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  • 大整数乘法

    2015-05-02 19:44:44
    大整数乘法

    这算是分治的运用,在java中有个大数类,用着非常方便,但是在c/c++中就没有那么容易了,

    一个整数最多也才2^64两个数字的加法或减法我们可以用数组模拟运算一遍,轻松搞定,但是两个数字的乘法呢,

    比如给你这样两个数字:

    A= 1234567898765432145673;

    B=23456789463784628596936285;

    现要求求出c=A*B, 好了问题来了怎么用算法实现呢,数组模拟运算效率太低了,一个n位和m位的数字相乘最少进行n*m次乘法运算,

    在说如何运算前,我先说说如何减少乘法运算次数:

    数学家高斯曾经说 (a1+b1*i)*(a2+b2*i)这样的两个复数,他可以用三次乘法运算计算出结果,

    (a1+b1*i)*(a2+b2*i)=a1*b2 + (a1*b2 + b1*a2)*i - b1*b2 ,仔细一看这不是有4次乘法运算么,

    其实他用了一个小优化,假设不是复数 (a1+b1)*(a2+b2) = a1*b2 + (a1*b2 + b1*a2)+ b1*b2 

    那么 (a1*b2 + b1*a2) =  (a1+b1)*(a2+b2) - a1*b2 - b1*b2 ,

    所以就可以(a1+b1*i)*(a2+b2*i) =  a1*b2 + ((a1+b1)*(a2+b2) - a1*b2 - b1*b2) *i -b1*b2 ;三次乘法,got;

    说了这么多这对我们做大数的运算有什么作用呢:

    是这样的对于两个大数相乘我们肯定是采用分治的方法

    数字A= A1 * 10^(n/2) + A2;

           B=B1 * 10^(n/2) + B2; (当两个数字不一样长时在断的前面补0)

    ==>>  A*B = A1 * B1 * 10^n  +( A1* B2 + A2*B1 ) * 10^(n/2)  + A2*B2

    分治的思想是:

       getans(A, B)

                  if (  A.length   == 1  and   B.length == 1 )

                           return A*B;

                  else

                           return getans(A1, B1)*10^n  + (getans(A1, B1)  +  getans(A1, B2) )*  10^(n/2) + getans(B1, B2);

    看样子并不难的样子但是我么来算算时间复杂度,还是以乘法作为基本操作(以加法作为基本操作求出结果和乘法一样):

       O(1) = 1;

       O(n) = 4O(n/2);

       推到过程就不写了,但是最后算出来平均时间复杂度是O(n^2),和直接用数组模拟运算的复杂度是一样的,花这么大的力气写个66的代码并不6,

    所以就优化,就用高斯的办法来优化,虽然加法次数增加了,但是最终结果是怎样的呢,推到一地啊就知道了:

    换一个姿势后就有了:

        数字A= A1 * 10^(n/2) + A2;

               B=B1 * 10^(n/2) + B2; (当两个数字不一样长时在断的前面补0)

    ==>>  A*B = A1 * B1 * 10^n  +(  A*B  -  A1 * B1 * 10^n  - A2*B2 ) * 10^(n/2)  + A2*B2;

    代码就变成下面的样子:

         getans(A, B)

                  if (  A.length   == 1  and   B.length == 1 )

                             return A*B;

                  else

                           X <— getans(A1, B1)*10^n  ;

                           Y <— getans(A2, B2) ;

                           return  X +  ( getans(A,B)  - X - Y )*10^(n/2)     + Y;

    在来算时间复杂度就变成了:

            O(1) = 1;

            O(n) = 3*O(n/2);

    最后平均时间复杂度就变成了O(n^( log2,3) )了这不就小于O(n^2) 了,

    (平均时间复杂度的推导过程涉及到数学变换,所以没有写,这一个递推式的求法很多书山也有讲) 

    代码借鉴于:http://blog.csdn.net/vsooda/article/details/8543351,感觉他写得很清晰了:

    这里我说明一下大家可能会有的一个疑问:为什么:取4位为一节,是因为9999 * 9999 = 99980001  < 10^9 ,

    如果取5位那么将会有99999 * 99999 的情况发生,就会超出int 类型的范围,

    为什么不一取1位作为一节,当然是这样需要的递归次数更多,效率不如咯,

    so,有了下面的模板,其中重载了输入,输出流,大于小于等于等操作符,当然最重要的是 + - * /  ^  % 等几个操作符

    <span style="font-size:18px;">#include<iostream>   
    #include<string>   
    #include<iomanip>   
    #include<algorithm>   
    using namespace std;   
      
