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  • 对称矩阵性质

    千次阅读 2021-06-21 11:02:27
    对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的; 实对称矩阵特征值是实数, 特征向量都是实向量; n阶实对称阵必可以对角化, 且相似的对角阵的元素即是原矩阵的特征值; 若λk\lambda_{k}λk​具有k重特征值, 必有k个...
    1. 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的;
    2. 实对称矩阵特征值是实数, 特征向量都是实向量;
    3. n阶实对称阵必可以对角化, 且相似的对角阵的元素即是原矩阵的特征值;
    4. λ k \lambda_{k} λk具有k重特征值, 必有k个线性无关的特征向量, 或者说必有秩 r ( λ 0 E − A ) = n − k r(\lambda_{0}E-A)=n-k r(λ0EA)=nk.
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  • 对称矩阵性质的数学证明

    万次阅读 多人点赞 2018-05-13 18:36:57
    在进行实对称矩阵性质的数学证明之前,先证明一些会用到的有用理论。首先先引入复数的共轭概念: 假设z是复数(complex number),z = a + bi,则z的共轭(conjugate of z)则写作z⎯⎯=a −biz¯=a&...

    在进行实对称矩阵性质的数学证明之前,先证明一些会用到的有用理论。首先先引入复数的共轭概念:

    • 假设z是复数(complex number),z = a + bi,则z的共轭(conjugate of z)则写作 z=a bi z ¯ = a   − b i ,利用复数的运算法则一下5条性质不难证明:
      z+w=z+wzw=zwzz=a2+b2λx=λxAB=AB,ACmn,BCnk z + w ¯ = z ¯ + w ¯ z w ¯ = z ¯ ∗ w ¯ z z ¯ = a 2 + b 2 λ x ¯ = λ ¯ ∗ x ¯ A B ¯ = A ¯ ∗ B ¯ , A ∈ C m ∗ n , B ∈ C n ∗ k

      其中最后一条性质用矩阵的乘法规则即可证明
      AB=A{b1, b2, ..., bk}={Ab1, Ab2, ..., Abk}Ab1=a1b1a2b1...amb1a1b1 = a1b1Ab1=a1b1a2b1...amb1=a1b1a2b1...amb1=Ab1AB=A{b1, b2, ..., bk}={Ab1, Ab2, ..., Abk}={Ab1, Ab2,  ...,Abk}=AB A B ¯ = A { b 1 ,   b 2 ,   . . . ,   b k } ¯ = { A b 1 ¯ ,   A b 2 ¯ ,   . . . ,   A b k ¯ } A b 1 ¯ = ( a 1 b 1 ¯ a 2 b 1 ¯ . . . a m b 1 ¯ ) ∵ a 1 b 1 ¯   =   a 1 ¯ ∗ b 1 ¯ ∴ A b 1 ¯ = ( a 1 b 1 ¯ a 2 b 1 ¯ . . . a m b 1 ¯ ) = ( a 1 ¯ ∗ b 1 ¯ a 2 ¯ ∗ b 1 ¯ . . . a m ¯ ∗ b 1 ¯ ) = A ¯ ∗ b 1 ¯ ∴ A B ¯ = A { b 1 ,   b 2 ,   . . . ,   b k } ¯ = { A b 1 ¯ ,   A b 2 ¯ ,   . . . ,   A b k ¯ } = { A ¯ ∗ b 1 ¯ ,   A ¯ ∗ b 2 ¯ ,     . . . , A ¯ ∗ b k ¯ } = A ¯ ∗ B ¯
    • 定理一
      A是n*n实矩阵且 λ λ x x 是它的特征值和对应的特征向量,则 λ λ ¯ x x ¯ 也是A的特征值和对应的特征向量。

      证明:

      AA=AAx=λxAx =Ax=Ax=λx=λx ∵ A 是 实 矩 阵 ∴ A = A ¯ 且 知 A x = λ x A x ¯   = A ¯ ∗ x ¯ = A x ¯ = λ x ¯ = λ ¯ ∗ x ¯ 得 证

