的因果预测模型,大多是物理或几何方面的典型问题,假设条件,用数学符号表示规律,列出方程,求解的结果就是问题的答案。 短、中、长期的预测都适合。 反应事物内部规律及其内在...
  • 版块汇总建模和应用数学模型工程实例工具箱-8 微分方程模型.pdf 下面使我们在建模,学习,应用中经常用到的一些数学模型,期望对您的工作学习有所帮助。
  • 传染病微分方程模型的研究毕业设计
  • 微分方程模型之人口增长模型PPT教案.pptx
  • 微分方程模型与混沌(王树禾著)1999 微分方程模型与混沌(王树禾著)1999
  • 基于高阶常微分方程模型饿狼追兔问题分析,朱云龙,赵娜,利用高阶常微分模型饿狼是否能追上兔子。首先,建立狼和兔子的运动轨迹模型,兔子是向正北方向的洞穴直线跑去,狼沿曲线追去。接
  • 【数学建模】(一):微分方程模型+Python/MATLAB基本可视化微分方程例子普通微分方程时滞性微分方程Logistic模型Python可视化读文件中文显示随y渐变色边框去掉稀疏标签各种小样虚线MATLAB可视化读文件各种小样 ...
  • 数学建模问题 处理方法 合理的引入假设和量 建立微分方程模型 解释现象
  • 本书的目的是为解决由科学,工程和数学金融领域的随机微分方程模型提出的问题提供有益的理解。 通常,这些问题需要使用数值方法来获得解决方案。
  • 数学建模微分方程模型,大家可以根据这个掌握数学建模的基本思路与方法
  • 哈哈哈哈,好的东西啊,分享分享,微分方程模型在预测中的应用
  • 微分方程模型.ppt

    2020-04-25 10:58:23
    第五章 微分方程模型 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数
  • 目录1 MATLAB数值微积分2 微分方程数值解3 MATLAB求解常微分方程4 课后习题 1 MATLAB数值微积分 (1)差分与微分 • taylor 符号泰勒展开 • polyder 多项式求导 • diff 数值差分或符号求导 dx = diff(x) %返回向量...
  • 应用数学丛书 第一卷 微分方程模型 应用数学丛书 第一卷 微分方程模型
  • 6.1 微分方程模型介绍 微分方程模型介绍 一、建立微分方程 微分方程的解法 微分方程的解法之解析方法 二,微分方程的解法之数值方法 Matlab软件计算数值解 6.2 微分方程模型的分析方法 微分方程的解法 非线性微分...
  • 数学建模-微分方程模型

    千次阅读 2019-01-18 11:33:44
    引用:...微分方程建模是数学建模的重要方法,因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题,大体上可以按以下几步: 根...
  • 通过数字仿真计算验证了改进后算法的优良估计性能,将之与基于微分方程模型的最小二乘法、全波傅里叶算法作了比较。并根据各算法的估计性能特点,提出了一种具有反时限特性的距离保护算法的实现方案。
  • 微分方程模型的求解方法 在实际问题中经常需要寻求某个变量y随另一变量t的变化规律,y=y(t)这个函数关系式常常不能直接求出。然而有时容易建立包含变量及导数在内的关系式,即建立变量能满足的微分方程,从而通过求解...
  • 5.2 微分方程模型 5.2.1常见机电元件 5.2.2微分方程的建立 5.2.3 非线性数学模型的线性化 5.2 微分方程模型 5.2.1常见机电元件   能量分类 总方程 元件微分方程 储能...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 19,075
精华内容 7,630
关键字:

微分方程模型