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  • 对卡方检验进行拟合,计算理论分布,计算理论概率,作出检验
  • 拟合优度

    万次阅读 多人点赞 2017-01-13 09:02:31
    先介绍几个相关的数学概念,然后通过实例说明拟合优度1 Pearson相关系数皮尔森相关系数(Pearson correlation coefficient)也称皮尔森积矩相关系数(Pearson product-moment correlation coefficient) ,是一种线性...

    先介绍几个相关的数学概念,然后通过实例说明拟合优度


    1 Pearson相关系数

    皮尔森相关系数(Pearson correlation coefficient)也称皮尔森积矩相关系数(Pearson product-moment correlation coefficient) ,是一种线性相关系数。皮尔森相关系数是用来反映两个变量线性相关程度的统计量,相关系数用r表示。
    r描述的是两个变量间线性相关强弱的程度。r的取值在-1与+1之间,若r>0,表明两个变量是正相关,即一个变量的值越大,另一个变量的值也会越大;若r<0,表明两个变量是负相关,即一个变量的值越大另一个变量的值反而会越小。r 的绝对值越大表明相关性越强,要注意的是这里并不存在因果关系。若r=0,表明两个变量间不是线性相关,但有可能是其他方式的相关(比如曲线方式)。
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    2 泊松分布

    泊松分布(Poisson distribution),台译卜瓦松分布,是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布(discrete probability distribution)。泊松分布是以18~19 世纪的法国数学家西莫恩•德尼•泊松(Siméon-Denis Poisson)命名的,他在1838年时发表。泊松分布的概率函数为:
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    泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
    泊松分布是二项分布的特例,如果某些现象发生的概率很小,且样本例数很大,则二项分布逼近泊松分布。
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    3 二项分布

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    4 卡方分布

    若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ,均服从标准正态分布(也称独立同分布于标准正态分布),则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量,其分布规律称为卡方分布(chi-square distribution)。其中参数n称为自由度,正如正态分布中均值或方差不同就是另一个正态分布一样,自由度不同就是另一个卡方分布。概率密度函数与曲线图如下,其中 γ 是伽玛函数:
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    5 拟合优度GOF

    拟合优度(Goodness of Fit)是指回归直线对观测值的拟合程度。度量拟合优度的统计量是可决系数(亦称确定系数)R^2。R^2的取值范围是[0,1]。R^2的值越接近1,说明回归直线对观测值的拟合程度越好;反之,R^2的值越接近0,说明回归直线对观测值的拟合程度越差。
    假设检验问题就是通过从有关总体中抽取一定容量的样本,利用样本去检验总体分布是否具有某种特性。假设检验问题大致分为两大类:
    1. 参数型假设检验: 即总体的分布形式已知(如正态、指数、二项分布等),总体分布依赖于未知参数(或参数向量), 要检验的是有关未知参数的假设。
    2. 非参数型假设检验: 如果总体分布形式未知,此时就需要有一种与总体分布族的具体数学形式无关的统计方法,称为非参数方法。例如,检验一批数据是否来自某个已知的总体,就属于这类问题。
    常用的非参数假设检验方法有:符号检验、符号秩和检验、秩和检验及Fisher 置换检验和拟合优度检验。本文只对拟合优度检验做深入介绍。

    5.1 概念介绍

    拟合优度检验问题的提法如下:设有一个一维或多维随机变量X,令X0,…, Xn为总体X中抽取的简单样本,F是一已知的分布函数。要利用样本X0,…, Xn检验假设:
    H0:r.v.X的分布为F
    导出这种假设检验的想法大致如下:设法提出一个反映实际数据X0,…,Xn与理论分布F偏差的量D = D(X0,…,Xn; F)。如果D较大,如D>=C,则认为理论分布F与数据X0,…,Xn不符,因而否定H0。
    一般来说,理论和实际没有截然的符合或不符合。更恰当的提法是实际数据与理论分布符合的程度如何?因此通常对H0 的检验不是以“是”或“否”来回答,而是提供一个介于0和1之间的数字作为回答,即用此数作为符合程度的度量刻画,就具体样本算出D之值,记为d0。d0越接近1,表示样本与理论分布拟合的越好,因而原假设越可信。反之,它越接近0,则原假设H0越不可信。如果它低到指定的水平α之下,则就要否定H0了。
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    5.2 Pearson X2检验

