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    https://baike.baidu.com/item/%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%B7%E7%A9%BA%E9%97%B4/8281167?bk_fr=chain_summary&timestamp=1593781295173&fromtitle=%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%E7%A9%BA%E9%97%B4&fromid=785521

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  • 欧几里得空间,希尔伯特空间,巴拿赫空间或者是拓扑空间都属于函数空间。函数空间 = 元素 + 规则 ,即一个函数空间由元素与元素所满足的规则定义,而要明白这些函数空间的定义首先得从距离,范数,内积,完备性等...

          欧几里得空间,希尔伯特空间,巴拿赫空间或者是拓扑空间都属于函数空间。函数空间 = 元素 + 规则 ,即一个函数空间由 元素 与 元素所满足的规则 定义,而要明白这些函数空间的定义首先得从距离范数内积完备性等基本概念说起。


    一.距离
           说到距离,我们首先想到的是点与点之间的距离,除此之外还有向量之间的距离,曲线之间的距离,函数之间的距离…。这儿谈到 距离 的定义是一种泛指的概念。点与点之间的距离 与 距离 就类似于苹果与水果之间的关系。距离 这个概念的作用主要用于衡量同一空间不同元素之间的差异情况,从这个出发点我们可以得到关于距离的一些属性:

    1)元素之间的距离大于等于0,若距离等于0则为相同元素。
    2)元素A到B之间的距离等于元素B到A之间的距离。
    3)元素之间的距离满足三角不等式。

    二.范数
           范数 是比 距离 限制条件更多的一个概念。为了形象地解释范数的概念,这儿在二维平面进行说明。
           在定义了 距离 这个概念之后,我们便可以描述二维平面上两个点之间的 距离 ,此时这个空间称作 度量空间 。但目前的条件没有办法描述一个点的“长度” ,因为缺少了 零点 。而范数定义之后此空间便多了一个零点,可以联想我们熟悉的平面直角坐标系,二维平面中范数可以看做是平面中的点到零点的距离。拥有范数的空间称作赋范空间,因为范数的概念是在距离的概念上加了新的限制,则赋范空间一定是度量空间。

    定义范数和距离一样也要满足一些要求:

    (1)非负性:||x||≥0;

    (2)||ax||=|a| ||x||,即里面的数乘可以提出来;

    (3)三角不等式:||x||+||y||≤||x+y||。

    我们依然可以任意定义范数,只要满足以上三条。

    三.线性
           线性这个概念可以说是很熟悉了,即为加法与乘法的结合。若一个空间为线性空间,只要我们知道了此空间的所有基,便可以用加法与数乘表示这一空间所有的元素,如二维平面中能用X轴的单位向量与Y轴的单位向量表示此平面的任意向量。

    四.内积
           内积又称点积或者数量积,在高中学习向量的点乘运算时便接触到这一概念。在有了前面的定义之后的空间总觉得与我们最熟悉的空间还差点什么,没错,就是角度。在引入内积之后的空间便有了角度的概念。X XX与Y YY的内积用符号(X,Y) (X,Y)(X,Y)表示,内积的结果同样是为实数。内积是在范数的概念上加了更多限制条件,即内积空间一定为赋范空间。

           目前为止便完成了本文的大部分内容,有限维内积空间便是我们最熟悉的欧几里得空间。

    五.完备性
           完备的意义我们可以这样理解,那就是在一个空间上我们定义了极限,但是不论你怎么取极限,它的极限的值都不会跑出这个空间,那么这个空间就是完备空间


    5.1 线性完备赋范空间称作===>巴拿赫空间

    5.2 线性完备内积空间称===>希尔伯特空间,任何一个希尔伯特空间都是巴拿赫空间
    5.3 有限维线性内积空间称作===>欧几里得空间

     

    只有加法和数乘就是线性空间。定义了距离的线性空间就是线性度量空间。再更具体一点定义了范数,就是赋范空间。再多定义一个内积,就是内积空间。那希尔伯特空间呢,就是再多定义一个完备性