    • 定理二
      如果A是n*n的实对称矩阵,则A的所有特征值都为实数。

      证明:

      • 不妨设 Ax=λx A x = λ x x x 不为0向量, 则由定理一可知 x x ¯ 也是A的特征向量,且有 Ax =λx A x ¯   = λ ¯ ∗ x ¯ 。我们有如下变换:
        xTAx=xTλx=λxTx(1) (1) x ¯ T A x = x ¯ T λ x = λ x ¯ T x
        又因为 Ax A x 是向量,所以 xTAx = (Ax)Tx x ¯ T A x   =   ( A x ) T x ¯ ,所以从式(1)可得
        λxTx=xTAx = (Ax)Tx=xTATx=xTAx=λxTx λ x ¯ T x = x ¯ T A x   =   ( A x ) T x ¯ = x T A T x ¯ = x T A x ¯ = λ ¯ x T x ¯
        ,因为 xTx=xTx0 x T x ¯ = x ¯ T x ⩾ 0 ,所以 λ=λ λ = λ ¯ ,所以所有特征值都为实数。

    加一点自己的思考,如果一个矩阵A所有的特征值都为实数,则所有的特征向量也都是实向量,因为通过计算特征向量方式(求解 (AλI)x=0 ( A − λ I ) x = 0 )可以知道,不可能解出复数。

    • 相似矩阵
      如果说n*n阶的矩阵A和矩阵B是相似的(similar),那么存在一个n*n阶的非奇异矩阵(nonsingular)S是的 B=S1AS B = S − 1 A S
      相似矩阵具有相同的特征多项式(characteristic polynomial),所以他们具有相同的特征值。

      det(S1ASλI)=det(S1ASλS1S)=det(S1(AλI)S)=det(S1)det(AλI)det(S)=det(AλI) d e t ( S − 1 A S − λ I ) = d e t ( S − 1 A S − λ S − 1 S ) = d e t ( S − 1 ( A − λ I ) S ) = d e t ( S − 1 ) d e t ( A − λ I ) d e t ( S ) = d e t ( A − λ I )

    • 定理三
      A是一个n*n的矩阵且它所有的特征值都是实数,则必定存在一个正交矩阵(orthogonal matrix)Q使得如下等式成立:

      QTAQ=T Q T A Q = T
      其中T是一个n*n的上三角矩阵。
      证明:
      用数学归纳法来证明这个定理:

      当A是2*2矩阵的时候,不妨设 Au=λu A u = λ u ,使用格莱姆-施密特正交化方法(Gram-Schmit Orthogonalization)可以构建出这样一个正交矩阵 Q={u,v} Q = { u , v } ,则:

      QTAQ=(uTvT)A(uv)=(uTvT)(AuAv)=(uTAuvTAuuTAvvTAv)=(λ0uTAvvTAv) Q T A Q = ( u T v T ) A ( u v ) = ( u T v T ) ( A u A v ) = ( u T A u u T A v v T A u v T A v ) = ( λ u T A v 0 v T A v )

      则对2*2矩阵定理三成立

      当A是3*3矩阵的时候,做相同假设,则存在一个正交矩阵 Q={u,v,w} Q = { u , v , w } , 则:

      B=QTAQ=uTvTwTA(uvw)=uTvTwT(AuAvAw)=uTAuvTAuwTAuuTAvvTAvwTAvuTAwvTAwwTAw=λ00uTAvvTAvwTAvuTAwvTAwwTAw=(λ0A1),A1=(vTAvwTAvvTAwwTAw) B = Q T A Q = ( u T v T w T ) A ( u v w ) = ( u T v T w T ) ( A u A v A w ) = ( u T A u u T A v u T A w v T A u v T A v v T A w w T A u w T A v w T A w ) = ( λ u T A v u T A w 0 v T A v v T A w 0 w T A v w T A w ) = ( λ ∗ 0 A 1 ) , 其 中 A 1 = ( v T A v v T A w w T A v w T A w )

