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  • 实对称矩阵性质

    千次阅读 2021-06-21 11:02:27
    实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的; 实对称矩阵特征值是实数, 特征向量都是实向量; n阶实对称阵必可以对角化, 且相似的对角阵的元素即是原矩阵的特征值; 若λk\lambda_{k}λk​具有k重特征值, 必有k个...
    1. 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的;
    2. 实对称矩阵特征值是实数, 特征向量都是实向量;
    3. n阶实对称阵必可以对角化, 且相似的对角阵的元素即是原矩阵的特征值;
    4. λ k \lambda_{k} λk具有k重特征值, 必有k个线性无关的特征向量, 或者说必有秩 r ( λ 0 E − A ) = n − k r(\lambda_{0}E-A)=n-k r(λ0EA)=nk.
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  • 花了一下午终于把实对称矩阵的几个定理的证明都搞定了,定理很简单,证明起来却十分之费事,用的都是十分基础而经典的证明手段,
  • 实对称矩阵性质的数学证明

    万次阅读 多人点赞 2018-05-13 18:36:57
    在进行实对称矩阵性质的数学证明之前,先证明一些会用到的有用理论。首先先引入复数的共轭概念: 假设z是复数(complex number),z = a + bi,则z的共轭(conjugate of z)则写作z⎯⎯=a −biz¯=a&...

    在进行实对称矩阵性质的数学证明之前,先证明一些会用到的有用理论。首先先引入复数的共轭概念:

    • 假设z是复数(complex number),z = a + bi,则z的共轭(conjugate of z)则写作 z=a bi z ¯ = a   − b i ,利用复数的运算法则一下5条性质不难证明:
      z+w=z+wzw=zwzz=a2+b2λx=λxAB=AB,ACmn,BCnk z + w ¯ = z ¯ + w ¯ z w ¯ = z ¯ ∗ w ¯ z z ¯ = a 2 + b 2 λ x ¯ = λ ¯ ∗ x ¯ A B ¯ = A ¯ ∗ B ¯ , A ∈ C m ∗ n , B ∈ C n ∗ k

      其中最后一条性质用矩阵的乘法规则即可证明
      AB=A{b1, b2, ..., bk}={Ab1, Ab2, ..., Abk}Ab1=a1b1a2b1...amb1a1b1 = a1b1Ab1=a1b1a2b1...amb1=a1b1a2b1...amb1=Ab1AB=A{b1, b2, ..., bk}={Ab1, Ab2, ..., Abk}={Ab1, Ab2,  ...,Abk}=AB A B ¯ = A { b 1 ,   b 2 ,   . . . ,   b k } ¯ = { A b 1 ¯ ,   A b 2 ¯ ,   . . . ,   A b k ¯ } A b 1 ¯ = ( a 1 b 1 ¯ a 2 b 1 ¯ . . . a m b 1 ¯ ) ∵ a 1 b 1 ¯   =   a 1 ¯ ∗ b 1 ¯ ∴ A b 1 ¯ = ( a 1 b 1 ¯ a 2 b 1 ¯ . . . a m b 1 ¯ ) = ( a 1 ¯ ∗ b 1 ¯ a 2 ¯ ∗ b 1 ¯ . . . a m ¯ ∗ b 1 ¯ ) = A ¯ ∗ b 1 ¯ ∴ A B ¯ = A { b 1 ,   b 2 ,   . . . ,   b k } ¯ = { A b 1 ¯ ,   A b 2 ¯ ,   . . . ,   A b k ¯ } = { A ¯ ∗ b 1 ¯ ,   A ¯ ∗ b 2 ¯ ,     . . . , A ¯ ∗ b k ¯ } = A ¯ ∗ B ¯
    • 定理一
      A是n*n实矩阵且 λ λ x x 是它的特征值和对应的特征向量,则 λ λ ¯ x x ¯ 也是A的特征值和对应的特征向量。

      证明:

      AA=AAx=λxAx =Ax=Ax=λx=λx ∵ A 是 实 矩 阵 ∴ A = A ¯ 且 知 A x = λ x A x ¯   = A ¯ ∗ x ¯ = A x ¯ = λ x ¯ = λ ¯ ∗ x ¯ 得 证

