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  • 常数变易法”有效的原理

    万次阅读 多人点赞 2018-10-14 19:50:04
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    常数变易法

    为什么写这篇文章

    学过“常数变易法”的同学请直接点击“常数变易法的原理”
    这里只讲述常数变易法的原理,为什么要用常数变易法请参见参考资料《常数变易法的解释 》

    在学习高数的过程中,关于为什么在解一阶线性微分方程的时候要使用常数变易法,为什么可以使用常数变易法,常数变易法为什么是有效并且正确的,老师都语焉不详,一笔带过,导致一直不能很好地理解其中的数学思想。自己也只能接受老师的解释,将这个方法强行合理化。

    但是最近再次看到一阶线性微分方程的求解,看到直接给出来的求解公式一头雾水,再去翻书,始终还是感觉隔靴搔痒,雾里看花,始终不自在,所以上网搜索了一下,搜到了一篇相关文章(常数变易法的解释 ),终于明白了其中蕴含的深刻而巧妙的数学思想,喜不自禁。

    所以在此记录下个人的理解,一则梳理自己的思路,二则可供感兴趣的同学参考,倘能有助于大家理解常数变易法的“自然”性,亦是幸甚。

    什么是常数变易法?

    有以下一阶线性微分方程:(1)y+P(x)y=Q(x) y' +P(x)y=Q(x) \tag1其中,P(x)̸0P(x)\not \equiv 0Q(x)̸0Q(x)\not \equiv 0

    若解其对应的齐次方程:(2)y+P(x)y=0 y' +P(x)y=0\tag2则易有:y=CeP(x)dx(C0)y=Ce^{-\int P(x)dx}(C\neq 0)即为齐次方程的通解

    这时,我们可以用常数变易法来求非齐次方程(1)(1)的通解,即将齐次方程(2)(2)的通解中的常数CC换成(变易为)一个关于xx的未知函数u(x)u(x),变易之后,非齐次方程通解表示如下:(3)y=u(x)eP(x)dx(u(x)̸0)y=u(x)\cdot e^{-\int P(x)dx} \Big(u(x)\not\equiv 0\Big)\tag3于是将该通解形式代入原方程(1)(1),可以解得:u(x)=Q(x)eP(x)dxdx+Cu(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C将上式代入(3)(3)式,即可解得:y=eP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdx+C)y=e^{-\int P(x)dx}\cdot (\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)这就是所谓常数变易法
    可以看到,这里把常数 CC 直接代换为了函数u(x)u(x) ,显得十分生硬不自然,没有什么说服力。然而书上很少会对这个方法的由来作出介绍,所以想必会使很多人感到困惑。

    错误的理解

    对于常数变易法,我以前的理解是:
    既然 y=CeP(x)dx(C0)y=Ce^{-\int P(x)dx}(C\neq 0) 可以使齐次方程 y+P(x)y=0y' +P(x)y=0 成立,那么在其基础上增添一个函数,就应该使得该方程运算结果多出一个与自由项相关的余项Q(x)Q(x),所以可以使用常数变易法。
    这样的理解是基于表面形式做出的一个解释,然而还是不能够明确地说明这个方法的正当性与正确性。
    所以我们需要进一步探究其内在的原理。

    常数变易法的原理

    基本

    容易理解,我们可以把任意函数表示成为两个函数之积,即 (4)y(x)=u(x)v(x)y(x)=u(x)\cdot v(x)\tag4y(x)y(x) 求导,得:y(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)y'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

