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  • 模糊逻辑

    2017-05-08 14:55:00
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    模糊逻辑

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    模糊逻辑是建立在多值逻辑基础上,运用模糊集合的方法来研究模糊性思维、语言形式及其规律的科学。
     

    简介

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    基本内容

    模糊逻辑指模仿人脑的不确定性概念判断、推理思维方式,对于模型未知或不能确定的描述系统,以及强非线性、大滞后的控制对象,应用模糊集合和模糊规则进行推理,表达过渡性界限或定性知识经验,模拟人脑方式,实行模糊综合判断,推理解决常规方法难于对付的规则型模糊信息问题。模糊逻辑善于表达界限不清晰的定性知识与经验,它借助于隶属度函数概念,区分模糊集合,处理模糊关系,模拟人脑实施规则型推理,解决因“排中律”的逻辑破缺产生的种种不确定问题 。

    历史发展

    1965年美国数学家L. Zadeh首先提出了Fuzzy集合的概念,标志着Fuzzy数学的诞生。建立在二值逻辑基础上的原有的逻辑与数学难以描述和处理现实世界中许多模糊性的对象。Fuzzy数学与Fuzzy逻辑实质上是要对模糊性对象进行精确的描述和处理。L. Zadeh为了建立模糊性对象的数学模型,把只取0和1二值的普通集合概念推广为在[0,1]区间上取无穷多值的模糊集合概念,并用“隶属度”这一概念来精确地刻画元素与模糊集合之间的关系。正因为模糊集合是以连续的无穷多值为依据的,所以,模糊逻辑可看做是运用无穷连续值的模糊集合去研究模糊性对象的科学。把模糊数学的一些基本概念和方法运用到逻辑领域中,产生了模糊逻辑变量、模糊逻辑函数等基本概念。对于模糊联结词与模糊真值表也作了相应的对比研究。查德还开展了模糊假言推理等似然推理的研究,有些成果已直接应用于模糊控制器的研制。创立和研究模糊逻辑的主要意义有:(1)运用模糊逻辑变量、模糊逻辑函数和似然推理等新思想、新理论,为寻找解决模糊性问题的突破口奠定了理论基础,从逻辑思想上为研究模糊性对象指明了方向。(2)模糊逻辑在原有的布尔代数、二值逻辑等数学和逻辑工具难以描述和处理的自动控制过程、疑难病症的诊断、大系统的研究等方面,都具有独到之处。(3)在方法论上,为人类从精确性到模糊性、从确定性到不确定性的研究提供了正确的研究方法。此外,在数学基础研究方面,模糊逻辑有助于解决某些悖论。对辩证逻辑的研究也会产生深远的影响。当然,模糊逻辑理论本身还有待进一步系统化、完整化、规范化

    基本理论

    模糊逻辑是二元逻辑的重言式:在多值逻辑中,给定一个 MV-代数A,一个 A-求值就是从命题演算中公式的集合到 MV-代数的函数。如果对于所有 A-求值这个函数把一个公式映射到 1(或 0),则这个公式是一个 A-重言式。因此对于无穷值逻辑(比如模糊逻辑、武卡谢维奇逻辑),我们设 [0,1] 是 A 的下层集合来获得 [0,1]-求值和 [0,1]-重言式(经常就叫做求值和重言式)。Chang 发明 MV-代数来研究波兰数学家扬·武卡谢维奇(Jan ?ukasiewicz)在 1920 年介入的多值逻辑。Chang 的完备定理(1958, 1959) 声称任何在 [0,1] 区间成立的 MV-代数等式也在所有 MV-代数中成立。通过这个定理,证明了无穷值的武卡谢维奇逻辑可以被 MV-代数所刻画。后来同样适用于模糊逻辑。这类似于在 {0,1} 成立的布尔代数等式在任何布尔代数中也成立,布尔代数因此刻画了标准二值逻辑。

    应用

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    模糊逻辑可以用于控制家用电器比如洗衣机(它感知装载量和清洁剂浓度并据此调整它们的洗涤周期)和空调。
    基本的应用可以特征化为连续变量的子范围(subranges),形状常常是三角形或梯形。例如,防锁刹车的温度测量可以有正确控制刹车所需要的定义特定温度范围的多个独立的成员关系函数(归属函数 / Membership function)。每个函数映射相同的温度到在 0 至 1 范围内的一个真值且为非凹函数(non-concave functions)(否则可能在某部分温度越高却被归类为越冷)。接着这些真值可以用于确定应当怎样控制刹车。
    一个温度控制的例子一个温度控制的例子
    在右图中,是映射温度范围的函数。在这个刻度上的一个点有三个"真值" — 每个函数一个。对于展示的特定的温度,这三个真值可以被解释为把温度描述为,"相当冷", "有些暖" 和 "不热"。
    通常情况会采用梯形,但在作模糊回归分析时则会选用三角形的归属函数。
    模糊逻辑
    模糊逻辑(4张)
    模糊逻辑通常使用 IF/THEN 规则,或构造等价的东西比如模糊关联矩阵。
    规则通常表达为如下形式:
    IF 模糊变量 IS模糊集合THEN动作
    例如,一个非常简单的使用风扇的温度调节器:
    IF 温度 IS 非常冷 THEN 停止风扇
    IF 温度 IS 冷 THEN 减速风扇
    IF 温度 IS 正常 THEN 保持现有水平
    IF 温度 IS 热 THEN 加速风扇
    注意没有 "ELSE"。所有规则都被求值,因为温度在不同程度上可以同时是"冷"和"正常"。
    在模糊逻辑中存在着布尔逻辑的 AND、OR 和 NOT运算符,它们通常定义为最小、最大和求补;在以这种方式定义它们的时候,它们叫做Zadeh 运算符,因为它们是在 Zadeh 最初论文中首次定义的。对于模糊变量 x 和 y:
    NOT x = (1 - truth(x))x AND y = minimum(truth(x), truth(y))x OR y = maximum(truth(x), truth(y))还可以应用叫做hedges的更贴近自然语言其他的运算符。一般性的副词如"非常"或"有点"能使用数学公式修改集合的内涵。