                    线性空间(向量空间)–> 度量空间 –> 赋范向量空间 –> 内积空间 –完备的–> 希尔伯特空间 。

     欧几里德空间是希尔伯特空间的一个重要特例(有限维度)。
    拓扑空间————没有距离;

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  • 欧几里得空间与希尔伯特空间

    万次阅读 多人点赞 2018-07-27 13:09:15
     ... 多年以前学信号与系统的时候就听说过希尔伯特空间,但是一直不清楚这究竟是个什么东西,然而它却老是时不时在你学得最欢的时候冒出来搞得人一头雾水,于是今天专

           多年以前学信号与系统的时候就听说过希尔伯特空间,但是一直不清楚这究竟是个什么东西,然而它却老是时不时在你学得最欢的时候冒出来搞得人一头雾水,于是今天专门花了很多时间总算对其概念有了一些基本的了解。本文整理自上海交通大学王维克教授的公开课,课程链接附在文末。

           欧几里得空间,希尔伯特空间,巴拿赫空间或者是拓扑空间都属于函数空间。函数空间 = 元素 + 规则 ,即一个函数空间由 元素元素所满足的规则 定义,而要明白这些函数空间的定义首先得从距离范数内积完备性等基本概念说起。


    一.距离

           说到距离,我们首先想到的是点与点之间的距离,除此之外还有向量之间的距离,曲线之间的距离,函数之间的距离…。这儿谈到 距离 的定义是一种泛指的概念。点与点之间的距离距离 就类似于苹果与水果之间的关系。距离 这个概念的作用主要用于衡量同一空间不同元素之间的差异情况,从这个出发点我们可以得到关于距离的一些属性:

    1. 元素之间的距离大于等于0,若距离等于0则为相同元素。
    2. 元素A到B之间的距离等于元素B到A之间的距离。
    3. 元素之间的距离满足三角不等式。

    满足以上三条属性即可称作元素之间的距离,其正式定义如下

          设X是一个非空集合,任给一对这一集合的元素 X , Y X,Y X,Y。都给定一个实数 d ( X , Y ) d(X,Y) d(X,Y) 与之对应,并且满足

    1. d ( X , Y ) ≥ 0 ; d ( X , Y ) = 0 ⇔ X = Y ; d(X,Y) \ge 0 ; \quad d(X,Y) =0 \Leftrightarrow X=Y ; d(X,Y)0;d(X,Y)=0X=Y;
    2. d ( X , Y ) = d ( Y , X ) ; d(X,Y)=d(Y,X); d(X,Y)=d(Y,X);
    3. d ( X , Y ) ≤ d ( X , Z ) + d ( Y , Z ) ; d(X,Y) \le d(X,Z)+d(Y,Z); d(X,Y)d(X,Z)+d(Y,Z);

    则称 d ( X , Y ) d(X,Y) d(X,Y)是元素X,Y之间的距离

    二.范数

           范数 是比 距离 限制条件更多的一个概念。为了形象地解释范数的概念,这儿在二维平面进行说明。
           在定义了 距离 这个概念之后,我们便可以描述二维平面上两个点之间的 距离 ,此时这个空间称作 度量空间 。但目前的条件没有办法描述一个点的“长度” ,因为缺少了 零点 。而范数定义之后此空间便多了一个零点,可以联想我们熟悉的平面直角坐标系,二维平面中范数可以看做是平面中的点到零点的距离。拥有范数的空间称作赋范空间,用符号 ∣ ∣ X ∣ ∣ ||X|| X表示元素 X X X的范数。因为范数的概念是在距离的概念上加了新的限制,则赋范空间一定是度量空间。我们可以用范数定义距离: d ( X , Y ) = ∣ ∣ X − Y ∣ ∣ d(X,Y)=||X-Y|| d(X,Y)=XY
    总结:元素 X X X的范数 ∣ ∣ X ∣ ∣ ||X|| X可简单看做 X X X到零点的近距离。

