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  • 泊松过程
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    2019-05-05 12:16:20

    计数过程

    如果用 N ( t ) N(t) N(t)表示到时刻 t t t为止已发生的“事件 A A A”的总数,若 N ( t ) N(t) N(t)满足下列条件:

    1. N ( t ) ≥ 0 N(t)≥0 N(t)0
    2. N ( t ) N(t) N(t)取正整数值
    3.对任意两个时刻 t 1 &lt; t 2 t_1&lt;t_2 t1<t2, 有 N ( t 1 ) &lt; N ( t 2 ) N(t_1)&lt;N(t_2) N(t1)<N(t2)
    4.对任意两个时刻 t 1 &lt; t 2 t_1&lt;t_2 t1<t2 N ( t 2 ) − N ( t 1 ) N(t_2)-N(t_1) N(t2)N(t1)等于在区间 ( t 1 , t 2 ] (t_1,t_2] (t1,t2]中发生的“事件A”的次数
    则随机过程 N ( t ) , t ≥ 0 {N(t),t≥0} N(t),t0称为一个计数过程

    • 如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的,则称计数过程有独立增量
    • 若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度,则称计数过程有平稳增量

    泊松过程

    第一定义

    设随机过程 X ( t ) , t ≥ 0 {X(t),t≥0} X(t),t0是一个计数过程,满足

    1. X ( 0 ) = 0 X(0)=0 X(0)=0
    2. X ( t ) X(t) X(t)是独立增量过程
    3. 对任一长度为t的区间中事件的个数服从参数为 λ t ( λ &gt; 0 ) λt(λ&gt;0) λt(λ>0)的泊松分布,即对一切 s , t ≥ 0 s,t≥0 s,t0,有 P X ( t + s ) − X ( s ) = k = e ( − λ t ) ( λ t ) k ( k ! ) P{X(t+s)-X(s)=k}=e^{(-λt)}\frac{(λt)^k}{(k!)} PX(t+s)X(s)=k=e(λt)(k!)(λt)k(其中k=0,1,2,…)

    则称 X ( t ) X(t) X(t)具有参数λ的泊松过程

    第二定义

    设随机过程 X ( t ) , t ≥ 0 {X(t),t≥0} X(t),t0是一个计数过程,参数为 λ ( λ &gt; 0 ) λ(λ&gt;0) λ(λ>0),满足

    1. X ( 0 ) = 0 X(0)=0 X(0)=0
    2. X ( t ) X(t) X(t)是独立平稳增量过程
    3. X ( t ) X(t) X(t)满足下列两式: P [ X ( t + h ) − X ( t ) = 1 ] = λ h + o ( h ) ; P [ X ( t + h ) − X ( t ) ≥ 2 ] = o ( h ) P[X(t+h)-X(t)=1]=λh+o(h);P[X(t+h)-X(t)≥2]=o(h) P[X(t+h)X(t)=1]=λh+o(h)P[X(t+h)X(t)2]=o(h);其中 o ( h ) o(h) o(h)表示当 h → 0 h→0 h0时对 h h h的高阶无穷小

    则称 X ( t ) X(t) X(t)具有参数λ的泊松过程

    泊松过程的特点

    • 增量平稳性:在时间或者空间上的均匀性,可以使用均匀分布取值然后排序的方法获得泊松点
    • 增量的独立性:未来的变化与过去的变化没有关系。

    泊松过程与伯努利过程

    ​ 对于一个泊松过程 X ( t ) X(t) X(t),以及 x 1 &lt; x 2 x_1&lt;x_2 x1<x2,已知 t 2 t_2 t2时刻有 n n n个质点到达,求 t 1 t_1 t1时刻有 k k k个质点到达的概率构成一个伯努利分布。

    P [ x ( t 1 ) = k ∣ x ( t 2 ) = n ] = C n k ( t 1 t 2 ) k ( 1 − t 1 t 2 ) n − k P[x(t_1)=k|x(t_2)=n]=C_n^k(\frac{t_1}{t_2})^k(1-\frac{t_1}{t_2})^{n-k} P[x(t1)=kx(t2)=n]=Cnk(t2t1)k(1t2t1)nk

    这说明泊松分布确实是平稳增量的,在任何一个时刻质点到达的概率都相等。
    
    泊松分布是二项分布在p较小n较大时的极限
    泊松分布就是描述某段时间内,事件具体的发生概率。

    泊松过程与指数过程

            两个泊松点之间的时间间隔服从指数分布
            指数分布描述的是泊松过程中,第k次随机事件与第k+1次随机事件出现的时间间隔。间隔大于t的概率就是 泊松过程中k=0的情况,(t是连续的)这是 只随时间变化的指数函数 !我们看指数分布无记忆性的定义我们回溯一下,就会发现,指数函数的无记忆性来自于泊松过程k=0时的 时间指数性,而泊松过程k=0时的 时间指数性 来自于泊松分布时 lambda的恒定性,也就是离散情况下,二项分布的n*p的恒定性。
    作者:郝曌骏
    链接:https://www.zhihu.com/question/36965252/answer/143695500
            指数分布这个例子中的产品寿命不是现实中我们理解的寿命,而是在这个产品的的质量不会有任何改变的假设下,故障出现前正常使用的时间,或者两次故障发生之间的正常使用时间。

