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  • 拉普拉斯算子用于图像锐化处理-拉普拉斯算子用于图像锐化处理.doc 用Matlab拉普拉斯算子 处理图像,达到锐化边缘的效果 含有Matlab程序及相关图片
  • 拉普拉斯算子

    2014-05-18 17:01:41
    拉普拉斯算子matlab 运行,拉普拉斯算子进行边缘检测
  • 拉普拉斯算子的理论: 最大变化处的二阶微分值为0,即边缘在二阶微分时为零值、通过二阶微分计算,可以计算图像二阶微分,提取边缘。二. 用拉普拉斯算子处理问题的流程:高斯模糊-去噪 GaussianBlur()转换为灰度...

    一. 拉普拉斯算子的理论:

      最大变化处的二阶微分值为0,即边缘在二阶微分时为零值、通过二阶微分计算,可以计算图像二阶微分,提取边缘。

    二. 用拉普拉斯算子处理问题的流程:

    1. 高斯模糊-去噪 GaussianBlur()
    2. 转换为灰度图像 cvtColor()
    3. 拉普拉斯-二阶导数计算 Laplacian()
    4. 取绝对值 convertScaleAbs()

    三. 下面是代码:

    #include

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  • 拉普拉斯矩阵为啥被定义成?这玩意为什么冠以拉普拉斯之名?...图1 Laplacian矩阵的计算方法要讲拉普拉斯矩阵,就要从拉普拉斯算子讲起,要讲拉普拉斯算子,就要从散度讲起~不懂的可以看:炫云:通量与...

    拉普拉斯矩阵为啥被定义成

    ?这玩意为什么冠以拉普拉斯之名?为什么和图论有关的算法如此喜欢用拉普拉斯矩阵和它的特征值?

    接触到了图论中的Laplacian矩阵,定义为

    是Laplacian矩阵,
    是顶点的度矩阵,
    是图的邻接矩阵。看图1的示例,就能很清楚知道
    的计算过程。

    08519a8280966297c5a23dc3d087f181.png
    图1 Laplacian矩阵的计算方法

    要讲拉普拉斯矩阵,就要从拉普拉斯算子讲起,要讲拉普拉斯算子,就要从散度讲起~

    不懂的可以看:炫云:通量与散度

    炫云:高斯公式

    拉普拉斯算子

    根据定义,函数

    的拉普拉斯算子
    又可以写成
    ,其被定义为函数
    梯度散度

    那么这又是什么意思呢?

    我们知道,在直角坐标系下,一个函数

    处的梯度是一个
    向量

    于是函数

    梯度函数

    就构成了一个在三维空间下的向量场。

    笛卡尔坐标系下的表示法:

    维形式

    于是乎,我们对这一向量场

    求散度
    ,即得到了
    的拉普拉斯算子

    为什么要这样做呢?

    让我们想像一座山,根据梯度的定义,在山峰周围,所有的梯度向量向此汇聚,所以每个山峰处的拉普拉斯算子为负;而在山谷周围,所有梯度从此发散,所以每个山谷处的拉普拉斯算子为正。所以说,对于一个函数,拉普拉斯算子实际上衡量了在空间中的每一点处,该函数梯度是倾向于增加还是减少

    描述物理系统最优美的公式之一拉普拉斯方程,

    ,大家可以想一想,这一公式表达了物理系统怎么样的特征呢?

    图函数

    我们知道,互相连接的节点可以构成一张,其中包含所有点构成的集合

    , 和所有边构成的集合

    对于实数域上的函数

    ,我们可以理解为一种对于
    的映射,将每个可能的
    映射到一个对应的
    上(
    )。

    相应地,我们也可以定义一个图函数

    ,使得图上的每一个节点
    ,都被映射到一个实数
    上。

    比如说,假设我们有一个这样的社交网络图谱:

    3959076ca5c121d31ee898a2bf08dd4d.png
    图一

    假设说每一条边的权值对应两个人之间信息的流通程度。现在我们想要分析这个社交网络上的信息传播,我们不仅需要知道信息流通的程度,我们还要知道每个人发动态的活跃程度,于是我们现在给这个图一个函数

    ,使得:

    这里的负数似乎可以理解为,

    是谣言终结者,可以阻止信息的传播~

    那么我们得到这样一张图:

    548006dfa51cfe18d5ce4f74c89c635d.png
    图二

    图函数的梯度

    我们定义了图论的函数,那么应该如何给图论下的函数定义梯度呢?

