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  • 对称矩阵特征值为实数证明
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    2021-09-12 20:30:45

    证明:
    A A A为实对称矩阵
    A = A ‾ = A ‾ T A=\overline{A}=\overline{A}^T A=A=AT
    x ‾ T A x = x ‾ T λ x = λ x T x \overline{x}^T Ax=\overline{x}^T\lambda x=\lambda x^T x xTAx=xTλx=λxTx
    x ‾ T A ‾ T x = ( A ‾ x ‾ ) T x = A x ‾ T x = λ x ‾ T x = λ ‾ x ‾ T x \overline{x}^T \overline{A}^T x=(\overline{A}\overline{x})^Tx=\overline{Ax}^Tx=\overline{\lambda x}^Tx=\overline{\lambda} \overline{x}^Tx xTATx=(Ax)Tx=AxTx=λxTx=λxTx
    λ x T x = λ ‾ x ‾ T x ⇒ ( λ − λ ‾ ) x ‾ T x = 0 ⇒ λ = λ ‾ \lambda x^T x=\overline{\lambda} \overline{x}^Tx \Rightarrow (\lambda -\overline{\lambda})\overline{x}^Tx=0 \Rightarrow \lambda=\overline{\lambda} λxTx=λxTx(λλ)xTx=0λ=λ

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    前言

    在许多实际问题中,所产生的矩阵往往都是对称矩阵,比如我们耳熟能详的实对称矩阵也是重要的研究对象。以下就从实对称矩阵的角度出发,利用特征值的极小极大原理,从普通特征值问题 A x = λ x Ax=\lambda x Ax=λx衍生到广义特征值问题 A x = λ B x Ax=\lambda Bx Ax=λBx逐步讨论其特征值的性质。

    【广义特征值问题】设 A = ( a i j ) ∈ R n × n A=(a_{ij})\in \mathbb{R}^{n\times n} A=(aij)Rn×n n n n实对称矩阵, B = ( b i j ) ∈ R n × n B=(b_{ij})\in \mathbb{R}^{n\times n} B=(bij)Rn×n n n n实对称正定矩阵,使下式 A x = λ B x \mathbf{Ax=\lambda Bx} Ax=λBx 有非零解向量 x ∈ R n x\in \mathbb{R}^{n} xRn,则称 λ \lambda λ是矩阵 A A A相对于矩阵 B B B的特征值,且 x x x是属于 λ \lambda λ的特征向量。该问题常见于振动理论。

    我们可以发现

    • B ≠ I B\not=I B=I时,该问题是广义特征值问题
    • B = I B=I B=I时,该问题是普通特征值问题

    思路:如何利用极小极大原理求第 k k k个特征值及奇异值?

    利用极大极小原理,我们先确定 n n n阶实对称阵的最大最小特征值,然后逐步求第2大和第2小特征值进而归纳到求第 k k k大和第 k k k小特征值。

    本文就对称矩阵特征值的极性与直积做以梳理,完整定理证明请参考西工大的《矩阵论》[1]。

    一、实对称矩阵的瑞利商与广义瑞利商性质

    我们在讨论实对称矩阵的特征值时,往往会通过实对称阵的瑞利商来研究,因为瑞利商是由如下特征值问题推导出来的,它可以直接求出矩阵的特征值。
    A x = λ x ⇒ x T A x = λ x T x ⇒ λ = x T A x x T x = R ( x ) Ax=\lambda x \Rightarrow x^TAx=\lambda x^Tx \Rightarrow \lambda=\frac{x^TAx}{x^Tx}=R(x) Ax=λxxTAx=λxTxλ=xTxxTAx=R(x)

    【瑞利商定义】设 A = ( a i j ) ∈ R n × n A=(a_{ij})\in \mathbb{R}^{n\times n} A=(aij)Rn×n n n n实对称矩阵, x ∈ R n x\in \mathbb{R}^{n} xRn,则称下式为矩阵 A A A的瑞利商( Rayleigh \text{Rayleigh} Rayleigh商) R ( x ) = x T A x x T x ( x ≠ 0 ) \mathbf{R(x) = \frac{x^TAx}{x^Tx}} \quad (x\not=\mathbf{0}) R(x)=xTxxTAx(x=0)

    【广义瑞利商定义】设 A = ( a i j ) ∈ R n × n , B = ( b i j ) ∈ R n × n A=(a_{ij})\in \mathbb{R}^{n\times n},B=(b_{ij})\in \mathbb{R}^{n\times n} A=(aij)Rn×n,B=(bij)Rn×n均是 n n n实对称矩阵,且 B B B正定 x ∈ R n x\in \mathbb{R}^{n} xRn,则称下式为矩阵 A A A相对于矩阵 B B B广义瑞利商 R ( x ) = x T A x x T B x ( x ≠ 0 ) \mathbf{R(x) = \frac{x^TAx}{x^TBx}} \quad (x\not=\mathbf{0}) R(x)=xTBxxTAx(x=0)