    非齐次泊松过程

    ​ 当质点来流强度 λ \lambda λ是时间的函数 λ ( t ) \lambda(t) λ(t)时,称为非齐次泊松过程,其均值函数为
    m X ( t ) = ∫ 0 t λ ( s ) d s m_X(t)=\int_0^t{\lambda(s)ds} mX(t)=0tλ(s)ds
    P [ X ( t ) = n ] = e − m X ( t ) [ m X ( t ) ] n n ! P[X(t)=n]=e^{-m_X(t)}\frac{[m_X(t)]^n}{n!} P[X(t)=n]=emX(t)n![mX(t)]n

    复合泊松过程

    定义: { N ( t ) , t &gt; = 0 } \{N(t),t&gt;=0\} {N(t),t>=0}是强度为 λ \lambda λ的泊松过程, { Y k , k = 1 , 2 , . . . } \{Y_k,k=1,2,...\} {Yk,k=1,2,...}是一列独立同分布随机变量,且与 { N ( t ) , t &gt; = 0 } \{N(t),t&gt;=0\} {N(t),t>=0}独立,令
    X ( t ) = ∑ k = 1 N ( t ) Y k X(t)=\sum_{k=1}^{N(t)}Y_k X(t)=k=1N(t)Yk
    则称 X ( t ) X(t) X(t)
    复合泊松过程

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  • 文章目录4.5 非时齐次泊松过程4.6 复合泊松过程4.6.1 定义4.6.2 复合泊松恒等式4.7 条件泊松过程4.8 更新过程4.8.1 更新过程的定义4.8.2 更新过程的剩余寿命与年龄4.10 瓦尔德等式4.11 泊松过程与鞅 4.5 非时齐次...

    4.5 非时齐次泊松过程

    定义:一个计数过程若满足:

    1. N ( 0 ) = 0 N(0)=0 N(0)=0
    2. 它是独立增量过程;
    3. 对充分小的 Δ t > 0 \Delta t>0 Δt>0,有 P ( N ( t + Δ t ) − N ( t ) = 1 ) = λ ( t ) Δ t + o ( Δ t ) P(N(t+\Delta t)-N(t)=1) = \lambda(t) \Delta t + o(\Delta t) P(N(t+Δt)N(t)=1)=λ(t)Δt+o(Δt) P ( N ( t + Δ t ) − N ( t ) ≥ 2 ) = o ( Δ t ) P(N(t+\Delta t)-N(t)\ge 2)=o(\Delta t) P(N(t+Δt)N(t)2)=o(Δt)

    则称它为具有强度函数 { λ ( t ) , t ≥ 0 } \{\lambda(t),t\ge0\} {λ(t),t0} 的非时齐次泊松过程。

    定理 4.7:若 N ( t ) , t ≥ 0 N(t),t\ge0 N(t),t0 是非时齐次泊松过程,令 m ( t ) = ∫ 0 t λ ( s ) d s m(t)=\int_0^t \lambda (s)ds m(t)=0tλ(s)ds,则对 ∀ s , t ≥ 0 \forall s,t\ge0 s,t0,有
    P ( N ( t + s ) − N ( s ) = n ) = ( m ( s + t ) − m ( s ) ) n n ! exp ⁡ ( − ( m ( s + t ) − m ( s ) ) ) ,   n ≥ 0 P(N(t+s)-N(s)=n) = \frac{(m(s+t)-m(s))^n}{n!}\exp(-(m(s+t)-m(s))), ~ n\ge0 P(N(t+s)N(s)=n)=n!(m(s+t)m(s))nexp((m(s+t)m(s))), n0
    上述定理最主要特点在于 E [ N ( t + s ) − N ( s ) ] = m ( s + t ) − m ( s ) = ∫ s s + t λ ( s ) d s {\mathbb E}[N(t+s)-N(s)] = m(s+t)-m(s) = \int_s^{s+t} \lambda (s)ds E[N(t+s)N(s)]=m(s+t)m(s)=ss+tλ(s)ds,相应的方差为 D [ N ( s + t ) − N ( s ) ] = m ( s + t ) − m ( s ) D_{[N(s+t)-N(s)]}=m(s+t)-m(s) D[N(s+t)N(s)]=m(s+t)m(s)

    4.6 复合泊松过程

    4.6.1 定义

    定义:设 { Y i , i ≥ 1 } \{Y_i,i\ge1\} {Yi,i1} 是独立同分布的随机变量序列, { N ( t ) , t ≥ 0 } \{N(t),t\ge0\} {N(t),t0} 为泊松过程,且与 { Y i , i ≥ 1 } \{Y_i,i\ge1\} {Yi,i1} 独立,记 X ( t ) = ∑ i = 1 N ( t ) Y i X(t)=\sum_{i=1}^{N(t)} Y_i X(t)=i=1N(t)Yi 称为复合泊松过程。