    数理统计的两个主要形式就是参数估计和假设检验,拟合优度检验属于假设检验。假设检验根据样本分布族的数学形式已知与否,可分为参数假设检验和非参数假设检验,作为非参数假设检验之一的拟合优度检验,又是检验理论分布假设的重要方法。重点介绍时下讨论最多的拟合优度方法之一:Pearson χ 2检验。
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  • 拟合优度R2

    万次阅读 2019-05-07 18:15:08
    决定系数(拟合优度)的相关概念 拟合优度定义近期做多元回归分析拟合工作中,在进行线性拟合时,决定系数(又称拟合优度)上不去(卡在0.3左右)一直是困扰工作进度的一个大问题。在经过多元高阶多项式和指数...

    决定系数(拟合优度)的相关概念

     

    拟合优度定义近期做多元回归分析拟合工作中,在进行线性拟合时,决定系数(又称拟合优度)上不去(卡在0.3左右)一直是困扰工作进度的一个大问题。在经过多元高阶多项式和指数多项式等方法尝试后,虽有一定提高(达到0.4左右)但仍无法达到满意程度。因此开始尝试非常规的智能算法拟合。经尝试,用BP神经网络进行拟合发现拟合优度一下涨至0.7,而经改进,采用双隐含层BP神经网络算法,拟合优度更是一下提升到0.8,于是沾沾自喜,窃以为做出重大进展。但随后依次测试发现拟合优度2.3678,如遭雷劈啊。显然拟合优度应该是0到1之间,不可能超过1,于是乎一通排查。程序没问题,算法没有错。问题在哪?为寻根究底,于是乎开始重温拟合优度相关知识。并做小结以备忘。

         决定系数R2(coefficient of determination),也称判定系数或者拟合优度。它是表征回归方程在多大程度上解释了因变量的变化,或者说方程对观测值的拟合程度如何。拟合优度的有效性通常要求:自变量个数:样本数>1:10。

         通俗解释决定系数就是总体拟合效果的“毛”评价。为更精细判断可以采用调整决定系数、复相关系数、偏相关系数或者部分相关系数。

    2 计算方法

         由于新浪博文写公式不方便,采用图片格式如下

    决定系数(拟合优度)的相关概念

     

    3 关于SST=SSR+SSE的简要证明

    决定系数(拟合优度)的相关概念


    4 关于使用范围的解释

    4 适用范围说明

         根据回归系数的定义,以及SST=SSR+SSE的证明,决定系数适用于线性回归。根据计算公式可知其取值范围是0到1。由此可见前面BP神经网络所得出的决定系数2.3678显然是不正确的,究其原因在于神经网络所得到的的拟合模型是非线性的,不能用决定系数来评价其拟合效果。

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  • fitgoodness_拟合优度_优度检验_matlab_卡方检验_源码.zip
  • 拟合优度R^2

    万次阅读 多人点赞 2019-08-12 16:23:26
    拟合优度(Goodness of Fit)是指回归直线对观测值的拟合程度。度量拟合优度的统计量是可决系数(亦称确定系数)R²。R²最大值为1。R²的值越接近1,说明回归直线对观测值的拟合程度越好;反之,R²的值越小,说明...

    拟合优度(Goodness of Fit)是指回归直线对观测值的拟合程度。度量拟合优度的统计量是可决系数(亦称确定系数R²最大值为1。R²的值越接近1,说明回归直线对观测值的拟合程度越好;反之,R²的值越小,说明回归直线对观测值的拟合程度越差。

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  • 拟合优度检验

    2012-06-28 09:01:18
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    拟合优度

    1. 概念

    引用百度百科定义:
    拟合优度(Goodness of Fit)是指回归曲线对观测值的拟合程度。度量拟合优度的统计量是可决系数(亦称确定系数)R²。R²最大值为1。
    规则: R²的值越接近1,说明回归曲线对观测值的拟合程度越好;反之,R²的值越小,说明回归曲线对观测值的拟合程度越差。
        总而言之,拟合优度是用于度量拟合曲线对于原始数据拟合效果的好坏,拟合优度 R 2 R^2 R2越接近1说明拟合优度越好,一般来说,拟合优度到达0.8以上就可以说拟合效果不错了。