    计算

    y(x)=u(x)v(x)y(x)=u(x)\cdot v(x)y(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)y'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) 代入非齐次方程(1)(1),整理得到:(5)u(x)v(x)+u(x)[v(x)+P(x)v(x)]=Q(x)u'(x)v(x)+u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]=Q(x)\tag5由解一阶线性微分方程的常用方法分离变量法容易想到,如果没有 u(x)[v(x)+P(x)v(x)]u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)] 这一项,我们就可以简便地利用分离变量法进行计算。
    现在单独考察 u(x)[v(x)+P(x)v(x)]u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)] 这一项。其中 u(x)u(x) 不确定,不能用来保持 u(x)[v(x)+P(x)v(x)]̸0u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]\not\equiv0 ,所以考虑另一个因式 v(x)+P(x)v(x)v'(x)+P(x)v(x) 。显然 v(x)v(x) 是不确定的,在 u(x)u(x) 不确定的情况下,可以任意取值。则假设 v(x)v(x) 满足 (6)v(x)+P(x)v(x)0v'(x)+P(x)v(x)\equiv0\tag6 观察式 (6)(6) ,可以看到其形式与式 (2)(2) 基本一致。
    求解式 (6)(6),可以得其通解形式:(7)v(x)=C1eP(x)dxv(x)=C_1\cdot e^{-\int P(x)dx}\tag7将所得通解代入 (4)(4),则(8)y(x)=u(x)C1eP(x)dxy(x)=u(x)\cdot C_1\cdot e^{-\int P(x)dx}\tag8(8)(8) 式代入 (5)(5) 式,得到:u(x)C1eP(x)dx=Q(x)u'(x)\cdot C_1\cdot e^{-\int P(x)dx}=Q(x)使用分离变量法,容易解得:(9)u(x)=1C1Q(x)eP(x)dxdx+C2u(x)=\frac1{C_1}\int Q(x)\cdot e^{\int P(x)dx}dx+C_2\tag9(7)(7) (9)(9) 同时代入式 (4)(4) ,则y(x)=eP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdx+C1C2)y(x)=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C_1C_2)C=C1C2C=C_1C_2,则得原一阶线性微分方程的通解为:y(x)=eP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdx+C)y(x)=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)

    推广

    这一部分是在知乎看到了关于“常数变易法”在高阶作用的问题之后增补的

    问题链接:常数变易法思想的来源或本质是什么?
    现在有一般nn阶线性微分方程(10)Pn(x)y(n)+Pn1(x)y(n1)+Pn2(x)y(n2)...+P1(x)y+P0(x)y=Q(x)P_{n}(x)y^{(n)}+P_{n-1}(x)y^{(n-1)}+P_{n-2}(x)y^{(n-2)}...+P_{1}(x)y'+P_{0}(x)y=Q(x)\tag{10}
    由前述有,y(x)y(x)可以表示为y(x)=u(x)v(x)y(x)=u(x)v(x)
    现在我们考察两函数乘积的高阶微分形式。
    比较二项式展开定理我们不难发现,对y=uvy=uv的高阶微分具有类似的形式。
    比如:(uv)=uv+uv(uv)'=u'v+uv'(uv)=(uv+uv)=uv+2uv+uv(uv)''=(u'v+uv')'=u''v+2u'v'+uv''......
    从原理上来看,展开多项式的每一项都应有nn阶微分,而这nn阶微分分别分配在uvu、v上;对于多项式的每一项,相当于任选kk个微分算子作用于uu,则另有(nk)(n-k)个微分算子作用于vv,与二项式展开定理本质相同,所以展开形式也应相同。
    则有式(11)(11)(11)(uv)(n)=Cn0u(n)v+Cn1u(n1)v(1)+Cn2u(n2)v(2)+...+Cnn1u(1)v(n1)+Cnnuv(n)(uv)^{(n)}=C_n^0u^{(n)}v+C_n^1u^{(n-1)}v^{(1)}+C_n^2u^{(n-2)}v^{(2)}+...+C_n^{n-1}u^{(1)}v^{(n-1)}+C_n^nuv^{(n)}\tag{11}
    将这个一般形式代回式(10)(10),假设将uu作为主要研究对象(以vv为主要研究对象亦可,二者地位相同),则按uu的导数降阶排列多项式:(12)Mn1(x)u(n)+Mn2(x)u(n1)+...+M0(x)u+(Pn(x)v(n)+Pn1(x)v(n1)+...+P1(x)v+P0(x)v)u=Q(x)M_{n-1}(x)u^{(n)}+M_{n-2}(x)u^{(n-1)}+...+M_0(x)u'+\bigl(P_n(x)v^{(n)}+P_{n-1}(x)v^{(n-1)}+...+P_{1}(x)v'+P_0(x)v\bigr)u=Q(x)\tag{12}
    其中,Mi(x)M_i(x)为关于xx的多项式。
    按一阶情况下的原理,可以令多项式(Pn(x)v(n)+Pn1(x)v(n1)+...+P1(x)v+P0(x)v)0\bigl(P_n(x)v^{(n)}+P_{n-1}(x)v^{(n-1)}+...+P_{1}(x)v'+P_0(x)v\bigr)\equiv0消去uu项。解vv即为解式1010对应的齐次线性微分方程。
    则剩下的式子为Mn1(x)u(n)+Mn2(x)u(n1)+...+M0(x)u=Q(x)M_{n-1}(x)u^{(n)}+M_{n-2}(x)u^{(n-1)}+...+M_0(x)u'=Q(x)
    α(x)=u(x)\alpha(x)=u'(x),则上式化为(13)Mn1(x)α(n1)+Mn2(x)α(n2)+...+M0(x)α=Q(x)M_{n-1}(x)\alpha^{(n-1)}+M_{n-2}(x)\alpha^{(n-2)}+...+M_0(x)\alpha=Q(x)\tag{13}
    比较式(12)(13)(12)、(13),可以看到:通过常数变易法,成功地把求解一个nn阶线性微分非齐次方程的问题,为了求解一个对应的nn阶线性微分齐次方程和一个(n1)(n-1)阶线性微分非齐次方程的问题。