    • 【性质1】: R ( x ) R(x) R(x) x x x连续函数
    • 【性质2】: R ( x ) R(x) R(x) x x x的零次齐次函数(齐次性 R ( k x ) = R ( x ) R(kx)=R(x) R(kx)=R(x)
      事实上,对于任意实数 λ ≠ 0 \lambda \not=0 λ=0有下式分别满足齐次性和零次
      R ( λ x ) = R ( x ) = λ 0 R ( x ) R(\lambda x)=R(x)=\lambda^0 R(x) R(λx)=R(x)=λ0R(x)
    • 【性质3】:当 x x x是由 x 0 ≠ 0 x_0\not=0 x0=0张成的空间时, R ( x ) R(x) R(x)是一常数
    • 【性质4】: R ( x ) R(x) R(x)最大最小值存在,且能够在单位球面 S = { x ∣ x ∈ R n , ∥ x ∥ 2 = 1 } S=\{x|x\in \mathbb{R}^n,\|x\|_2=1\} S={xxRn,x2=1}上达到
    • 【性质5】:非零向量 x 0 x_0 x0 R ( x ) R(x) R(x)驻点 ⇔ x 0 \Leftrightarrow x_0 x0 A x = λ B x Ax=\lambda Bx Ax=λBx特征向量,当 B = I B=I B=I时对应于瑞利商问题同理,通过矩阵求导可得

    一般情况下,我们令实对称矩阵 A A A的特征值按从小到大顺序排列如下
    λ 1 ≤ λ 2 ≤ . . . ≤ λ n \lambda_1 \le \lambda_2 \le... \le \lambda_n λ1λ2...λn
    对应标准正交特征向量系为 p 1 , p 2 , . . . , p n p_1,p_2,...,p_n p1,p2,...,pn

    【定理】设 A = ( a i j ) ∈ R n × n A=(a_{ij})\in \mathbb{R}^{n\times n} A=(aij)Rn×n n n n实对称矩阵,则有 min ⁡ x ≠ 0 R ( x ) = λ 1 , max ⁡ x ≠ 0 R ( x ) = λ n , λ 1 ≤ R ( x ) ≤ λ n \mathbf{\min_{x\not=\mathbf{0}} R(x) = \lambda_1,\quad \max_{x\not=\mathbf{0}} R(x) = \lambda_n ,\quad \lambda_1 \le R(x) \le \lambda_n} x=0minR(x)=λ1,x=0maxR(x)=λn,λ1R(x)λn

    【证明】任取 0 ≠ x ∈ R n \mathbf{0}\not=x \in \mathbb{R}^n 0=xRn,则有
    x = c 1 p 1 + c 2 p 2 + . . . + c n p n ( c 1 2 + c 2 2 + . . . + c n 2 ≠ 0 ) x=c_1p_1+c_2p_2+...+c_np_n \quad (c_1^2+c_2^2+...+c_n^2\not=0) x=c1p1+c2p2+...+cnpn(c12+c22+...+cn2=0)
    由于 p 1 , p 2 , . . . , p n p_1,p_2,...,p_n p1,p2,...,pn是正交特征向量系,所以有 x i = c i p i x_i=c_ip_i xi=cipi
    于是有
    A x = λ x = λ 1 c 1 p 1 + λ 2 c 2 p 2 + . . . + λ n c n p n x T A x = c 1 2 λ 1 + c 2 2 λ 2 + . . . + c n 2 λ n x T x = c 1 2 + c 2 2 + . . . + c n 2 \begin{aligned} Ax&=\lambda x=\lambda_1c_1p_1+\lambda_2c_2p_2+...+\lambda_nc_np_n\\ x^TAx & =c_1^2\lambda_1+c_2^2\lambda_2+...+c_n^2\lambda_n \\ x^Tx & =c_1^2+c_2^2+...+c_n^2 \\ \end{aligned} AxxTAxxTx=λx=λ1c1p1+λ2c2p2+...+λncnpn=c12λ1+c22λ2+...+cn2λn=c12+c22+...+cn2
    k i = c i 2 c 1 2 + c 2 2 + . . . + c n 2 k_i=\frac{c_i^2}{c_1^2+c_2^2+...+c_n^2} ki=c12+c22+...+cn2ci2,其中 k 1 + k 2 + . . . + k n = 1 k_1+k_2+...+k_n=1 k1+k2+...+kn=1,则有
    R ( x ) = x T A x x T x = k 1 λ 1 + k 2 λ 2 + . . . + k n λ n R(x) =\frac{x^TAx}{x^Tx}=k_1\lambda_1+k_2\lambda_2+...+k_n\lambda_n R(x)=xTxxTAx=k1λ1+k2λ2+...+knλn
    简单起见,假设 A A A 2 2 2阶实对称阵,即仅有两个特征值 λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1,λ2满足 R ( x ) = k 1 λ 1 + k 2 λ 2    ( k 1 + k 2 = 1 ) R(x)=k_1\lambda_1+k_2 \lambda_2\;(k_1+k_2=1) R(x)=k1λ1+k2λ2(k1+k2=1),则如下图所示

