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  • 离散指标 含义:反映数值差异程度的指标,亦称变异指标。 作用:衡量平均水平的代表性,反映均衡性和稳定性,为统计推断提高依据。 1.全距 全距(Range)或极差 ...3.异众比率 非众数组频数占总频数...

    离散指标
    含义:反映数值差异程度的指标,亦称变异指标。
    作用:衡量平均水平的代表性,反映均衡性和稳定性,为统计推断提高依据。

    1.全距
    全距(Range)或极差
    R=最大值 - 最小值=Max-Min
    优点:简单明了
    缺点:只反映变动幅度,最易受极端值影响

    2.四分位差
    四分位差也称为内距
    Qd = QU- QL
    在这里插入图片描述
    特点:中间50%个体的变动幅度,不受极值影响。

    3.异众比率
    非众数组频数占总频数之比
    反映众数的代表性

    4.平均差
    即平均绝对偏差(Mean Absolute Deviation)
    在资料未分组的情况下,计算公式:
    在这里插入图片描述
    在资料已分组的情况下,计算公式:
    在这里插入图片描述
    平均差特点
    (1)反映全部标志值变动
    (2)受水平高低、计量单位影响

    5.方差标准差
    方差即离差平方的算术平均数,标准差是方差的算术平方根。
    在这里插入图片描述
    样本方差和样本标准差(分母为n-1)
    在这里插入图片描述简便公式:
    在这里插入图片描述性质:
    在这里插入图片描述

    优点:
    反应灵敏、适合代数计算、能够用在统计推断内
    缺点:
    受量纲约束、受水平影响

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  • 异种比率越大,说明非众数组的频数占总频数的比重越大,众数的代表性越差,即占比越小,异种比率越小,说明众数的代表性越好,即占比越大。异种比率主要适合度量分类数据的离散程度,当然连续数据可以计算异种比率。...

    数据的离散程度即衡量一组数据的分散程度如何,其衡量的标准和方式有很多,而具体选择哪一种方式则需要依据实际的数据要求进行抉择。

    首先针对不同的衡量方式的应用场景大体归纳如下:

    极差:极差为数据样本中的最大值与最小值的差值R=max(i)-min(i),是所有方式中最为简单的一种,它反应了数据样本的数值范围,是最基本的衡量数据离散程度的方式,受极值影响较大。如在数学考试中,一个班学生得分的极差为60,放映了学习最好的学生与学习最差的学生得分差距为60.

    四分位差:即数据样本的上四分之一位和下四分之一位的差值Q_{d}=Q_{u}-Q_{l},放映了数据中间50%部分的离散程度,其数值越小表明数据越集中,数值越大表明数据越离散,同时由于中位数位于四分位数之间,故四分位差也放映出中位数对于数据样本的代表程度,越小代表程度越高,越大代表程度越低。

    平均差:即M_{d}=\frac{\sum_{n}^{i=1}\left |x_{n} -\bar{x} \right |}{n},针对分组数据为M_{d}=\frac{\sum_{n}^{i=1}\left |x_{n} -\bar{x} \right |f_{i}}{n}。各变量值与平均值的差的绝对值之和除以总数n,平均差以平均数为中心,能全面准确的反应一组数据的离散状况,平均差越大,说明数据离散程度越大,反之,离散程度越小。

    方差/标准差:方差是各变量与平均值的差的平方和除以总数n-1,s^{2}=\frac{\sum_{n}^{i=1}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1}针对分组数据s^{2}=\frac{\sum_{n}^{i=1}(x_{i}-\bar{x})^{2}f_{i}}{n-1},方差开根号后为标准差,方差与标准差都能很好的反应数据的离散程度。

    异种比率:是指非众数组的频数占总频数的比例。V_{r}=\frac{\sum f_{i}-f_{m}}{\sum f_{i}}=1-\frac{f_{m}}{\sum f_{i}}其中\sum f_{i}为变量值的总频数,f_{m}为众数组的频数。异种比率越大,说明非众数组的频数占总频数的比重越大,众数的代表性越差,即占比越小,异种比率越小,说明众数的代表性越好,即占比越大。异种比率主要适合度量分类数据的离散程度,当然连续数据可以计算异种比率。

    离散系数:即变异系数,针对不同数据样本的标准差和方差,因数据衡量单位不同其结果自然无法直接进行对比,为出具一个相同的衡量指标,则进行了离散系数的计算。离散系数为一组数据的标准差与平均数之比V_{i}=\frac{s}{\bar{x}}