    我们记得,梯度的意义在于,衡量函数在每一个点处,在每个正交方向上的变化,如

    的梯度在
    方向的分量

    在图论中,我们认为一个节点沿着每一条边通向它的相邻节点,而每两条边之间互相并没有什么关系,也就是说我们认为这个节点的每一条边互相都是正交的

    并且对于两个节点,我们定义其距离

    为其边权值的
    倒数(比如上面社交网络的例子,我们可以认为,两个人的信息流通程度越低,两个人的友谊就“越远”)

    那么对于一个节点

    ,我们认为其梯度在一条通向
    的边
    上的
    分量

    (其中

    的距离),

    详细的图资料,请看:炫云:图01---定义和术语

    邻接矩阵

    关联矩阵

    为了计算梯度,我们给出一个这样的矩阵:

    每一行代表一个点,每一列代表一条边,使得对于每个点每条边,如果该条边从该点发射出去,且权值为
    ,则将矩阵中对应的这一元素置为
    ,如果该条边指向该点,则将对应的元素置为

    具体到上面社交网络的例子,我们有相应的矩阵

    bb58b2145930903c35eec842a4440b2e.png

    我们又有关于图函数

    的列向量

    09c394d4f1d6013b742cdefca26a3dc3.png

    我们试着计算

    经过观察我们可以知道,最后计算结果的向量,即是整个图

    函数上的梯度
    ,其中每一行,为该梯度在一条边上的分量。

    所以对于图

    ,我们有
    ,使得

    拉普拉斯算子与拉普拉斯矩阵

    我们记得在函数中,拉普拉斯算子的定义为函数梯度的散度,即每一点上其梯度的增加/减少,那么对于图函数,其每一“点”即为每个“节点”,其梯度的散度该怎么定义呢?

    我们几乎可以立刻可以想到,图函数每一点上梯度的散度,即是从该节点射出的梯度,减去射入该节点的梯度,那么我们几乎又可以立即想到,根据这样的定义去计算散度,只要把原来的梯度再左乘一个这样的矩阵就可以啦:

    每一行代表一个点,每一列代表一条边,使得对于每个点每条边,如果该条边从该点发射出去,则将矩阵中对应的这一元素置为
    ,如果该条边指向该点,则将对应的元素置为

    命名这一矩阵为

    也就是说,我们把

    的每个元素,正的变成1,负的变成-1,就得到了

    那么,整个图

    函数上的散度

    于是我们得到了图论函数的拉普拉斯算子

    ,即我们常说的
    拉普拉斯矩阵

    注意在我们上面的范例中,将任意一条边的方向反转,等价于在

    的一列上乘以
    ,这种情况下最终
    不会改变,也就是说拉普拉斯矩阵的值与图中每一条边的方向无关,所以拉普拉斯矩阵一般用来表述无向图

    计算

    的值,我们得到矩阵:

    注意到这一对称矩阵,对角线即是每个点的,而其余的元素,则是负的邻接矩阵,于是乎我们得到了拉普拉斯矩阵的经典算式:

    定义

    的度数矩阵(degree matrix)

    定义

    邻接矩阵(adjacency matrix)

    则在图二中,

    所以

    拉普拉斯矩阵的重要性质

    拉普拉斯矩阵之所以如此常用,是因为其一大重要性质: 拉普拉斯矩阵的

    个特征值
    都是非负值,且有

    同时,我们引入关于矩阵

    的瑞利熵的概念:

    其中

    共轭矩阵,对于
    为实数矩阵的情况下

    而通过拉格朗日乘子法可以得出,瑞利熵的一个非常重要的特点就是: 瑞丽熵的最大值,等于

    的最大特征值,瑞利熵的最小值,等于
    的最小特征值

    再看看图算法中对于拉普拉斯矩阵

    的运算中常常出现的
    ,结合上文所述的拉普拉斯矩阵的重要性质,那么拉普拉斯矩阵在各种图算法中的应用,想必大家也能够理解啦~
    炫云:拉普拉斯矩阵归一化zhuanlan.zhihu.com
    eb10c771799b6b346df59c839b68ec2c.png