    总结

    很显然我们可以看到,常数变易法是蕴含了很深刻的数学思想、具有很强健的数学基础的解题方法,并非无根之萍,更不是突发奇想或是强行合理。
    但是从其原理上来讲,将其称呼为“常数变易法”是不太妥当的,本质上它并非是单纯地使用一个函数来替代了齐次方程通解的常数。
    常数变易法的称呼应该说为了便于日常应用和直观记忆,这里可以不必纠结。

    参考资料

    [1] lookof,常数变易法的解释
    [2] 崔士襄,邯郸农业高等专科学校,“常数变易法”来历的探讨

    展开全文
  • 常数变易法

    2017-05-07 16:00:00
    现将变动部分用常数代替,再逐步将常数替换为变数(变量) 关键是寻找变化的规律,如果不直观,可以列出所有变化,进行比对,然后设计公式 实例: 1.输出三角星号 首先找规律,发现每一行都是先输出空格,然后...

    思路:

    现将变动部分用常数代替,再逐步将常数替换为变数(变量)

    关键是寻找变化的规律,如果不直观,可以列出所有变化,进行比对,然后设计公式

     

    实例:

    1.输出三角星号

    首先找规律,发现每一行都是先输出空格,然后输出*号,空格、信号与行号的关系如下:

    行号     空格数     星号数

    1            4         1

    2            3         2

    3            2          3

    4            1          4

    5            0          5

    代码:

        public static void main(String[] args) {
            int rows = 5;
            for (int i = 1; i <= rows; ++i) {
                for (int j = 1; j <= rows - i; ++j) {
                    System.out.print(" ");
                }
                for (int j = 1; j <= i; ++j) {
                    System.out.print("* ");
                }
                System.out.println();
            }
        }

     

    2.输出字母金字塔

    经过观察,可以发现每一行的字符从左到右都是先增大再减小,最大的字符都是‘A’ + 行号-1(行号从1开始)

        public static void main(String[] args) {
        {
            int rows = 5;
            char ch = 'A';
            for (int i = 1; i <= rows; ++i) {
                for (int j = 1; j <= rows - i; ++j) {
                    System.out.print(' ');
                }
                for (int j = 0; j <= i - 1; ++j) {
                    System.out.print((char) (ch + j));  // 将ASCII码转换为字符
                }
                for (int j = i - 2; j >= 0; --j) {
                    System.out.print((char) (ch + j));
                }
                System.out.println();
            }
        }

    当编程逐渐熟练之后,常数变异法可能是我们最常用的方法。

     3.输出以下图形

     

