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  • 残差分析(残差原理与标准化残差分析

    万次阅读 多人点赞 2018-08-30 10:12:03
    1、残差分析定义 在回归模型 中,假定 的期望值为0,方差相等且服从正态分布的一个随机变量。但是,若关于的假定不成立,此时所做的检验以及估计和预测也许站不住脚。确定有关的假定是否成立的方法之一是进行残差...

    1、残差分析定义

    在回归模型y=\beta _{0}+\beta _{1}x+\varepsilon 中,假定\varepsilon 的期望值为0,方差相等且服从正态分布的一个随机变量。但是,若关于\varepsilon的假定不成立,此时所做的检验以及估计和预测也许站不住脚。确定有关\varepsilon的假定是否成立的方法之一是进行残差分析(residual analysis).

    2、残差与残差图

    残差(residual)是因变量的观测值y_{i}与根据估计的回归方程求出的预测 \hat{y}_{i} 之差,用e表示。反映了用估计的回归方程去预测y_{i}而引起的误差。第i个观察值的残差为: e_{i}=y_{i}-\hat{y}_{i}

    常用残差图:有关x残差图,有关\hat{y}的残差图,标准化残差图

    有关x残差图:用横轴表示自变量x的值,纵轴表示对应残差 e_{i}=y_{i}-\hat{y}_{i},每个x的值与对应的残差用图上的一个点来表示。

    分析残差图,首先考察残差图的形态及其反映的信息。

    分析:

    (a)对所有x值,\varepsilon的方差都相同,且描述变量x和y之间的回归模型是合理的,残差图中的所有点落在一条水平带中间。

    (b)对所有的值,\varepsilon的方差是不同的,对于较大的x值,相应的残差也较大,违背了\varepsilon的方差相等的假设

    (c)表明所选的回归模型不合理,应考虑曲线回归或多元回归模型。

    3、标准化残差

    对于\varepsilon正态性假定的检验,也可通过标准化残差分析完成。

    标准化残差(standardized residual)是残差除以其标准差后得到的数值,也称Pearson残差或半学生化残差(semi-studentized residuals),用z_{e}表示。第i个观察值的标准化残差为:z_{e_{i}}=\frac{e_{i}}{s_{e}}=\frac{y_{i}-\hat{y}_{i}}{s_{e}}   (s_{e}是残差的标准差的估计)

    如果误差项 \varepsilon 服从正态分布的这一假定成立,则标准化残差的分布也服从正态分布。大约有95%的标准化残差在 -2~2 之间。

    从图中可以看出,除了箭头所标识的点外,所有的标准化残差都在 -2~2 之间,所以误差项服从正态分布的假定成立。

     

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  • 残差分析

    千次阅读 2017-07-26 00:09:00
     是期望值为 0,方差相等且服从正态分布的随机变量,残差分析就是判断假定是否成立的方法之一 残差 因变量的观测值   与根据估计的回归方程求出的预测值   之差 ,用 e 表示,...
    • 残差分析
    回归模型   y =  26001010_TVls.png  +  26001011_E1MO.png  +  26001011_fpes.png  ,假定  26001011_J2Xd.png  是期望值为 0,方差相等且服从正态分布的随机变量,残差分析就是判断假定是否成立的方法之一

    • 残差
    因变量的观测值  26001011_UyFd.png  与根据估计的回归方程求出的预测值  26001011_r7zV.png  之差 ,用 e 表示,反映了用估计的回归方程预测  26001011_2njp.png  而引起的误差,第 i 个观察值的残差可以写为

      26001011_3taR.png =    26001011_4ZbI.png -  26001011_R8NL.png


    • 通过残差图来判断

    通过对残差图的分析来判断对误差项   26001011_J2Xd.png  的假定是否成立,常用的残差图有关于 x 的残差图 ,关于  26001011_5dF5.png  的残差图,标准化残差图等
    关于 x 的残差图是用横轴表示质变 x 的值,用纵轴表示残差
    26001013_KfEi.png
     
    • 标准化残差

    对 26001013_EeZF.png 正态性假定的检验,也可以通过对标准化残差的分来完成

    残差除以它的标准差后得到的数值,也成为 Pearson残差或半学生化残差,用Ze表示,第 i 个观测值的标准化残差可以表示为

     26001013_5PhN.png

     Se是残差的标准差的估计
    26001014_nn2t.png
     

    实际中常用Excel-数据分析-回归-选择残差、标准化残差来分析



    转载于:https://my.oschina.net/u/1785519/blog/1488542

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    ]';

    x1 = data(:,1);

    x2 = data(:,2);

    y = data(:,3);

    X = [ones(size(x1)) x1.*x1.*x1 x1 x2.*x2 x2 x1.*x2];

    [b,bint] = regress(y,X)

    scatter3(x1,x2,y,'filled')

    hold on

    x1fit = min(x1):0.5:max(x1);

    x2fit = min(x2):0.5:max(x2);

    [X1FIT,X2FIT] = meshgrid(x1fit,x2fit);

    YFIT = b(1)+ b(2)*X1FIT.*X1FIT.*X1FIT+b(3)*X1FIT + b(4)*X2FIT.*X2FIT + b(5)*X2FIT + b(6)*X1FIT.*X2FIT;

    mesh(X1FIT,X2FIT,YFIT)

    xlabel('x1')

    ylabel('x2')

    zlabel('Y')

    view(140,30)

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