    图拉普拉斯算子推导

    主要是以下2种:

    1. 或者

    1、图像普拉斯算子

    图像是一种离散数据,那么其拉普拉斯算子必然要进行离散化。

    从导数定义说起

    那么:

    结论1:二阶导数近似等于其二阶差分。

    结论2:二阶导数等于其在所有自由度上微扰之后获得的增益。一维函数其自由度可以理解为2,分别是+1和-1两个方向。

    对于二维的图像来说,其有两个方向(4个自由度)可以变化,即如果对(x,y)处的像素进行扰动,其可以变为四种状态(x+1,y),(x-1,y),(x,y+1),(x,y-1)。当然了,如果将对角线方向也认为是一个自由度的话,会再增加几种状态(x+1,y+1),(x+1,y-1),(x-1,y+1),(x-1,y-1),事实上图像处理上正是这种。再当然了,如果你认为对一个像素进行微扰可能变为任何一个像素,那它的自由度就是整个图片的像素数(不过这还叫微扰吗?)。其实结论差不多,就讨论四种状态。

    f0997bfa2ccb201eeb52a2a0c994f12f.png

    上式中每一项的系数就是拉普拉斯在二维图像中的卷积核:

    d4543c856d3c8681f77d53747c8174ff.png

    现在用散度的概念解读一下:

    • 如果
      ,可以近似认为中心点
      的势和其周围点的势是相等的,
      局部范围内不存在势差。所以该点无源
    • ,可以近似认为中心点
      的势低于周围点,
      可以想象成中心点如恒星一样发出能量,补给周围的点,所以该点是正源
    • ,可以近似认为中心点
      的势高于周围点,
      可以想象成中心点如吸引子一样在吸收能量,所以该点是负源

    另一个角度,拉普拉斯算子计算了周围点与中心点的梯度差。当

    受到扰动之后,其可能变为相邻的
    之一,拉普拉斯算子得到的是对该点进行微小扰动后可能获得的总增益 (或者说是总变化)。

    2、图普拉斯算子推导

    我们现在将这个结论推广到图: 假设具有

    个节点的图
    ,此时以上定义的函数
    不再是二维,而是
    维向量:
    ,其中
    为函数
    在图中节点
    处的函数值。类比于
    在节点
    处的值。对
    节点进行扰动,它可能变为任意一个与它相邻的节点
    ,
    表示节点
    的一阶邻域节点。

    ae8d6f85d8be76733234f968391d27d6.png

    我们上面已经知道拉普拉斯算子可以计算一个点到它所有自由度上微小扰动的增益,则通过图来表示就是任意一个节点

    变化到节点
    所带来的增益,考虑图中边的权值相等(简单说就是1)则有:

    而如果边

    具有权重
    时,则有:

    由于当

    时表示节点
    不相邻,所以上式可以简化为:
    继续推导有:

    其中

    是顶点
    的度;

    维的行向量,
    维的列向量;

    表示两个向量的内积。

    对于所有的

    个节点有:

    这里的

    就是拉普拉斯矩阵
    根据前面所述,拉普拉斯矩阵中的第
    行实际上反应了第
    个节点在对其他所有节点产生扰动时所产生的增益累积。直观上来讲,图拉普拉斯反映了当我们在节点
    上施加一个势,这个势以
    哪个方向能够多顺畅的流向其他节点。谱聚类中的拉普拉斯矩阵可以理解为是对图的一种矩阵表示形式。
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  • 式(3.7.1)中的二维拉普拉斯数字实现可由这两个分量相加得到:从而得到拉普拉斯算子意思同上面的一阶微分算子相同。这里解释一下微分算子的使用,很简单,如上面这个就是在处理每个像素点的RGB值时,将该像素的RGB三...