    三.线性

           线性这个概念可以说是很熟悉了,即为加法与乘法的结合。若一个空间为线性空间,只要我们知道了此空间的所有基,便可以用加法与数乘表示这一空间所有的元素,如二维平面中能用X轴的单位向量与Y轴的单位向量表示此平面的任意向量。

    四.内积

           内积又称点积或者数量积,在高中学习向量的点乘运算时便接触到这一概念。在有了前面的定义之后的空间总觉得与我们最熟悉的空间还差点什么,没错,就是角度。在引入内积之后的空间便有了角度的概念。 X X X Y Y Y的内积用符号 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)表示,内积的结果同样是为实数。内积是在范数的概念上加了更多限制条件,即内积空间一定为赋范空间,同样的,可以用内积定义范数如下: ∣ ∣ X ∣ ∣ 2 = ( X , X ) ||X||^2 = (X,X) X2=(X,X)
           目前为止便完成了本文的大部分内容,有限维内积空间便是我们最熟悉的欧几里得空间。

    五.完备性

           完备性这个概念的历史渊源比较深厚,作为非数学专业的工科生我也不太明白完备性的具体含义,简单来说对集合中的元素取极限不超出此空间便称其具有完备性。可以反向地通过不完备来理解完备性,对于整数集而言,对5取极限,便会超出整数集,即整数集不完备。
    2018-10-22更正: 最近学了一点泛函,对完备性有了新的理解。完备性是在极限的基础上衍生的概念。例如在有理数集上的一个序列{1,1.4,1.41,1.414,1.4142…},可知此序列极限为 2 \sqrt{2} 2 ,而 2 \sqrt{2} 2 为无理数,不属于有理数集,即有理数集不具备完备性。

    有了以上的概念理解众多迷糊人的空间便容易得多了

    1. 线性完备内积空间称作希尔伯特空间
    2. 线性完备赋范空间称作巴拿赫空间
    3. 有限维线性内积空间称作欧几里得空间

           需要更加深入地理解希尔伯特空间大概避不开泛函分析,但作为工科学生,大概了解其概念够用就好。

    六.参考资料

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  • 欧氏空间与非欧氏空间

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    欧几里德首先开创了处理平面上二维物体的平面几何,接着分析三维物体的立体几何,所有欧几里德的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里德空间的抽象数学空间中。 这些数学空间可以被扩展而应用于任何有限维度,这种...

    欧氏空间

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    这些数学空间可以被扩展而应用于任何有限维度,这种空间叫做n维欧几里德空间(简称n维空间)或有限维实内积空间

    简单来说,欧式空间就是二维空间三维空间以及继承三维空间定理的N维空间

    非欧氏空间

    爱因斯坦曾经形象地比喻过非欧几何

    假设有一种生活在二维平面的生物,但它们不是生活在绝对的平面上,而是生活在一个球面上,那么,当它们在小范围内研究圆周率的时候,会像我们一样发现圆周率是3.1415926……

    但是,如果它们画一个很大的圆,去测量圆的周长和半径,就会发现周长小于2πr,圆越大,周长比2πr小得越多。为了能够适用于大范围的研究,它们就必须修正它们的几何方法。

    如果空间有四维,而我们生活的三维空间在空间的第四个维度中发生了弯曲,那我们的几何就必须进行修正,这就是非欧几何。在非欧几何中,平行的直线只在局部平行,就像地球的经线只在赤道上平行一样。

    二维生物画圆的解释如下:

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  • 高等代数---欧几里得空间

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    在这篇博客中,我们重点要搞清楚两个概念,一个是线性变换,一个是欧式空间。 线性变换 一直以来,对向量 v v v 做线性变换(linear transformation), 我都简单地认为是在 v v v 左边乘以一个矩阵, M v Mv M v...
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    千次阅读 2019-06-09 17:41:33
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