    为求 X ( t ) X(t) X(t) 的矩,先求它的矩母函数
    ϕ t ( u ) = E [ exp ⁡ ( u X ( t ) ) ] = ∑ n = 0 ∞ P ( N ( t ) = n ) E [ exp ⁡ ( u X ( t ) ) ∣ N ( t ) = n ] = exp ⁡ ( λ t ( ϕ Y ( u ) − 1 ) ) \begin{aligned} \phi_t(u) &= {\mathbb E}[\exp(u X(t))] \\ &= \sum_{n=0}^\infty P(N(t)=n){\mathbb E}[\exp(uX(t)) | N(t)=n] \\ &= \exp(\lambda t(\phi_Y(u)-1)) \end{aligned} ϕt(u)=E[exp(uX(t))]=n=0P(N(t)=n)E[exp(uX(t))N(t)=n]=exp(λt(ϕY(u)1))
    其中 ϕ Y ( u ) = E [ exp ⁡ ( u Y ) ] \phi_Y(u)={\mathbb E}[\exp(uY)] ϕY(u)=E[exp(uY)] Y Y Y 的矩母函数。上式在 u = 0 u=0 u=0 处求导得到 E [ X ( t ) ] = ϕ t ′ ( 0 ) = λ t E Y {\mathbb E}[X(t)] = \phi_t'(0) = \lambda t {\mathbb E}Y E[X(t)]=ϕt(0)=λtEY D [ X ( t ) ] = ϕ t ′ ′ ( 0 ) − ( ϕ t ′ ( 0 ) ) 2 = λ t E Y 2 {D}[X(t)] = \phi_t''(0)-(\phi_t'(0))^2 = \lambda t{\mathbb E}Y^2 D[X(t)]=ϕt(0)(ϕt(0))2=λtEY2。若 Y i Y_i Yi 取正整数的随机变量,则称 { X ( t ) , t ≥ 0 } \{X(t),t\ge0\} {X(t),t0} 为平稳无后效流。

    4.6.2 复合泊松恒等式

    定理 4.8:设 Y = ∑ i = 1 N X i Y=\sum_{i=1}^N X_i Y=i=1NXi 是复合泊松随机变量,其中随机变量 N N N 服从均值为 λ \lambda λ 的泊松分布,随机变量序列 { X k , k = 1 , 2 , . . . } \{X_k,k=1,2,...\} {Xk,k=1,2,...} 是独立同分布的,且与 N N N 统计独立。设 X k , ( k = 1 , 2 , . . . ) X_k,(k=1,2,...) Xk,(k=1,2,...) 的分布函数为 F ( x ) F(x) F(x),则对任意的有界函数 h ( x ) h(x) h(x) E [ Y h ( Y ) ] = λ E [ X h ( Y + X ) ] {\mathbb E}[Y h(Y)] = \lambda {\mathbb E}[X h(Y+X)] E[Yh(Y)]=λE[Xh(Y+X)],其中随机变量 X X X N N N 统计独立,它的分布函数也为 F ( x ) F(x) F(x)

    证明:略。

    推论 4.8.1:对任何正整数 n n n E [ Y n ] = λ ∑ k = 0 n − 1 ( n − 1 k ) E [ Y k ] E [ X n − k ] {\mathbb E}[Y^n] = \lambda \sum_{k=0}^{n-1} \tbinom{n-1}{k} {\mathbb E}[Y^k]{\mathbb E}[X^{n-k}] E[Yn]=λk=0n1(kn1)E[Yk]E[Xnk]

    证明:令 h ( x ) = x n − 1 h(x)=x^{n-1} h(x)=xn1 即可得证。

    利用此推论可以得到:
    E Y = λ E X E Y 2 = λ E X 2 + λ 2 ( E X ) 2 E [ Y − E Y ] 2 = λ E X 2 E [ Y − E Y ] 3 = λ E X 3 \begin{aligned} {\mathbb E}Y &= \lambda{\mathbb E}X \\ {\mathbb E}Y^2 &= \lambda{\mathbb E}X^2 + \lambda^2({\mathbb E}X)^2 \\ {\mathbb E}[Y-{\mathbb E}Y]^2 &= \lambda{\mathbb E}X^2 \\ {\mathbb E}[Y-{\mathbb E}Y]^3 &= \lambda{\mathbb E}X^3 \end{aligned} EYEY2E[YEY]2E[YEY]3=λEX=λEX2+λ2(EX)2=λEX2=λEX3

    4.7 条件泊松过程

    定义:设 Λ \Lambda Λ 是一个正的随机变量,分布函数为 G ( x ) , x ≥ 0 G(x),x\ge0 G(x),x0,设 { N ( t ) , t ≥ 0 } \{N(t),t\ge0\} {N(t),t0} 是一个计数过程,且给定 Λ = λ \Lambda=\lambda Λ=λ 的条件下, { N ( t ) , t ≥ 0 } \{N(t),t\ge0\} {N(t),t0} 是一个泊松过程,即 ∀ s , t ≥ 0 , n ∈ N , λ ≥ 0 \forall s,t\ge0,n\in \mathbb{N},\lambda\ge0 s,t0,nN,λ0,有
    P ( N ( s + t ) − N ( s ) = n ∣ Λ = λ ) = ( λ t ) n n ! e − λ t P(N(s+t)-N(s)=n | \Lambda=\lambda) = \frac{(\lambda t)^n}{n!} e^{-\lambda t} P(N(s+t)N(s)=nΛ=λ)=n!(λt)neλt
    { N ( t ) , t ≥ 0 } \{N(t),t\ge0\} {N(t),t0} 是条件泊松过程。