    式(3.7.1)中的二维拉普拉斯数字实现可由这两个分量相加得到:

    从而得到拉普拉斯算子

    意思同上面的一阶微分算子相同。

    这里解释一下微分算子的使用,很简单,如上面这个就是在处理每个像素点的RGB值时,将该像素的RGB三个值乘以4然后减去他上向左右四个像素点的RGB值,注意R、G、B分别处理。

    这样是变化的表示,我们要想图片锐化,应该把这种变化叠加到原像素就行了,也就是

    1460000007722626?w=558&h=62

    思路很简单。

    一下为自己实现图像基于拉普拉斯算子的锐化过程:

    void sharpen(const Mat &img, Mat &result)

    {

    for (int j = 1; j < img.rows - 1; ++j)

    {

    const uchar *previous = img.ptr(j - 1);

    const uchar *current = img.ptr(j);

    const uchar *next = img.ptr(j + 1);

    uchar *output = result.ptr(j);

    for (int i = 1; i < 3 * (img.cols - 1); ++i)//这里是基于RGB图的,如果非RGB图则无需这样

    {

    *output++ = cv::saturate_cast(

    5 * current[i] - current[i - 1] - current[i + 1]

    - previous[i] - next[i]);

    }

    }

    result.row(0).setTo(cv::Scalar(0));

    result.row(result.rows - 1).setTo(cv::Scalar(0));

    result.col(0).setTo(cv::Scalar(0));

    result.col(result.cols - 1).setTo(cv::Scalar(0));

    }

    以下为使用opencv中的fiter2D函数通过拉普拉斯算子实现锐化操作的代码

    int main()

    {

    Mat img, resulta;

    img = imread("C:/Users/Administrator/Desktop/bbb.jpg");

    cv::Mat kernela(3, 3, CV_32F, cv::Scalar(0));

    // assigns kernel values

    kernela.at(1, 1) = 5.0;

    kernela.at(0, 1) = -1.0;

    kernela.at(2, 1) = -1.0;

    kernela.at(1, 0) = -1.0;

    kernela.at(1, 2) = -1.0;

    filter2D(img, resulta, img.depth(), kernela);

    //cout << img.rowRange(1, 4).colRange(1, 4) << endl;

    //cout << result.rowRange(1, 4).colRange(1, 4) << endl;

    imwrite("C:/Users/Administrator/Desktop/solved.jpg", resulta);

    //imshow("origin", img);

    //imshow("锐化结果", resulta);

    waitKey(0);

    return 0;

    }

    原始图片

    1460000007722627?w=650&h=219

    锐化后图片

    1460000007722628?w=650&h=219

    欢迎访问本人另一个博客凌风技术站

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  • 本节我们将介绍网格的微分属性,它是根据某些定义在网格上的线性算子得出的,这些算子通常是网格的拉普拉斯算子的变体,提供了各种方便曲面表示与处理等应用的基础。相较于传统的被用于表达顶点位置的全局笛卡尔坐标...

    a24127f53938fa720d692eeb4438ba2f.png

    在计算机图形学中,曲面表达与处理一直是热门话题,它牵扯到几何建模、辅助设计等诸多重要应用。网格作为一种最流行的分段线性曲面表示方法,能够近似地表达原光滑曲面。本节我们将介绍网格的微分属性,它是根据某些定义在网格上的线性算子得出的,这些算子通常是网格的拉普拉斯算子的变体,提供了各种方便曲面表示与处理等应用的基础。相较于传统的被用于表达顶点位置的全局笛卡尔坐标,微分曲面表达承载着曲面局部形态、局部细节的尺寸及方向等重要几何信息。对这些信息的定义可以方便我们更好地控制、处理几何问题,本章将详细介绍拉普拉斯算子,微分表达及曲面重建等问题。

    本文中,我们用来表达一个给定的三角网格,分别表示网格中的顶点集合、边集合及面集合,顶点数量记为。每个顶点可以用笛卡尔坐标表示其空间中的绝对位置,并且用来表示顶点的1-ring邻域。

    连续拉普拉斯算子

    拉普拉斯算子 (Laplacian Operator)是欧氏空间中的一个二阶微分算子,定义为函数的梯度的散度。对于二元函数,其在欧氏空间上的拉普拉斯算子可以写为

    拉普拉斯算子可以被推广到二阶流形曲面上,称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子 (Laplace-Beltrami Operator),定义为

    除此之外,在微分几何中,对于曲面上某一点,其Laplace-Beltrami operator与该点处的平均曲率 (Mean Curvature)存在如下关系:

    其中,表示该点处的平均曲率,为法向。

    微分坐标 (Differential Coordinates) 是一个重要概念,它在连续的光滑曲面上的定义为

    连续拉普拉斯算子的性质

    1. NULL : 由于拉普拉斯算子为函数的梯度的散度,那么说明当函数是常数时,
    2. 对称性 (SYM) : 边上的权重是对称的 。
    3. 局部性 (LOC) : 对于任意一对点,无关。
    4. 线性性 (LIN) : 如果曲面是平面并且是线性的,那么
    5. 最大值原则 (MAX) : 调和函数在内部点上没有局部最大值。
    6. 半正定性 (PSD) : 拉普拉斯算子构造的矩阵是半正定的,Dirichlet能量是非负的。

    离散拉普拉斯算子

    在离散微分几何中,它是一个定义在顶点上的向量,描述了三维模型的局部信息,即包含了顶点与周围顶点之间的相对关系。假定网格是光滑曲面的分段线性近似,那么微分坐标可以被视作是连续Laplace-Beltrami算子的离散版本。需要注意的是,光滑曲面的拉普拉斯算子是唯一的,而离散化的形式有很多种,但是没有任何一种拉普拉斯算子能够同时满足光滑拉普拉斯算子的所有性质,换句话说,不同的离散拉普拉斯算子会保留不同的连续拉普拉斯算子的性质,通常我们需要针对不同的三维模型操作来选取满足不同性质的拉普拉斯算子以追求更准确的计算结果。拉普拉斯算子常用于网格滤波、网格参数化、曲面重建、Remeshing、基于重心坐标的插值等问题。

    离散拉普拉斯算子的性质

    • NULL : 由于拉普拉斯算子为函数的梯度的散度,那么说明当函数是常数时,
    • 对称性 (SYM) : 当时,对称性成立。如果将权重构造成矩阵,那么这个矩阵是一个实矩阵,有着实特征值和正交的特征向量。
    • 局部性 (LOC) : 当权重作用在边上时,局部性成立。也就是说,当时,
    • 线性性 (LIN) : 时,线性性成立。
    • 正权性 (POS) : 时,正权性成立。正权性是最大值原则的充分条件。
    • 半正定性 (PSD) : 是半正定时,半正定性成立。满足对称性和正权性时,一定满足半正定性,但是半正定性不一定满足正权性。

    下面将讨论两个不同版本的Laplace-Beltrami算子:均值拉普拉斯 (Uniform Laplacian)余切拉普拉斯 (Cotangent Laplacian)

    均值拉普拉斯

    首先定义微分坐标(坐标),它是点的绝对坐标与它相邻点求得的重心的差,如图1所示,均值拉普拉斯在顶点处的微分坐标定义为

    7d241f55e46d0baae06816555e41f82c.png
    图1. 均值拉普拉斯算子图示表达

    此处,表示点的邻域集合,为与点相邻的点的索引,因此构成了一条边,即,表示邻域集合的数量,也就是顶点的度(Degree or Valence) 。根据公式不难看出,均值拉普拉斯对连续拉普拉斯的逼近程度不是很好,因为它没有考虑曲面的几何性质,仅仅考虑了顶点之间的连接关系,它只适用于各三角形网格尺寸较接近的网格,过大或过小的三角形面片会使该算子对连续拉普拉斯的逼近误差扩大。

    余切拉普拉斯

    余切拉普拉斯定义的微分坐标是一个位于顶点处的向量,其法向与顶点法向朝向一致,大小与顶点的平均曲率一致。需要注意的是它不是旋转不变的,当模型被旋转时,微分坐标的法向会随着模型旋转而改变(大小不变)。这意味着从欧式坐标转换到微分坐标是非线性的,会给后续的计算带来麻烦。

    6d99e918f70616cb9765c7d9db4589b0.png
    图2. 余切拉普拉斯图示表达

    相比于均值拉普拉斯,余切拉普拉斯拥有更高的精度,它可以通过混合有限元/有限体积方法得到 [Meyer et al. 03]。其目标是在局部平均区域上对分段线性函数的梯度的散度进行积分:

    其中,表示顶点局部平均面积 (Local Averaging Area),它被用来计算一个点的邻域的积分量,与离散算子的精度和稳定性密切相关,通常有Barycentric cell、Voronoi cell 及 MixedVoronoi cell 三种计算方式,如图3所示,这里通常采用Voronoi cell来计算。分别表示的是与边相对的两个角,详细的公式推导可参阅《Polygon Mesh Processing》第三章节的内容。

    f42e7bfa2fe218fd0003cb55b12fb23f.png
    图3.  三种局部平均面积的计算方式

    余切拉普拉斯算子在数字几何处理中非常常见,因为它反映了网格的几何性质,但有时也有一定的局限性,因为其权重可能为负。观察其余切权重当三角形为钝角三角形时,的值可能大于,此时,当权重为负值时,不满足半正定性,计算上会带来相应的麻烦。