    • 定理二
      如果A是n*n的实对称矩阵,则A的所有特征值都为实数。

      证明:

      • 不妨设 Ax=λx A x = λ x x x 不为0向量, 则由定理一可知 x x ¯ 也是A的特征向量,且有 Ax =λx A x ¯   = λ ¯ ∗ x ¯ 。我们有如下变换:
        xTAx=xTλx=λxTx(1) (1) x ¯ T A x = x ¯ T λ x = λ x ¯ T x
        又因为 Ax A x 是向量,所以 xTAx = (Ax)Tx x ¯ T A x   =   ( A x ) T x ¯ ,所以从式(1)可得
        λxTx=xTAx = (Ax)Tx=xTATx=xTAx=λxTx λ x ¯ T x = x ¯ T A x   =   ( A x ) T x ¯ = x T A T x ¯ = x T A x ¯ = λ ¯ x T x ¯
        ,因为 xTx=xTx0 x T x ¯ = x ¯ T x ⩾ 0 ,所以 λ=λ λ = λ ¯ ,所以所有特征值都为实数。

    加一点自己的思考,如果一个矩阵A所有的特征值都为实数,则所有的特征向量也都是实向量,因为通过计算特征向量方式(求解 (AλI)x=0 ( A − λ I ) x = 0 )可以知道,不可能解出复数。

    • 相似矩阵
      如果说n*n阶的矩阵A和矩阵B是相似的(similar),那么存在一个n*n阶的非奇异矩阵(nonsingular)S是的 B=S1AS B = S − 1 A S
      相似矩阵具有相同的特征多项式(characteristic polynomial),所以他们具有相同的特征值。

      det(S1ASλI)=det(S1ASλS1S)=det(S1(AλI)S)=det(S1)det(AλI)det(S)=det(AλI) d e t ( S − 1 A S − λ I ) = d e t ( S − 1 A S − λ S − 1 S ) = d e t ( S − 1 ( A − λ I ) S ) = d e t ( S − 1 ) d e t ( A − λ I ) d e t ( S ) = d e t ( A − λ I )

    • 定理三
      A是一个n*n的矩阵且它所有的特征值都是实数,则必定存在一个正交矩阵(orthogonal matrix)Q使得如下等式成立:

      QTAQ=T Q T A Q = T
      其中T是一个n*n的上三角矩阵。
      证明:
      用数学归纳法来证明这个定理:

      当A是2*2矩阵的时候,不妨设 Au=λu A u = λ u ,使用格莱姆-施密特正交化方法(Gram-Schmit Orthogonalization)可以构建出这样一个正交矩阵 Q={u,v} Q = { u , v } ,则:

      QTAQ=(uTvT)A(uv)=(uTvT)(AuAv)=(uTAuvTAuuTAvvTAv)=(λ0uTAvvTAv) Q T A Q = ( u T v T ) A ( u v ) = ( u T v T ) ( A u A v ) = ( u T A u u T A v v T A u v T A v ) = ( λ u T A v 0 v T A v )

      则对2*2矩阵定理三成立

      当A是3*3矩阵的时候,做相同假设,则存在一个正交矩阵 Q={u,v,w} Q = { u , v , w } , 则:

      B=QTAQ=uTvTwTA(uvw)=uTvTwT(AuAvAw)=uTAuvTAuwTAuuTAvvTAvwTAvuTAwvTAwwTAw=λ00uTAvvTAvwTAvuTAwvTAwwTAw=(λ0A1),A1=(vTAvwTAvvTAwwTAw) B = Q T A Q = ( u T v T w T ) A ( u v w ) = ( u T v T w T ) ( A u A v A w ) = ( u T A u u T A v u T A w v T A u v T A v v T A w w T A u w T A v w T A w ) = ( λ u T A v u T A w 0 v T A v v T A w 0 w T A v w T A w ) = ( λ ∗ 0 A 1 ) , 其 中 A 1 = ( v T A v v T A w w T A v w T A w )

