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  • 计算机网络之奈奎斯特定理和香农定理
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    2021-10-29 07:10:27

    一、奈奎斯特定理和香农定理

    奈奎斯特定理和香农定理都是用来计算数据在信道中的传输速度,两者最大的区别就是,一个是在理想状态下的传输速度,另一个是非理想状态下进行运算的。下面我将详细介绍一下这两个定理:

    二、奈奎斯特定理

    奈奎斯特(Nyquist)定理又称奈氏准则,它指出在理想低通(没有噪声、带宽有限)的信道, 极限码元传输率为2W波特, 其中W是理想低通信道的带宽,单位为Hz。 若用V表示 每个码元离散电平的数目(码元的离散电平数目是指有多少种不同的码元, 则极限数据率为

    理想低通信道下的极限数据传输率=2W*log2V (单位为b/s)
    

    三、香农定理

    香农 (Shannon) 定理给出了带宽受限且有高斯白噪声于扰的信道的极限数据传输率, 当用此速率进行传输时, 可以做到不产生误差。 香农定理定义为

    信道的极限数据传输率=w*log2(l+ S/N) (单位为b/s)
    
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    奈奎斯特定理
    奈奎斯特定理——奈氏准则(理想状态)
    计算机网络——奈氏准则(奈奎斯特定理)_淼的博客-CSDN博客_奈氏准则
    https://blog.csdn.net/qq_43627631/article/details/111240359
    奈氏准则:在理想低通(没有噪声、带宽有限)的信道中,为了避免码间串扰,极限码元传输率为2WBaud。其中W是理想低通信道的带宽,单位为Hz。若用V表示每个码元离散电平的数目(码元的离散电平数目是指有多少种不同的码元,比如有16种不同的码元,则需要4位二进制位,因此数据传输率是码元传输率的4倍),则极限数据率为:理想低通信道下的极限数据传输率=2Wlog2V (单位:b/s)

    什么是带宽??两种不同的意义??👀
    一条通信链路的带宽越宽,所能传输的“最高数据率”也越高。
    (1)带宽本来是指某种信号具有的频带宽度。信号的带宽是指该信号所包含的各种不同频率成分所占的频率范围。例如电话线信号标准带宽是300Hz到3400Hz,即通话的主要成分的频率范围。这种意义的带宽的单位是赫(或千赫、兆赫、吉赫等)

    (2)在计算机网络中,带宽用来表示网络中某信道传送数据的能力,因此网络带宽表示在单位时间内网络中的某信道所能通过的“最高数据率”,带宽的单位就是数据率的单位,即bit/s,而信道带宽则是信道能通过的最高频率和最低频率之差。

    失真:在信号的传输过程中,受到带宽、噪声、距离等因素的干扰,而导致接收信号的波形发生了扭曲和变化。
    影响失真程度的因素:1.码元传输速率2.信号传输距离3.噪声干扰4.传输媒体质量

    失真的一种现象——码间串扰

    200Hz信道带宽不能通过的原因:振动的频率太低,在电话线传输的过程中受各个因素的影响,很容易收到衰减和损耗,导致信号波形发生严重的扭曲,信号不能通过。

    4000Hz信道带宽不能通过的原因:——振动的频率太快,导致接收端无法区分波形的差异。(码间串扰:接收端收到的信号波形失去了码元之间清晰界限的现象)

    由奈氏准则,可以得出以下结论:

    在任何信道中,码元传输的速率是有上限的。若传输速率超过此上限。就会出现严重的码间串扰问题(是指在接收端收到的信号的波形失去了码元之间的清晰界限),使接收端对码元的完全正确识别成为不可能。
    信道的频带越宽(即能通过的信号高频分量越多),就可以用更高的速率进行码元的有效传输。
    奈氏准则给出了码元传输速率的限制,但并没有对信息传输速率给出限制,也就是说没有对一个码元可以对应多少个二进制位作出限制。
    由于码元的传输速率受奈氏准则的制约,所以要提高数据的传输速率,就必须设法使每个码元能携带更多个比特的信息量,这就是需要采用多元制的调制方法。
    例题1:在无噪声的情况下,若某通信链路的带宽为3kHz,采用4个相位,每个相位具有4中振幅的QAM调制技术,则该通信链路的最大数据传输率是多少?

