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小波(Wavelet)这一术语,顾名思义,“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性;而称之为“波”则是指它的波动性,其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比,小波变换是时间(空间)频率的局部化分析,它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化,最终达到高频处时间细分,低频处频率细分,能自动适应时频信号分析的要求,从而可聚焦到信号的任意细节,解决了Fourier变换的困难问题,成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。 展开全文
小波(Wavelet)这一术语,顾名思义,“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性;而称之为“波”则是指它的波动性,其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比,小波变换是时间(空间)频率的局部化分析,它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化,最终达到高频处时间细分,低频处频率细分,能自动适应时频信号分析的要求,从而可聚焦到信号的任意细节,解决了Fourier变换的困难问题,成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。
信息
提出时间
1974
提出者
J.Morlet
相关人物
数学家J.L.Lagrange
中文名
小波分析
应用领域
数学领域等
外文名
Wavelet
小波分析产生历史
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的,通过物理的直观和信号处理的实际经验的需要建立了反演公式,当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家J.L.Lagrange,P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是,早在七十年代,A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备,而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于当前的小波基;1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基,并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一方法加多尺度分析之后,小波分析才开始蓬勃发展起来,其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲(Ten Lectures on Wavelets)》对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换(Gabor变换)相比,这是一个时间和频率的局域变换,因而能有效的从信号中提取信息,通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析(Multiscale Analysis),解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题,从而小波变化被誉为“数学显微镜”,它是调和分析发展史上里程碑式的进展。 [1] 
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  • 小波分析

    2019-06-30 16:15:08
    在介绍小波分析之前,我们需要了解一个问题:小波为什么出现?简单来说,小波分析的出现是为了解决傅里叶变换没有时间信息的不足(当信号不平稳时,通过傅里叶变换得到的频域信息可能是相同的)。本文首先简单回顾...

    在介绍小波分析之前,我们需要了解一个问题:小波为什么出现?简单来说,小波分析的出现是为了解决傅里叶变换没有时间信息的不足(当信号不平稳时,通过傅里叶变换得到的频域信息可能是相同的)。本文首先简单回顾一下傅里叶变换,然后引入介绍小波。

    时域、频域和傅里叶变换

    傅里叶变换是在信号处理中最常用的变换。我们通常得到的信号是时域中的信号(x轴为时间,y轴为振幅)。在这里插入图片描述
    虽然时域中绘制信号通常是可视化的好方法,但频域中的信号也非常有用。下面,底部图是类似于时域中的语音信号的信号。顶部曲线图上的线是频域中表示的相同信号。它是该时间段内信号频率的摘要。在这里插入图片描述
    从时域到频域以及从频域返回到时域的过程称为傅里叶变换。在1820年代,约瑟夫·傅立叶有一个非凡的见解,即任何信号都可以用一个方程来表示,这个方程只是将sin()和cos()的组合加起来。例如,一个方波的公式(二进制信号,1,0,1,0,1,0)是:
    f(x)=4hπ(sin(x)+13sin(3x)+15sin(5x)+17sin(7x)+) f(x)=\frac{4 h}{\pi}\left(\sin (x)+\frac{1}{3} \sin (3 x)+\frac{1}{5} \sin (5 x)+\frac{1}{7} \sin (7 x)+\ldots\right)
    sin()波的加入一直持续到无穷大(忽略4h / pi位)。值得注意的是,每个sin()项都是不同的频率。例如,sin(x)和sin(3x)在时域中看起来像这样:
    在这里插入图片描述
    并且在频域中是尖峰:
    在这里插入图片描述
    上面的函数显示了如何通过将不同频率的负载加在一起来表示像方形或三角形这样非常笨拙的形状。下面是方波的第一个频率sin(x),方波前两个频率sin(x)+ 1/3 sin(3x)和前10个频率的图表:
    在这里插入图片描述
    可以看到随着添加的sin()频率越多,它开始看起来越来越像方波。

