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  • 对数正态分布(logarithmic normal distribution)是指一个随机变量的对数服从正态分布,则该随机变量服从对数正态分布对数正态分布从短期来看,与正态分布非常接近。但长期来看,对数正态分布向上分布的数值更多...

    对数正态分布(logarithmic normal distribution)是指一个随机变量的对数服从正态分布,则该随机变量服从对数正态分布。对数正态分布从短期来看,与正态分布非常接近。但长期来看,对数正态分布向上分布的数值更多一些。

    有些量本身就是不对称的。例如,试想,人们完成某项特定任务需要的时间:因为每个人都是不同的,我们会得到一个分布。然而,所有的值都必然是正数(因为时间不可能为负数)。而且,我们还能预测到该分布可能的形状:有一个无人可及的最小时间,然后是少数一些非常快的“冠军”,接下来就是普通人的最具代表性的完成时间形成一个高峰,最后是尾部一长串的“掉队者”。显然,高斯分布不会很好地描述这样的分布,因为高斯分布中x可以定义为正值,也可定义为负值,它是对称的且尾部很短。[1]

    在很多应用中,特别是在可靠性和维修性方面,数据可能不符合正态分布。可是,随机变量的对数可能符合正态分布,对此情况称为对数正态分布。如果应用对数正态分布,在对数正态图纸上数据的图形将是一条直线。绘图的过程与其他分布是相同的。其分析的过程包括计算对数值的平均值和标准差,以及对最终结果取反对数。[2]

    对数正态分布与正态分布很类似,除了它的概率分布向右进行了移动。对数正态分布从短期来看,与正态分布非常接近。但长期来看,对数正态分布向上分布的数值更多一些。更准确地说,对数正态分布中,有更大向上波动的可能,更小向下波动的可能。[3]

    对数正态分布用于半导体器件的可靠性分析和某些种类的机械零件的疲劳寿命。其主要用途是在维修性分析中对修理时间数据进行确切的分析。

    已知对数正态分布的密度函数,就可以根据可靠度与不可靠度函数的定义计算出该分布的可靠度函数和不可靠度函数的表达式

    性质

    对数正态分布具有如下性质:

    (1)正态分布经指数变换后即为对数正态分布;对数正态分布经对数变换后即为正态分布。

    (2)γ,t是正实数,X是参数为(μ,σ)的对数正态分布,则

    仍是对数正态分布,参数为

    (3)对数正态总是右偏的。

    (4)对数正态分布的均值和方差是其参数(μ,σ)的增函数。

    (5)对给定的参数μ,当σ趋于零时,对数正态分布的均值趋于exp(μ),方差趋于零

    应用:股票

    对数正态分布(logarithmic normal distribution):一个随机变量的对数服从正态分布,则该随机变量服从对数正态分布。

    在分析测试中,特别是在痕量分析中,在不少情况下,测定值不遵循正态分布,而是遵循对数正态分布。

    在概率论与统计学中,对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果 X 是服从正态分布的随机变量,则 exp(X) 服从对数正态分布;同样,如果 Y 服从对数正态分布,则 ln(Y) 服从正态分布。 如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积,则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率,它可以看作是每天收益率的乘积。

    Some common distributions which are not directly related to the normal distribution

    are described briefly in the following:

    • Lognormal distribution: A normal distribution, plotted on an exponential scale.

    A logarithmic transformation of the data is often used to convert a strongly

    skewed distribution into a normal one.

    Normal distributions are the easiest ones to work with. In some circumstances a set

    of data with a positively skewed distribution can be transformed into a symmetric,

    normal distribution by taking logarithms. Taking logs of data with a skewed

    distribution will often give a distribution that is near to normal

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  • 目标:用python生成一组具有上下限的对数正态分布随机数。思路:利用python的scipy.stats生成截断正态分布,再将正态分布转化为对数正态分布。要求:生成的目标对数正态分布随机数要介于区间[log_lower,log_upper]内...