      又因为
      det(QTAQβI)=(λβ0A1βI)=(λβ)det(A1βI) d e t ( Q T A Q − β I ) = ( λ − β ∗ 0 A 1 − β I ) = ( λ − β ) ∗ d e t ( A 1 − β I )

      可以看出 A1 A 1 的每一个特征值都是 B B 的特征值, 又因为B和A是相似矩阵,所以B与A具有相同的特征值,且A的特征值全是实数,所以A1的特征值也全是实数。

      既然 A1 A 1 的特征值全是实数且A是2*2矩阵,运用第一步证明则存在一个正交矩阵S,使得 STAS=T S T A S = T ,构建如下矩阵R:

      R=(100S) R = ( 1 0 0 S )

      则存在下列性质:
      RTR=(100ST)(100S)=(100STS)=I R T R = ( 1 0 0 S T ) ( 1 0 0 S ) = ( 1 0 0 S T S ) = I

      则矩阵QR是正交矩阵,因为 (QR)TQR=RTQTQR=RTR=I ( Q R ) T Q R = R T Q T Q R = R T R = I ,进一步计算:
      (QR)TA(QR)=RTQTAQR=(100ST)(λ0A1)(100S)=(10STA1S)=(10T) ( Q R ) T A ( Q R ) = R T Q T A Q R = ( 1 0 0 S T ) ( λ ∗ 0 A 1 ) ( 1 0 0 S ) = ( 1 ∗ 0 S T A 1 S ) = ( 1 ∗ 0 T )

      则对3*3矩阵定理三得证。

      现在假设定理三对(n-1)*(n-1)阶矩阵成立。
      A是n*n的矩阵,且所有的特征值为实数,不妨设 Au=λu A u = λ u ,则利用格莱姆-施密特正交化方法,可以找到这样一组标准正交基,构成矩阵 Q={u,v,w,...} Q = { u , v , w , . . . } ,然后有

      QTAQ=(λ0A1) Q T A Q = ( λ ∗ 0 A 1 )

      利用之前所提到的特征多项式方法可以证明(n-1)*(n-1)阶的 A1 A 1 的特征值全是实数,所以它满足此定理,所以有 STA1S=T S T A 1 S = T 。存在矩阵P:
      P=(100S) P = ( 1 0 0 S )

      则QP是正交矩阵,继而又有:
      (QP)TA(QP)=PTQTAQP=(100ST)(λ0A1)(100S)=(10STA1S)=(10T) ( Q P ) T A ( Q P ) = P T Q T A Q P = ( 1 0 0 S T ) ( λ ∗ 0 A 1 ) ( 1 0 0 S ) = ( 1 ∗ 0 S T A 1 S ) = ( 1 ∗ 0 T )

      所以定理三对n*n矩阵有效。

    上述定理中对矩阵的分解其实是舒尔分解(Schur Decomposition)中的一个特例(仅针对特征向量全是实数的矩阵)。对实对称矩阵的一个重要定理我们要用到它。

    • 定理四
      如果矩阵A是实对称矩阵,则必定存在一个正交矩阵Q,使得 QTAQ=D Q T A Q = D ,其中D是对角矩阵。
      证明:
      定理二可知,A特征值全是实数。由定理三可知 QTAQ=T Q T A Q = T ,所以:
      TT=(QTAQ)T=QTATQ=QTAQ=T T T = ( Q T A Q ) T = Q T A T Q = Q T A Q = T
      ,所以T是对角矩阵。

    把上述定理做个变形可得 A=QDQT A = Q D Q T ,也就解释了为什么实对称矩阵在做特征分解的时候可以分解为一个正交矩阵乘以对角矩阵再乘以正交矩阵的转置,正交矩阵的每一列是一个特征向量,对应对角矩阵中的特征向量。

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  • 花了一下午终于把实对称矩阵的几个定理的证明都搞定了,定理很简单,证明起来却十分之费事,用的都是十分基础而经典的证明手段,
  • 对称矩阵的基本性质

    千次阅读 2021-07-01 22:40:01
    1.对于任何方形矩阵X,X+XT是对称矩阵。 2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。 3.对角矩阵都是对称矩阵。 4.两个对称矩阵的积是对称矩阵,当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征...