    编程语言

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    在应用中,编程语言 ProLog 由于有架设被演绎逻辑问讯的"规则"的数据库设施而很适合实现模糊逻辑。这种编程叫做逻辑编程

    其他例子

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    如果一个人的高度是 1.8 米,把他考虑为高:
    IF male IS true AND height >= 1.8 THEN is_tall IS true
    IF male IS true AND height >= 1.8 THEN is_short IS false
    但上述的定义却是不现实的。因此,在模糊规则下,在高和矮之间不做明显的区分:
    IF height >= medium male THEN is_short IS agree somehow
    IF height >= medium male THEN is_tall IS agree somehow
    在模糊的情况下,没有像 1,83 米这样的高度,只有模糊值,比如下列赋值:
    dwarf male = [0, 1.3]
    msmall male = (1.3, 1.5]
    medium male = (1.5, 1.8]
    tall male = (1.8, 2.0]
    giant male > 2.0 m对于结论,也不只是两个值,而是五个:
    agree not = 0
    agree little = 1
    agree somehow = 2
    agree alot = 3
    agree fully = 4
    在二值或"脆弱"的情况下,高度为 1.79 米的一个人可能被认为是矮。如果另一个人的高度是 1.8 米或 2.25 米,这些人才被当作是高。
    这个脆弱的例子故意的区别于模糊的例子。我们在前提中不能放置
    IF male >= agree somehow AND ...因为性别经常被认为是二值信息。所以不象身高这么复杂。

    转载于:https://www.cnblogs.com/lvdongjie/p/6825083.html

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  • 模糊逻辑学习--什么是模糊逻辑

    千次阅读 2020-06-28 10:59:16
    模糊逻辑的描述 近年来,模糊逻辑的应用数量和种类已大大增加。应用范围从消费产品(例如相机,便携式摄像机,洗衣机和微波炉)到工业过程控制,医疗仪器,决策支持系统和产品组合选择。 要了解为什么增加了模糊...

    这里推荐搭建先看这个ppt,再看后面matlab的实现,这样你会很清晰,为了赚点积分,这里设置一下积分,抱歉大家了。

    详细讲解模糊逻辑的ppt

    模糊逻辑的描述

    近年来,模糊逻辑的应用数量和种类已大大增加。应用范围从消费产品(例如相机,便携式摄像机,洗衣机和微波炉)到工业过程控制,医疗仪器,决策支持系统和产品组合选择。

    要了解为什么增加了模糊逻辑的使用,您必须首先了解模糊逻辑的含义。

    模糊逻辑有两种不同的含义。从狭义上讲,模糊逻辑是一个逻辑系统,是多值逻辑的扩展。但是,从广义上讲,模糊逻辑(FL)几乎与模糊集理论同义,模糊集理论涉及具有不清晰边界的对象类,其中隶属度是一个问题。从这个角度来看,模糊逻辑的狭义含义是FL的一个分支。即使模糊逻辑的定义比较狭窄,其概念和实质也与传统的多值逻辑系统不同。

    在Fuzzy Logic Toolbox™软件中,模糊逻辑应解释为FL,即广义上的模糊逻辑。在模糊逻辑基础中非常清楚地解释了FL的基本思想。可以添加的是,FL的基本概念是语言变量的概念,即,其值是单词而不是数字的变量。实际上,FL的大部分可以被视为一种使用单词而不是数字进行计算的方法。尽管单词本质上不如数字精确,但是它们的使用更接近于人类的直觉。此外,用文字进行计算会利用不精确的容忍度,从而降低了解决方案的成本。

    FL的另一个基本概念在大多数应用中起着核心作用,它是模糊的if-then规则或简单的模糊规则。尽管基于规则的系统在人工智能(AI)中的使用已有很长的历史,但此类系统中缺少的是一种处理模糊结果和模糊先例的机制。在模糊逻辑中,这种机制由模糊规则的演算提供。模糊规则的演算可作为所谓的模糊依赖和命令语言(FDCL)的基础。尽管FDCL没有在工具箱中明确使用,但它实际上是其主要组成部分之一。在模糊逻辑的大多数应用中,实际上,模糊逻辑解决方案是将人类解决方案转换为FDCL。

    可见性的趋势与模糊逻辑结合神经计算和遗传算法的使用有关。更一般地,模糊逻辑,神经计算和遗传算法可以被视为所谓的软计算的主要组成部分。与传统的硬计算不同,软计算可以适应现实世界的不精确性。软计算的指导原则是:利用不精确性,不确定性和部分真理的容忍度,以实现可处理性,鲁棒性和较低的解决方案成本。将来,软计算在MIQ(机器IQ)远高于传统方法设计的系统的系统的概念和设计中将扮演越来越重要的角色。

    在软计算方法的各种组合中,目前具有最高可见性的是模糊逻辑和神经计算,从而导致了神经模糊系统。在模糊逻辑中,这样的系统在根据观察结果推导规则方面起着特别重要的作用。Roger Jang博士为此目的开发的一种有效方法称为ANFIS(自适应神经模糊推理系统)。此方法是工具箱的重要组成部分。

    模糊逻辑全都与精度的相对重要性有关:当一个粗​​略的答案可以做到时,正确正确到底有多重要?

