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2021-10-04 20:37:02
1. 引言
Clark变换和Park变换在三相系统中应用广泛,并且在单相系统中也有应用。但是以往的资料都是仅分析单相的坐标变换或者三相的坐标变换,并没有总结三相和单相的联系。本文将以坐标变换矩阵为载体,分析坐标变换在单相和三相系统中的应用。
2. Clark变换
2.1 三相系统
假设 u a = U m c o s ω t u_a=U_mcos\omega t ua=Umcosωt, u b = U m c o s ( ω t − 12 0 ∘ ) u_b=U_mcos(\omega t-120^\circ) ub=Umcos(ωt−120∘), u c = U m c o s ( ω t + 12 0 ∘ ) u_c=U_mcos(\omega t+120^\circ) uc=Umcos(ωt+120∘)。经过Clark变换后的结果是 u α = U m c o s ω t u_\alpha=U_mcos\omega t uα=Umcosωt, u β = U m s i n ω t u_\beta=U_msin\omega t uβ=Umsinωt。 根据变换前后的表达式,我们能够得到三相系统中Clark逆变换的表达式:
[ u a u b u c ] = [ 1 0 − 1 2 ( 3 ) 2 − 1 2 − ( 3 ) 2 ] [ u α u β ] \begin{bmatrix} u_a\\u_b\\u_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt(3)}{2} \\ -\frac{1}{2} & - \frac{\sqrt(3)}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_\alpha\\u_\beta \end{bmatrix} ⎣⎡uaubuc⎦⎤=⎣⎢⎡1−21−2102(3)−2(3)⎦⎥⎤[uαuβ]
将该表达式反着写,便得到了我们熟知的Clark变换表达式:
[ u α u β ] = 2 3 [ 1 − 1 2 − 1 2 0 ( 3 ) 2 − ( 3 ) 2 ] [ u a u b u c ] \begin{bmatrix} u_\alpha\\u_\beta \end{bmatrix} = \frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt(3)}{2} & - \frac{\sqrt(3)}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_a\\u_b\\u_c \end{bmatrix} [uαuβ]=32[10−212(3)−21−2(3)]⎣⎡uaubuc⎦⎤2.2 单相系统
借鉴三相系统的思想,假设 u a = U m c o s ω t u_a=U_mcos\omega t ua=Umcosωt, 经过Clark变换后的结果是 u α = U m c o s ω t u_\alpha=U_mcos\omega t uα=Umcosωt, u β = U m s i n ω t u_\beta=U_msin\omega t uβ=Umsinωt。由于单相只有一个物理量,所以我们虚拟一个滞后于 u a u_a ua 90度的物理量 u a 1 = U m s i n ω t u_{a1}=U_msin\omega t ua1=Umsinωt。根据变换前后的表达式,我们能够得到三相系统中Clark逆变换的表达式:
[ u a u a 1 ] = [ 1 0 0 1 ] [ u α u β ] \begin{bmatrix} u_a\\u_{a1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_\alpha\\u_\beta \end{bmatrix} [uaua1]=[1001][uαuβ]
将该表达式反着写,便得到了单相系统的Clark变换表达式:
[ u α u β ] = [ 1 0 0 1 ] [ u a u a 1 ] \begin{bmatrix} u_\alpha\\u_\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_a\\u_{a1} \end{bmatrix} [uαuβ]=[1001][uaua1]
如果设定 u a 1 = − U m s i n ω t u_{a1}=-U_msin\omega t ua1=−Umsinωt,相应地修改矩阵即可。3. Park变换
3.1 三相系统