    对信号进行傅里叶变换后,就可以降低噪声,压缩数据,调制,滤波,编码等。所有这些过程都需要在频域中操纵信号,因此在任何工作开始之前都要进行傅里叶变换。

    但傅里叶变换有一个很大的局限:当时域上的信号不稳定时,通过傅里叶变换得到的频域信号是没办法体现出来的。例如下面的三个信号,第二个和第三个信号在时域上是不同的,但在频域上是完全相同的。
    在这里插入图片描述
    可见,傅里叶变换只能反映一段信号上总体包含哪些频率的成分,但对各成分出现的时刻一无所知。因此时域完全不同的两个信号,可能频谱图一样。

    显然,对于上图那样的非平稳信号,我们只知道频域信息是不够的,还需要知道信号频率随时间变化的情况,即各个时刻的瞬时频率及振幅,这称为时频分析。

    海森堡不确定性原理

    在引入小波分析之前,首先介绍一个原理——海森堡不确定性原理。傅里叶变换的局限性与这一原理有关。

    在物理学中,原理的叙述如下:你可以知道粒子在哪里或者它有多快,但不是两者都知道。这个过程是一种权衡。如果你想更加确定球的位置,你必须不太确定球的速度,反之亦然。

    下图是不确定性原理的表示。球的位置在x轴上,球的速度在y轴上。红点显示图表上的实际速度和位置。方框表示对每个值的不确定性:在这里插入图片描述
    这种不确定性也称为测量的分辨率 。

    傅里叶变换具有相同的分辨率问题。您可以确定信号的频率或时间,但不能同时确定两者。下图与上图相同,但频率和时域取代了球的速度和位置,因为它可以方便地以相同的方式考虑它:
    在这里插入图片描述
    问题在于,当研究真实信号时,了解信号的“瞬时频率”是有用的。瞬时频率是精确时刻信号的准确频率。例如,如果我正在听音乐曲目,我希望能够说“在音乐轨道1分59.0423秒,声音是1563.2赫兹”。不幸的是,傅里叶变换无法做到这一点,因为在频域和时域之间存在最小量的不确定性,例如海森堡在粒子的速度和位置(盒子的面积)之间具有最小量的不确定性。你可以知道你想要找到频率的时刻(比如蓝盒子),但由于存在最小的不确定性,所以必须在频率范围内伸展,

    使用傅立叶变换可以做的最好的事情是采样一段时间(例如,一首歌曲中1分58秒和1分59秒之间的时间信号)并找到一定数量的频率播放的频率范围时间,由黑匣子代表。通过再次查看帖子中的第三张图片可以看出这方面的一个例子。在一段时间内有一个信号(例如有人说’你好’),频率图是那段时间内记录的频率范围。

    现在我们已经看到了傅立叶变换如何受到不确定性原理的影响,或者换句话说我们已经看到傅里叶变换在频域和时域之间缺乏分辨率。这就是小波进入的地方。将信号分解为小波而不是频率可以在转换为的域中提供更好的分辨率。当使用小波变换时,信号被变换到小波域而不是频域。

    小波变换和小波域

    在这篇文章中说的第一件事之一是小波是一个’迷你波’,而sin()和cos()是无限的(它们永远不会归零并保持在那里,它们会永远存在)。在傅立叶变换期间,信号因此被解构为无限长的波。因此它无法体现出时间上的信息。为了克服上面的分辨率问题,使用小波变换将信号解构为加在一起的小波载荷。小波是有用的,因为它们在时间和频率上受到限制。 它不是永久持续且没有时间限制的小波,而是快速消亡,就像下面不同小波的例子所示:在这里插入图片描述
    下面详细介绍小波的相关组成成分。