    拉普拉斯矩阵

    矩阵既可以表示离散的三维模型上的点、边、面的邻接关系,也可以表示像拉普拉斯算子这样的基本操作符。如果在三维模型上的各顶点处定义一个数值,这些数值的集合即可构成一个离散的函数,使用拉普拉斯算子构造的矩阵可以将这个数值组成的集合映射成为另一个数值集合。例如,对于一个具有个顶点的模型,如果在每一个顶点处定义一个维数为的函数,那么就能构成一个的拉普拉斯矩阵,对该模型上的离散函数执行拉普拉斯操作其实就是令拉普拉斯矩阵与向量 相乘,然后得到另一个维数为的向量。拉普拉斯矩阵在不相邻两顶点之间的元素处为零,因此该矩阵是一个稀疏矩阵,每行平均只有6个非零值。拉普拉斯矩阵每一行的一般定义为:

    拉普拉斯矩阵通常分为两大类,组合拉普拉斯矩阵几何拉普拉斯矩阵。组合拉普拉斯矩阵仅考虑三维模型的拓扑信息,几何拉普拉斯矩阵既考虑拓扑信息还加入了几何信息。值得注意的是,上文提到的均值拉普拉斯算子构造的矩阵属于组合拉普拉斯矩阵,而余切拉普拉斯算子构造的矩阵属于几何拉普拉斯矩阵,下文还会继续提到。

    图形拉普拉斯矩阵

    图形拉普拉斯矩阵 (Graph Laplacian Matrix) 是一种组合拉普拉斯矩阵,因此它的构造不考虑每个顶点的位置、三角形的面积、边长,只考虑顶点的连接关系。

    首先我们定义网格的邻接矩阵 (Adjacency Matrix)

    并且,我们使用顶点的度来定义网格的对角矩阵 (Diagonal Matrix)

    通过上述两个矩阵的构造,我们可以得到,即。由于图形拉普拉斯矩阵的代数性质能够关联它所代表的图的组合性质,并且是一个半正定矩阵,因此早已在代数与图论领域被广泛研究。

    7e343bb2e1146e284db7ff4d982a8a98.png
    图4. 图形拉普拉斯矩阵

    余切拉普拉斯矩阵

    余切拉普拉斯矩阵也称为拉普拉斯-贝尔特拉米矩阵 (Laplace-Beltrami Matrix),顾名思义,它是利用余切拉普拉斯算子的权重来构造矩阵的。构造方法为:

    d7be2b08f60c0ed626517034fb15a6c3.png
    图5. 余切拉普拉斯矩阵

    References

    [1] Meyer, M., Desbrun, M., Schröder, P. and Barr, A.H., 2003. Discrete differential-geometry operators for triangulated 2-manifolds. In Visualization and mathematics III (pp. 35-57). Springer, Berlin, Heidelberg.

    [2] Botsch, M., Kobbelt, L., Pauly, M., Alliez, P. and Lévy, B., 2010. Polygon mesh processing. CRC press.

    [3] Sorkine, O., 2005. Laplacian mesh processing. Eurographics (STARs), 29.

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  • 们在上一个教程中前面的例子学习了使用Sobel边缘检测。原理是利用边缘区域像素值的跳变。通过求一阶导数,可以使边缘值最大化。如下图所示:那么,如果...二阶微分现在我们来讨论二阶微分,它是拉普拉斯算子的基础,...
  • 拉普拉斯算子原理 图像增强

    万次阅读 多人点赞 2015-06-17 19:17:04
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  • 拉普拉斯算子Laplace

    2020-11-17 16:16:21
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  • DoG(Difference of Gaussian)算子和LoG(Laplacian of Gaussian)算子是常用的极值点检测(Blob Detection)两种方法,高斯卷积是为了进行尺度变换,那么LapLacian呢。 因此这里首先引入LapLacian算子。图像边缘检测因此...
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  • 基于拉普拉斯算子的特征保留网格简化

空空如也

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