假设 u a = U d s i n ω t + U q c o s ω t u_a=U_dsin\omega t + U_qcos\omega t ua=Udsinωt+Uqcosωt, u b = U d s i n ( ω t − 12 0 ∘ ) + U q c o s ( ω t − 12 0 ∘ ) u_b=U_dsin(\omega t-120^\circ) + U_qcos(\omega t-120^\circ) ub=Udsin(ωt−120∘)+Uqcos(ωt−120∘), u c = U d s i n ( ω t + 12 0 ∘ ) + U q c o s ( ω t + 12 0 ∘ ) u_c=U_dsin(\omega t+120^\circ) + U_qcos(\omega t+120^\circ) uc=Udsin(ωt+120∘)+Uqcos(ωt+120∘)。经过Park变换后的结果是 u α = U d u_\alpha=U_d uα=Ud, u β = U q u_\beta=U_q uβ=Uq。 根据变换前后的表达式,我们能够得到三相系统中Park逆变换的表达式:
[ u a u b u c ] = [ s i n w t c o s w t s i n ( w t − 12 0 ∘ ) c o s ( w t − 12 0 ∘ ) s i n ( w t + 12 0 ∘ ) c o s ( w t + 12 0 ∘ ) ] [ u d u q ] \begin{bmatrix} u_a\\u_b\\u_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sinwt & coswt \\ sin(wt-120^\circ) & cos(wt-120^\circ) \\ sin(wt+120^\circ) & cos(wt+120^\circ) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_d\\u_q \end{bmatrix} ⎣⎡uaubuc⎦⎤=⎣⎡sinwtsin(wt−120∘)sin(wt+120∘)coswtcos(wt−120∘)cos(wt+120∘)⎦⎤[uduq]
将该表达式反着写,便得到了我们熟知的Plark变换表达式:
[ u d u q ] = 2 3 [ s i n w t s i n ( w t − 12 0 ∘ ) s i n ( w t + 12 0 ∘ ) c o s w t c o s ( w t − 12 0 ∘ ) c o s ( w t + 12 0 ∘ ) ] [ u a u b u c ] \begin{bmatrix} u_d\\u_q \end{bmatrix} = \frac{2}{3} \begin{bmatrix} sinwt & sin(wt-120^\circ) & sin(wt+120^\circ) \\ coswt & cos(wt-120^\circ) & cos(wt+120^\circ) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_a\\u_b\\u_c \end{bmatrix} [uduq]=32[sinwtcoswtsin(wt−120∘)cos(wt−120∘)sin(wt+120∘)cos(wt+120∘)]⎣⎡uaubuc⎦⎤3.2 单相系统
借鉴三相系统的思想,假设 u a = U d s i n ω t + U q c o s ω t u_a=U_dsin\omega t + U_qcos\omega t ua=Udsinωt+Uqcosωt, 经过Park变换后的结果是 u α = U d u_\alpha=U_d uα=Ud, u β = U q u_\beta=U_q uβ=Uq。由于单相只有一个物理量,所以我们虚拟一个滞后于 u a u_a ua 90度的物理量 u a 1 = U d s i n ( ω t − 9 0 ∘ ) + U q c o s ( ω t − 9 0 ∘ ) u_{a1}=U_dsin(\omega t-90^\circ)+U_qcos(\omega t-90^\circ) ua1=Udsin(ωt−90∘)+Uqcos(ωt−90∘)。根据变换前后的表达式,我们能够得到三相系统中Park逆变换的表达式:
[ u a u a 1 ] = [ s i n w t c o s w t − c o s w t s i n w t ] [ u d u q ] \begin{bmatrix} u_a\\u_{a1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sinwt & coswt \\ -coswt & sinwt \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_d\\u_q \end{bmatrix} [uaua1]=[sinwt−coswtcoswtsinwt][uduq]
将该表达式反着写,便得到了单相系统的Park变换表达式:
[ u d u q ] = [ s i n w t − c o s w t c o s w t s i n w t ] [ u a u a 1 ] \begin{bmatrix} u_d\\u_q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sinwt & -coswt \\ coswt & sinwt \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_a\\u_{a1} \end{bmatrix} [uduq]=[sinwtcoswt−coswtsinwt][uaua1]
如果设定 u a 1 u_{a1} ua1超前 u a u_a ua 90度,相应地修改矩阵即可。4. 结论
通过上面的分析,我们可以发现,只要确定了变换前后的表达式,就能够确定变换矩阵。对于单相而言,需要构造一个虚拟的物理量,这个物理量的表达式不同,导致最后的变换矩阵不一样。
反馈与建议
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相位超前或滞后的判断1.坐标轴上在左边的是超前,在右边是滞后
2.函数式sin(ω+φ)为超前 sin(ω-φ)为滞后
将三相坐标系上的三相电在Im Re坐标轴上表示所需要的基本知识
三相坐标系到两相静止坐标系推导:
以三相电压为例进行说明:
三相对称电压公式
加到三相坐标系上就会合成相应的电压矢量,随着时间的变化该矢量逆时针旋转且幅值不变
ABC是固定的三相坐标系,这里是按照逆时针模式,ABC三个坐标轴上的量在时间上差了120,且A轴上的量超前B轴上的量超前C轴上的量,正弦量随着时间的变化,合成矢量也在不断变换。这里的坐标系起源于电机的定转子位置。
上式各相电压表示空间坐标系三个轴上的瞬时值,由欧拉公式:
则a,b,c三相坐标系合成矢量表达式如下:
上面最后式子相当于一个在实轴上,一个在虚轴上
则有:
Valpha,Vbeta即为两相静止坐标系下的分量,对应坐标系如下图所示:
将三相电压代入经过运算可得:
Valpha超前于Vbeta90度,两者幅值相等。但幅值为原来三相的电压的3/2倍,
若采用等幅值变换,那么需要对原矢量表达式再乘以2/3,来抵消掉前面的3/2,如下所示:
那么此时得到的新的alpha轴,beta轴分量的表达式如下
再将三相电压代入可得:
经过等幅值变换后的合成矢量的幅值为:
经过等幅值变换后合成矢量的幅值就是原来给定三相电压的幅值,这样变化前后,三相坐标系和两相静止坐标系上的正弦量幅值均相等,式1.8就是等幅值变化的方程,写成矩阵的形式如下:Clarke变换
其中最后一行均为1/2,是因为它包含了不对称三相正弦量的情况:
对于三相三线制电路是流不出零序分量的,三相四线制电路时,当三相电压不对称时,中线会通过零序分量,如果ua,ub,uc,为不对称的三相正弦量,那么它们的幅值不同,但角度还是相差120度的,当幅值不相等式,即ua,ub,uc,不对称时,那么总存在三相对称电压:ua’ ub’ uc’,使得:
由对称三相电的性质得:
可得:
然后提取2/3后,由变化后幅值相等就变成了上面矩阵那一行的1/2了。U0为零轴电流分量,如果电压本来对称的话,它的值为0。因为我们主要研究的是三相对称电路,所以u0不必过度纠结,如果不对称的话往往用正负序分离的方法解决,这也不会用到U0。所以最后一行系数不必过度纠结。
上面的坐标系是a轴与alpha轴重合的情况,这是我们常用的情况,但有些书上是按照alpha轴滞后于a轴90度来推导的
首先这样的坐标轴如下:
上式推导的结果重写如下:
这个式子是和alpha beta轴的位置无关的,因为它是在三相坐标系下得到的结果,他只是将最后得到的量映射到了对应的坐标轴上。如果对应到上面的坐标轴上,beta轴上的量是原来的Valpha, 现在的alpha轴在下面,那么它上面的量就相当于,原来的-Vbeta,因为之前的beta轴就在现在的alpha方向上,但是方向相反,所以加个负号。那么这样变化后的两静止坐标系上的分量就变为:
依然是alpha分量超前于beta轴分量90度。但是此时beta轴上的量为原来a轴的量,这也很好理解,因为beta轴和a轴重合嘛。
这样坐标变换矩阵就如下所示:
再说一下等功率变换:
由上面可知,经过运算后三相坐标系上的正弦量,变换成两相坐标系上的正弦量如下 作者:
如果设三相电压与电流的夹角为 theta,那么变换到两相坐标系后电压电流的夹角依然不变,
则三相平均有功功率可表示为
除以根号2代表有效值,×3代表三相,cos theta代表有功功率
两相有功功率可表示为:
1/2是两个根号2相乘,3/2是变换成两相静止坐标系所带的系数
假设原来变换时,乘以个系数k,使得前后功率相等,则有:
解得:
则最终的变换为:
则有:
写成矩阵的形式如下:
最最后一行一般不用
我们通常用到的主要是alpha轴和beta轴上的量,通过上面对比,除最后一行零序分量外,等功率变换和等幅值变换只是相差了个系数问题
Park变换,旋转变换,由两相静止坐标系到两相旋转坐标系上的转化,旋转角度与三相正弦量的角度一致。从a轴开始,以wt的角速度旋转,这样合成的电压矢量会和坐标轴同步旋转,所以坐标轴上的分量就是直流量了,这样就把三相交流量转化成了两相直流量,方便我们用比例积分去控制。