    从上图,我们可以清晰的看出 R ( x ) R(x) R(x) x x x连续函数,该集合也被称为凸包,由此可得
    λ 1 ≤ R ( x ) ≤ λ n \lambda_1 \le R(x) \le \lambda_n λ1R(x)λn
    可以通过如下式子验证 R ( p 1 ) = λ 1 R(p_1)=\lambda_1 R(p1)=λ1
    R ( p i ) = p i T A p i p i T p i = λ i R(p_i) =\frac{p_i^TAp_i}{p_i^Tp_i}=\lambda_i R(pi)=piTpipiTApi=λi
    有了 p k p_k pk x k x_k xk,我们可以直接求得第 k k k小特征值 λ k \lambda_k λk。但问题来了,如果我们不知道 p k p_k pk或者不想依赖于 x k x_k xk,我们如何求得第 k k k小特征值 λ k \lambda_k λk呢?这就需要下面一章的极小极大原理了。

    【重要推论】若 λ 1 = . . . = λ k ( 1 ≤ k ≤ n ) \lambda_1=...=\lambda_k(1\le k \le n) λ1=...=λk(1kn),则在 ∥ x ∥ 2 = 1 \|x\|_2=1 x2=1上, R ( x ) R(x) R(x)的所有极小点为 l 1 p 1 + l 2 p 2 + . . . + l k p k \mathbf{l_1p_1+l_2p_2+...+l_kp_k} l1p1+l2p2+...+lkpk 其中, l i ∈ R ( i = 1 , . . . , k ) l_i\in R(i=1,...,k) liR(i=1,...,k),且满足 l 1 2 + l 1 2 + . . + l k 2 = 1 l_1^2+l_1^2+..+l_k^2=1 l12+l12+..+lk2=1.

    二、普通与广义特征值的极小极大原理

    由上章,我们得到几个工具,令 V n = span { x 1 , x 2 , . . . , x n }    ( λ 1 ≤ λ 2 ≤ . . . ≤ λ n ) V_n=\text{span}\{x_1,x_2,...,x_n\}\;(\lambda_1 \le \lambda_2 \le... \le \lambda_n ) Vn=span{x1,x2,...,xn}(λ1λ2...λn)则有
    R ( x ) = x T A x x T x = k 1 λ 1 + k 2 λ 2 + . . . + k n λ n R(x) =\frac{x^TAx}{x^Tx}=k_1\lambda_1+k_2\lambda_2+...+k_n\lambda_n R(x)=xTxxTAx=k1λ1+k2λ2+...+knλn
    λ 1 ≤ R ( x ) ≤ λ n ⇒ { min ⁡ x ≠ 0 , x ∈ V n R ( x ) = λ 1 max ⁡ x ≠ 0 , x ∈ V n R ( x ) = λ n \lambda_1 \le R(x) \le \lambda_n \Rightarrow \begin{cases} \min_{x\not=\mathbf{0},x\in V_n} R(x) = \lambda_1 \\ \max_{x\not=\mathbf{0},x\in V_n} R(x) = \lambda_n \\ \end{cases} λ1R(x)λn{minx=0,xVnR(x)=λ1maxx=0,xVnR(x)=λn
    当我们想求 λ 2 , λ n − 1 \lambda_2,\lambda_{n-1} λ2,λn1时,可以通过缩小张成的子空间得到
    λ 2 = min ⁡ x ≠ 0    R ( x ) = k 1 λ 1 + k 2 λ 2 + . . . + k n λ n s . t .      k 1 = 0 ⋮ λ i = min ⁡ x ≠ 0    R ( x ) = k 1 λ 1 + k 2 λ 2 + . . . + k n λ n s . t .      k 1 = k 2 = . . . = k i − 1 = 0 \begin{aligned} \lambda_{2}= \min_{x\not=0} & \; R(x) =k_1\lambda_1+k_2\lambda_2+...+k_n\lambda_n\\ s.t. & \;\; k_{1}=0 \\ \end{aligned} \\ \vdots \\ \begin{aligned} \lambda_{i}= \min_{x\not=0} & \; R(x) =k_1\lambda_1+k_2\lambda_2+...+k_n\lambda_n\\ s.t. & \;\; k_1=k_2=...=k_{i-1}=0 \\ \end{aligned} \\ λ2=x=0mins.t.R(x)=k1λ1+k2λ2+...+knλnk1=0λi=x=0mins.t.R(x)=k1λ1+k2λ2+...+knλnk1=k2=...=ki1=0
    同理得
    λ n − 1 = max ⁡ x ≠ 0    R ( x ) = k 1 λ 1 + k 2 λ 2 + . . . + k n λ n s . t .      k n = 0 ⋮ λ n − i − 1 = min ⁡ x ≠ 0    R ( x ) = k 1 λ 1 + k 2 λ 2 + . . . + k n λ n s . t .      k n = k n − 1 = . . . = k n − i = 0 \begin{aligned} \lambda_{n-1}= \max_{x\not=0} & \; R(x) =k_1\lambda_1+k_2\lambda_2+...+k_n\lambda_n\\ s.t. & \;\; k_{n}=0 \\ \end{aligned} \\ \vdots \\ \begin{aligned} \lambda_{n-i-1}= \min_{x\not=0} & \; R(x) =k_1\lambda_1+k_2\lambda_2+...+k_n\lambda_n\\ s.t. & \;\; k_n=k_{n-1}=...=k_{n-i}=0 \\ \end{aligned} \\ λn1=x=0maxs.t.R(x)=k1λ1+k2λ2+...+knλnkn=0λni1=x=0mins.t.R(x)=k1λ1+k2λ2+...+knλnkn=kn1=...=kni=0
    因此,我们可以归纳出如下定理