    Remark:这里 { N ( t ) , t ≥ 0 } \{N(t),t\ge0\} {N(t),t0} 本身并不是独立增量过程,由全概率公式得到
    P ( N ( s + t ) − N ( s ) = n ) = ∫ 0 ∞ ( λ t ) n n ! e − λ t d G ( λ ) P(N(s+t)-N(s)=n) = \int_0^{\infty} \frac{(\lambda t)^n}{n!} e^{-\lambda t} dG(\lambda) P(N(s+t)N(s)=n)=0n!(λt)neλtdG(λ)
    定理 4.9:设 { N ( t ) , t ≥ 0 } \{N(t),t\ge0\} {N(t),t0} 是上述条件泊松过程,则

    1. E [ N ( s + t ) − N ( t ) ] = s E Λ {\mathbb E}[N(s+t)-N(t)] = s{\mathbb E}\Lambda E[N(s+t)N(t)]=sEΛ
    2. D [ N ( s + t ) − N ( t ) ] = s E Λ + s 2 D Λ D[N(s+t)-N(t)] = s{\mathbb E}\Lambda + s^2 D\Lambda D[N(s+t)N(t)]=sEΛ+s2DΛ

    证明:略。

    4.8 更新过程

    4.8.1 更新过程的定义

    定义:设 { X k , k ≥ 1 } \{X_k,k\ge1\} {Xk,k1} 独立同分布的非负随机变量,分布函数为 F ( x ) F(x) F(x),且 F ( 0 ) < 1 F(0)<1 F(0)<1。令 S 0 = 0 , S n = ∑ k = 1 n X k S_0=0, S_n=\sum_{k=1}^n X_k S0=0,Sn=k=1nXk,对 ∀ t ≥ 0 \forall t\ge0 t0,记 N ( t ) = sup ⁡ { n : S n ≤ t } N(t)=\sup\{n:S_n\le t\} N(t)=sup{n:Snt} 或者 N ( t ) = ∑ n = 1 ∞ I { S n ≤ t } N(t)=\sum_{n=1}^\infty I_{\{S_n\le t\}} N(t)=n=1I{Snt},称 { N ( t ) , t ≥ 0 } \{N(t),t\ge0\} {N(t),t0} 为更新过程。

    F n ( x ) F_n(x) Fn(x) S n S_n Sn 的分布函数,易知 F 1 ( x ) = F ( x ) F_1(x)=F(x) F1(x)=F(x) F n ( x ) = ∫ 0 x F n − 1 ( x − u ) d F ( u ) , ( n ≥ 2 ) F_n(x)=\int_0^x F_{n-1}(x-u)dF(u),(n\ge2) Fn(x)=0xFn1(xu)dF(u),(n2),即 F n ( x ) F_n(x) Fn(x) F ( x ) F(x) F(x) n n n 重卷积。记 m ( t ) = E [ N ( t ) ] m(t)={\mathbb E}[N(t)] m(t)=E[N(t)],称 m ( t ) m(t) m(t) 为更新函数。

    类似的,分布密度函数同样是卷积的形式 f n ( x ) = ∫ 0 x f n − 1 ( x − u ) f ( u ) d u f_n(x) = \int_0^x f_{n-1}(x-u)f(u)du fn(x)=0xfn1(xu)f(u)du

    定理 4.10 ∀ t ≥ 0 \forall t\ge0 t0 m ( t ) = ∑ n = 1 ∞ F n ( t ) m(t)=\sum_{n=1}^\infty F_n(t) m(t)=n=1Fn(t)

    证明: m ( t ) = ∑ n n P ( N ( t ) = n ) = ∑ n P ( N ( t ) ≥ n ) = ∑ n P ( S n ≤ t ) = ∑ n F n ( t ) m(t)=\sum_n nP(N(t)=n) = \sum_n P(N(t)\ge n) = \sum_n P(S_n\le t) = \sum_n F_n(t) m(t)=nnP(N(t)=n)=nP(N(t)n)=nP(Snt)=nFn(t).

    栗子 4.3 F ( x ) F(x) F(x) 是指数分布函数,相应的概率密度函数为 f ( x ) = λ e − λ x , x ≥ 0 , λ > 0 f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x\ge0,\lambda > 0 f(x)=λeλx,x0,λ>0,那么由此可以计算 f n ( x ) = λ ( λ x ) n − 1 ( n − 1 ) ! e − λ x f_n(x)=\frac{\lambda (\lambda x)^{n-1}}{(n-1)!} e^{-\lambda x} fn(x)=(n1)!λ(λx)n1eλx,然后计算得到 m ( t ) = λ t m(t) = \lambda t m(t)=λt,这与之前泊松过程的结论是一致的。

    栗子 4.4:设 F ( x ) F(x) F(x) 是 Gamma 分布函数,相应的额概率密度函数为 f ( x ) = x e − x f(x)=xe^{-x} f(x)=xex,其 Laplace 变换 f ^ ( s ) = 1 / ( 1 + s ) 2 \hat{f}(s) = 1/(1+s)^2 f^(s)=1/(1+s)2,利用 Laplace 变换的性质知道 f n ^ ( s ) = 1 / ( 1 + s ) 2 n \hat{f_n}(s)=1/(1+s)^{2n} fn^(s)=1/(1+s)2n,反变换即可得到 f n ( x ) f_n(x) fn(x),然后再根据定理 4.10计算得到 m ( t ) = − 1 4 + t 2 + e − 2 t 4 m(t)=-\frac{1}{4} + \frac{t}{2} + \frac{e^{-2t}}{4} m(t)=41+2t+4e2t