     

    import numpy as np
    import stats as sts
    scores = [31, 24, 23, 25, 14, 25, 13, 12, 14, 23,
              32, 34, 43, 41, 21, 23, 26, 26, 34, 42,
              43, 25, 24, 23, 24, 44, 23, 14, 52,32,
              42, 44, 35, 28, 17, 21, 32, 42, 12, 34]
    #集中趋势的度量
    print('求和:',np.sum(scores))
    print('个数:',len(scores))
    print('平均值:',np.mean(scores))
    print('中位数:',np.median(scores))
    print('众数:',sts.mode(scores))
    print('上四分位数',sts.quantile(scores,p=0.25))
    print('下四分位数',sts.quantile(scores,p=0.75))
    #离散趋势的度量
    print('最大值:',np.max(scores))
    print('最小值:',np.min(scores))
    print('极差:',np.max(scores)-np.min(scores))
    print('四分位差',sts.quantile(scores,p=0.75)-sts.quantile(scores,p=0.25))
    print('标准差:',np.std(scores))
    print('方差:',np.var(scores))
    print('离散系数:',np.std(scores)/np.mean(scores))
    #偏度与峰度的度量
    print('偏度:',sts.skewness(scores))
    print('峰度:',sts.kurtosis(scores))</span>
    

     

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  • 异众比率主要适合测度分类数据的离散程度,当然,对于顺序的数据以及数值型数据也可以计算异众比率。而变异系数用来检测数据中的异常值情况。

    数据类型

    按照计量尺度不同,统计数据分为:分类数据、顺序数据、数值型数据。

    分类数据只能归于某一类别的非数值型数据

    异众比率

    异众比率主要适合测度分类数据的离散程度,当然,对于顺序的数据以及数值型数据也可以计算异众比率。它虽然也是一个反映离散程度的相对指标,但是与标准差系数不同。

    异众比率主要用于衡量众数对一组数据的代表程度。异众比率越大,说明非众数组的频数占总频数的比重越大,众数的代表性就越差;异众比率越小,说明非众数组的频数占总频数的比重越小,众数的代表性越好。
    在这里插入图片描述
    其中, 表示异众比率, 表示众数次数,N表示总体单位总数(即总体次数)。

    变异系数

    变异系数是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。当进行两个或多个资料变异程度的比较时,如果度量单位与平均数相同,可以直接利用标准差来比较。如果单位和(或)平均数不同时,比较其变异程度就不能采用标准差,而需采用标准差与平均数的比值(相对值)来比较。标准差与平均数的比值称为变异系数,记为C·V。变异系数可以消除单位和(或)平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。

    变异系数的计算公式为:变异系数 C·V =( 标准偏差 SD / 平均值Mean )× 100%
    在这里插入图片描述

    在进行数据统计分析时,如果变异系数大于15%,则要考虑该数据可能不正常,应该剔除。

    注意,变异系数的大小,同时受平均数和标准差两个统计量的影响,因而在利用变异系数表示资料的变异程度时,最好将平均数和标准差也列出。

    优点

    比起标准差来,变异系数的好处是不需要参照数据的平均值。变异系数是一个无量纲量,因此在比较两组量纲不同或均值不同的数据时,应该用变异系数而不是标准差来作为比较的参考。

    缺陷

    当平均值接近于0的时候,微小的扰动也会对变异系数产生巨大影响,因此造成精确度不足。
    变异系数无法发展出类似于均值的置信区间的工具。

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  • 统计学原理 离散程度的度量

    千次阅读 2020-05-10 16:22:42
    离散程度的度量分类数据:异众比率顺序数据:四分位差数值型数据:方差和标准差1. 极差 (range)2. 平均差 (mean deviation)3. 方差和标准差 (variance and standard deviation)4. 相对位置的度量相对离散程度:离散...

    离中趋势

    • 数据分布的另一个重要特征
    • 反映各变量值远离其中心值的程度(离散程度)  从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度
    • 不同类型的数据有不同的离散程度测度值


    分类数据:异众比率

    异众比率 (variation ratio)

    • 对分类数据离散程度的测度
    • 非众数组的频数占总频数的比例
    • 用于衡量众数的代表性

    顺序数据:四分位差

    四分位差 (quartile deviation)

    • 对顺序数据离散程度的测度
    • 也称为内距或四分间距
    • 上四分位数与下四分位数之差
    • Qd = QU – QL
    • 反映了中间50%数据的离散程度
    • 不受极端值的影响
    • 用于衡量中位数的代表性

    数值型数据:方差和标准差

    1. 极差 (range)