    您可以使用MATLAB模糊逻辑工具箱软件®技术计算软件作为解决与模糊逻辑问题的工具。模糊逻辑是一个引人入胜的研究领域,因为它在权衡重要性和精确度之间做出了出色的工作,这是人类已经管理了很长时间的事情。

    从这个意义上讲,模糊逻辑是古老而又新的,因为尽管模糊逻辑的现代和方法科学还很年轻,但是模糊逻辑的概念仍依赖于人类推理的古老技能。

    模糊逻辑是将输入空间映射到输出空间的便捷方法。将输入映射到输出是一切的起点。请考虑以下示例:

    • 有了有关您在餐馆的服务质量如何的信息,模糊逻辑系统可以告诉您小费应该是多少。

    • 根据您想要的水温规格,模糊逻辑系统可以将水龙头阀门调整到正确的设置。

    • 借助有关照片主题距离的信息,模糊逻辑系统可以为您对焦。

    • 借助有关汽车行驶速度和电动机工作强度的信息,模糊逻辑系统可以为您换挡。

    下图显示了输入输出映射的图形示例。

    为了确定适当的小费数量,需要将输入映射到适当的输出。在输入和输出之间,上图显示了一个黑框,其中可以包含许多东西:模糊系统,线性系统,专家系统,神经网络,微分方程,插值的多维查找表,甚至是精神顾问,仅用于列举一些可能的选项。显然,这个清单可以继续下去。

    在使黑匣子工作的数十种方法中,事实证明,模糊通常是最好的方法。为什么会这样呢?正如被认为是模糊逻辑之父的洛菲·扎德(Lotfi Zadeh)所说:“几乎在每种情况下,您都可以在没有模糊逻辑的情况下生产相同的产品,但是模糊则更快,更便宜。”

    为什么要使用模糊逻辑?

    这是有关模糊逻辑的一般观察结果的列表:

    • 模糊逻辑在概念上很容易理解。

      模糊推理背后的数学概念非常简单。模糊逻辑是一种更直观的方法,没有深远的复杂性。

    • 模糊逻辑是灵活的。

      使用任何给定的系统,都可以轻松实现更多功能,而无需从头开始。

    • 模糊逻辑可以容忍不精确的数据。

      如果您仔细观察,一切都是不精确的,但更重要的是,即使仔细检查,大多数事情还是不精确的。模糊推理将这种理解建立在过程中,而不是将其附加到最后。

    • 模糊逻辑可以对任意复杂度的非线性函数进行建模。

      您可以创建一个模糊系统以匹配任何一组输入输出数据。通过诸如模糊逻辑工具箱软件中可用的自适应神经模糊推理系统(ANFIS)之类的自适应技术,使此过程特别容易。

    • 模糊逻辑可以建立在专家的经验之上。

      与采用训练数据并生成不透明的,不可渗透的模型的神经网络形成鲜明对比的是,模糊逻辑使您可以依靠已经了解您的系统的人员的经验。

    • 模糊逻辑可以与常规控制技术混合。

      模糊系统不一定能取代传统的控制方法。在许多情况下,模糊系统会增强它们并简化其实现。

    • 模糊逻辑基于自然语言。

      模糊逻辑的基础是人类交流的基础。这一观察结果为有关模糊逻辑的许多其他陈述奠定了基础。由于模糊逻辑建立在日常语言中使用的定性描述结构的基础上,因此模糊逻辑易于使用。

    最后一句话也许是最重要的,值得更多讨论。数以千计的人类历史已经将普通人每天使用的自然语言变得方便和有效。用普通语言写的句子代表着有效沟通的胜利。

    何时不使用模糊逻辑

    模糊逻辑不是万灵药。什么时候不应该使用模糊逻辑?最安全的陈述是本导言中的第一个陈述:模糊逻辑是将输入空间映射到输出空间的便捷方法。如果发现不方便,请尝试其他方法。如果已经存在一个更简单的解决方案,请使用它。模糊逻辑是常识的编纂–在实现常识时使用常识,您可能会做出正确的决定。例如,许多控制器在不使用模糊逻辑的情况下做得很好。但是,如果您花时间熟悉模糊逻辑,您会发现它可以是一种非常强大的工具,可以快速有效地处理不精确性和非线性。

    模糊逻辑工具箱软件可以做什么?

    您可以使用Fuzzy Logic Toolbox软件创建和编辑模糊推理系统。您可以使用图形工具或命令行功能来创建这些系统,也可以使用聚类或自适应神经模糊技术自动生成它们。

    如果你有机会到Simulink的®软件,您可以轻松地以方框图的模拟环境测试模糊系统。

    该工具箱还使您可以直接运行自己的独立C程序。独立的模糊推理引擎可以实现这一点,该引擎可以读取从MATLAB会话中保存的模糊系统。您可以自定义独立引擎,以将模糊推理构建到自己的代码中。所有提供的代码是ANSI ®标准。

    由于MATLAB环境具有集成性,因此您可以创建自己的工具来自定义工具箱或将其与其他工具箱一起使用,例如控制系统工具箱™,神经网络工具箱™或优化工具箱™软件

    展开全文
  • 模糊信息与模糊逻辑

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    模糊信息与模糊逻辑,潘小东,,经过近五十年的发展, 以模糊集合为基础的模糊信息处理的理论和方法取得了长足的进步, 获得了许多重要的研究成果. 但是, 它的理论基�
  • 模糊逻辑学习--模糊逻辑的基础

    千次阅读 2020-06-28 19:58:33
    模糊逻辑的基础 总览 模糊逻辑的重点是将输入空间映射到输出空间,而执行此操作的主要机制是一系列if-then语句(称为规则)。所有规则都是并行评估的,规则的顺序并不重要。规则本身很有用,因为它们引用变量和...