    1.对于任何方形矩阵X,X+XT是对称矩阵。
    2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
    3.对角矩阵都是对称矩阵。
    4.两个对称矩阵的积是对称矩阵,当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
    5.用<,>表示RN上的内积。n×n的实矩阵A是对称的。
    6.任何方形矩阵X,如果它的元素属于一个特征值不为2的域(例如实数),可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和。
    7.每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积,每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
    8.若对称矩阵A的每个元素均为实数,A是Symmetric矩阵。
    9.一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。
    10.如果X是对称矩阵,那么对于任意的矩阵A,AXAT也是对称矩阵。
    11.n阶实对称矩阵,是n维欧式空间V(R)的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。

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  • 对称矩阵的几个性质

    千次阅读 2019-06-16 22:40:34
    设一个实对称矩阵 XXX (X∈SnX\in S^nX∈Sn),它的最大特征值为 λmax\lambda_{max}λmax​,则满足性质: ∀y∈Rn,∥y∥2=1⟹yTXy≤λmax \forall y\in R^n, \|y\|_2=1\quad \Longrightarrow\quad y^TXy\leq \...

    性质 1

    设一个实对称矩阵 X X X ( X ∈ S n X\in S^n XSn),它的最大特征值为 λ m a x \lambda_{max} λmax,则满足性质:
    ∀ y ∈ R n , ∥ y ∥ 2 = 1 ⟹ y T X y ≤ λ m a x \forall y\in R^n, \|y\|_2=1\quad \Longrightarrow\quad y^TXy\leq \lambda_{max} yRn,y2=1yTXyλmax

    证明:

    根据实对称矩阵的另外一个性质:
    X = Q T Λ Q X=Q^T\Lambda Q X=QTΛQ
    其中, Q Q Q 为正交矩阵,即 Q T Q = I Q^TQ=I QTQ=I,而 Λ \Lambda Λ 为特征根的对角线矩阵。
    y T X y = y T Q T Λ Q y = U T Λ U ( U = Q y ) = λ 1 u 1 2 + λ 2 u 2 2 + ⋯ + λ n u n 2 ≤ λ m a x ( u 1 2 + ⋯ + u n 2 ) = λ m a x U T U = λ m a x y T Q T Q y = λ m a x y T y = λ m a x \begin{aligned} y^T X y=& y^T Q^T \Lambda Qy \\ =&U^T \Lambda U\quad (U=Qy) \\ =& \lambda_1 u_1^2+\lambda_2 u_2^2+\dots +\lambda_n u_n^2 \\ \leq & \lambda_{max}(u_1^2+\dots + u_n^2) \\ =&\lambda_{max}U^TU \\ =& \lambda_{max}y^T Q^TQy \\ =& \lambda_{max} y^Ty=\lambda_{max} \end{aligned} yTXy======yTQTΛQyUTΛU(U=Qy)λ1u12+λ2u22++λnun2λmax(u12++un2)λmaxUTUλmaxyTQTQyλmaxyTy=λmax

    证毕. □ \Box

    其实用到了谱分解。

    其他性质

    • 实对称矩阵的特征根也为实数,特征向量为实向量。特别的,实对称矩阵 A A T AA^T AAT 的特征根都为非负数。(特征根全部大于零才可逆)
    • 实对称矩阵不同特征根对应的特征向量相互正交。
    • 实对称矩阵都可以正交对角化,即正交对角化,即对于实对称矩阵 A A A,存在一个正交矩阵 P \bf P P 以及对角线矩阵 ∧ \bf \land ,使得**
      A = P ∧ P T A=P\wedge P^T A=PPT
    • K 重特征根必有 K 个线性无关的特征向量。
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  • 本文给出对称循环矩阵的概念,讨论了复对称矩阵的一般性质,并给出复对称循环阵的特征值的具体形状,还给出对称循环阵的求逆方法和分解定理.
  • 对称矩阵及其几大性质