    解答:采用4个相位,每个相位具有4种振幅的QAM调制技术,则有16种不同的组合,则1个码元可携带4bit信息量,
    根据奈氏准则:最高信息传输速率=2WBaud=2✖3kHz=6000Baud=6000码元/s✖4bit/码元=24000b/s

    例题2:对于某带宽为4000Hz的低通信道,采用16种不同的物理状态来表示数据,按照奈奎斯特定理,信道的最大传输速率是( )

    解答:根据奈奎斯特定理理想低通信道下的极限数据传输率=2Wlog2V (单位:b/s),16种不同的物理状态,即V=16。所以最大传输速率=2✖4000✖log216=32000b/s=32kb/s

    例题3:一个信道每1/8s采样一次,传输信号共有16种变化状态,最大数据传输率是( )

    –什么是采样频率?–
    采样频率,也称为采样速度或者采样率,定义了每秒从连续信号中提取并组成离散信号的采样个数,它用赫兹(Hz)来表示。采样频率的倒数是采样周期或者叫作采样时间,它是采样之间的时间间隔。通俗的讲采样频率是指计算机每秒钟采集多少个信号样本。
    解答:每1/8s采样一次,即采样频率是8Hz,16种变化状态的信号可携带4bit数据,因此最大数据传输率为8*4=32b/s

    例题4:采用8种相位,每种相位各有两种幅度的QAM调制方法,在1200Baud的信号传输速率下能达到的数据传输速率是( )

    解答:每个信号可以有8✖2=16种变化,每个码元携带log216=4bit的信息,则信息的传输速率为1200*4=4800b/s

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  • 奈奎斯特定理(Nyquist's Theorem)和香农定理(Shannon's Theorem)是网络传输中的两个基本定理。这两天复习无线网络,想想就从基础开始吧,把复习的东西用文字写下来,总结一下,整理一下思路。要搞清楚这两个定理,...

    奈奎斯特定理(Nyquist's Theorem)和香农定理(Shannon's Theorem)是网络传输中的两个基本定理。这两天复习无线网络,想想就从基础开始吧,把复习的东西用文字写下来,总结一下,整理一下思路。

    要搞清楚这两个定理,我们要先弄懂一些定义:波特率(baud rate)、比特率(bit rate)、带宽(bandwidth)、容量(capacity)。

    前两个是很容易混淆的定义(谁让这两兄弟名字长得这么像呢),波特率指的是信号每秒钟电平变化的次数,单位是Hz:比如一个信号在一秒钟内电平发生了365次变化,那么这个信号的波特率就是365Hz;比特率是信号每秒钟传输的数据的位数,我们知道在计算机中,数据都是用0,1表示的,所以比特率也就是每秒钟传输0和1的个数,单位是bps(bit per second)。那么这哥俩有啥关系呢?我们可以假设一个信号只有两个电平,那么这个时候可以把低电平理解为“0”,高电平理解为“1”,这样每秒钟电平变化的次数也就是传输的0,1个数了,即比特率 = 波特率。但是有些信号可能不止两个电平,比如一个四电平的信号,那么每个电平就可以被理解成“00”,“01”,“10”,“11”,这样每次电平变化就能传输两位的数据了,即比特率 = 2 × 波特率。一般的,bit rate = buad rate × log2L,这里L就是信号电平的个数。

    介绍完了这对哥俩,我们再来看看带宽和容量的概念。

    一般信道都有一个最高的信号频率(注意不是波特率哦,频率是指每秒钟的周期数,而每个周期都会有几次电平变化。。恩,看到区别了吧)和最低的信号频率,只有在这两个频率之间的信号才能通过这个信道,这两个频率的差值就叫做这个信道的带宽,单位是Hz。

    信道的容量又是怎么回事呢?

    我们知道数据在信道中传输会有他们的速度——比特率,这里面最高的比特率就叫做这个信道的容量,单位是bps。就好象每条公路都有他们的最高限速,那么所有在里面开的车都不会超过这个速度(这里我们假设违章的都被警察叔叔抓走了)。口语中也会把信道容量叫做“带宽”的,比如“带宽10M的网络”,“网络带宽是10M”等等。所以这两个概念也很容易混淆:我们平常所说的“带宽”不是带宽,而是信道容量,这一点心里要清楚(虽然口头上是改不掉了。。)

    恩,介绍完定义,再来看看这两个定理说什么。

    奈奎斯特定理:

    Cmax=2×B×log2L

    这里Cmax指的是信道的最大容量,B是信道的带宽,L还是信号电平的个数

    奈奎斯特定理适用的情况是无噪声信道,用来计算理论值。一根针掉在地上还有声音呢,没有噪声的信道在现实中是不存在的。那么有噪声的信道该如何计算呢?

    这下轮到香农定理出马了:

    Cmax=B×log2(1+(S/N))

    S/N指的是信道的信噪比,但是我们一般测量出来的以db为单位的是经过10×log10(S/N)换算的,所以这里还要换算回来才行。

    到这里或许你还有最后一个问题:这两个定理怎么证明?

