相量法基础知识铺垫

相位超前或滞后的判断1.坐标轴上在左边的是超前，在右边是滞后

                                    2.函数式sin(ω+φ)为超前 sin(ω-φ)为滞后

将三相坐标系上的三相电在Im Re坐标轴上表示所需要的基本知识

三相坐标系到两相静止坐标系推导:

以三相电压为例进行说明:

三相对称电压公式

加到三相坐标系上就会合成相应的电压矢量，随着时间的变化该矢量逆时针旋转且幅值不变

ABC是固定的三相坐标系，这里是按照逆时针模式，ABC三个坐标轴上的量在时间上差了120，且A轴上的量超前B轴上的量超前C轴上的量，正弦量随着时间的变化，合成矢量也在不断变换。这里的坐标系起源于电机的定转子位置。

上式各相电压表示空间坐标系三个轴上的瞬时值，由欧拉公式：

则a,b,c三相坐标系合成矢量表达式如下：

上面最后式子相当于一个在实轴上，一个在虚轴上

则有：

Valpha,Vbeta即为两相静止坐标系下的分量，对应坐标系如下图所示：

将三相电压代入经过运算可得：

Valpha超前于Vbeta90度，两者幅值相等。但幅值为原来三相的电压的3/2倍，

若采用等幅值变换，那么需要对原矢量表达式再乘以2/3，来抵消掉前面的3/2，如下所示：

那么此时得到的新的alpha轴，beta轴分量的表达式如下

再将三相电压代入可得：

经过等幅值变换后的合成矢量的幅值为：

经过等幅值变换后合成矢量的幅值就是原来给定三相电压的幅值，这样变化前后，三相坐标系和两相静止坐标系上的正弦量幅值均相等，式1.8就是等幅值变化的方程，写成矩阵的形式如下：Clarke变换

其中最后一行均为1/2，是因为它包含了不对称三相正弦量的情况：

对于三相三线制电路是流不出零序分量的，三相四线制电路时，当三相电压不对称时，中线会通过零序分量，如果ua,ub,uc,为不对称的三相正弦量，那么它们的幅值不同，但角度还是相差120度的，当幅值不相等式，即ua,ub,uc,不对称时，那么总存在三相对称电压：ua’ ub’ uc’,使得：

由对称三相电的性质得：

可得：

然后提取2/3后，由变化后幅值相等就变成了上面矩阵那一行的1/2了。U0为零轴电流分量，如果电压本来对称的话，它的值为0。因为我们主要研究的是三相对称电路，所以u0不必过度纠结，如果不对称的话往往用正负序分离的方法解决，这也不会用到U0。所以最后一行系数不必过度纠结。

上面的坐标系是a轴与alpha轴重合的情况，这是我们常用的情况，但有些书上是按照alpha轴滞后于a轴90度来推导的

首先这样的坐标轴如下：

上式推导的结果重写如下：

这个式子是和alpha  beta轴的位置无关的，因为它是在三相坐标系下得到的结果，他只是将最后得到的量映射到了对应的坐标轴上。如果对应到上面的坐标轴上，beta轴上的量是原来的Valpha， 现在的alpha轴在下面，那么它上面的量就相当于，原来的-Vbeta，因为之前的beta轴就在现在的alpha方向上，但是方向相反，所以加个负号。那么这样变化后的两静止坐标系上的分量就变为：

依然是alpha分量超前于beta轴分量90度。但是此时beta轴上的量为原来a轴的量,这也很好理解，因为beta轴和a轴重合嘛。

这样坐标变换矩阵就如下所示:

再说一下等功率变换：

由上面可知，经过运算后三相坐标系上的正弦量，变换成两相坐标系上的正弦量如下 作者：

如果设三相电压与电流的夹角为 theta，那么变换到两相坐标系后电压电流的夹角依然不变，

则三相平均有功功率可表示为

除以根号2代表有效值，×3代表三相，cos theta代表有功功率

两相有功功率可表示为：

1/2是两个根号2相乘，3/2是变换成两相静止坐标系所带的系数

假设原来变换时，乘以个系数k，使得前后功率相等，则有：

解得：

则最终的变换为：

则有：

写成矩阵的形式如下：

最最后一行一般不用

我们通常用到的主要是alpha轴和beta轴上的量，通过上面对比，除最后一行零序分量外，等功率变换和等幅值变换只是相差了个系数问题

Park变换，旋转变换，由两相静止坐标系到两相旋转坐标系上的转化，旋转角度与三相正弦量的角度一致。从a轴开始，以wt的角速度旋转，这样合成的电压矢量会和坐标轴同步旋转，所以坐标轴上的分量就是直流量了，这样就把三相交流量转化成了两相直流量，方便我们用比例积分去控制。

首先说明一下，如果前面是恒功率变换，那这里变换后的结果就是恒功率，如果前面是恒幅值变换，那么这里变换后的结果就是恒幅值。

先分析d轴起始位置与a轴重合的情况：基于cos的park变换

坐标系如下：

通过坐标分解可得：

将clarke变换的公式代入上式就可以得到abc到dq0的坐标变换矩阵，以等幅值为例，如下：

如果d轴起始位置滞后于a轴90度：基于sin的park变换

坐标系如下，注意，旋转角度依然从A轴开始旋转，q轴为参考轴:

通过坐标分解可得：

写成矩阵的形式为：

将clarke变换的公式代入上式就可以得到abc到dq0的坐标变换矩阵，以等幅值为例：

下面来看个现象：

现在进行归一化处理，给定电压幅值为1的正弦量，分别用sin cos的形式表示

然后分别将两者代入上式：

将cos形式电压的代入a轴与d轴起始位置重合的情况：

电压表达式也用了角速度ωt、dq轴也按角速度ωt进行旋转，说明合成矢量是和dq坐标系的d轴重合

可以得到：Vd==1, Vq == 0; 此时d是主控轴， 给定cos信号时使得d轴分量为1，所以是基于cos型的坐标系。

同理：将cos的形式代入d初始时滞后a轴90度的情况得：

将sin的形式代入d初始时与a轴重合的情况得：

将sin的形式代入d初始时滞后a轴90度的情况得：

我们习惯把d轴当做主轴来控制，就是通过变换后最好让d轴分量为1，所以当系统所使用的电压为cos形式时，那么用a轴与d轴重合的形式比较方便，此时d轴为1，对应simulink中的Rotating frame aligned with A axis at t = 0模式；如果系统使用的三相为sin的形式，那么使用d初始时刻滞后于a轴90度时比较方便，此时d轴为1，对应simulink中的Rotating frame aligned 90 degrees behind A axis模式；上面的结果也正对应了simulink 模块help中的一段话

如果经常仿真的话会发现,我们通常都是用它默认的Rotating frame aligned 90 degrees behind A axis模式，这也是因为我们给定的通常都是sin的形式，这样直接把d轴作为主轴控制就不会有问题。

最后将上面的公式总结一下：

坐标模式为alpha轴和A轴重合，另一种模式不常用，这里不再给出。

clarke变换公式：

park变换（以等幅值变换为例）

 d轴起始位置与A轴重合：

 d轴起始位置滞后于A轴90度：

FOC控制原理——Clark变换和Park变换

Clark变换

原理

Clark变换就是把三向坐标系变成直角坐标系

已知三向坐标系 $(I_a,I_b,I_c)$ ，这三个基向量不是正交的，所以可以将其正交化为一个直角坐标系，命名为 $\alpha -\beta$ 坐标系，变换公式为：
$$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}{I}_{\alpha }& =I_a-I_b\text{cos}60-I_c\text{cos}60\\ & =I_a-\frac{1}{2}{I}_b-\frac{1}{2}{I}_c\end{array}\\ \begin{array}{rl}{I}_{\beta }& =I_b\text{cos}30-I_c\text{cos}30\\ & =\frac{\sqrt{3}}{2}{I}_b-\frac{\sqrt{3}}{2}{I}_c\end{array}\end{array}$$

可以将其整理成矩阵形式：
$$\left[\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_a\\ I_b\\ I_c\end{array}\right]$$
由基尔霍夫电流定律， $I_a+I_b+I_c=0$ ，故也可整理为：
$$\{\begin{array}{l}{I}_{\alpha }=\frac{3}{2}{I}_a\\ I_{\beta }=\frac{\sqrt{3}}{2}{I}_a+\sqrt{3}{I}_b\end{array}$$

反Clark变换则将三向信号转换为两向信号，根据上式可以解得
$$\left[\begin{array}{c}{I}_a\\ I_b\\ I_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& 0\\ -\frac{1}{3}& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ -\frac{1}{3}& -\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]$$
也可通过计算Clark变换常数矩阵的伪逆来确定反Clark变换的常数矩阵（使用MATLAB中的 pinv()函数）

Simulink仿真

通过图像可以看到，输入信号的幅值为1，经过Clark变换后的图像幅值变为1.5，即变为 $\frac{3}{2}$ 倍；进行反Clark变换后幅值又变为1.5，即变为 $\frac{2}{3}$ 倍。所以要进行等幅值变换。修改仿真：

可以看到，经过等幅值变换后，幅值统一为1。

Park变换

原理

Park变换可以将正弦变量线性化

将 $\alpha -\beta$ 坐标系旋转 $\theta$ 度变为 $d-q$ 坐标系， $d$ 指向转子中心， $q$ 指向切线方向，其中 $\theta$ 是转子当前的角度。如下图

也就是说 $d-q$ 坐标系始终跟着转子旋转。

则可以写出
$$\{\begin{array}{l}{I}_d=I_{\alpha }\cos (\theta )+I_{\beta }\sin (\theta )\\ I_q=-I_{\alpha }\sin (\theta )+I_{\beta }\cos (\theta )\end{array}$$
整理成矩阵形式
$$\left[\begin{array}{l}{I}_d\\ I_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]$$
所以如果 $d$ 轴为0，则功率全部输出在 $q$ 轴上。

同理，可以求得反Park变换
$$\left[\begin{array}{l}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{I}_d\\ I_q\end{array}\right]$$

Simulink仿真

在Clark变换和等幅值变换的基础上添加Park变换

关注Park部分

1.前言

坐标变换分为“等量”变换和“等功率”变换两种。

2.clark变换

等量变换：所谓等量坐标变换，是指在某一坐标系中的通用矢量与变换后的另一坐标系中的通用矢量相等的坐标变换。

2.1 标准Clark变换

三相静止坐标系（a,b,c）到亮相静止垂直（D,Q）的变换。





零轴电流分量为：

3.Park变换

三相静止坐标系（a,b,c）到亮相静止垂直（d,q）的变换。