    2. 计算方法

             y y y为待拟合数据,y的均值为 y ‾ \overline{y} y,拟合数据为 y ^ \widehat{y} y ,则:
                    1. 总平方和 SST(total sum of squares) : ∑ i = 1 n ( y i − y ‾ ) 2 \sum\limits_{i=1}^{n}(y_i - \overline{y})^2 i=1n(yiy)2
                    2. 回归平方和 SSR(regression sum of squares) : ∑ i = 1 n ( y ^ i − y ‾ ) 2 \sum\limits_{i=1}^{n}(\widehat{y}_i - \overline{y})^2 i=1n(y iy)2
                    3. 残差平方和 SSE(error sum of squares) : ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 \sum\limits_{i=1}^{n}({y}_i - \widehat{y}_i)^2 i=1n(yiy i)2

    确定系数:
                     R 2 = S S R S S T = 1 − S S E S S T R^2 = \frac{SSR}{SST}=1-\frac{SSE}{SST} R2=SSTSSR=1SSTSSE


    3. Python代码

    # #################################拟合优度R^2的计算######################################
    def __sst(y_no_fitting):
        """
        计算SST(total sum of squares) 总平方和
        :param y_no_predicted: List[int] or array[int] 待拟合的y
        :return: 总平方和SST
        """
        y_mean = sum(y_no_fitting) / len(y_no_fitting)
        s_list =[(y - y_mean)**2 for y in y_no_fitting]
        sst = sum(s_list)
        return sst
    
    
    def __ssr(y_fitting, y_no_fitting):
        """
        计算SSR(regression sum of squares) 回归平方和
        :param y_fitting: List[int] or array[int]  拟合好的y值
        :param y_no_fitting: List[int] or array[int] 待拟合y值
        :return: 回归平方和SSR
        """
        y_mean = sum(y_no_fitting) / len(y_no_fitting)
        s_list =[(y - y_mean)**2 for y in y_fitting]
        ssr = sum(s_list)
        return ssr
    
    
    def __sse(y_fitting, y_no_fitting):
        """
        计算SSE(error sum of squares) 残差平方和
        :param y_fitting: List[int] or array[int] 拟合好的y值
        :param y_no_fitting: List[int] or array[int] 待拟合y值
        :return: 残差平方和SSE
        """
        s_list = [(y_fitting[i] - y_no_fitting[i])**2 for i in range(len(y_fitting))]
        sse = sum(s_list)
        return sse
    
    
    def goodness_of_fit(y_fitting, y_no_fitting):
        """
        计算拟合优度R^2
        :param y_fitting: List[int] or array[int] 拟合好的y值
        :param y_no_fitting: List[int] or array[int] 待拟合y值
        :return: 拟合优度R^2
        """
        SSR = __ssr(y_fitting, y_no_fitting)
        SST = __sst(y_no_fitting)
        rr = SSR /SST
        return rr
    

    举个栗子:

    import random
    import matplotlib.pyplot as plt
    # 生成待拟合数据
    a = np.arange(10)
    # 通过添加正态噪声,创造拟合好的数据
    b = a + 0.4 * np.random.normal(size=len(a))
    print("原始数据为: ", a)
    print("拟合数据为: ", b)
    rr = goodness_of_fit(b, a)
    print("拟合优度为:", rr)
    plt.plot(a, a, color="#72CD28", label='原始数据')
    plt.plot(a, b, color="#EBBD43", label='拟合数据')
    plt.legend() 
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用来正常显示中文标签
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 用来正常显示负号
    plt.savefig(r"C:\Users\Yunger_Blue\Desktop\temp.jpg")
    plt.show()
    

    结果为:

    原始数据为:  [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]
    拟合数据为:  [0.23705933 1.20951491 2.37326542 3.00448608 3.48391211 4.30719527 5.95446175 7.50969723 8.97662945 8.27064816]
    拟合优度为: 0.9971013400436336
    

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拟合优度