首先说明一下,如果前面是恒功率变换,那这里变换后的结果就是恒功率,如果前面是恒幅值变换,那么这里变换后的结果就是恒幅值。
先分析d轴起始位置与a轴重合的情况:基于cos的park变换
坐标系如下:
通过坐标分解可得:
将clarke变换的公式代入上式就可以得到abc到dq0的坐标变换矩阵,以等幅值为例,如下:
如果d轴起始位置滞后于a轴90度:基于sin的park变换
坐标系如下,注意,旋转角度依然从A轴开始旋转,q轴为参考轴:
通过坐标分解可得:
写成矩阵的形式为:
将clarke变换的公式代入上式就可以得到abc到dq0的坐标变换矩阵,以等幅值为例:
下面来看个现象:
现在进行归一化处理,给定电压幅值为1的正弦量,分别用sin cos的形式表示
然后分别将两者代入上式:
将cos形式电压的代入a轴与d轴起始位置重合的情况:
电压表达式也用了角速度ωt、dq轴也按角速度ωt进行旋转,说明合成矢量是和dq坐标系的d轴重合
可以得到:Vd==1, Vq == 0; 此时d是主控轴, 给定cos信号时使得d轴分量为1,所以是基于cos型的坐标系。
同理:将cos的形式代入d初始时滞后a轴90度的情况得:
将sin的形式代入d初始时与a轴重合的情况得:
将sin的形式代入d初始时滞后a轴90度的情况得:
我们习惯把d轴当做主轴来控制,就是通过变换后最好让d轴分量为1,所以当系统所使用的电压为cos形式时,那么用a轴与d轴重合的形式比较方便,此时d轴为1,对应simulink中的Rotating frame aligned with A axis at t = 0模式;如果系统使用的三相为sin的形式,那么使用d初始时刻滞后于a轴90度时比较方便,此时d轴为1,对应simulink中的Rotating frame aligned 90 degrees behind A axis模式;上面的结果也正对应了simulink 模块help中的一段话
如果经常仿真的话会发现,我们通常都是用它默认的Rotating frame aligned 90 degrees behind A axis模式,这也是因为我们给定的通常都是sin的形式,这样直接把d轴作为主轴控制就不会有问题。
最后将上面的公式总结一下:
坐标模式为alpha轴和A轴重合,另一种模式不常用,这里不再给出。
clarke变换公式:
park变换(以等幅值变换为例)
d轴起始位置与A轴重合:
d轴起始位置滞后于A轴90度:
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FOC控制原理——Clark变换和Park变换
2022-03-23 16:26:56FOC控制原理——Clark变换和Park变换FOC控制原理——Clark变换和Park变换
Clark变换
原理
Clark变换就是把三向坐标系变成直角坐标系
已知三向坐标系 ( I a , I b , I c ) (I_a,I_b,I_c) (Ia,Ib,Ic) ,这三个基向量不是正交的,所以可以将其正交化为一个直角坐标系,命名为 α − β \alpha-\beta α−β 坐标系,变换公式为:
{ I α = I a − I b cos 60 − I c cos 60 = I a − 1 2 I b − 1 2 I c I β = I b cos 30 − I c cos 30 = 3 2 I b − 3 2 I c \left\{\begin{array}{l} \begin{aligned} I_\alpha&=I_a-I_b\text{cos}60-I_c\text{cos}60 \\ &=I_a-\frac{1}{2}I_b-\frac{1}{2}I_c \end{aligned} \\ \begin{aligned} I_\beta&=I_b\text{cos}30-I_c\text{cos}30 \\ &=\frac{\sqrt3}{2}I_b-\frac{\sqrt3}{2}I_c \end{aligned} \end{array}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧Iα=Ia−Ibcos60−Iccos60=Ia−21Ib−21IcIβ=Ibcos30−Iccos30=23Ib−23Ic可以将其整理成矩阵形式:
[ I α I β ] = [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] [ I a I b I c ] \left[\begin{array}{c} I_{\alpha} \\ I_{\beta} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} I_{a} \\ I_{b} \\ I_{c} \end{array}\right] [IαIβ]=[10−2123−21−23]⎣⎡IaIbIc⎦⎤