    【定理】设 x ∈ L ( p r , p r + 1 , . . . , p s ) , 1 ≤ r ≤ s ≤ n x\in L(p_r,p_{r+1},...,p_s),1 \le r \le s \le n xL(pr,pr+1,...,ps),1rsn,则有 min ⁡ x ≠ 0    R ( x ) = λ r max ⁡ x ≠ 0    R ( x ) = λ s \mathbf{\min_{x\not=0} \; R(x) =\lambda_r \quad \max_{x\not=0} \; R(x) =\lambda_s} x=0minR(x)=λrx=0maxR(x)=λs

    2.1 引出问题:由于 V k V_k Vk不唯一导致得到多个特征值

    但以上定理在 p r , p s p_r,p_{s} pr,ps未知下无法使用,因此我们不再指定让某个系数 k i = 0 k_i=0 ki=0,而是选取 k k k维子空间 V k V_k Vk来求,由于 V k V_k Vk是不唯一的,因此可能会得到多个特征值,例如我们想要得到 λ 2 \lambda_2 λ2,则选取 V n − 1 V_{n-1} Vn1,有如下两种情况

    min ⁡ x ≠ 0    R ( x ) = { λ 1        if      x 1 ∈ V n − 1 λ 2        if      x 1 ∉ V n − 1 \min_{x\not=0}\; R(x)= \begin{cases} \lambda_{1} \quad \;\;\; \text{if} \;\; x_1 \in V_{n-1} \\ \lambda_{2} \quad \;\;\; \text{if} \;\; x_1 \notin V_{n-1} \\ \end{cases} x=0minR(x)={λ1ifx1Vn1λ2ifx1/Vn1
    max ⁡ x ≠ 0    R ( x ) = { λ n        if      x n ∈ V n − 1 λ n − 1 if      x n ∉ V n − 1 \max_{x\not=0}\; R(x)= \begin{cases} \lambda_{n} \quad \;\;\; \text{if} \;\; x_n \in V_{n-1} \\ \lambda_{n-1} \quad \text{if} \;\; x_n \notin V_{n-1} \\ \end{cases} x=0maxR(x)={λnifxnVn1λn1ifxn/Vn1

    2.2 解决问题:使用极大极小原理固定特征向量

    对于上述子空间 V k V_k Vk不唯一情况,得到
    min ⁡ 0 ≠ x ∈ V n − 1 R ( x ) ≤ λ 2 max ⁡ 0 ≠ x ∈ V n − 1   R ( x ) ≥ λ n − 1 \min_{0\not =x\in V_{n-1}} R(x)\le \lambda_{2} \quad \max_{0\not =x\in V_{n-1}}\ R(x)\ge \lambda_{n-1} 0=xVn1minR(x)λ20=xVn1max R(x)λn1
    为解决此问题,我们使用极小极大原理得到
    λ 2 = max ⁡ V n − 1 [ min ⁡ 0 ≠ x ∈ V n − 1 R ( x ) ] ,      λ n − 1 = min ⁡ V n − 1 [ max ⁡ 0 ≠ x ∈ V n − 1 R ( x ) ] \lambda_{2} = \max_{V_{n-1}} \left[ \min_{0\not =x\in V_{n-1}} R(x) \right] ,\; \; \lambda_{n-1} = \min_{V_{n-1}} \left[ \max_{0\not =x\in V_{n-1}} R(x) \right] λ2=Vn1max[0=xVn1minR(x)],λn1=Vn1min[0=xVn1maxR(x)]
    为此,我们归纳出一般的式子,我们

    【定理】设 V k V_k Vk R n \mathbb{R}^n Rn中的任意一个 k k k维子空间,则普通特征值问题与广义特征值问题从小到大的第 k k k个特征值和 n − ( k − 1 ) n-(k-1) n(k1)个特征值具有如下极小极大性质
    λ n − ( k − 1 ) = max ⁡ V k [ min ⁡ 0 ≠ x ∈ V k R ( x ) ] ,      λ k = min ⁡ V k [ max ⁡ 0 ≠ x ∈ V k R ( x ) ] \mathbf{\lambda_{n-(k-1)} = \max_{V_{k}} \left[ \min_{0\not =x\in V_{k}} R(x) \right] ,\; \; \lambda_{k} = \min_{V_{k}} \left[ \max_{0\not =x\in V_{k}} R(x) \right] } λn(k1)=Vkmax[0=xVkminR(x)],λk=Vkmin[0=xVkmaxR(x)]