    #define MAXN 9999  
    #define MAXSIZE 10  
    #define DLEN 4  
      
    class BigNum  
    {   
    private:   
        int a[500];    //可以控制大数的位数   
        int len;       //大数长度  
    public:   
        BigNum(){ len = 1;memset(a,0,sizeof(a)); }   //构造函数  
        BigNum(const int);       //将一个int类型的变量转化为大数  
        BigNum(const char*);     //将一个字符串类型的变量转化为大数  
        BigNum(const BigNum &);  //拷贝构造函数  
        BigNum &operator=(const BigNum &);   //重载赋值运算符,大数之间进行赋值运算  
      
        friend istream& operator>>(istream&,  BigNum&);   //重载输入运算符  
        friend ostream& operator<<(ostream&,  BigNum&);   //重载输出运算符  
      
        BigNum operator+(const BigNum &) const;   //重载加法运算符,两个大数之间的相加运算   
        BigNum operator-(const BigNum &) const;   //重载减法运算符,两个大数之间的相减运算   
        BigNum operator*(const BigNum &) const;   //重载乘法运算符,两个大数之间的相乘运算   
        BigNum operator/(const int   &) const;    //重载除法运算符,大数对一个整数进行相除运算  
      
        BigNum operator^(const int  &) const;    //大数的n次方运算  
        int    operator%(const int  &) const;    //大数对一个int类型的变量进行取模运算      
        bool   operator>(const BigNum & T)const;   //大数和另一个大数的大小比较  
        bool   operator>(const int & t)const;      //大数和一个int类型的变量的大小比较  
      
        void print();       //输出大数  
    };   
    BigNum::BigNum(const int b)     //将一个int类型的变量转化为大数  
    {   
        int c,d = b;  
        len = 0;  
        memset(a,0,sizeof(a));  
        while(d > MAXN)  
        {  
            c = d - (d / (MAXN + 1)) * (MAXN + 1);   
            d = d / (MAXN + 1);  
            a[len++] = c;  
        }  
        a[len++] = d;  
    }  
    BigNum::BigNum(const char*s)     //将一个字符串类型的变量转化为大数  
    {  
        int t,k,index,l,i;  
        memset(a,0,sizeof(a));  
        l=strlen(s);     
        len=l/DLEN;  
        if(l%DLEN)  
            len++;  
        index=0;  
        for(i=l-1;i>=0;i-=DLEN)  
        {  
            t=0;  
            k=i-DLEN+1;  
            if(k<0)  
                k=0;  
            for(int j=k;j<=i;j++)  
                t=t*10+s[j]-'0';  
            a[index++]=t;  
        }  
    }  
    BigNum::BigNum(const BigNum & T) : len(T.len)  //拷贝构造函数  
    {   
        int i;   
        memset(a,0,sizeof(a));   
        for(i = 0 ; i < len ; i++)  
            a[i] = T.a[i];   
    }   
    BigNum & BigNum::operator=(const BigNum & n)   //重载赋值运算符,大数之间进行赋值运算  
    {  
        int i;  
        len = n.len;  
        memset(a,0,sizeof(a));   
        for(i = 0 ; i < len ; i++)   
            a[i] = n.a[i];   
        return *this;   
    }  
    istream& operator>>(istream & in,  BigNum & b)   //重载输入运算符  
    {  
        char ch[MAXSIZE*4];  
        int i = -1;  
        in>>ch;  
        int l=strlen(ch);  
        int count=0,sum=0;  
        for(i=l-1;i>=0;)  
        {  
            sum = 0;  
            int t=1;  
            for(int j=0;j<4&&i>=0;j++,i--,t*=10)  
            {  
                sum+=(ch[i]-'0')*t;  
            }  
            b.a[count]=sum;  
            count++;  
        }  
        b.len =count++;  
        return in;  
      
    }  
    ostream& operator<<(ostream& out,  BigNum& b)   //重载输出运算符  
    {  
        int i;    
        cout << b.a[b.len - 1];   
        for(i = b.len - 2 ; i >= 0 ; i--)  
        {   
            cout.width(DLEN);   
            cout.fill('0');   
            cout << b.a[i];   
        }   
        return out;  
    }  
      