    这里推荐搭建先看这个ppt,再看后面matlab的实现,这样你会很清晰,为了赚点积分,这里设置一下积分,抱歉大家了。

    详细讲解模糊逻辑的ppt

    模糊逻辑的基础

    总览

    模糊逻辑的重点是将输入空间映射到输出空间,而执行此操作的主要机制是一系列if-then语句(称为规则)。所有规则都是并行评估的,规则的顺序并不重要。规则本身很有用,因为它们引用变量和描述这些变量的形容词。在构建解释规则的系统之前,必须定义计划使用的所有术语以及描述它们的形容词。要说水很热,您需要定义水的温度可以预期变化的范围以及“  ”一词的含义。。下图提供了模糊推理过程的路线图。它在左侧显示了模糊系统的一般说明,在右侧显示了特定的模糊系统。

    为了概括该图中描述的模糊推理的概念,模糊推理是一种解释输入向量中的值并基于一组规则将值分配给输出向量的方法。

    本主题通过对模糊逻辑的理论和实践进行介绍,逐步指导您完成模糊逻辑过程。

    模糊集

    模糊逻辑从模糊集的概念开始。甲模糊集合是一组不具有脆,明确定义的边界。它只能包含部分元素隶属度。

    要了解什么是模糊集,首先要考虑经典集的定义。经典集是一个完全包含或完全排除任何给定元素的容器。例如,星期几无疑包括星期一,星期四和星期六。毫无疑问,它不包括黄油,自由和背鳍,等等。

    这种类型的集合称为经典集合,因为它已经存在很长时间了。最初是由亚里斯多德(Aristotle)制定了排除中间定律,该定律说X必须位于A组或非A组中。该法律的另一个版本是:

    在任何主题中,必须断言或否认一件事。

    要用注解重述该法律:“在任何主题(例如星期一)中,必须声明或拒绝(一周中的一天)(我断言星期一是一周中的一天)。” 这项法律要求相反的两个类别A和非A必须包含整个宇宙。一切都归为一组。既不是星期几又不是星期几。

    现在,考虑组成一个周末的几天。下图尝试对周末进行分类。

     

    大多数人都同意星期六和星期日属于,但是星期五呢?感觉就像是周末的一部分,但是从某种意义上讲,应该从技术上排除它。因此,在上图中,星期五尽最大努力“跨界”。古典或普通集不能容忍这种分类。里面有东西进出了。人类的经验表明,情况有所不同,但是,跨越栅栏是生活的一部分。

    当然,在定义什么构成周末时,必须考虑个人的看法和文化背景。甚至字典也不精确,将周末定义为星期五晚上或星期六到星期一早上。您正在进入边缘化的领域,是的,没有逻辑停止提供帮助。当您与人们如何真正理解概念周末(而不是仅用于会计目的的简单思维分类)一起工作时,模糊推理才变得非常有价值。最重要的是,以下陈述为模糊逻辑奠定了基础。

    在模糊逻辑中,任何陈述的真实性都取决于程度。

    任何陈述都可以是模糊的。模糊推理提供的主要优点是能够用不完全是或不是的答案回答是不是的问题。人类一直在做这种事情(想想看似简单的问题,您很少能得到一个直接的答案),但这对于计算机来说是一个相当新的技巧。

    它是如何工作的?模糊逻辑中的推理只是推广熟悉的“是-否”(布尔)逻辑的问题。如果将数值1设置为true,将数值0设置为false,则表明模糊逻辑也允许介于0.2和0.7453之间的值。例如:

    问:星期六是周末吗?
    答:1(是或否)
    问:星期二是周末吗?
    答:0(否或否)
    问:星期五是周末吗?
    答:0.8(在大多数情况下是肯定的,但不完全是)
    问:星期日是周末吗?
    答:0.95(是,但不如星期六多)。

    左下图显示了如果您被迫做出绝对肯定或否定的回应,则表示周末的真实值。右边是一个图,该图显示了如果允许您使用介于中间值之间的模糊值进行响应,则表明周末的真实值。

     

    从技术上讲,右侧的表示法来自多值逻辑(或多价逻辑)领域。如果您问“ X是集合A的成员吗?”的问题。答案可能是“是”,“否”或介于两者之间的一千个中间值中的任何一个。因此,X可能在A中具有部分成员资格。多值逻辑与更熟悉的二值(或二价是或否)逻辑概念形成鲜明对比。

    回到该示例,现在考虑以下图表所示的周末休假时间的连续刻度时间图。

    通过使绘图连续进行,您可以定义周末(而不是一整天)中任何给定瞬间的归属程度。在左侧的图中,请注意,在星期五的午夜,就像秒针扫过12一样,周末意识真值从0到1不连续跳动。这是定义周末的一种方法,虽然它可能是对于会计师很有用,它可能与您在周末的真实世界体验并没有真正的联系。

    右边的图显示了一条平滑变化的曲线,这说明了以下事实:整个星期五,并且在较小程度上包括星期四的一部分,都参与了周末的质量,因此值得在模糊的周末集中使用部分成员资格片刻。定义任何时间瞬间的周末度的曲线是将输入空间(一周中的时间)映射到输出空间(周末度)的函数。具体来说就是所谓的会员制功能。有关更详细的讨论,请参见隶属函数MF)。

    作为模糊集的另一个示例,请考虑季节问题。现在是哪个季节?在北半球,当北极最直接指向太阳时,夏季正式开始于地球轨道的确切时刻。它每年一次,每年六月末。使用该季节的天文定义,您将获得清晰的边界,如下图左侧所示。但是,随着季节的变化,您所体验到的或多或少会不断变化,如下图右图所示(在北半球温带气候中)。