    • 左式被称为特征值的极大极小原理
    • 右式被称为特征值的极小极大原理

    三、矩阵奇异值的极小极大性质

    我们通过矩阵瑞利商的极小极大原理,可以衍生到解决奇异值问题,我们将矩阵 A ∈ R r m × n A\in \mathbb{R}_r^{m\times n} ARrm×n的奇异值排列如下 [其中, σ i = λ i ( A T A ) \sigma _i = \sqrt{\lambda_i (A^TA)} σi=λi(ATA) ]
    0 = σ 1 = σ 2 = . . . = σ n − r ≤ σ n − r + 1 ≤ . . . ≤ σ n 0=\sigma _1 =\sigma _2 =... =\sigma _{n-r} \le \sigma _{n-r+1} \le ... \le \sigma _{n} 0=σ1=σ2=...=σnrσnr+1...σn

    我们令 B = A T A B=A^TA B=ATA,则实对称矩阵 B B B的瑞利商如下
    R ( x ) = x T B x x T x = x T ( A T A ) x x T x = ( A x ) T A x x T x = ∥ A x ∥ 2 2 ∥ x ∥ 2 2 = λ = σ R(x) =\frac{x^TBx}{x^Tx} =\frac{x^T(A^TA)x}{x^Tx}=\frac{(Ax)^TAx}{x^Tx}=\frac{\|Ax\|_2^2}{\|x\|_2^2}=\lambda=\sqrt{\sigma} R(x)=xTxxTBx=xTxxT(ATA)x=xTx(Ax)TAx=x22Ax22=λ=σ
    则矩阵 A A A的第 k k k个奇异值和第 n − k + 1 n-k+1 nk+1个奇异值具有如下极小极大性质
    σ n − ( k − 1 ) = max ⁡ V k [ min ⁡ 0 ≠ x ∈ V k ∥ A x ∥ 2 ∥ x ∥ 2 ] ,      σ k = min ⁡ V k [ max ⁡ 0 ≠ x ∈ V k ∥ A x ∥ 2 ∥ x ∥ 2 ] \sigma _{n-(k-1)} = \max_{V_{k}} \left[ \min_{0\not =x\in V_{k}}\frac{\|Ax\|_2}{\|x\|_2} \right] ,\; \; \sigma _{k} = \min_{V_{k}} \left[ \max_{0\not =x\in V_{k}}\frac{\|Ax\|_2}{\|x\|_2} \right] σn(k1)=Vkmax[0=xVkminx2Ax2],σk=Vkmin[0=xVkmaxx2Ax2]
    其中, V k V_k Vk R n \mathbb{R}^n Rn中的任意一个 k k k维子空间。

    附录:矩阵直积( Kronecker \text{Kronecker} Kronecker积)的概念

    运用矩阵的直积运算,能够将线性矩阵方程转换为线性代数方程组进行求解

    【定义】设 A = ( a i j ) ∈ C m × n , B = ( b i j ) ∈ C p × q A=(a_{ij})\in \mathbb{C}^{m\times n},B=(b_{ij})\in \mathbb{C}^{p\times q} A=(aij)Cm×n,B=(bij)Cp×q,则称如下分块矩阵为 A A A B B B的直积( Kronecker \text{Kronecker} Kronecker积)

    参考文献

    程云鹏, 凯院, 仲. 矩阵论[M]. 西北工业大学出版社, 2006.

    展开全文
  • 采用雅克比矩阵进行对称矩阵特征值和特征向量计算
  • 雅可比方法用于求解实对称矩阵特征值和特征向量,对于实对称矩阵AAA,必有正交矩阵UUU,使得UTAU=DU^{T}AU=DUTAU=D.DDD是一个对角阵,主对角线的元素是矩阵AAA的特征值,正交矩阵UUU的每一列对应于属于矩阵DDD的主对角...