    4.8.2 更新过程的剩余寿命与年龄

    N ( t ) N(t) N(t) 表示 [ 0 , t ] [0,t] [0,t] 上事件发生的个数, S n S_n Sn 表示第 n n n 个事件发生的时刻,那么 S N ( t ) S_{N(t)} SN(t) 表示在 t t t 之前最后一个事件发生的时刻, S N ( t ) + 1 S_{N(t)+1} SN(t)+1 表示 t t t 时刻后首次事件发生的时刻。令 W ( t ) = S N ( t ) + 1 − t , V ( t ) = t − S N ( t ) W(t)=S_{N(t)+1}-t, V(t)=t-S_{N(t)} W(t)=SN(t)+1t,V(t)=tSN(t),则 W ( t ) W(t) W(t) 表示 t t t 时刻后直到首次事件发生的剩余时间。

    定理 4.11:若非负随机变量 { X n , n ≥ 1 } \{X_n,n\ge1\} {Xn,n1} 独立同分布,分布函数为 F ( x ) F(x) F(x),则对 ∀ x , t ≥ 0 \forall x,t\ge0 x,t0,有

    1. P ( W ( t ) > x ) = 1 − F ( x + t ) + ∫ 0 t P ( W ( t − u ) > x ) d F ( u ) P(W(t) > x)=1 - F(x+t) + \int_0^t P(W(t-u) > x) dF(u) P(W(t)>x)=1F(x+t)+0tP(W(tu)>x)dF(u)
    2. P ( V ( t ) ≤ x ) = ( 1 − F ( t ) ) I [ 0 , x ] ( t ) + ∫ 0 t P ( V ( t − y ) ≤ x ) d F ( y ) P(V(t) \le x) = (1-F(t)) I_{[0,x]}(t) + \int_0^t P(V(t-y) \le x) dF(y) P(V(t)x)=(1F(t))I[0,x](t)+0tP(V(ty)x)dF(y)

    证明:略。

    定理 4.12:设 { N ( t ) , t ≥ 0 } \{N(t),t\ge0\} {N(t),t0} 是参数为 λ \lambda λ 的泊松过程,则

    1. W ( t ) W(t) W(t) { X n , n ≥ 1 } \{X_n,n\ge1\} {Xn,n1} 同分布,即 P ( W ( t ) ≤ x ) = 1 − exp ⁡ ( − λ x ) , x ≥ 0 P(W(t)\le x)=1-\exp(-\lambda x),x\ge0 P(W(t)x)=1exp(λx),x0
    2. V ( t ) V(t) V(t) 是截尾的指数分布,即 P ( V ( t ) ≤ x ) = { 1 − exp ⁡ ( − λ x ) 0 ≤ x < t 1 x ≥ t P(V(t)\le x)=\begin{cases} 1-\exp(-\lambda x) & 0\le x < t \\ 1 & x\ge t \end{cases} P(V(t)x)={1exp(λx)10x<txt

    证明:略。

    4.10 瓦尔德等式

    定义:设 { X n , n ≥ 1 } \{X_n,n\ge1\} {Xn,n1} 为随机序列, T T T 为非负整数随机变量,若对任一 n ∈ N n\in{\mathbb N} nN 事件 { T = n } \{T=n\} {T=n} 仅依赖于 { X 1 , . . . , X n } \{X_1,...,X_n\} {X1,...,Xn},而与 X n + 1 , X n + 2 , . . . X_{n+1},X_{n+2},... Xn+1,Xn+2,... 独立,则称 T T T 关于 { X n , n ≥ 1 } \{X_n,n\ge1\} {Xn,n1}停时,或称马尔可夫时。

    定理 4.13(Wald):设 { X n , n ≥ 1 } \{X_n,n\ge1\} {Xn,n1} 独立同分布, μ = E X n < ∞ \mu={\mathbb E}X_n < \infty μ=EXn< X n X_n Xn X X X 同分布, τ \tau τ 关于 { X n , n ≥ 1 } \{X_n,n\ge1\} {Xn,n1} 是停时,且 E τ < ∞ {\mathbb E}\tau < \infty Eτ<,则 E [ ∑ n = 1 τ X n ] = E X E τ {\mathbb E}[\sum_{n=1}^\tau X_n] = {\mathbb E}X {\mathbb E}\tau E[n=1τXn]=EXEτ

    证明:略。

    4.11 泊松过程与鞅

    线性方法构造的鞅, Y ( t ) = N ( t ) − λ t , U ( t ) = Y 2 ( t ) − λ t Y(t)=N(t)-\lambda t, U(t)=Y^2(t)-\lambda t Y(t)=N(t)λt,U(t)=Y2(t)λt

    基于特征函数构造的鞅 V ( t ) = exp ⁡ ( − θ N ( t ) + λ t ( 1 − e − θ ) ) V(t)=\exp(-\theta N(t) + \lambda t(1-e^{-\theta})) V(t)=exp(θN(t)+λt(1eθ))

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  • 泊松过程的相关概念

    2022-03-31 20:01:02
    泊松过程是一类较为简单的事件连续状态离散的随机过程。泊松过程在物理徐、地质学、生物学、医学、天文学、服务系统和可靠性理论等领域中都有广泛的应用。 泊松过程的定义和例子 定义1(计数过程):设N(t)N(t)N(t)...