    去问问你们学EE的朋友吧~好了,同学们,下课!

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  • 奈奎斯特定理 在理想(无噪声)低通(带宽受限)条件下,为了避免码间串扰,极限码元传输速率为2W Baud,W是信道带宽,单位是Hz,理想低通信道下的极限数据传输率为: 2 W ∗ l o g 2 V 2W*log_2V 2W∗log2​V 其中...

    奈奎斯特定理

    在理想(无噪声)低通(带宽受限)条件下,为了避免码间串扰,极限码元传输速率为2W Baud,W是信道带宽,单位是Hz,理想低通信道下的极限数据传输率为:

    2 W ∗ l o g 2 V 2W*log_2V 2Wlog2V

    其中,V表示几种码元/码元的离散电平数目。
    奈奎斯特定理的结论:

    1. 在任何信道中,码元传输的速率是有上限的,否则就会出现严重的码间串扰
    2. 信道的频带越宽(即能通过的信号高频分量越多),就可以用更高的速率进行码元的有效传输
    3. 只给出了码元传输速率的限制,没有对信息传输速率给出限制
    4. 要提高数据的传输速率,就必须设法使每个码元携带更多个比特的信息量,这就需要采用多元制的调制方法。

    例如,在无噪声的情况下,若某通信链路的带宽为3kHz,采用4个相位,每个相位具有4种振幅的QAM调制技术,则该通信链路的最大数据传输率是多少?
    【分析】4个相位,都有4种振幅,那对应的信号就有16种变化,那么最大数据传输率就是
    2 ∗ 3 k ∗ l o g 2 16 = 24 k b / s 2* 3k * log_216=24kb/s 23klog216=24kb/s

    香农定理

    在宽带受限且有噪声的信道中,为了不产生误差,信息的数据传输速率有上限值。那么,信道的极限数据传输速率就为:

    W ∗ l o g 2 ( 1 + S / N ) W*log_2(1+S/N) Wlog2(1+S/N)

    其中,W 为带宽,单位是Hz,S/N 是信噪比(没有单位)
    注意:若题目中给出信噪比包含单位dB(分贝),则需要先进行转化,例如,电话系统的典型参数是信道带宽为3000Hz,信噪比为30dB,则该系统的最大数据传输速率为多少?
    【分析】 由 10 ∗ l o g 10 ( S / N ) = 30 d B {\color{Red} 10*log_{10}(S/N) = 30dB} 10log10(S/N)=30dB 可知,信噪比为 1000,那么直接带入上面公式,该系统的最大数据传输速率就是
    3000 ∗ l o g 2 ( 1 + 1000 ) ≈ 3000*log_2(1+1000)\approx 3000log2(1+1000) 30kb/s

    注意:
    只有这两个公式里面的带宽单位采用的是Hz

    真题嗅探

    【例】(2017年408)若信道在无噪声情况下的极限数据传输速率不小于信噪比为30dB条件下的极限数据传输速率,则信号状态数至少是(32)。
    【分析】「无噪声情况下」,采用奈奎斯特定理计算极限数据传输速率: 2 W ∗ l o g 2 V 2W*log_2V 2Wlog2V
    「信噪比为30dB条件下」,采用香农定理计算有噪声信道的极限数据传输速率: W ∗ l o g 2 ( 1 + S / N ) W*log_2(1+S/N) Wlog2(1+S/N)

    根据二者关系「不小于」建立关系式:
    注意:题目中给出信噪比包含单位dB(分贝),需要先进行转化
    10 ∗ l o g 10 ( S / N ) = 30 d B 10*log_{10}(S/N) = 30dB 10log10(S/N)=30dB 可知,信噪比S/N 为 1000
    代入,有
    2 W ∗ l o g 2 V ⩾ 2W*log_2V\geqslant 2Wlog2V W ∗ l o g 2 ( 1 + 1000 ) W*log_2(1+1000) Wlog2(1+1000)
    于是,
    l o g 2 V 2 ⩾ log_2V^{2}\geqslant log2V2 l o g 2 ( 1001 ) log_2(1001) log2(1001)
    V 2 ⩾ V^{2}\geqslant V2 1001 1001 1001
    V ⩾ V\geqslant V 32 32 32 (要取2的整数倍)

    2 10 = 1024 2^{10}=1024 210=1024, ( 2 5 ) 2 = 1024 (2^{5})^{2}=1024 (25)2=1024,即就是 3 2 2 = 1024 32^{2}=1024 322=1024

    感谢你的认真阅读,如果你觉得这篇文章对你有用,欢迎点赞评论加关注。
    如果你在计算机408的学习过程中还有难懂的问题,欢迎在评论区留言,我会在空闲时间挨个整理更新出来~

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