    代码:

    public static void main(String[] args) {
        {
            int rows = 13;
            if (rows % 2 == 0)  //由于图形对称,处理偶数行,使其变为奇数行
                rows += 1;
            for (int i = 1; i<= rows/2; ++i)
            {
                for(int j = 0; j < i; ++j)
                    System.out.print(' ');
                System.out.print("$$");
                for(int j = 0; j < rows /2 -i; ++j)
                    System.out.print("  ");
                System.out.print("$$");
                System.out.println();
            }
            for(int i = 1; i <= rows/2+1; ++i)
                System.out.print(' ');
            System.out.println("$$");
            
            for (int i = 1; i<= rows/2; ++i)
            {
                for(int j = 0; j < rows/2+1 -i; ++j)
                    System.out.print(' ');
                System.out.print("$$");
                for(int j = 0; j < i - 1; ++j)
                    System.out.print("  ");
                System.out.print("$$");
                System.out.println();
            }
            
        }
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    转载于:https://www.cnblogs.com/hupeng1234/p/6821080.html

    展开全文
  • 本文转载自博客园一位作者文章,在高等数学的学习中接触到了这个常数变易法,一直想不通为什么这样可以进行非齐次线性微分方程的求解。阅读了这篇文章后明白了很多,这里再贴一下原文链接: ... ...

            我们来看下面的式子:

                                                        y’+P(x)·y = Q(x)…….(1)

    对于这个式子最正常的思路就是“分离变量”(因为之前所学的思想无一不是把变量分离再两边积分)。所以我们的思维就集中在如何将(1)式的x和y分离上来。

     

      起初的一些尝试和启示

    先直接分离看一下:

                                                        dy/dx+P(x)·y = Q(x)  

                                  => dy = ( Q(x)-P(x)·y )·dx…….(2)

     

    从中看出y不可能单独除到左边来,所以是分不了的。这时想想以前解决“齐次方程”时用过的招数:设y/x = u  = > y = u·x . 将y = u·x代入(1)式: 

                                                     u’·x+u+P(x)·u·x = Q(x)

                                     => u’·x+u·(1+P(x)·x) = Q(x)

                                     => du/dx·x = Q(x)-u(1+P(x)·x)

                                     => du = [Q(x)-u·(1+P(x)·x)]·(1/x)·dx………(3)

     

    这时u又不能单独除到左边来,所以还是宣告失败。不过,这里还是给了我们一点启示:如果某一项的变量分离不出来,那使该项成为零是比较好的选择。因为这样“变量分离不出”这个矛盾就消失了——整个一项都消失了,还需要分什么呢。比如说,对于(3)式,如果x=-1/P(x),那么那一项就消失了;再比如说,对于(2)式,如果P(x)=0,那么那一项也消失了。当然这些假设都是不可能的,因为x和P(x)等于几是你无法干预的。不过我们可以这么想:如果我们巧妙地构造出一个函数,使这一项等于零,那不就万事大吉了。Ok,好戏开场了。

     

      进一步:变量代换法

    筒子们可能觉得要构造这么一个函数会很难。但结果会让你跌破眼镜。y=u·v就是这么符合要求的一个函数。其中u和v都是关于x的函数。这样求y对应于x的函数关系就转变成分别求u对应于x的函数关系和v对应于x的函数关系的问题。你可能觉得把一个函数关系问题变成两个函数关系问题,这简直是脑残的表现——非也,u和v都非常有用,看到下面就知道了。

    让我们看看讲代换y=u·v代入(1)式会出现什么:

       u’·v+u·(v’+P(x) ·v) = Q(x) ………(4)

     

    如果现在利用分离变量法来求u对应于x的函数关系,那么u·(v’+P(x) ·v)就是我们刚刚遇到的没法把u单独分离出来的那一项,既然分不出来,那么干脆把这一项变为零好了。怎么变?这是v的用处就有了。令v’+P(x) ·v=0,解出v对应x的函数关系,这本身就是一个可以分离变量的微分方程问题,可以将其解出来。

                              dv/dx+P(x) ·v = 0 

                     => v = C1·e^(-∫P(x)dx) ………(5)

     

    现在v解出来了,接下来该处理u了,实际上当v解出来后u就十分好处理了。把(5)式代入(4)式,则u·(v’+P(x)·v)这一项便被消掉了。剩下的是

                                                    u’ ·C1·e^(-∫P(x)dx) = Q(x)

    而这也是一个可以分离变量的微分方程。同样可以十分容易地解出来:

                                                       du/dx ·C1·e^(-∫P(x)dx)=Q(x)