    引言

    泊松过程是一类较为简单的事件连续状态离散的随机过程。泊松过程在物理徐、地质学、生物学、医学、天文学、服务系统和可靠性理论等领域中都有广泛的应用。

    泊松过程的定义和例子

    定义1(计数过程):设 N ( t ) N(t) N(t)表示到时刻 t t t为止已经发生的“事件A”的总数,若 N ( t ) N(t) N(t)满足以下条件:
    (1) N ( t ) ≥ 0 N(t) \geq 0 N(t)0
    (2) N ( t ) N(t) N(t)取正整数
    (3)若 s < t s < t s<t,则 N ( s ) ≤ N ( t ) N(s) \leq N(t) N(s)N(t)
    (4)当 s < t s < t s<t时,则 N ( t ) − N ( s ) N(t) - N(s) N(t)N(s)等于区间 ( s , t ] (s,t] (s,t]中发生的“事件A”的次数,则称随机过程{N(t), t ≥ 0 t \geq 0 t0}为计数过程。

    如果计数过程 N ( t ) N(t) N(t)在不相重叠的时间间隔内,事件A发生的次数时相互独立的,即若 t 1 < t 2 ≤ t 3 < t 4 t_{1} < t_{2} \leq t_{3} < t_{4} t1<t2t3<t4,则在 ( t 1 , t 2 ] (t_{1},t_{2}] (t1,t2]内事件A发生的次数 N ( t 2 ) − N ( t 1 ) N(t_{2}) - N(t_{1}) N(t2)N(t1)与在 ( t 3 , t 4 ] (t_{3},t_{4}] (t3,t4]内事件A发生的次数 N ( t 3 ) − N ( t 4 ) N(t_{3}) - N(t_{4}) N(t3)N(t4)相互独立,此时该计数过程为独立增量过程

    若计数过程 N ( t ) N(t) N(t) ( t , s + t ] ( s > 0 ) (t,s+t](s>0) (t,s+t](s>0)内,事件A发生的次数 N ( t + s ) − N ( s ) N(t+s) - N(s) N(t+s)N(s)仅与时间差 s s s有关,而与 t t t无关,则称计数过程 N ( t ) N(t) N(t)平稳增量过程

    泊松过程是计数过程最重要的类型之一,它的定义有两种,如下:

    定义2.1(泊松过程):设计数过程{X(t), t ≥ 0 t \geq 0 t0}满足下列条件:
    (1) X ( 0 ) = 0 X(0)=0 X(0)=0
    (2) X ( t ) X(t) X(t)是独立增量过程;
    (3)在任一长度为 t t t的区间中,事件A发生的次数服从参数 λ t > 0 \lambda t>0 λt>0的泊松分布,即对任意 s , t ≥ 0 s,t \geq 0 st0,有
    P { X ( t + s ) − X ( s ) = n } = e − λ t ( λ t ) n n ! P\{X(t+s)-X(s)=n\} = e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{n}}{n!} P{X(t+s)X(s)=n}=eλtn!(λt)n
    则称计数过程{X(t), t ≥ 0 t \geq 0 t0}为具有参数 λ > 0 \lambda >0 λ>0的泊松过程。

    定义2.2(泊松过程):设计数过程{X(t), t ≥ 0 t \geq 0 t0}满足下列条件:
    (1) X ( 0 ) = 0 X(0)=0 X(0)=0
    (2) X ( t ) X(t) X(t)是独立平稳增量过程;
    (3) X ( t ) X(t) X(t)满足下列两式:
    P { X ( t + h ) − X ( t ) = 1 } = λ h + o ( h ) P\{X(t+h)-X(t)=1\} = \lambda h + o(h) P{X(t+h)X(t)=1}=λh+o(h)
    P { X ( t + h ) − X ( t ) ≥ 2 } = o ( h ) P\{X(t+h)-X(t)\geq2\} = o(h) P{X(t+h)X(t)2}=o(h)
    则称计数过程{X(t), t ≥ 0 t \geq 0 t0}为具有参数 λ > 0 \lambda >0 λ>0的泊松过程。

    注意:定理2.1与2.2等价!

    从定义2.1的条件(3)可知泊松过程是平稳增量过程且 E [ X ( t ) ] = λ t E[X(t)]=\lambda t E[X(t)]=λt。由于 λ = E [ x ( t ) ] t \lambda = \frac{E[x(t)]}{t} λ=tE[x(t)]表示单位时间内事件A发生的平均个数,故称 λ \lambda λ为此过程的速率或者强度

