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  • 密度聚类 千次阅读
    2018-06-28 23:02:17

    引言

    其实对于所有的聚类问题,都有一个核心点,那就是以什么样的规则来划分两个点是不是同一类。密度聚类,本质上就是基于一种密度的概念来进行聚类。而密度的定义本质上也是来自于两点的距离,所以其实对于聚类的算法来看,大家本质上都差不多,谁也别笑话谁。下面我们来总结介绍一种叫做DBSCAN的密度算法。

    DBSCAN

    DBSCAN 的全称是 Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise
    单词里面有个noise,这就说明我们的算法是能抗噪声的,并且我们的算法是可以在空间中聚类为任意形状的聚类的,这点是一些其他的聚类算法不具备的性质,如下所示:

    这里写图片描述
    具有这样的性能,就是因为我们的算法引入了“邻域”(其参数为 (ε,MinPts) ( ε , M i n P t s ) )的概念来刻画样本的紧密程度的算法。

    下面我们来介绍一下这个算法,在具体算法之前,我们先看几个定义,非常简单,但是可能比较绕,懂了这几个定义,下面的算法就是小菜一碟了。

    基于密度的几个概念

    ε ε − 邻域:

    xjD x j ∈ D ,其 ε ε − 邻域是指样本集 D D 中与 xj x j 距离不大于 ε ε 的样本,即 Nε(xj)={xjD|dist(xi,xj)ε} N ε ( x j ) = { x j ∈ D | d i s t ( x i , x j ) ≤ ε }

    核心对象:

    对象 xj x j ε ε − 邻域中至少包含 MinPts M i n P t s 个样本,即 Nε(xj)MinPts N ε ( x j ) ≥ M i n P t s ,则称 xj x j 为核心对象。

    密度直达:

    xj x j 位于 xi x i ε ε − 邻域中,且 xi x i 是核心对象,则称 xj x j xi x i 密度直达。

    密度可达:

    xj x j xi x i ,存在样本序列 p1,p2,...,pn p 1 , p 2 , . . . , p n p1=xj,pn=xi p 1 = x j , p n = x i pi+1 p i + 1 pi p i 密度直达,则称 xj x j xi x i 密度可达。

    其实这个概念本质上要求 p2,...,pn p 2 , . . . , p n 都是核心对象

    密度相连:

    xj x j xi x i ,若存在 xk x k 使得 xj x j xi x i 均由 xk x k 密度可达,则称 xj x j xi x i 密度相连。

    下图直观的表示了这几个概念

    kmeans

    基于上面的概念,可以定义DBSCAN算法里面的簇的定义

    簇: 由密度可达关系导出的最大的密度相连的样本集合。

    因此实际上簇 CD C ⊆ D 满足下面的两个条件:

    连接性: xiC,xjC x i ∈ C , x j ∈ C ⇒ xi x i xj x j 密度相连

    最大性: xiC x i ∈ C xj x j xi x i 密度可达 xjC ⇒ x j ∈ C

    实际上就是核心对象以及与其密度可达的所有的点的集合

    本质上相当于一些核心对象以及边界点组成了簇,簇中核心的点就是核心对象。

    具体算法描述

    实际上就是核心对象以及与其密度可达的所有的点的集合

    输入

    • 样本集 D={x1,...,xN} D = { x 1 , . . . , x N }
    • 邻域参数 (ε,MinPts) ( ε , M i n P t s )

    算法流程


    • 找出所有的核心对象,放入集合中 Ω Ω
    • 初始化未访问的样本集合: Γ=D Γ = D
    • while(Ω) w h i l e ( Ω ≠ ∅ )


    • Γold=D Γ o l d = D
    • 随机选取一个核心对象 oΩ o ∈ Ω ,初始化 Q=<o> Q =< o >
    • Γ=Γ{o} Γ = Γ ∖ { o }
    • while(Q) w h i l e ( Q ≠ ∅ )


    • Q Q 中取出样本 q q
    • if(q i f ( q 是核心对象 ) )

    • Δ=Nε(q)Γ Δ = N ε ( q ) ∩ Γ , 即获取核心对象 q q 邻域内的点
    • Δ内的点加入到 Q Q
    • Γ=ΓΔ Γ = Γ ∖ Δ
    • endif e n d i f
    • endwhile e n d w h i l e
    • k=k+1 k = k + 1 ,并且生成聚类簇 Ck=ΓoldΓ C k = Γ o l d ∖ Γ
    • Ω=ΩCk Ω = Ω ∖ C k
    • endwhile e n d w h i l e

    输出

    簇划分 C={C1,...,CK} C = { C 1 , . . . , C K }

    算法的优缺点

    优点:

    • 算法不需要指定聚类的数目,但是算法实际上需要另外两个参数 (ε,MinPts) ( ε , M i n P t s ) ,所以这个优点也是勉强。
    • 可以聚成任意形状的类,就像开始的图所示
    • 能够识别出噪声点

    缺点:

    • 对高维数据效果不算好
    • 如果样本的密度不均, 效果会不理想
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    1. 密度聚类算法概述 2. DBSCAN 算法 2.1 DBSCAN 若干概念 2.2 DBSCAN算法的流程 3. 密度最大值算法 3.1 密度最大值算法的原理 3.2 DensityPeak 与决策图Decision Graph 3.3 边界和噪声的重认识 3.4 不同...