    万次阅读 多人点赞 2018-08-19 16:27:01
    所以,下面将介绍一下什么是实对称矩阵,并介绍一下它的几个性质(这也是很多笔试题中常考的点) 定义:如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji)(i,j为元素的脚标),则称A为实...
  • 对称矩阵的一些性质

    千次阅读 2017-03-19 11:06:07
    对称矩阵的一些性质和定理
  • 对称矩阵性质速查 (来源于2019年李永乐线性代数辅导笔记P124页) 实对称矩阵必定与对角矩阵相似 实对称矩阵可用正交矩阵对角化 实对称矩阵不同特征值的特征向量必然正交 实对称矩阵A的特征值都是实数 实对称...
  • 对称矩阵的若干性质与详细证明

    万次阅读 多人点赞 2016-04-06 21:17:37
    花了一下午终于把实对称矩阵的几个定理的证明都搞定了,定理很简单,证明起来却十分之费事,用的都是十分基础而经典的证明手段,这破编辑器还不能写公式,直接截图了。 所有特征值都为实数。 某百科里还认为所有...
  • 设AAA为n×nn\times nn×n实对称矩阵,则 AAA的特征值都是实数; 不同特征值对应的特征向量相互正交; AAA可对角化,即存在一个正交阵(orthogonal matrix)XXX(即X’X=I)和一个对角阵Λ=diag{λ1,…,λ2}\Lambda...
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    千次阅读 2018-11-29 20:34:29
    1. 对称矩阵的分解 A=SΛS−1A = S\Lambda S^{-1}A=SΛS−1 AT=(S−1)TΛSTA^T = (S^{-1})^T\Lambda S^{T}AT=(S−1)TΛST 如果 AAA 是对称矩阵,也就是 A=ATA=A^TA=AT。对比以上两个式子,我们可以得到 S−1=STS...
  • 设A为方阵,若,则称A为斜对称矩阵。 特征: 设A为斜对称矩阵,则A有如下形式: 观察矩阵可以看出,斜对称矩阵主对角线元素均为0,而位于主对角线两侧对称的元素反号。 向量的斜对称矩阵: ...
  • 以下就从实对称矩阵的角度出发,利用特征值的极小极大原理,从普通特征值问题Ax=λxAx=\lambda xAx=λx衍生到广义特征值问题Ax=λBxAx=\lambda BxAx=λBx逐步讨论其特征值的性质。 【广义特征值问题】设A=(aij)∈Rn...
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  • 该文给出了反埃尔米特 R对称矩阵的若干性质。首 先,当 R* = R时,得到了一个反埃尔米特 R对称矩阵 A的分解表达式。其次,证明了以反埃 尔米特 R对称矩阵为系数矩阵的方程组 Az= w的求解,以及 A的逆矩阵的求解均可归结...
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  • 25_对称矩阵和正定矩阵

    千次阅读 2021-05-02 20:37:15
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  • 2.1 对称矩阵与反对称矩阵

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  • 1、一、实对称矩阵性质,1,2,1,2,1,2,1,2,6.4.1,A,引理,设,是实对称矩阵,的两个特征值,是对应的特征向量,若,则,与,正交,证明,1,1,1,2,2,2,1,2,A,A,A,A,A,T,对称,1,1,1,1,1,T,T,T,A,1,1,T,T,T,...
  • 对称矩阵

    万次阅读 2018-10-18 19:14:30
    性质1:实对称矩阵的特征值都是实数 性质2:实对称属于不同特征值的特征向量正交 性质3:若是实对称矩阵A的k重特征值,则与对应的有k个线性无关的特征向量 性质4:n阶实对称矩阵正交相似于以特征值为对角的对角...
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