    一 算法原理

    雅可比方法用于求解实对称矩阵的特征值和特征向量,对于实对称矩阵 A A A,必有正交矩阵 U U U,使得 U T A U = D U^{T}AU=D UTAU=D. D D D是一个对角阵,主对角线的元素是矩阵 A A A的特征值,正交矩阵 U U U的每一列对应于属于矩阵 D D D的主对角线对应元素的特征向量.
    雅可比方法用平面旋转对矩阵 A A A做相似变换,化 A A A为对角阵,从而求解出特征值和特征向量.旋转矩阵 U p q U_p{_q} Upq,是一个单位阵在第 p p p行,第 p p p列,第 q q q行,第 q q q列,元素为 c o s φ cos\varphi cosφ,第 p p p行第 q q q列为 − s i n φ -sin\varphi sinφ,第 q q q行第 p p p列为 s i n φ sin\varphi sinφ.对于这样的平面旋转矩阵,不难验证其是一种正交矩阵.因此对于向量 x x x, U p q x U_p{_q}x Upqx等同于把第 p p p个坐标轴和第 q q q个坐标轴共同所确定的平面旋转了 φ \varphi φ度.记矩阵 A 1 = U p q T A U p q A_1=U_p{_q}^{T}AU_p{_q} A1=UpqTAUpq.因为旋转矩阵是正交阵,因此实际上矩阵 A 1 A_1 A1与矩阵 A A A是相似的,因此其特征值是相同的.
    设矩阵 A 1 A_1 A1 i i i行,第 j j j列的元素为 b i j b_i{_j} bij,矩阵 A A A的第 i i i行,第 j j j列的元素为 a i j a_i{_j} aij( i = 0 , 1 , 2 , . . . , n − 1 , j = 0 , 1 , 2 , . . . , n − 1 i=0,1,2,...,n-1,j=0,1,2,...,n-1 i=0,1,2,...,n1,j=0,1,2,...,n1).式(1-1-1)给出了两矩阵元素之间的运算关系.
    { b p p = a p p c o s 2 φ + a q q s i n 2 φ + 2 a p q c o s φ s i n φ b q q = a p p s i n 2 φ + a q q c o s 2 φ − 2 a p q c o s φ s i n φ b p q = b q p = 1 2 ( a q q − a p p ) s i n 2 φ + a p q c o s 2 φ b p i = a p i c o s φ + a q i s i n φ , ( i ≠ p , q ) b q i = − a p i s i n φ + a q i c o s φ , ( i ≠ p , q ) b j p = a j p c o s φ + a j q s i n φ , ( j ≠ p , q ) b j q = − a j q s i n φ + a j q c o s φ , ( j ≠ p , q ) b i j = b j i = a i j , i ≠ p , q ; j ≠ p , q (1-1-1) \begin{cases} b_p{_p}=a_p{_p}cos^2\varphi+a_q{_q}sin^2\varphi+2a_p{_q}cos\varphi{sin\varphi}\\ b_q{_q}=a_p{_p}sin^2\varphi+a_q{_q}cos^2\varphi-2a_p{_q}cos\varphi{sin\varphi}\\ b_p{_q}=b_q{_p}=\frac{1}2(a_q{_q}-a_p{_p})sin2\varphi+a_p{_q}cos2\varphi\\ b_p{_i}=a_p{_i}cos\varphi+a_q{_i}sin\varphi,(i\ne{p},q)\\ b_q{_i}=-a_p{_i}sin\varphi+a_q{_i}cos\varphi,(i\ne{p},q)\\ b_j{_p}=a_j{_p}cos\varphi+a_j{_q}sin\varphi,(j\ne{p},q)\\ b_j{_q}=-a_j{_q}sin\varphi+a_j{_q}cos\varphi,(j\ne{p},q)\\ b_i{_j}=b_j{_i}=a_i{_j},i{\ne}p,q;j{\ne}p,q \end{cases} \tag{1-1-1} bpp=appcos2φ+aqqsin2φ+2apqcosφsinφbqq=appsin2φ+aqqcos2φ2apqcosφsinφbpq=bqp=21(aqqapp)sin2φ+apqcos2φbpi=apicosφ+aqisinφ,(i=p,q)bqi=apisinφ+aqicosφ,(i=p,q)bjp=ajpcosφ+ajqsinφ,(j=p,q)bjq=ajqsinφ+ajqcosφ,(j=p,q)bij=bji=aij,i=p,q;j=p,q(1-1-1)
    其中有两点需要说明:(1) p p p, q q q分别是前一次的迭代矩阵的非主对角线上绝对值最大元素的行列号
    (2) φ \varphi φ是旋转角度,可以由式(1-1-2)确定
    t a n 2 φ = − 2 a p q a q q − a p p (1-1-2) tan2\varphi=\frac{-2a_p{_q}}{a_q{_q}-a_p{_p}} \tag{1-1-2} tan2φ=aqqapp2apq(1-1-2)
    归纳得到雅可比方法求解矩阵特征值和特征向量的具体步骤如下:
    (1).初始化特征向量为对角阵V,主对角线元素为1,其他元素为0.
    (2).在 A A A的非主对角线的元素中,找到绝对值最大元素 a p q a_p{_q} apq.
    (3).用式(1-1-2)计算出旋转矩阵
    (4).计算矩阵 A 1 A1 A1,用当前的矩阵 V V V乘旋转矩阵得到当前的特征矩阵 V V V.
    (5).若当前迭代的矩阵 A A A的非主对角线元素最大值小于给定阈值,停止计算,否则执行上述过程.停止计算时,特征值为矩阵 A A A的主对角线元素,特征矩阵为矩阵 V V V.