    目标:用python生成一组具有上下限的对数正态分布随机数。

    思路:利用python的scipy.stats生成截断正态分布,再将正态分布转化为对数正态分布。

    要求:生成的目标对数正态分布随机数要介于区间[log_lower,log_upper]内,这里设定该区间为[5, 10],并绘制正态分布与对数正态分布随机数的直方图。

    源代码:

    import numpy as np

    from pylab import *

    from scipy import stats

    import matplotlib

    import matplotlib.pyplot as plt

    # 设置matplotlib正常显示中文和负号

    matplotlib.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 用黑体显示中文

    matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 正常显示负号

    # region 【功能函数】生成截断对数正态分布,要求对数正态在[log_lower,log_upper]

    def get_trunc_lognorm(mu, sigma, log_lower, log_upper=np.inf, data_num=10000):

    norm_lower = np.log(log_lower)

    norm_upper = np.log(log_upper)

    X = stats.truncnorm((norm_lower - mu) / sigma, (norm_upper - mu) / sigma, loc=mu, scale=sigma)

    norm_data = X.rvs(data_num)

    log_data = np.exp(norm_data)

    return norm_data, log_data

    # endregion

    mu, sigma = 0, 1

    norm_data, log_data = get_trunc_lognorm(mu, sigma, 5, 10)

    figure(4)

    subplot(2, 1, 1)

    plt.hist(norm_data, normed=1, bins=30)

    plt.xticks(np.arange(mu - 5 * sigma, mu + 5 * sigma, 0.5))

    plt.title("中间过程的截断正态分布")

    subplot(2, 1, 2)

    plt.hist(log_data, normed=1, bins=30)

    plt.xticks(np.arange(0, 50, 5))

    # plt.xlim(0,50)

    plt.title("所求的截断对数正态分布")

    plt.show()

    执行结果:

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  • 标的资产服从正态分布和服从对数正态分布的区别是什么呢?下面通过两个实例来了解一下它们的区别。 假如现价为 100 元的标的资产服从正态分布,说明以现价 100 元为中心可以发生任意随机的价格变化。但是实际股价...

    来源:上海濡圣投资管理有限公司

        标的资产服从正态分布和服从对数正态分布的区别是什么呢?下面通过两个实例来了解一下它们的区别。

        假如现价为 100 元的标的资产服从正态分布,说明以现价 100 元为中心可以发生任意随机的价格变化。但是实际股价的最小值为 0,而不可能成为负数。假设以 100 元买入了某上市公司的股票后,就算该上市公司因比资产更大的负债而导致破产,那么股价也不会跌至 0 以下。若股价为负数,则要对股票持有者产生负债,但这种情况在现实中是绝对不会发生的。所以标的资产服从正态分布其实是一个非现实的假设。与其克服这种非现实性,还不如说标的资产服从对数正态分布。下面是正太分布和对数正太分布公式,S 表示标的资产价格,DS 表示标的资产变化量。

        0a27cabbcc27ed6d789d653b2a174a0e.png

        标的资产服从对数正态分布说明标的资产价格服从 Log 值的正态分布。此时 log (x)函数值的范围是−∞(x),其中当 log(x)=−∞时,正是 x=0 的点位。X=1+DS/S, 其值等于 0 说明DS=−S,股价变为 S→0,所以对数正态分布相比单纯的正态分布更能有效地说明是现实的假设。

        行权价为 100 的看跌期权中,标的资产最多能跌至 0,此时看跌期权的最大价格也是 100。另外看跌期权的到期价格为 max(X−S,0),所以看跌期权的最大价格就是行权价格。但是看涨期权就会不同。因为理论上标的资产可以无限上涨。标的资产价格为 3000,并假设标的资产单纯的服从正态分布,那么距离同一间隔(例如 10%) 行权价的看涨期权和看跌期权价格又会如何?标的资产服从正态分布的意思是以当前价格为基准以相同比率上涨或下跌的概率是一样的。

        如图所示,价格右侧括号中的数字表示概率,例如 3300(1/24),说明当标的资产现价为 3000 元时,上涨 10 元的概率为 1/24。为了便于理解,在这里假设只有当前时点和到期时点。

        假设现价为 3000 元,到期时的标的资产价格在 2700 元和 3000 元的概率相同(这里同为 1/24),那么行权价为 2700 元的看跌期权和行权价为 3300 元的看涨期权价格是相同的。但是标的资产价格最低为 0,上涨后的价格在理论上可以无穷大,所以看涨期权和看跌期权的价格只能形成非对称性。这种非对称性会对离现价具有相同距离行权价的看涨期权和看跌期权价格形成非对称性(看涨期权价格<看跌期权价 格)。进一步观察这种现象,股价服从正态分布意味着其上涨 5%和下跌 5%的概率是 相同的,但是由于股价不可能小于 0,因此是个非现实的假设。