                       => du = 1/C1·e^(∫P(x)dx)·Q(x)·dx

                               > u = 1/C1·∫e^(∫P(x)dx)·Q(x)·dx+C2………(6)

     

    现在u和v都已求出,那么y=u·v也迎刃而解:                  

                                     y   u·v

                                = [1/C1·∫e^(∫P(x)dx)·Q(x)·dx+C2]·[C1·e^(-∫P(x)dx)]

     = [∫e^(∫P(x)dx)·Q(x)·dx+C ]·e^(-∫P(x)dx) ………(7)  (这里C = C1·C2)

     

    这个方法看上去增加了复杂度,实际上却把一个不能直接分离变量的微分方程化成了两个可以直接分离变量的微分方程。这个方法不是没有名字的,它叫“变量代换法”(挺大众的一名字),即用u·v代换了y。这时在你脑中不得不油然生出这么一种感觉:想了十一年想出来的法子,还真不是盖的。

     

      再进一步:常数变易法

    再进一步观察我们可以看出,求v的微分方程(即v’+P(x)·v=0)其实就是求

    y’+P(x)·y=Q(x)当Q(x)=0时的齐次方程。所以,我们可以直接先把非齐次方程当作齐次方程来解。即解出y’+P(x)·y =0 的解来。 得:

    y = C·e^(-∫P(x)dx) ………(8)

     

    注意这里的C·e^(-∫P(x)dx)并非最终答案,从上一环节我们知道这其实是v而已。而最终答案是u·v ,v仅是其中一部分。因此这里的C·e^(-∫P(x)dx)并不是我们要的y,因此还要继续。

     

    把(8)式和上面提到的(7)式比较一下:

    y = u·e^(-∫P(x)dx) ………(7)

    y = C·e^(-∫P(x)dx) ………(8)

     

    (7)式是最终的结论,(8)式是目前我们可以到达的地方。那我们偷下懒好了:把(8)式的那个C换成u,再把这个u解出来,不就ok了么。所谓的“常数变易法”就是这么来的,即把常数C硬生生地变成了u。接下来的事情就简单多了,和前面是一个思路,把代换y=u·e^(-∫P(x)dx)代入(1)式,由于e^(-∫P(x)dx)是一个可以令那个分离不出变量的项被消掉的特解,因此即可知一定会解得u’·e^(-∫P(x)dx)=Q(x)。从中解出u,再带回y=u·e^(-∫P(x)dx)便可得到最终答案。

     

    个人觉得这个方法在思路上并无多大突破,只是利用“变量代换法”现成的结论倒推回去,“抄了一条近路”,但这么一抄不要紧,不解释清楚的话还真不知道这条路到底从哪冒出来的。所以就会引起我们“较劲”的冲动:为什么非齐次要当齐次来解,道理何在?为什么C就可以换成u,道理何在?…… 这么想想的话教科书(同济5版)也真TM不厚道,你不解释清楚就算了,好歹说两句交代背景的话啊。

     

     

    Ps:1.常数变易法在这里并没有显出比变量代换法更好的优势(因为就是一个思路的正逆推导而已),但在解决高阶线性微分方程时就会方便得多。因此倒不能说常数变易法是鸡肋(我开始的想法就是这样的)。

    2.教科书上最后把方程的解拆成了一个齐次方程的通解和一个非齐次方程的特解之和,我看来简直有点脑残的表现,再往后看才知道,原来在解决高阶非齐次线性方程是要用到这个结构的,怪不得。

    3.因此关于中国的教科书以及中国的正统教育我突然有个结论(一排脑瓜子即灵光一现那种):中国的大多数学生之所以不喜欢学数学是因为觉得难,其实倒不是数学本身难,而是教科书缺少必要的说明逻辑。真正难的不是知识,而是读懂这些教育家企图教给我们的“知识”。

     

    展开全文
  • 什么是常数变易法呢? 常数变易法是一种解线性微分方程的行之有效的方法。它是拉格朗日十一年的研究成果,我们所用仅是他的结论,并无过程。 ... 求解过程呢? ...假如我们有一个非齐次线性微分方程(一...

    什么是常数变易法呢?