    二 C语言实现

    #include<stdio.h>
    #include<stdlib.h>
    float** Matrix_Jac_Eig(float **array, int n, float *eig);
    int Matrix_Free(float **tmp, int m, int n);
    int main(void)
    {
    	int n;
    	printf("请输入矩阵维度:\n");
    	scanf("%d", &n);
    	float **array = (float **)malloc(n * sizeof(float *));
    	if (array == NULL)
    	{
    		printf("error :申请数组内存空间失败\n");
    		return -1;
    	}
    	for (int i = 0; i < n; i++)
    	{
    		array[i] = (float *)malloc(n * sizeof(float));
    		if (array[i] == NULL)
    		{
    			printf("error :申请数组子内存空间失败\n");
    			return -1;
    		}
    	}
    	printf("请输入矩阵元素:\n");
    	for (int i = 0; i < n; i++)
    	{
    		for (int j = 0; j < n; j++)
    		{
    			scanf("%f", &array[i][j]);
    		}
    	}
    	float *eig = (float *)malloc(n * sizeof(float));
    	float **Result = Matrix_Jac_Eig(array, n, eig);
    	printf("特征矩阵元素:\n");
    	for (int i = 0; i < n; i++)
    	{
    		for (int j = 0; j < n; j++)
    		{
    			printf("%f ", Result[i][j]);
    		}
    		printf("\n");
    	}
    	printf("特征矩阵元素:\n");
    	for (int i = 0; i < n; i++)
    	{
    		printf("%f \n", eig[i]);
    	}
    	Matrix_Free(Result, n, n);
    	free(eig);
    	eig = NULL;
    	return 0;
    }
    float** Matrix_Jac_Eig(float **array, int n, float *eig)
    {
    	//先copy一份array在temp_mat中,因为我实在堆区申请的空间,在对其进行处理
    	//的过程中会修改原矩阵的值,因此要存储起来,到最后函数返回的
    	//时候再重新赋值
    	int i, j, flag, k;
    	flag = 0;
    	k = 0;
    	float sum = 0;
    	float **temp_mat = (float **)malloc(n * sizeof(float *));
    	for (i = 0; i < n; i++)
    	{
    		temp_mat[i] = (float *)malloc(n * sizeof(float));
    	}
    	for (i = 0; i < n; i++)
    	{
    		for (j = 0; j < n; j++)
    		{
    			temp_mat[i][j] = array[i][j];
    		}
    	}
    	//判断是否为对称矩阵
    	for (i = 0; i < n; i++)
    	{
    		for (j = i; j < n; j++)
    		{
    			if (array[i][j] != array[j][i])
    			{
    				flag = 1;
    				break;
    			}
    		}
    	}
    	if (flag == 1)
    	{
    		printf("error in Matrix_Eig: 输入并非是对称矩阵:\n");
    		return NULL;
    	}
    	else
    	{
    		//开始执行算法
    		int p, q;
    		float thresh = 0.0000000001;
    		float max = array[0][1];
    		float tan_angle, sin_angle, cos_angle;
    		float **result = (float **)malloc(n * sizeof(float *));
    		if (result == NULL)
    		{
    			printf("error in Matrix_Eig:申请空间失败\n");
    			return NULL;
    		}
    		float **result_temp = (float **)malloc(n * sizeof(float *));
    		if (result_temp == NULL)
    		{
    			printf("error in Matrix_Eig:申请空间失败\n");
    			return NULL;
    		}
    		float **rot = (float **)malloc(n * sizeof(float *));
    		if (rot == NULL)
    		{
    			printf("error in Matrix_Eig:申请空间失败\n");
    			return NULL;
    		}
    		float **mat = (float **)malloc(n * sizeof(float *));
    		if (mat == NULL)
    		{
    			printf("error in Matrix_Eig:申请空间失败\n");
    			return NULL;
    		}
    		for (i = 0; i < n; i++)
    		{
    			result[i] = (float *)malloc(n * sizeof(float));
    			if (result[i] == NULL)
    			{
    				printf("error in Matrix_Eig:申请子空间失败\n");
    				return NULL;
    			}
    			result_temp[i] = (float *)malloc(n * sizeof(float));
    			if (result_temp[i] == NULL)
    			{
    				printf("error in Matrix_Eig:申请子空间失败\n");
    				return NULL;
    			}
    			rot[i] = (float *)malloc(n * sizeof(float));
    			if (rot[i] == NULL)
    			{
    				printf("error in Matrix_Eig:申请子空间失败\n");
    				return NULL;
    			}
    			mat[i] = (float *)malloc(n * sizeof(float));
    			if (mat[i] == NULL)
    			{
    				printf("error in Matrix_Eig:申请子空间失败\n");
    				return NULL;
    			}
    		}
    		for (i = 0; i < n; i++)
    		{
    			for (j = 0; j < n; j++)
    			{
    				if (i == j)
    				{
    					result[i][j] = 1;
    				}
    				else
    				{
    					result[i][j] = 0;
    				}
    			}
    		}
    		for (i = 0; i < n; i++)
    		{
    			for (j = 0; j < n; j++)
    			{
    				if (i == j)
    				{
    					mat[i][j] = 1;
    				}
    				else
    				{
    					mat[i][j] = 0;
    				}
    			}
    		}
    		max = array[0][1];
    		for (i = 0; i < n; i++)
    		{
    			for (j = 0; j < n; j++)
    			{
    				if (i == j)
    				{
    					continue;
    				}
    				else
    				{
    					if (fabs(array[i][j]) >= fabs(max))
    					{
    						max = array[i][j];
    						p = i;
    						q = j;
    					}
    					else
    					{
    						continue;
    					}
    				}
    			}
    		}
    		while (fabs(max) > thresh)
    		{
    			if (fabs(max) < thresh)
    			{
    				break;
    			}
    			tan_angle = -2 * array[p][q] / (array[q][q] - array[p][p]);
    			sin_angle = sin(0.5*atan(tan_angle));
    			cos_angle = cos(0.5*atan(tan_angle));
    			for (i = 0; i < n; i++)
    			{
    				for (j = 0; j < n; j++)
    				{
    