    扩张方程和尺度函数

    扩张方程:一个函数由它自身的缩放、平移版本的线性组合来定义。例如,f(x)=k=0d1ckf(2xk) f(x)=\sum_{k=0}^{d-1} c_{k} f(2 x-k)
    尺度函数(父小波)是小波系统基本的组成成分,也成为小波基。尺度函数是扩张方程的解。例如,Haar尺度函数ϕ(x)\phi(x)是扩张方程f(x)=f(2x)+f(2x1)f(x)=f(2 x)+f(2 x-1)的解,即
    ϕ(x)={1,0x<10,otherwise  \phi(x)=\left\{ \begin{aligned} {1,} & {\quad 0 \leq x<1} \\ {0,} & {\quad \text {otherwise }} \end{aligned} \right.
    与尺度函数相对应的是小波函数(母小波)

    未完待续…

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    小波分析

    基础知识和小波简介

    平稳信号和非平稳信号

    • 平稳信号是指信号的方差等特征与时间无关,非平稳信号则相反。
    • 自然界中大多是非平稳信号

    傅立叶变换的局限性

    • 傅立叶变换是将时域信号转化为频域信号,进行分析,对于信号x(t),其傅立叶变换形式为

    X(ω)=f(t)eiwtdt

    * 对信号的傅立叶变换相当于将信号转化为很多具有特定权值的正弦波的和,它只能表征信号的频域特征,无法同时表达信号的时频特征
    * 傅立叶变化无法对非平稳信号做准确的描述。短时傅立叶变换可以做到,即对傅立叶变换进行加窗,但是窗口大小确定,局限性很大。
    * 对于信号来说,低频段往往能够表征信号的整体特征,高频段能够表征信号的突变特征(对于图像来说就是边缘),我们希望在低频段能够更高的频率分辨率,在高频段可以有较低的频率分辨率,对于这些,短时傅立叶变换无法做到,小波变换可以做到。

    小波变换

    • 小波是小区域、长度有限、均值为0的波形。小波分析就是选取一个基小波或者母小波(小波核),对其进行平移和伸缩等变换,这套小波可以构成嵌套的空间,再将信号投影到这些空间中,以观察在不同子空间中的特性。
    • 小波核具有以下特性
      • 可分离性、尺度可变性和平移性
      • 多分辨率的一致性
      • 正交性
    • 目前有很多种小波核函数可以使用

    小波去噪的主要种类


    参考链接:http://www.cnblogs.com/linkr/articles/2299707.html

    小波去噪的方法主要分为三类

    1. 小波变换模极大值去噪法:根据信号和噪声在小波在小波变换各尺度上的不同传播特性,剔除由噪声产生的模极大值点,保留信号对应的模极大值点,然后利用所余模极大值点重构小波系数,进而恢复信号。
    2. 小波系数相关性去噪法:对含噪信号作小波变换之后,计算相邻尺度间小波系数的相关性,根据相关性的大小区别小波系数的类型,从而进行取舍,然后直接重构信号。
    3. 小波变换阈值去噪法:信号对应的小波系数包含有信号的重要信息,其幅值比较大,但是数目较少,而噪声对应的小波系数是一致分布的,个数较多,但是幅值较小。通过这种方法进行去噪的方法比较经典,阈值的选取有软、硬阈值等,这种方法已经做得相当全了,主要步骤有三步
      • 计算含噪声信号的小波变换,选择合适的小波基和小波分解层数J,将图像进行小波分解,得到相应的小波分解系数。
      • 对分解后的高频系数进行阈值量化,对于从1到J的每一层,选择一个适当的阈值和合适的阈值函数,将分解得到的高频系数进行阈值量化,得到估计小波系数。
      • 进行小波逆变换,根据小波分解后的第J层的低频系数(尺度系数)和经过阈值量化处理的各层高频系数(小波系数)。再利用重构算法进行小波重构,得到去噪后信号。