    隶属函数MF)

    一个隶属函数(MF)是一条曲线,它定义了输入空间中的每个点如何映射到0到1之间的隶属度值(或隶属度)。输入空间有时被称为“话语范围”,这是简单名称的奇特名称概念。

    高个子集是最常用的模糊集示例。在这种情况下,话语范围是所有可能的高度,例如从3英尺到9英尺,而“高”这个词将对应于定义任何人的高大程度的曲线。如果给高个子人群定义了一组经典的定义清晰的边界,那么您可以说所有高于6英尺的人都被正式认为是高个子。但是,这样的区别显然是荒谬的。考虑所有大于6的实数的集合可能是有道理的,因为数字属于抽象平面,但是当我们要谈论真实的人时,当一个人的身高不同时,称一个人为矮而另一个人为高是不合理的头发的宽度。

    如果以前显示的那种区分是行不通的,那么定义高个子人群的正确方法是什么?与周末的情节非常相似,下图显示了从不高到高的平滑变化曲线。输出轴是一个数字,称为0到1之间的隶属值。该曲线称为隶属函数,通常指定为µ。该曲线定义了从不高到高的过渡。两个人的身高都有一定程度,但一个人的身材却明显低于另一个人。

    主观解释和适当的单位直接内置到模糊集中。如果您说“她很高”,则身高较高的成员身份功能应该已经考虑到您是指六岁还是成年女性。同样,单位包括在曲线中。当然说“她是身高英寸还是米?”毫无道理。

    模糊逻辑工具箱软件中的隶属函数

    隶属函数必须真正满足的唯一条件是,它必须在0到1之间变化。函数本身可以是任意曲线,从简单性,便利性,速度,和效率。

    经典集可以表示为

    A = { x | x > 6}

    模糊集是经典集的扩展。如果X是论述的宇宙,并且其元素由x表示,则X中的模糊集A定义为一组有序对。

    A = { x,µ A  | X ∈X}

    μ A(X)被调用的隶属函数(或MF)X A中的隶属函数X的每个元素映射到0和1之间的隶属函数值。

    该工具箱包含11种内置的隶属函数类型。这11个功能又由几个基本功能构成:

    • 分段线性函数

    • 高斯分布函数

    • S形曲线

    • 二次和三次多项式曲线

    有关接下来提到的任何成员资格功能的详细信息,请参见相应的参考页。按照惯例,所有成员函数mf的名称末尾都有字母。

    最简单的隶属函数是使用直线形成的。在这些函数中,最简单的是三角隶属函数,并且函数名称为trimf。此功能无非是构成三角形的三个点的集合。的梯形隶属函数trapmf,具有平坦的顶部,实际上只是截断的三角形曲线。这些直线隶属函数具有简单性的优点。

    两个隶属函数建立在 高斯分布曲线:简单的高斯曲线和两条不同高斯曲线的两侧合成。这两个功能是gaussmf 和 gauss2mf

    广义钟隶属函数由三个参数指定的,具有函数名gbellmf。贝尔隶属度函数比高斯隶属度函数多一个参数,因此,如果调整了自由参数,它可以接近非模糊集。由于它们的平滑性和简洁性,高斯和贝尔隶属度函数是用于指定模糊集的流行方法。这两条曲线都具有在所有点都平滑且非零的优点。

    尽管高斯隶属函数和三角隶属函数达到平滑性,它们无法指定不对称的隶属函数,这在某些应用程序中很重要。接下来,定义S形隶属函数,可以向左或向右打开。可以使用两个S形函数来合成非对称和闭合(即,向左或向右敞开)的隶属度函数,因此除了基本sigmf,两个S形函数也有区别, dsigmf,以及两个S形函数的乘积 psigmf

    基于多项式的曲线说明了工具箱中的多个隶属函数。三个相关的隶属函数是Z,S Pi曲线,均因其形状而得名。功能 zmf 是向左敞开的非对称多项式曲线, smf 是向右打开的镜像功能,并且 pimf 在两个极端中都为零,中间是上升。

    选择会员功能时,有很多选择。您也可以使用工具箱创建自己的会员功能。但是,如果基于扩展的隶属函数的列表看起来过于复杂,请记住,您可能只需要与一种或两种类型的隶属函数(例如三角形和梯形函数)相处得很好。对于希望探索可能性的人来说,选择范围很广,但是对于良好的模糊推理系统而言,不需要扩展的隶属函数。最后,请记住在参考部分中所有这些功能都有更多详细信息。

    隶属函数总结:

    • 模糊集描述了模糊的概念(例如,快速奔跑者,炎热的天气,周末)。

    • 模糊集承认其中有部分成员资格的可能性。(例如,星期五有点像周末,天气很热)。

    • 对象属于模糊集的程度由介于0和1之间的隶属度值表示(例如,星期五是度为0.8的周末)。

    • 与给定模糊集关联的隶属度函数将输入值映射为其适当的隶属度。

    逻辑运算

    既然您已经了解了模糊推理,那么您需要了解模糊推理如何与逻辑运算联系起来。

    关于模糊逻辑推理,最重要的认识是它是标准布尔逻辑的超集。换句话说,如果将模糊值保持在1(完全为真)和0(完全为假)的极值,则将保持标准逻辑运算。例如,请考虑以下标准真值表。

    现在,因为在模糊逻辑中任何陈述的真实性都是一个程度的问题,这些真实性表是否可以更改?输入值可以是0到1之间的实数。什么函数保留了结果AND真值表(例如)还扩展到0到1之间的所有实数?