    					if (i == j)
    					{
    						mat[i][j] = 1;
    					}
    					else
    					{
    						mat[i][j] = 0;
    					}
    				}
    			}
    			mat[p][p] = cos_angle;
    			mat[q][q] = cos_angle;
    			mat[q][p] = sin_angle;
    			mat[p][q] = -sin_angle;
    			for (i = 0; i < n; i++)
    			{
    				for (j = 0; j < n; j++)
    				{
    					rot[i][j] = array[i][j];
    				}
    			}
    			for (j = 0; j < n; j++)
    			{
    				rot[p][j] = cos_angle*array[p][j] + sin_angle*array[q][j];
    				rot[q][j] = -sin_angle*array[p][j] + cos_angle*array[q][j];
    				rot[j][p] = cos_angle*array[j][p] + sin_angle*array[j][q];
    				rot[j][q] = -sin_angle*array[j][p] + cos_angle*array[j][q];
    			}
    			rot[p][p] = array[p][p] * cos_angle*cos_angle +
    				array[q][q] * sin_angle*sin_angle +
    				2 * array[p][q] * cos_angle*sin_angle;
    			rot[q][q] = array[q][q] * cos_angle*cos_angle +
    				array[p][p] * sin_angle*sin_angle -
    				2 * array[p][q] * cos_angle*sin_angle;
    			rot[p][q] = 0.5*(array[q][q] - array[p][p]) * 2 * sin_angle*cos_angle +
    				array[p][q] * (2 * cos_angle*cos_angle - 1);
    			rot[q][p] = 0.5*(array[q][q] - array[p][p]) * 2 * sin_angle*cos_angle +
    				array[p][q] * (2 * cos_angle*cos_angle - 1);
    			for (i = 0; i < n; i++)
    			{
    				for (j = 0; j < n; j++)
    				{
    					array[i][j] = rot[i][j];
    				}
    			}
    			max = array[0][1];
    			for (i = 0; i < n; i++)
    			{
    				for (j = 0; j < n; j++)
    				{
    					if (i == j)
    					{
    						continue;
    					}
    					else
    					{
    						if (fabs(array[i][j]) >= fabs(max))
    						{
    							max = array[i][j];
    							p = i;
    							q = j;
    						}
    						else
    						{
    							continue;
    						}
    					}
    				}
    			}
    			for (i = 0; i < n; i++)
    			{
    				eig[i] = array[i][i];
    			}
    			for (i = 0; i < n; i++)
    			{
    				for (j = 0; j < n; j++)
    				{
    					sum = 0;
    					for (k = 0; k < n; k++)
    					{
    						sum = sum + result[i][k] * mat[k][j];
    					}
    					result_temp[i][j] = sum;
    				}
    			}
    			for (i = 0; i < n; i++)
    			{
    				for (j = 0; j < n; j++)
    				{
    					result[i][j] = result_temp[i][j];
    				}
    			}
    		}
    		for (i = 0; i < n; i++)
    		{
    			for (j = 0; j < n; j++)
    			{
    				array[i][j] = temp_mat[i][j];
    			}
    		}
    		Matrix_Free(result_temp, n, n);
    		Matrix_Free(rot, n, n);
    		Matrix_Free(mat, n, n);
    		Matrix_Free(temp_mat, n, n);
    		return result;
    	}
    }
    int Matrix_Free(float **tmp, int m, int n)
    {
    	int i, j;
    	if (tmp == NULL)
    	{
    		return(1);
    	}
    	for (i = 0; i < m; i++)
    	{
    		if (tmp[i] != NULL)
    		{
    			free(tmp[i]);
    			tmp[i] = NULL;
    		}
    	}
    	if (tmp != NULL)
    	{
    		free(tmp);
    		tmp = NULL;
    	}
    	return(0);
    }
    

    三 结果

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    1. 2阶实对称矩阵特性

    定理:2阶实对称矩阵H的特征值是实数

    H=[a,b;b,c]    

        a,b,c是实数,λ 是特征值
    A=[a-λ,b;b,c-λ]    

        特征值求解方法为:(a- λ )(c- λ) - b2  = 0

        求解方程得到两个根为:
    λ=(a+c)±(a+c)2-4(ac-b2)2  

                       (a+c)2-4ac-b2=a-c2+4b2≥0

        所以,在a、b、c为实数时,特征值也是实数。

           

    2、特征向量

    根据特征值和特征向量的定义:HX=λX,(H-λE)X = 0;因此方程若有解,则

    det(H-λE)=0;


    A=[a-λ,b;b,c-λ]    

    则有-b/(a-λ) = (c-λ)/b,   线性齐次方程组AX=0有非零解,其中之一解向量 [1,-b/(a-λ)],归一化后得到标准解。

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空空如也

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对称矩阵的特征值

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