        7e518fe68f53cdd5dfbb0e85c93771eb.png

                    : 正态分布

        如果需要更加现实化,就要假设为股价服从对数正态分布。正态分布和对数正态分布的区别在股价变化率概率分布中可以看出。

        以标的资产现价为 100 元,价格下跌 20%和上涨 25%的情况为例。从图可以看出,资产价格下跌 20%的概率会比上涨 25%的概率要大。但在观察这种价格变化时的 log 值会发现,下跌时 log 值为−0.2231(log(80/100)=−0.2231),上涨时 log 值为 0.2231(log(120/100)=0.2231),两种情况下标的资产变化的 log 值相同。所以标的资产服从对数正态分布的假设意味着接受价格下跌 20%和上涨 25%时的概率相同。

        在正态分布中 20%的价格下跌和 25%的价格上涨概率相同,但在对数正态分布中两者概率就有所不同。股价波动越大,log 值和单纯的股价变化率之差就会越大; 相反波动越小,两者之差就会越小。关系式如下。

        48b7200dd52fae7926b362faa16dacac.png

        上面关系式在接近于 0 或者变化率非常小时成立,当变化率的值很小时与变化的 log 值并没有太大差别。如表 3.9 所示为价格和 Delta 相关的内容,这里看跌期权的 Delta 加了绝对值。若看涨期权和看跌期权的价格相同,则看涨期权的 Delta 大于看跌期权(DC>|DP|);若看涨期权和看跌期权的 Delta 相同,则看涨期权的价格比看跌期权小(C

    )。

    5ff45424313fe87477b6d99e8b39b1a5.png

                表: 期权价格与 Delta

        在进行卖出跨式交易时,是以价格为基准还是以 Delta 为基准?通过上述结论可对此问题进行解答。本书中的所有论述都是按照 B-S 定价模型展开的,也就是说接受 B-S 定价模型的基本前提,B-S 定价模型的基本前提之一就是标的资产服从对数正态分布。问题在于人们都熟悉于单纯的变化率,对 log 值并不太熟悉,对标的资产的变化只能依赖着个人的固定观念来判断。B-S 期权定价模型在过去的 30 多年里是期权交易员们依赖度最高的理论,至少对于标的资产的变化来说,B-S 定价模型相比单纯的股价变化率服从正态分布的假设更为接近现实,所以在进行卖出跨式交易时,需要以 Delta 为基准。接下来对 B-S 模型的限制做进一步的说明。

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  • 你说I have a sample data, the logarithm of which ...使此数据适合使用scipy.stats.lognorm的对数正态分布,使用:s, loc, scale = stats.lognorm.fit(data, floc=0)假设mu和sigma是基本正态分布。得到这些值...

    你说I have a sample data, the logarithm of which follows a normal distribution.

    假设data是包含样本的数组。使此数据适合

    使用scipy.stats.lognorm的对数正态分布,使用:s, loc, scale = stats.lognorm.fit(data, floc=0)

    假设mu和sigma是

    基本正态分布。得到这些值的估计值

    从该配合中,使用:estimated_mu = np.log(scale)

    estimated_sigma = s

    (这些是而不是的平均值和标准差的估计值

    data中的样本。有关公式,请参见wikipedia page

    对于对数正态分布的均值和方差,用mu和sigma表示。)

    要组合直方图和PDF,可以使用,例如import matplotlib.pyplot as plt.

    plt.hist(data, bins=50, normed=True, color='c', alpha=0.75)

    xmin = data.min()

    xmax = data.max()

    x = np.linspace(xmin, xmax, 100)

    pdf = stats.lognorm.pdf(x, s, scale=scale)

    plt.plot(x, pdf, 'k')

    如果想查看数据日志,可以执行以下操作

    下面。注意,使用了正态分布的PDF

    在这里。logdata = np.log(data)

    plt.hist(logdata, bins=40, normed=True, color='c', alpha=0.75)

    xmin = logdata.min()

    xmax = logdata.max()

    x = np.linspace(xmin, xmax, 100)

    pdf = stats.norm.pdf(x, loc=estimated_mu, scale=estimated_sigma)

    plt.plot(x, pdf, 'k')

    顺便说一下,与stats.lognorm匹配的另一种方法是匹配log(data)

    使用stats.norm.fit:logdata = np.log(data)

    estimated_mu, estimated_sigma = stats.norm.fit(logdata)

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空空如也

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对数正态分布