    一个答案是最小运算。即,使用函数minAB)解析语句A AND B,其中AB限制在范围(0,1 )中。使用相同的推理,可以用max函数替换OR操作,以便A OR B等于maxA,B)。最后,NOT A操作等同于该操作1 − A。请注意,通过此替换,以前的真值表是如何完全不变的。

    此外,由于真值表后面有一个函数,而不仅仅是真值表本身,因此您现在可以考虑1和0以外的值。

    下图使用图形显示相同的信息。在此图中,真值表被转换为两个模糊集的图,这两个模糊集一起应用以创建一个模糊集。图的上部显示与前面的二值真值表相对应的图,而图的下部显示根据定义的模糊运算,运算如何在真值AB的连续变化范围内工作。

    给定这三个功能,您可以使用模糊集和模糊逻辑运算AND,OR和NOT来解析任何构造。

    附加模糊运算符

    在这种情况下,您只能为AND定义二值和多值逻辑运算之间的一种特殊对应关系,或,而不是。这种对应绝不是唯一的。

    一般而言,您要定义的是模糊交集或并(AND),模糊并集或析取(OR)和模糊补码(NOT)。这些函数的经典运算符为:AND = min,OR = max和NOT =可加补码。通常,大多数模糊逻辑应用程序都会利用这些操作,而不必管它。但是,一般而言,这些功能在任意程度上都是任意的。如上图所示,Fuzzy Logic Toolbox™软件将经典运算符用于模糊补码,但也使您能够自定义AND和OR运算符。

    通常通过二进制映射T来指定两个模糊集AB的交集,该映射将两个隶属函数汇总如下:

     

     

    第一个要求将正确的概括强加给清晰集。第二个要求意味着AB中的隶属度值的减少不能导致A交集B中的隶属度值的增加。第三个要求表明,运算符对要组合的模糊集的顺序无动于衷。最后,第四项要求使我们能够以成对分组的任何顺序获取任意数量的集合的交集。

    像模糊交集一样,模糊联合运算符通常由二进制映射S指定:

    过去已经提出了一些参数化t规范和双T-conorm,如文献中发现的Yager[10]、Dubois和Prade[1]、Schweizer和Sklar[7]、Sugeno[8]。每一种都提供了一种改变函数增益的方法,使得增益可以是非常受限的,也可以是非常宽松的。 

    如果-那么规则

    模糊集和模糊算子是模糊逻辑的主语和动词。这些if-then规则语句用于制定包含模糊逻辑的条件语句。

    一条模糊的if-then规则采用以下形式

    if x is A then y is B

    如果xAyB

    其中AB是分别由X和Y范围(话语的宇宙)上的模糊集定义的语言值。规则“ xA ” 的if部分称为先行词或前提,则规则“ yB ” 的然后部分称为结果或结论。这样的规则的一个例子可能是

    If service is good then tip is average

    如果服务很好,那么小费是平均水平

    概念被表示为0和1之间的数,所以先行的是,返回一个单一的数字0和1之间相反地,解释平均被表示为一模糊集,所以由此产生的是一个赋值来分配整个模糊集B为输出变量y。在if-then规则中,根据该词出现在先行词还是后继词,以两种完全不同的方式使用该词。在MATLAB ®而言,这种用法是使用“==”关系测试,并使用“=”符号的可变分配之间的区别。编写规则的一种不太混乱的方法是

    If service == good then tip = average

    如果服务==好,那么小费=平均

    通常,if-then规则的输入是输入变量的当前值(在这种情况下,为service),而输出是整个模糊集(在这种情况下,为average)。稍后将对该集合进行去模糊处理,为输出分配一个值。概念下一节将描述模糊化。

    解释一个if-then规则涉及不同的部分:第一评估先行词(其中涉及模糊化的输入并应用任何必要的模糊运营商)和第二施加该结果到由此产生的(如已知的暗示)。对于二值或二进制逻辑,if-then规则不会带来太大的困难。如果前提是正确的,那么结论是正确的。如果您放宽二值逻辑的限制,并让前项成为模糊陈述,这对结论有何反映?答案很简单。如果先行者在某种程度上是正确的,那么结果在同样程度上也是正确的。

    从而:

      在二元逻辑中:  p  →   q  (p  和  q  均为真或均为假。)
      在模糊逻辑中:0.5  p  →0.5  q  (部分前提提供部分含义)

    规则的前提可以包含多个部分。

    if sky is gray and wind is strong and barometer is falling, then ...

    如果天空是灰色的,风很强,并且晴雨表正在下降,则...

    在这种情况下,先行的所有部分将同时计算,并使用上一节中所述的逻辑运算符解析为一个数字。规则的结果也可以包含多个部分。

    if temperature is cold then hot water valve is open and cold water valve is shut

     

    如果温度较低,则打开热水阀,然后关闭冷水阀

    在这种情况下,所有结果都将同等地受到前因结果的影响。结果如何受到前因的影响?结果指定了将模糊集分配给输出。然后,蕴涵函数将该模糊集修改为先前条件指定的程度。修改输出模糊集的最常见方法是使用min函数截断(如下图所示,将模糊集截断)或使用prod函数进行缩放(压缩输出模糊集)。工具箱都支持两者,但是本节中的示例将使用截断。

    If-Then规则摘要

    解释if-then规则是一个分为三个部分的过程。下一部分将详细说明此过程:

    1. 模糊输入:解决先决条件的隶属度在0到1之间。如果先决条件只有一部分,则这是对规则的支持度。

    2. 将模糊运算符应用于多个零件前提:如果该前提有多个零件,则应用模糊逻辑运算符并将该前提解析为0到1之间的单个数字。这是对规则的支持程度。

    3. 应用蕴涵方法:使用整个规则的支持程度来塑造输出模糊集。模糊规则的结果将整个模糊集分配给输出。该模糊集由隶属度函数表示,该隶属度函数被选择为指示结果的质量。如果前提仅部分为真(即,为其分配的值小于1),则根据蕴涵方法将输出模糊集截断。

    通常,仅一条规则是无效的。需要两个或多个可以相互抵消的规则。每个规则的输出是一个模糊集。然后将每个规则的输出模糊集聚合为一个输出模糊集。最终,对结果集进行去模糊处理,或解析为单个数字。Build Mamdani Systems(GUI)展示了一种称为a的特定类型的模糊推理系统从头到尾的整个过程。Mamdani型

    References

    [1] Dubois, D. and H. Prade, Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications, Academic Press, New York, 1980.