    • 一组数据的最大值与最小值之差
    • 离散程度的最简单测度值
    • 易受极端值影响
    • 未考虑数据的分布

    2. 平均差 (mean deviation)

    • 各变量值与其平均数离差绝对值的平均数
    • 能全面反映一组数据的离散程度
    • 数学性质较差,实际中应用较少

    3. 方差和标准差 (variance and standard deviation)

    • 数据离散程度的最常用测度值
    • 反映了各变量值与均值的平均差异
    • 根据总体数据计算的,称为总体方差(标准差);根据样本数据计算的,称为样本方差(标准差),记为s2(s)

    4. 相对位置的度量

    (1)标准分数(standard score)

    • 也称标准化值
    • 对某一个值在一组数据中相对位置的度量
    • 可用于判断一组数据是否有离群点(outlier)
    • 用于对变量的标准化处理

    (2)经验法则

    经验法则表明:当一组数据对称分布时

    • 约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内
    • 约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内
    • 约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内

    (3)切比雪夫不等式 (Chebyshev’s inequality)

    • 如果一组数据不是对称分布,经验法则就不再适用,这时可使用切比雪夫不等式,它对任何分布形状的数据都适用;
    • 切比雪夫不等式提供的是“下界”,也就是“所占比例至少是多少”
    • 对于任意分布形态的数据,根据切比雪夫不等式,至少有(1-1/(k^2))的数据落在平均数加减k个标准差之内。其中k是大于1的任意值,但不一定是整数

    对于k=2,3,4,该不等式的含义是

    • 至少有75%的数据落在平均数加减2个标准差的范围之内
    • 至少有89%的数据落在平均数加减3个标准差的范围之内
    • 至少有94%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内

    相对离散程度:离散系数

    离散系数 (coefficient of variation)

    • 标准差与其相应的均值之比
    • 对数据相对离散程度的测度
    • 消除了数据水平高低和计量单位的影响
    • 用于对不同组别数据离散程度的比较
    展开全文
  • 根据不同的数据类型,离散程度主要有以下几个测度值:异众比率异众比率,适用于类别型数据。它指的是非众数组的频数占总的频数的比例。计算公式如下:∑f[i]是总频数,f[m]是众数组的频数从公式中不难看出,异众比率...
  • 1.异众比率(variation ratio):用Vr表示,其定义为: ,其中∑fi表示变量值的总频数,∑fm表示众数组的频数。异众比率主要用于衡量众数对一组数据的代表程度。异众比越大,说明非众数组的频数占总频数的比重越大,...
  • 因为分类数据一般采用众数来代表其集中趋势,因此对于分类数据,一般采用异众比率来衡量数据的离散程度。 通俗的解释就是,不是众数的数所占的比例。 数学表达为: Vr=∑fi−fm∑fiV_r=\frac{\sum f_i-f_m}{\sum f_i...
  • 1.集中趋势 集中趋势的度量主要包括:众数、中位数、平均...离中趋势的度量主要有异众比率、四分位差、极差、平均差、方差和标准差、离散系数、标准分数(归一化) 根据数据的类型,我们一般: 分类数据:异众比率 顺序
  • 描述性统计2

    2019-11-10 22:45:09
    参加居士的统计学课程,又一次学习了统计学。因为最近换了新的工作,变得异常的忙,希望之后3个月能坚持下来。 ...异众比率: 平均差 方差 标准差 离散系数 偏态: 峰态: ...
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    2018-07-03 16:13:34
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  • spss基础-5.10

    2021-05-10 22:34:47
    离散程度:极差、四分位差、异众比率、方差、标准差 分布描述:峰度、偏度 左偏、右偏 平坦、尖峰 频率分析 今日内容 1.z分数(标准分数) 数据与平均数的差值除以标准差的过程 作用:对比数据,发现异常...
  • 数据的描述性统计

    2019-07-21 17:53:05
    数据的描述性统计 标签(空格分隔): 对数据的描述性统计主要是指对结构化数据的描述分析,可从三个维度进行分析:数据的集中趋势、数据的离散程度和数据的分布...异众比率(分类数据);离散系数 (相对离散程度)...
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    2019-11-10 09:40:46
    利用图标展示数据,可以让我们对数据的特征有一个大概了解,但是...2、离散程度(数据偏离中心的程度):数值型数据(方差、标准差、极差、平均差)、顺序数据(四分位差)、 分类数据(异众比率)、相对离散程度(离散系...
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    2019-11-10 12:48:11
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    2021-03-31 19:09:08
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异众比率