    BigNum BigNum::operator+(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相加运算  
    {  
        BigNum t(*this);  
        int i,big;      //位数     
        big = T.len > len ? T.len : len;   
        for(i = 0 ; i < big ; i++)   
        {   
            t.a[i] +=T.a[i];   
            if(t.a[i] > MAXN)   
            {   
                t.a[i + 1]++;   
                t.a[i] -=MAXN+1;   
            }   
        }   
        if(t.a[big] != 0)  
            t.len = big + 1;   
        else  
            t.len = big;     
        return t;  
    }  
    BigNum BigNum::operator-(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相减运算   
    {    
        int i,j,big;  
        bool flag;  
        BigNum t1,t2;  
        if(*this>T)  
        {  
            t1=*this;  
            t2=T;  
            flag=0;  
        }  
        else  
        {  
            t1=T;  
            t2=*this;  
            flag=1;  
        }  
        big=t1.len;  
        for(i = 0 ; i < big ; i++)  
        {  
            if(t1.a[i] < t2.a[i])  
            {   
                j = i + 1;   
                while(t1.a[j] == 0)  
                    j++;   
                t1.a[j--]--;   
                while(j > i)  
                    t1.a[j--] += MAXN;  
                t1.a[i] += MAXN + 1 - t2.a[i];   
            }   
            else  
                t1.a[i] -= t2.a[i];  
        }  
        t1.len = big;  
        while(t1.a[t1.len - 1] == 0 && t1.len > 1)  
        {  
            t1.len--;   
            big--;  
        }  
        if(flag)  
            t1.a[big-1]=0-t1.a[big-1];  
        return t1;   
    }   
      
    BigNum BigNum::operator*(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相乘运算   
    {   
        BigNum ret;   
        int i,j,up;   
        int temp,temp1;     
        for(i = 0 ; i < len ; i++)  
        {   
            up = 0;   
            for(j = 0 ; j < T.len ; j++)  
            {   
                temp = a[i] * T.a[j] + ret.a[i + j] + up;   
                if(temp > MAXN)  
                {   
                    temp1 = temp - temp / (MAXN + 1) * (MAXN + 1);   
                    up = temp / (MAXN + 1);   
                    ret.a[i + j] = temp1;   
                }   
                else  
                {   
                    up = 0;   
                    ret.a[i + j] = temp;   
                }   
            }   
            if(up != 0)   
                ret.a[i + j] = up;   
        }   
        ret.len = i + j;   
        while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)  
            ret.len--;   
        return ret;   
    }   
    BigNum BigNum::operator/(const int & b) const   //大数对一个整数进行相除运算  
    {   
        BigNum ret;   
        int i,down = 0;     
        for(i = len - 1 ; i >= 0 ; i--)  
        {   
            ret.a[i] = (a[i] + down * (MAXN + 1)) / b;   
            down = a[i] + down * (MAXN + 1) - ret.a[i] * b;   
        }   
        ret.len = len;   
        while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)  
            ret.len--;   
        return ret;   
    }  
    int BigNum::operator %(const int & b) const    //大数对一个int类型的变量进行取模运算      
    {  
        int i,d=0;  
        for (i = len-1; i>=0; i--)  
        {  
            d = ((d * (MAXN+1))% b + a[i])% b;    
        }  
        return d;  
    }  
    BigNum BigNum::operator^(const int & n) const    //大数的n次方运算  
    {  
        BigNum t,ret(1);  
        int i;  
        if(n<0)  
            exit(-1);  
        if(n==0)  
            return 1;  
        if(n==1)  
            return *this;  
        int m=n;  
        while(m>1)  
        {  
            t=*this;  
            for( i=1;i<<1<=m;i<<=1)  
            {  
                t=t*t;  
            }  
            m-=i;  
            ret=ret*t;  
            if(m==1)  
                ret=ret*(*this);  
        }  
        return ret;  
    }  
    bool BigNum::operator>(const BigNum & T) const   //大数和另一个大数的大小比较  
    {   
        int ln;   
        if(len > T.len)  
            return true;   
        else if(len == T.len)  
        {   
            ln = len - 1;   
            while(a[ln] == T.a[ln] && ln >= 0)  
                ln--;   
            if(ln >= 0 && a[ln] > T.a[ln])  
                return true;   
            else  
                return false;   
        }   
        else  
            return false;   
    }  
    bool BigNum::operator >(const int & t) const    //大数和一个int类型的变量的大小比较  
    {  
        BigNum b(t);  
        return *this>b;  
    }  
      
    void BigNum::print()    //输出大数  
    {   
        int i;     
        cout << a[len - 1];   
        for(i = len - 2 ; i >= 0 ; i--)  
        {   
            cout.width(DLEN);   
            cout.fill('0');   
            cout << a[i];   
        }   
        cout << endl;  
    }  
    int main(void)  
    {  
        int i,n;  
        BigNum x[101];      //定义大数的对象数组  
        x[0]=1;  
        for(i=1;i<101;i++)  
            x[i]=x[i-1]*(4*i-2)/(i+1);  
        while(scanf("%d",&n)==1 && n!=-1)  
        {  
            x[n].print();  
        }  
    } </span>

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