      又因为
      det(QTAQβI)=(λβ0A1βI)=(λβ)det(A1βI) d e t ( Q T A Q − β I ) = ( λ − β ∗ 0 A 1 − β I ) = ( λ − β ) ∗ d e t ( A 1 − β I )

      可以看出 A1 A 1 的每一个特征值都是 B B 的特征值, 又因为B和A是相似矩阵,所以B与A具有相同的特征值,且A的特征值全是实数,所以A1的特征值也全是实数。

      既然 A1 A 1 的特征值全是实数且A是2*2矩阵,运用第一步证明则存在一个正交矩阵S,使得 STAS=T S T A S = T ,构建如下矩阵R:

      R=(100S) R = ( 1 0 0 S )

      则存在下列性质:
      RTR=(100ST)(100S)=(100STS)=I R T R = ( 1 0 0 S T ) ( 1 0 0 S ) = ( 1 0 0 S T S ) = I

      则矩阵QR是正交矩阵,因为 (QR)TQR=RTQTQR=RTR=I ( Q R ) T Q R = R T Q T Q R = R T R = I ,进一步计算:
      (QR)TA(QR)=RTQTAQR=(100ST)(λ0A1)(100S)=(10STA1S)=(10T) ( Q R ) T A ( Q R ) = R T Q T A Q R = ( 1 0 0 S T ) ( λ ∗ 0 A 1 ) ( 1 0 0 S ) = ( 1 ∗ 0 S T A 1 S ) = ( 1 ∗ 0 T )

      则对3*3矩阵定理三得证。

      现在假设定理三对(n-1)*(n-1)阶矩阵成立。
      A是n*n的矩阵,且所有的特征值为实数,不妨设 Au=λu A u = λ u ,则利用格莱姆-施密特正交化方法,可以找到这样一组标准正交基,构成矩阵 Q={u,v,w,...} Q = { u , v , w , . . . } ,然后有

      QTAQ=(λ0A1) Q T A Q = ( λ ∗ 0 A 1 )

      利用之前所提到的特征多项式方法可以证明(n-1)*(n-1)阶的 A1 A 1 的特征值全是实数,所以它满足此定理,所以有 STA1S=T S T A 1 S = T 。存在矩阵P:
      P=(100S) P = ( 1 0 0 S )

      则QP是正交矩阵,继而又有:
      (QP)TA(QP)=PTQTAQP=(100ST)(λ0A1)(100S)=(10STA1S)=(10T) ( Q P ) T A ( Q P ) = P T Q T A Q P = ( 1 0 0 S T ) ( λ ∗ 0 A 1 ) ( 1 0 0 S ) = ( 1 ∗ 0 S T A 1 S ) = ( 1 ∗ 0 T )

      所以定理三对n*n矩阵有效。

    上述定理中对矩阵的分解其实是舒尔分解(Schur Decomposition)中的一个特例(仅针对特征向量全是实数的矩阵)。对实对称矩阵的一个重要定理我们要用到它。

    • 定理四
      如果矩阵A是实对称矩阵,则必定存在一个正交矩阵Q,使得 QTAQ=D Q T A Q = D ,其中D是对角矩阵。
      证明:
      定理二可知,A特征值全是实数。由定理三可知 QTAQ=T Q T A Q = T ,所以:
      TT=(QTAQ)T=QTATQ=QTAQ=T T T = ( Q T A Q ) T = Q T A T Q = Q T A Q = T
      ,所以T是对角矩阵。

    把上述定理做个变形可得 A=QDQT A = Q D Q T ,也就解释了为什么实对称矩阵在做特征分解的时候可以分解为一个正交矩阵乘以对角矩阵再乘以正交矩阵的转置,正交矩阵的每一列是一个特征向量,对应对角矩阵中的特征向量。

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  • 实对称矩阵的几个性质

    千次阅读 2019-06-16 22:40:34
    设一个实对称矩阵 XXX (X∈SnX\in S^nX∈Sn),它的最大特征值为 λmax\lambda_{max}λmax​,则满足性质: ∀y∈Rn,∥y∥2=1⟹yTXy≤λmax \forall y\in R^n, \|y\|_2=1\quad \Longrightarrow\quad y^TXy\leq \...