    泊松过程的基本性质

    根据泊松过程的定义,我们可以得出泊松过程的几个常用的数字特征
    设{X(t), t ≥ 0 t \geq 0 t0}是泊松过程,对任意的 s , t ∈ [ 0 , ∞ ) s,t \in [0,\infty) st[0,),且 s < t s<t s<t,有
    E [ X ( t ) − X ( s ) ] = D [ X ( t ) − X ( s ) ] = λ ( t − s ) E[X(t)-X(s)]=D[X(t)-X(s)]=\lambda(t-s) E[X(t)X(s)]=D[X(t)X(s)]=λ(ts)
    由于 X ( 0 ) = 0 X(0)=0 X(0)=0,故期望
    m x ( t ) = E [ X ( t ) ] = E [ X ( t ) − X ( 0 ) ] = λ t m_{x}(t)=E[X(t)]=E[X(t)-X(0)]=\lambda t mx(t)=E[X(t)]=E[X(t)X(0)]=λt
    方差
    σ x 2 ( t ) = D [ X ( t ) ] = D [ X ( t ) − X ( 0 ) ] = λ t \sigma^{2}_{x}(t)=D[X(t)]=D[X(t)-X(0)]=\lambda t σx2(t)=D[X(t)]=D[X(t)X(0)]=λt
    自相关函数
    R x ( s , t ) = E [ X ( s ) X ( t ) ] = λ s ( λ t + 1 ) R_{x}(s,t)=E[X(s)X(t)]=\lambda s(\lambda t+1) Rx(s,t)=E[X(s)X(t)]=λs(λt+1)
    协方差函数
    B x ( s , t ) = R x ( s , t ) − m x ( t ) m x ( s ) = λ s B_{x}(s,t)=R_{x}(s,t)-m_{x}(t)m_{x}(s)=\lambda s Bx(s,t)=Rx(s,t)mx(t)mx(s)=λs
    一般来说泊松过程的协方差函数可以表示为:
    B x ( s , t ) = λ m i n ( s , t ) B_{x}(s,t)=\lambda min(s,t) Bx(s,t)=λmin(s,t)
    泊松过程的特征函数
    g x ( u ) = E [ e i u X ( t ) ] = e x p { λ t ( e i u − 1 ) } g_{x}(u)=E[e^{iuX(t)}]=exp\{\lambda t(e^{iu}-1)\} gx(u)=E[eiuX(t)]=exp{λt(eiu1)}

    时间间隔与等待时间分布: 如果我们用泊松过程来描述服务系统接收服务的顾客数,则顾客到来接收服务的时间间隔、顾客排队的等待时间等分布问题都需要进行研究。下面我们对泊松过程与时间特征有关的分布进行较为详细的讨论。

    定理3:设{X(t), t ≥ 0 t \geq 0 t0}是具有参数 λ \lambda λ的泊松分布, { T n , n ≥ 0 } \{T_{n},n \geq 0\} {Tnn0}是对应的时间间隔序列,则随机变量 T n ( N = 1 , 2 , . . . ) T_{n}(N=1,2,...) Tn(N=1,2,...)是独立同分布的均值为 1 / λ 1 / \lambda 1/λ的指数分布。
    分布函数为:
    F T n ( t ) = P { T n ≤ t } = { 1 − e − λ t , t ≥ 0 , 0 , t < 0 , F_{T_{n}}(t)=P\{T_{n} \leq t\} = \begin{cases} 1-e^{- \lambda t},&t \geq 0,\\ 0,& \text{t < 0}, \end{cases} FTn(t)=P{Tnt}={1eλt0t0,t < 0,
    概率密度函数为:
    f T n ( t ) = { λ e − λ t , t ≥ 0 , 0 , t < 0 , f_{T_{n}}(t)= \begin{cases} \lambda e^{- \lambda t},&t \geq 0,\\ 0,& \text{t < 0}, \end{cases} fTn(t)={λeλt0t0,t < 0,

    定理4:设 { W n , n ≥ 1 } \{W_{n},n \geq 1\} {Wnn1}是与泊松过程{X(t), t ≥ 0 t \geq 0 t0}对应的一个等待时间序列,则 W n W_{n} Wn服从参数为 n n n λ \lambda λ Γ \Gamma Γ分布,其概率密度为:
    f W n ( t ) = { λ e − λ t ( λ t n − 1 ) ( n − 1 ) ! , t ≥ 0 , 0 , t < 0 , f_{W_{n}}(t)= \begin{cases} \lambda e^{- \lambda t} \frac{(\lambda t^{n-1})}{(n-1)!},&t \geq 0,\\ 0,& \text{t < 0}, \end{cases} fWn(t)={λeλt(n1)!(λtn1)0t0,t < 0,
    分布函数为
    F W n ( t ) = P { W n ≤ t } = P { X t ≥ n } = ∑ j = n ∞ e − λ t ( λ t j ) ( j ) ! F_{W_{n}}(t)=P\{W_{n} \leq t\} = P\{X_{t} \geq n\} = \sum^{\infty} _{j=n} e^{- \lambda t} \frac{(\lambda t^{j})}{(j)!} FWn(t)=P{Wnt}=P{Xtn}=j=neλt(j)!(λtj)

    定理4又被称为爱尔兰分布,它是 n n n个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的概率密度。

    到达时间的条件分布:假设在 [ 0 , t ] [0,t] [0,t]内事件A已经发生过一次,我们要确定这一事件到达事件 W 1 W_{1} W1的分布。因为泊松过程有平稳独立增量,故有理由认为 [ 0 , t ] [0,t] [0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相同。换言之,这个事件的到达事件应在 [ 0 , t ] [0,t] [0,t]上服从均匀分布。事实上,对 s < t s<t s<t有:
    P { W 1 ≤ s ∣ X ( t ) = 1 } = s t P\{W_{1} \leq s|X(t)=1\} = \frac{s}{t} P{W1sX(t)=1}=ts
    分布函数为:
    F W n ( t ) = { 0 , s < 0 , s / t , 0 ≤ s < t , 1 , s ≥ t , F_{W_{n}}(t)= \begin{cases} 0,&s < 0,\\ s/t,& 0 \leq s < t,\\ 1,& s\geq t, \end{cases} FWn(t)=0s/t,1s<0,0s<t,st,
    分布密度为:
    f W n ( t ) = { 1 / t , 0 ≤ s < t , 0 , 其 它 . f_{W_{n}}(t)= \begin{cases} 1/t,& 0 \leq s < t,\\ 0,& 其它. \end{cases} fWn(t)={1/t,00s<t,.