    代码与结果

    代码

    %%
    % 一阶小波去噪分解
    % reference : http://blog.csdn.net/cai2016/article/details/52982397
    clc,clear,close all
    
    t = -10:.1:10;
    % 干净的信号
    ori_sig = sin(t);
    % 加上噪声之后的信号
    signal = ori_sig + 0.2 * randn( size(t) );
    % 信号长度
    
    % 1层小波分解
    sigLen = length( signal );
    [cA1, cD1] = dwt( signal, 'db1' );
    % 系数构建
    % A1 是信号的近似系数
    % D1 是信号的细节系数
    % 在这里 A1就可以近似地被视为信号去噪后结果,而D1可以被视为噪声信号
    A1 = idwt( cA1, [], 'db1', sigLen );
    D1 = idwt( cD1, [], 'db1', sigLen );
    % 用近似系数和细节系数进行重建
    A0 = idwt( cA1, cD1, 'db1', sigLen );
    % 信号误差
    sigErr = signal - A0;
    
    figure
    subplot(231),plot(t, ori_sig),title('原始信号')
    subplot(232),plot(t, signal),title('加上高斯噪声的信号信号')
    subplot(233),plot(t, A1),title('近似信号系数')
    subplot(234),plot(t, D1),title('细节系数')
    subplot(235),plot(t, A0),title('恢复信号')
    subplot(236),plot(t, sigErr),title('绝对误差')
    
    %% wnoise去噪分解
    % reference : http://blog.sina.com.cn/s/blog_506122ec0100817o.html
    sqrt_snr = 3;
    [x, xn] = wnoise( 3, 11, sqrt_snr );
    
    lev = 5;
    % 利用sym8小波信号对信号进行分解,在第5层上,利用启发式sure阈值选择法对信号去噪
    xdOne = wden( xn, 'heursure', 's', 'one', lev, 'sym8' );
    % 利用sym8对信号分解,但是使用软sure阈值选择选择算法对信号去噪
    xdSln = wden(x, 'heursure', 's', 'sln', lev, 'sym8');
    % sym8小波对信号分解条件,但用固定域值选择算法去噪
    xdSqt = wden( x, 'sqtwolog', 's', 'sln', lev, 'sym8' );
    
    figure
    subplot(231),plot(x), title('original test fcn')
    subplot(232),plot(xn), title('test fcn with noise')
    subplot(233),plot(xdOne), title('one denoised fcn')
    subplot(234),plot(xdSln), title('sln denoised fcn')
    subplot(235),plot(xdSqt), title('universal threshold denoised fcn')
    
    %% 图像小波去噪
    % reference : http://blog.csdn.net/mingtian715/article/details/60873875
    img = imread( 'lena.bmp' );
    if size(img, 3) > 1
        img = rgb2gray( img );
    end
    img = double( img ) ;
    
    imgN = img + 50*randn( size(img) );
    % 利用小波函数coif2对图像XX进行2层分解
    [c, l] = wavedec2( imgN, 2, 'coif2' );
    % 重构第2层图像的近似系数
    A2 = wrcoef( 'a', c, l, 'coif2', 2 );
    
    % 设置尺度向量
    n = [1, 2];
    % 设置阈值向量
    p = [ 10.28, 24.08 ]  ;
    nc = wthcoef2( 'h', c, l, n, p, 's' );
    X1=waverec2(nc,l,'coif2');    %图像的二维小波重构
    
    figure
    subplot(221),imshow(img, []), title('原始图像')
    subplot(222),imshow( imgN, [] ), title('加噪声图像')
    subplot(223),imshow( X1, [] ), title('去噪后图像')
    

    结果

    • 正弦信号采用db1进行去噪

      这里写图片描述

    • wnoise生成信号利用各种阈值方法去噪分解

      这里写图片描述

    • 二维图像阈值法去噪(这里的处理结果不是非常好,但是很高频的噪声被去除,如果需要得到更好的结果,需要选取更合适的阈值与方法等)

      这里写图片描述

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    2018-06-21 09:19:28
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    2014-10-09 13:03:43
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