    [2] Kaufmann, A. and M.M. Gupta, Introduction to Fuzzy Arithmetic, V.N. Reinhold, 1985.

    [3] Lee, C.-C., "Fuzzy logic in control systems: fuzzy logic controller-parts 1 and 2," IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Vol. 20, No. 2, pp 404-435, 1990.

    [4] Mamdani, E.H. and S. Assilian, "An experiment in linguistic synthesis with a fuzzy logic controller," International Journal of Man-Machine Studies, Vol. 7, No. 1, pp. 1-13, 1975.

    [5] Mamdani, E.H., "Advances in the linguistic synthesis of fuzzy controllers," International Journal of Man-Machine Studies, Vol. 8, pp. 669-678, 1976.

    [6] Mamdani, E.H., "Applications of fuzzy logic to approximate reasoning using linguistic synthesis," IEEE Transactions on Computers, Vol. 26, No. 12, pp. 1182-1191, 1977.

    [7] Schweizer, B. and A. Sklar, "Associative functions and abstract semi-groups," Publ. Math Debrecen, 10:69-81, 1963.

    [8] Sugeno, M., "Fuzzy measures and fuzzy integrals: a survey," (M.M. Gupta, G. N. Saridis, and B.R. Gaines, editors) Fuzzy Automata and Decision Processes, pp. 89-102, North-Holland, NY, 1977.

    [9] Sugeno, M., Industrial applications of fuzzy control, Elsevier Science Pub. Co., 1985.

    [10] Yager, R., "On a general class of fuzzy connectives," Fuzzy Sets and Systems, 4:235-242, 1980.

    [11] Yager, R. and D. Filev, "Generation of Fuzzy Rules by Mountain Clustering," Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, Vol. 2, No. 3, pp. 209-219, 1994.

    [12] Zadeh, L.A., "Fuzzy sets," Information and Control, Vol. 8, pp. 338-353, 1965.

    [13] Zadeh, L.A., "Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision processes," IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Vol. 3, No. 1, pp. 28-44, Jan. 1973.

    [14] Zadeh, L.A., "The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning, Parts 1, 2, and 3," Information Sciences, 1975, 8:199-249, 8:301-357, 9:43-80.

    [15] Zadeh, L.A., "Fuzzy Logic," Computer, Vol. 1, No. 4, pp. 83-93, 1988.

    [16] Zadeh, L.A., "Knowledge representation in fuzzy logic," IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering, Vol. 1, pp. 89-100, 1989.

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  • 【update】下一篇博客我将会讲如何用这篇博客的模糊推理过程构建一个图像边缘检测的模糊推理系统~~~ ... 这是我的一项大作业,两篇博客加...一、经典逻辑和模糊逻辑 如果想看模糊数学的数学干货讲义,强推这一PPT:Fu...

    【update】下一篇博客我将会讲如何用这篇博客的模糊推理过程构建一个图像边缘检测的模糊推理系统~~~

    链接:https://blog.csdn.net/luolan9611/article/details/94296622

    这是我的一项大作业,两篇博客加起来有写实验报告和代码,并有做PPT,下载链接见博客最后。

    一、经典逻辑和模糊逻辑

    如果想看模糊数学的数学干货讲义,强推这一PPT:Fuzzy Mathematics and Its in Technology,见博客最后的下载链接中:模糊系统/资料搜集/Fuzzy_Mathematics_and_Its_Importance_in.pptx

     经典逻辑(布尔逻辑)坚持所有事物(陈述)都可以用二元项(0或1,黑或白,是或否)来表达,而模糊逻辑用隶属度替代了布尔真值,允许在包含0和1之间的集合成员关系值。这些陈述表示实际上接近于日常人们的语意陈述,因为“隶属”在多数时候是部分的,非二元的,不精确的。

    以星期四是周末吗?星期五是周末吗?这样的问题举个例子:

    经典逻辑给出的回答:是(1)/不是(0),像下面的左图,星期五在凌晨的时候对这个问题的回答是1,所以有个阶跃。

    模糊逻辑给出的回答:星期四好像不算周末吧,如果“是周末”得分为1的话,可能周四只有0.1的程度算是周末;周五算是周末的程度会高一些,虽然白天要上班但晚上就可以休息了呀,那给个0.8分好了,像下边的右图。

    同样针对于常见的身高问题来说的话,身高高,身高低,不算很高,非常高,这一系列的表述不是简单的0和1能够表达的,这样的程度的概念具有一定的模糊性,因此需要模糊集,需要模糊逻辑。

    模糊集:被定义为具有连续成员等级的一类对象。它的特征在于“隶属函数”或“特征函数”,隶属函数为模糊集的每个成员分配单位区间[0,1]中的隶属度,每个成员的隶属度构成了模糊集。

    隶属函数(Membership functions):隶属函数完全定义了模糊集,隶属函数提供元素与模糊集的相似程度的度量(隶属度),所有模糊集中的关键问题之一是如何确定模糊隶属函数,可以