    性质 1

    设一个实对称矩阵 X X X ( X ∈ S n X\in S^n XSn),它的最大特征值为 λ m a x \lambda_{max} λmax,则满足性质:
    ∀ y ∈ R n , ∥ y ∥ 2 = 1 ⟹ y T X y ≤ λ m a x \forall y\in R^n, \|y\|_2=1\quad \Longrightarrow\quad y^TXy\leq \lambda_{max} yRn,y2=1yTXyλmax

    证明:

    根据实对称矩阵的另外一个性质:
    X = Q T Λ Q X=Q^T\Lambda Q X=QTΛQ
    其中, Q Q Q 为正交矩阵,即 Q T Q = I Q^TQ=I QTQ=I,而 Λ \Lambda Λ 为特征根的对角线矩阵。
    y T X y = y T Q T Λ Q y = U T Λ U ( U = Q y ) = λ 1 u 1 2 + λ 2 u 2 2 + ⋯ + λ n u n 2 ≤ λ m a x ( u 1 2 + ⋯ + u n 2 ) = λ m a x U T U = λ m a x y T Q T Q y = λ m a x y T y = λ m a x \begin{aligned} y^T X y=& y^T Q^T \Lambda Qy \\ =&U^T \Lambda U\quad (U=Qy) \\ =& \lambda_1 u_1^2+\lambda_2 u_2^2+\dots +\lambda_n u_n^2 \\ \leq & \lambda_{max}(u_1^2+\dots + u_n^2) \\ =&\lambda_{max}U^TU \\ =& \lambda_{max}y^T Q^TQy \\ =& \lambda_{max} y^Ty=\lambda_{max} \end{aligned} yTXy======yTQTΛQyUTΛU(U=Qy)λ1u12+λ2u22++λnun2λmax(u12++un2)λmaxUTUλmaxyTQTQyλmaxyTy=λmax

    证毕. □ \Box

    其实用到了谱分解。

    其他性质

    • 实对称矩阵的特征根也为实数,特征向量为实向量。特别的,实对称矩阵 A A T AA^T AAT 的特征根都为非负数。(特征根全部大于零才可逆)
    • 实对称矩阵不同特征根对应的特征向量相互正交。
    • 实对称矩阵都可以正交对角化,即正交对角化,即对于实对称矩阵 A A A,存在一个正交矩阵 P \bf P P 以及对角线矩阵 ∧ \bf \land ,使得**
      A = P ∧ P T A=P\wedge P^T A=PPT
    • K 重特征根必有 K 个线性无关的特征向量。
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  • 实对称矩阵及其几大性质

    万次阅读 多人点赞 2018-08-19 16:27:01
    所以,下面将介绍一下什么是实对称矩阵,并介绍一下它的几个性质(这也是很多笔试题中常考的点) 定义:如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji)(i,j为元素的脚标),则称A为...

    做机器学习的过程中,难免会与矩阵打交道,而实对称矩阵更是其中常用的矩阵之一。所以,下面将介绍一下什么是实对称矩阵,并介绍一下它的几个性质(这也是很多笔试题中常考的点)

    定义:如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji)(i,j为元素的脚标),则称A为实对称矩阵。

    主要性质:

    1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的(网易笔试题曾考过)。

    2.实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。

    3.n阶实对称矩阵A必可对角化,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

    4.若λ0具有k重特征值 必有k个线性无关的特征向量,或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k,其中E为单位矩阵。

     

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  • 实对称矩阵性质速查 (来源于2019年李永乐线性代数辅导笔记P124页) 实对称矩阵必定与对角矩阵相似 实对称矩阵可用正交矩阵对角化 实对称矩阵不同特征值的特征向量必然正交 实对称矩阵A的特征值都是实数 实对称...
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  • 实对称矩阵的若干性质与详细证明

    万次阅读 多人点赞 2016-04-06 21:17:37
    花了一下午终于把实对称矩阵的几个定理的证明都搞定了,定理很简单,证明起来却十分之费事,用的都是十分基础而经典的证明手段,这破编辑器还不能写公式,直接截图了。 所有特征值都为实数。 某百科里还认为所有...
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