    目录

    1. 密度聚类算法概述

    2. DBSCAN 算法

    2.1 DBSCAN 若干概念

    2.2 DBSCAN算法的流程

    3. 密度最大值算法

    3.1 密度最大值算法的原理

    3.2 DensityPeak 与决策图Decision Graph

    3.3 边界和噪声的重认识 

    3.4 不同数据下密度最大值聚类的效果

    4. Affinity Propagation

    4.1 Affinity Propagation 算法原理

    4.2 Affinity Propagation 算法调参

    5. 参考文献 


    1. 密度聚类算法概述

    密度聚类方法的指导思想: 只要样本点的密度大于某阈值,则将该样本添加到最近的簇中。

    优点:

    (1) 能克服基于距离的算法只能发现“类圆形”(凸)的聚类的缺点,可发现任意形状的聚类。

    比如:GMM——K-Means只能得到类圆形区域

    (2) 对噪声数据不敏感

    (3) 对数据的分布没有要求。(K-Means要求数据服从混合高斯分布)

    缺点:

    (1) 计算密度单元的计算复杂度大,需要建立空间索引来降低计算量。

    密度聚类算法:

    DBSCAN

    密度最大值算法

    2. DBSCAN 算法

    DBSCAN(Density based spatial clustering of applications with noise ), 将簇定义为密度相连的点的最大集合,能够把具有足够高密度的区域划分为簇,并可在有“噪声”的数据中发现任意形状的聚类。

    2.1 DBSCAN 若干概念

    对象的-邻域:给定对象在半径内的区域。 

    核心对象:对于给定的数目m,如果一个对象的-邻域至少包含m个对象,则称该对象为核心对象。

    直接密度可达:给定一个对象集合D,如果p是在q-邻域内,而q是一个核心对象,我们说对象p从对象q出发是直接密度可达的。同时定义,没有任何点是由非核心点直接可达的

    eg:如下图所示:= 1cm,m=5,q是一个核心对象,从对象q出发到对象p是直接密度可达的。

    密度可达:如果存在一个对象链p1, p2, p3,……pn(pi∈ D1≤i≤n), p1=q(核心对象), pn =p,pi+1是从pi关于E和m直接密度可达的(pi1≤i≤n-1,为核心对象),则对象p是从对象q关于和m密度可达的。

     

    密度相连:如果对象集合D中存在一个对象o,使得对象p和q是从o关于E和m密度可达的,那么对象p和q是关于和m密度相连的。 

     

    定义了密度相连之后,每个聚类都符合两个性质:

    (1)一个聚类里的两个点都是互相连接的。

    (2)如果一个点p是由一个在聚类里的点q可达的,那么p也在q所属的聚类里。

    簇:一个基于密度的簇是最大的密度相连对象的集合。

    噪声:不包含在任何簇中的对象称为噪声。

    2.2 DBSCAN算法的流程

     (1)如果一个点p的E-邻域包含多于m个对象,则创建一个p作为核心对象的新簇;

    (2)寻找并合并核心对象直接密度可达的对象;(用到并查集,不关心路径,只关心两个点是否连接)

    (3)没有新点可以更新簇时,算法结束;

    DBSCAN 需要两个参数:ε (eps) 和形成高密度区域所需要的最少点数 (minPts)

    伪代码:

    DBSCAN(D, eps, MinPts) {
       C = 0
       for each point P in dataset D {
          if P is visited
             continue next point
          mark P as visited
          NeighborPts = regionQuery(P, eps)
          if sizeof(NeighborPts) < MinPts
             mark P as NOISE
          else {
             C = next cluster
             expandCluster(P, NeighborPts, C, eps, MinPts)
          }
       }
    }
    
    expandCluster(P, NeighborPts, C, eps, MinPts) {
       add P to cluster C
       for each point P' in NeighborPts { 
          if P' is not visited {
             mark P' as visited
             NeighborPts' = regionQuery(P', eps)
             if sizeof(NeighborPts') >= MinPts
                NeighborPts = NeighborPts joined with NeighborPts'
          }
          if P' is not yet member of any cluster
             add P' to cluster C
       }
    }
    
    regionQuery(P, eps)
       return all points within P's eps-neighborhood (including P)
    

    由上述算法可知:

    • 每个簇至少包含一个核心对象;
    • 非核心对象可以是簇的一部分,构成了簇的边缘(edge);
    • 包含过少对象(少于m个)的簇被认为是噪声。

    3. 密度最大值算法

    密度最大值聚类可识别各种形状的类簇,且参数很容易确定。

    3.1 密度最大值算法的原理

    局部密度ρi

    dc 是一个截断距离,ρi 即到对象i的距离小于dc的对象的个数。由于该算法只对ρi的相对值敏感,所以对dc的选择是稳健的,一种推荐的做法是选择dc,使得平均每个点的邻居数为所有点的1%—2%。(why?)