    1.根据用户的经验,由用户任意选择(两个用户选择的隶属函数可能根据他们的经验,观点等而有所不同,还是拿周末的那个图为例,越临近周六周日,属于周末的程度就越高,这个具体的值跟不同地区的文化、人们的认可度、个人感觉等等相关,有人觉得周五算周末的程度为0.7,有人会觉得是0.9。)

    2.或者使用机器学习方法设计(例如,人工神经网络,遗传算法等)

    3.隶属函数可以采用任何形式,一些常见的有三角形,梯形,分段线性,高斯,钟形等隶属函数

    隶属度:元素与模糊集的相似程度的度量,通过隶属函数得到。取值在0-1之间。

    模糊运算: 常见的模糊集之间的运算:AND取小,OR取大,NOT取1-A

    模糊逻辑是处理部分真实概念的布尔逻辑扩展,模糊逻辑事实上是标准布尔逻辑的超集:

    第一行是布尔逻辑中的二元真值表,以模糊集的边界0和1这种极端情况进行AND.OR.NOT逻辑运算(如第二行图,AND取小,OR取大,NOT取1-A),可以发现取得的结果和布尔逻辑的结果是相同的。

    用绘制的图像把二值(经典)和多值(模糊)表示一下:

     

    二、隶属度不是概率

    在模糊逻辑中,任何陈述的真实性都是程度问题。模糊隶属度表示在模糊定义的集合中的成员隶属关系,而不是某事件或条件的可能性。举个例子:

    小明在阶梯教室401上模糊系统课程,在很多情况下,小明是否在 “在阶梯教室401中”这一集合内是完全明确的,他要么“在阶梯教室401中”要么“不在阶梯教室401中”。

    但小明站在门口的时候怎么办呢?

    可以被认为是“部分在阶梯教室401中”。量化这个部分的表述就会产生一个模糊集合成员关系。比如,只有他的小脚趾在阶梯教室401,我们可以说小明是0.01“在阶梯教室401中”。只要他站在了门口,概率问题是不能解决他完全的“在阶梯教室401”或“不在阶梯教室401”这一问题的。

    从上可见模糊集合是基于集合的模糊来定义的而不是随机性。

    三、模糊逻辑的应用

    家电控制系统:洗衣机控制感知装载量和清洁剂浓度并据此调整洗涤周期等, 一个模糊逻辑洗衣机的应用: 

                             http://www.bel.utcluj.ro/dce/didactic/sln/lab_eng/5WashingMachine/html/washing_machine.html

    模糊图像处理:噪声检测和移除、边缘检测、图像分割等

    汽车刹车控制系统、航空航天飞行器控制系统等


    四、模糊推理过程——以小费推理系统为例

        以一个两输入单输出的小费推理系统为例,餐厅的服务质量10分为满分,食物质量10分为满分,根据服务质量和食物质量的打分,使用模糊推理推测应该给出多少小费?

    首先,写出三条给小费的法则:

            If the service is poor or the food is rancid, then tip is cheap.

            如果服务不好或者食物变质,那么小费就很便宜。

            If the service is good, then tip is average.

            如果服务好,那么小费就是平均水平。

            If the service is excellent or the food is delicious, then tip is generous.

            如果服务很好或者食物很好吃,那么小费就很慷慨了。

    假设平均小费是15% ,慷慨的小费是25% ,便宜的小费是5% 。构建的消费推理系统如下:

    我们将对食物以及服务的评分(0-10)这是确定的,通过隶属函数转换为模糊集(食物的美味程度,服务的好坏程度),根据我们定义的三条评判规则,进行并行的模糊推理,然后将每个规则的结果合并起来,再去模糊化从模糊集转到确定的消费结果。

     

    下面我将用PPT展示模糊推理的五个步骤:

    在第一步输入变量的模糊化中,隶属函数是用户自行选择的隶属函数,在上图中,食物delicious与否有一个隶属函数,当输入为8时,得到食物是delicious的隶属度为0.7。

    =========

    在第二步中,同理,excellent定义了一个隶属函数,输入为3得到的隶属度为0,意为当服务评价为3时,这个服务属于excellent的程度为0。我们可以看到服务excellent的程度和食物delicious的程度在规则or下,运用了模糊逻辑运算,取了大的那个值为结果。

    ==========

    在第三步中,我们将计算前提条件(食物好坏与服务好坏)对后件(小费多少)的影响。小费generous(定义了一个隶属函数),我们运用implication operator(蕴含算子),将前件得到的结果0.7对小费generous模糊集做一个截断,这就能够将前提的影响作用于后件。

    ==========

    对于两个输入,并行运算三个规则条件,将每个规则经过截断后的结果进行Aggregation(聚集起来),就得到了一个总的结果,如上图所示。

    ==========

    将Result of aggregation进行去模糊化(使用质心的方法),就可以得到最终的结果,应给的小费为16.7%。这个质心的方法相当于是找到这个图像面积下,平均分割左右面积的一条线,这条线所对应的横坐标的值就是16.7%。整个推理过程示意图如右边的所示。

    ===========

    本篇博客及下篇博客的PPT制作如下所示,均已上传到百度网盘:

    链接:https://pan.baidu.com/s/1AmT4TtBAxj1FKf4KUFcsBw 
    提取码:kcfe 
    复制这段内容后打开百度网盘手机App,操作更方便哦

    ===============================================================

    参考文献:

    是Matlab官网的哈哈 https://ww2.mathworks.cn/help/fuzzy/getting-started-with-fuzzy-logic-toolbox.html

    大概先写这么多吧,去写下一篇啦,资料整理好了下载链接会一起传上来哒,可爱。

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