由基尔霍夫电流定律, I a + I b + I c = 0 I_a+I_b+I_c=0 Ia+Ib+Ic=0 ,故也可整理为:
{ I α = 3 2 I a I β = 3 2 I a + 3 I b \left\{\begin{array}{l} I_\alpha=\frac{3}{2}I_a \\ I_\beta=\frac{\sqrt3}{2}I_a+\sqrt3I_b \end{array}\right. {Iα=23IaIβ=23Ia+3Ib反Clark变换则将三向信号转换为两向信号,根据上式可以解得
[ I a I b I c ] = [ 2 3 0 − 1 3 1 3 − 1 3 − 1 3 ] [ I α I β ] \left[\begin{array}{c} I_{a} \\ I_{b} \\ I_{c} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc} \frac{2}{3} & 0 \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} I_{\alpha} \\ I_{\beta} \end{array}\right] ⎣⎡IaIbIc⎦⎤=⎣⎡32−31−31031−31⎦⎤[IαIβ]
也可通过计算Clark变换常数矩阵的伪逆来确定反Clark变换的常数矩阵(使用MATLAB中的pinv()
函数)Simulink仿真
通过图像可以看到,输入信号的幅值为1,经过Clark变换后的图像幅值变为1.5,即变为 3 2 \frac{3}{2} 23 倍;进行反Clark变换后幅值又变为1.5,即变为 2 3 \frac{2}{3} 32 倍。所以要进行等幅值变换。修改仿真:
可以看到,经过等幅值变换后,幅值统一为1。
Park变换
原理
Park变换可以将正弦变量线性化
将 α − β \alpha-\beta α−β 坐标系旋转 θ \theta θ 度变为 d − q d-q d−q 坐标系, d d d 指向转子中心, q q q 指向切线方向,其中 θ \theta θ 是转子当前的角度。如下图
也就是说 d − q d-q d−q 坐标系始终跟着转子旋转。
则可以写出
{ I d = I α cos ( θ ) + I β sin ( θ ) I q = − I α sin ( θ ) + I β cos ( θ ) \left\{\begin{array}{l} I_{d}=I_{\alpha} \cos (\theta)+I_{\beta} \sin (\theta) \\ I_{q}=-I_{\alpha} \sin (\theta)+I_{\beta} \cos (\theta) \end{array}\right. {Id=Iαcos(θ)+Iβsin(θ)Iq=−Iαsin(θ)+Iβcos(θ)
整理成矩阵形式
[ I d I q ] = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ I α I β ] \left[\begin{array}{l} I_{d} \\ I_{q} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} I_{\alpha} \\ I_{\beta} \end{array}\right] [IdIq]=[cosθ−sinθsinθcosθ][IαIβ]
所以如果 d d d 轴为0,则功率全部输出在 q q q 轴上。同理,可以求得反Park变换
[ I α I β ] = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ I d I q ] \left[\begin{array}{l} I_{\alpha} \\ I_{\beta} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} I_{d} \\ I_{q} \end{array}\right] [IαIβ]=[cosθsinθ−sinθcosθ][IdIq]Simulink仿真
在Clark变换和等幅值变换的基础上添加Park变换
关注Park部分
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2020-11-28 22:08:05两种旋转变换 1. 三相abc到两相静止DQ变换(Clark) 如图中ABC三相位置为互差120°,幅值相等; DQ坐标系下,D轴与A轴重合,Q轴滞后D轴90°; 图中V代表通用矢量,他可以分解到ABC坐标系下,也可以分解到DQ坐标系下... -
Simulink仿真---Park变换、反Park变换
2019-08-05 23:12:37使用park变换将电流Iα、Iβ 和转子的电角度θ转化为电流 Iq、Id。 公式为: 2、建立模型 添加Park变换子系统,模型如下:(从“Simulink”-“User-Defined Function”-“Fcn”处添加函数模块) 添加...