    高局部密度点距离δi

    在密度高于对象i的所有对象中,到对象i最近的距离,即高局部密度点距离。 

    对于密度最大的对象,设置,即该问题中的无穷大。只有那些密度是局部或者全局最大的点才会有远大于正常值的高局部密度点距离。 

     

    簇的中心:比较大的局部密度ρi和大的高局部密度点距离δi

    异常点:高局部密度点距离δi较大但是局部密度ρi较小

    确定簇中心之后,其它点按照距离已知簇的中心最近进行分类(也可按照密度可达的方法进行分类)

    3.2 DensityPeak 与决策图Decision Graph

    3.3 边界和噪声的重认识 

    在聚类分析中,通常需要确定每个点划分给某个簇的可靠性。

    3.4 不同数据下密度最大值聚类的效果

     

    4. Affinity Propagation

    4.1 Affinity Propagation 算法原理

    r(i,k):i对k的依赖

    a(i,k):k对i的适合度

    将距离的相反数(倒数)作为两点的相似度。 

    4.2 Affinity Propagation 算法调参

    5. 参考文献 

    展开全文
  • 基于区域划分的DBSCAN多密度聚类算法.pdf
  • 一种时间序列数据的动态密度聚类算法.pdf
  • 密度聚类方法 密度聚类方法的核心思想是,只要样本点的密度大 于某阈值,则将该样本添加到最近的簇中。这类算法能克服基于距离的算法只能发现“类圆形”(凸)的聚类的缺点,可发现任意形状的聚类, 且对噪声数据不...

    目录

    密度聚类方法

    DBSCAN

    DBSCAN算法的若干概念

    DBSCAN具体实现步骤

    DBSCAN的优缺点

    密度聚类方法

    密度聚类方法的核心思想是,只要样本点的密度大于某阈值,则将该样本添加到最近的簇中。这类算法可发现任意形状的聚类, 且对噪声数据不敏感。但密度单元的计算复杂度大,需要建立空间索引来降低计算量。

    DBSCAN

    DBSCAN(Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise),基于密度的带噪声的空间聚类的应用,一个比较有代表性的基于密度的聚类算法。 它将簇定义为密度相连的点的最大集合,能够把具有足够高密度的区域划分为簇,并可在有噪声的数据中发现任意形状的聚类。

    DBSCAN算法的若干概念

    • 对象的ε-邻域:给定对象在半径ε内的区域。
    • 核心对象:对于给定的数目m,如果一个对象的ε-邻域至少包含m个对象,则称该对象为核心对象。
    • 直接密度可达:如果对象p是在对象q的ε-邻域内,而q是一个核心对象,我们就说对象p从对象q出发是直接密度可达的。
    • 密度可达:如果存在一个对象链p_{1}p_{2}\cdots p_{n}p_{1}=p,p_{n}=q,对于任意p_{i},1\leqslant i\leqslant n-1p_{i+1}是从p_{i}关于ε和m直接密度可达的,则对象p是从对象q关于ε和m密度可达的。
    • 密度相连:如果对象集合中存在一个对象o,使得对象p和q是从o关于ε和m密度可达的,那么对象p和q是关于ε和m密度相连的。
    • 簇:一个基于密度的簇是最大的密度相连对象的集合。
    • 噪声:不包含在任何簇中的对象称为噪声。

    DBSCAN具体实现步骤

    1. 从任意一个数据点开始,用距离阈值ε将这个点的邻域提取出来。
    2. 如果在邻域内至少有m个点,那么该点是核心对象,被纳入第一个簇。否则该点将被标记为噪声(之后这个噪声点可能还是会变成簇中的一部分)。
    3. 对于簇中的核心对象,在它邻域内的点也被纳入簇中。对于簇中所有点,再去提取它们的邻域,确定邻域内的点是否也属于当前的簇。
    4. 第 2~3 步的过程会一直重复,直到簇内所有点都被确定,即所有在邻域内的点都被标记属于一个簇或者是噪声。
    5. 一旦我们在当前簇做完这些,就会从新的数据点开始,接着发现下一个簇或噪声。这个过程反复进行直到所有的点都已被访问,最后每个点都被标记属于某一个簇或者是噪声。

    DBSCAN的优缺点

    优点:

    1. 不需要预先确定聚类的数量。
    2. 可以很好地发现任意尺寸和任意形状的聚类。
    3. 对噪声数据不敏感,将离群值认定为噪声,不像mean-shift算法仅仅将将它们扔到一个簇里,即使簇中数据差异很大。

    缺点:

    1. 当集群的密度变化时,它表现得不像其他算法那样好。这是因为当密度变化时,距离阈值 ε 和用于确定邻居点的m也将会随之改变。
    2. 这个缺点也会发生在高维数据中,因为距离阈值 ε 变得难以被估计。
    展开全文
  • DBSCAN 密度聚类下的六边形空间索引算法 H3 的精度选择.pdf

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