    常数变易法是一种解线性微分方程的行之有效的方法。它是拉格朗日十一年的研究成果,我们所用仅是他的结论,并无过程。
    https://baike.baidu.com/item/%E5%B8%B8%E6%95%B0%E5%8F%98%E6%98%93%E6%B3%95/5356198?fr=aladdin(百度百科连接)


    求解过程呢?


    一阶

    假如我们有一个非齐次线性微分方程(一阶的),那么我们先求出其所对应的齐次线性微分方程的通解,然后再把未知量C1换成一个未知函数u(x)(无论哪个你喜欢),然后再把此通解带入非齐次线性微分方程,求出u(x),再代回其所对应的齐次线性微分方程的通解就得出原齐次方程的通解。

    二阶

    二阶只需要替换两个未知数为两个函数变量。以此类推,可得n阶的求解方法。


    待续。。。

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  • 常数变易法的原理

    千次阅读 多人点赞 2013-06-03 23:14:37
    高数看到常数变易法,不懂为什么要把C变成u,看了...注: 本方法是对崔士襄教授写的《“常数变易法”来历的探讨》论文的解释。思路并非本人原创。特此注明。背景详见本人前一篇博文。      我们来看下面的式子:
  • 常数变易法的原理解释

    万次阅读 2013-01-31 13:25:50
    高数看到常数变易法,不懂为什么要把C变成u,看了...注: 本方法是对崔士襄教授写的《“常数变易法”来历的探讨》论文的解释。思路并非本人原创。特此注明。背景详见本人前一篇博文。      我们来看下面的式子:
  • 在https://www.cnblogs.com/lookof/archive/2009/01/06/1370065.html该文中讲解了常数变易法的由来——变量代换法。此处略作补充。 一阶线性微分方程:y’+P(x)·y=Q(x)…….(1) 关键代换是:y=uv,u、v分别是...
  • MT【316】常数变易法

    2019-10-01 03:40:28
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  • 常数变易法的解释

    2009-01-06 10:31:00
    常数变易法的解释 注: 本方法是对崔士襄教授写的《“常数变易法”来历的探讨》论文的解释。思路并非本人原创。特此注明。背景详见本人前一篇博文。 我们来看下面的式子: y’+P(x)·y = Q(x)...
  • 作者:东曦 ...来源:知乎 著作权归作者所有。...”——来自百度百科“常数变易法”词条。 至于百科引文下面为什么给了思路和推导过程,我想应该是后人根据某拉格朗日大佬的结论逆推出来的。下面讲讲思路和推导...
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    2018-09-28 21:32:37
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  • MT【129】常数变易法

    2019-10-01 03:38:04
    已知数列 \(\{x_n\}\) 满足 \[x_{n+1}=\left(\dfrac 2{n^2}+\dfrac 3n+1\right)x_n+n+1,n\in\mathbf N^*,\] ...是由常数变易法得来的. 转载于:https://www.cnblogs.com/mathstudy/p/8759087.html
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  • 常数变易法学习笔记

    千次阅读 2014-06-01 17:55:46
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  • 常数变易法_打印图形

    2014-05-13 14:40:59
    打印图形 试打印出如下图形:    $$ $$  $$ $$   $$ $$   $$ $$   $$ $$   $$$$   $$   $$$$   $$ $$   $$ $$   
  • 常数变易法 **求一阶线性非齐次微分方程的通解,是把一阶线性非齐次微分方程的通解中C换成C(x)即---------------------------------------(here) y=C(x)e^-∫p(x)dx 对y进行求导可知: dy/dx = C'(x)*(e^-∫p(x)...
  • 例一: [java] view plaincopy /*   *   * *   * * *   * * * *   * * * * *  */    public class T1  ... public static void main(String
  • 文章目录
  • emmmm我们之前已经讲了一种变量变换的方法是吧,但是那个变换方程的形式可以说是多种多样的,那么这次带来的就是一些经久不衰的套路。在实现的时候不需要任何技巧。ok,那么第一种微分方程叫做一阶齐次线性微分方程...
  • 由上面的定理我们知道,要得到非齐次线性微分方程的通解,我们需要得到:(1)的一个解,以及(2)的通解,我们下面就来介绍第二章曾用过的方法——常数变易法。 设 为(2)的一个基本解组,那么: 就为(2)的通解,此时:把...

空空如也

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