    非齐次泊松过程

    定义5:设计数过程{X(t), t ≥ 0 t \geq 0 t0}满足下列条件:
    (1) X ( 0 ) = 0 X(0)=0 X(0)=0
    (2) X ( t ) X(t) X(t)是独立平稳增量过程;
    (3) X ( t ) X(t) X(t)满足下列两式:
    P { X ( t + h ) − X ( t ) = 1 } = λ ( t ) h + o ( h ) P\{X(t+h)-X(t)=1\} = \lambda (t)h + o(h) P{X(t+h)X(t)=1}=λ(t)h+o(h)
    P { X ( t + h ) − X ( t ) ≥ 2 } = o ( h ) P\{X(t+h)-X(t)\geq2\} = o(h) P{X(t+h)X(t)2}=o(h)
    则称计数过程{X(t), t ≥ 0 t \geq 0 t0}为具有跳跃强度函数 λ ( t ) \lambda (t) λ(t)的非齐次泊松过程。并且均值函数为:
    m x ( t ) = ∫ 0 t λ ( s ) d s m_{x}(t)=\int^{t}_{0}\lambda(s)ds mx(t)=0tλ(s)ds

    非齐次泊松过程的概率分布如下:

    定理6:设{X(t), t ≥ 0 t \geq 0 t0}是具有均值函数 m x ( t ) = ∫ 0 t λ ( s ) d s m_{x}(t)=\int^{t}_{0}\lambda(s)ds mx(t)=0tλ(s)ds的非齐次泊松过程,则有
    P { X ( t + s ) − X ( t ) = n } = [ m x ( t + s ) − m x ( t ) ] n ! e − [ m x ( t + s ) − m x ( t ) ] , n ≥ 0 P\{X(t+s)-X(t)=n\}=\frac{[m_{x}(t+s)-m_{x}(t)]}{n!}e^{-[m_{x}(t+s)-m_{x}(t)]},n\geq 0 P{X(t+s)X(t)=n}=n![mx(t+s)mx(t)]e[mx(t+s)mx(t)],n0

    P { X ( t ) = n } = [ m x ( t ) ] n ! e − [ m x ( t ) ] , n ≥ 0 P\{X(t)=n\}=\frac{[m_{x}(t)]}{n!}e^{-[m_{x}(t)]},n\geq 0 P{X(t)=n}=n![mx(t)]e[mx(t)],n0

    复合泊松过程

    定义7:设{N(t), t ≥ 0 t \geq 0 t0}是强度为 λ \lambda λ的泊松过程, { Y k , k = 1 , 2 , . . . } \{Y_{k},k=1,2,...\} {Yk,k=1,2,...}是一列独立同分布随机变量,且与 { N ( t ) , t ≥ 0 } \{N(t),t\geq 0 \} {N(t)t0}独立,令
    X ( t ) = ∑ k = 1 N ( t ) Y k , t ≥ 0 , X(t)=\sum^{N(t)}_{k=1}Y_k,t\geq0, X(t)=k=1N(t)Yk,t0,
    则称 { X ( t ) , t ≥ 0 } \{X(t),t\geq 0 \} {X(t)t0}为复合泊松过程。

    定理8:设 X ( t ) = ∑ k = 1 N ( t ) Y k , t ≥ 0 , X(t)=\sum^{N(t)}_{k=1}Y_k,t\geq0, X(t)=k=1N(t)Yk,t0,是复合泊松过程,则
    (1) { X ( t ) , t ≥ 0 } \{X(t),t\geq 0 \} {X(t)t0}是独立增量过程;
    (2) X ( t ) X(t) X(t)的特征函数 g x ( t ) ( u ) = e λ t [ g Y ( u ) − 1 ] g_{x(t)}(u)=e^{ \lambda t [g_{Y}(u)-1]} gx(t)(u)=eλt[gY(u)1],其中 g Y ( u ) g_{Y}(u) gY(u)是随机变量 Y 1 Y_{1} Y1的特征函数; λ \lambda λ是事件的到达率。
    (3)如果二阶矩存在,则 E [ X ( t ) ] = λ t E [ Y 1 ] , D [ X ( t ) ] = λ t E [ Y 1 2 ] E[X(t)]= \lambda tE[Y_{1}],D[X(t)]= \lambda tE[Y_{1}^{2}] E[X(t)]=λtE[Y1],D[X(t)]=λtE[Y12]

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    4.1 泊松过程的定义与基本性质

    定义 4.1:随机过程 { N ( t ) , t ≥ 0 } \{N(t),t\ge0\} {N(t),t0} 称为时齐泊松过程,若满足下列条件:

    1. 他是一个计数过程,且 N ( 0 ) = 0 N(0)=0 N(0)=0
    2. (独立增量)任取 0 < t 1 < t 2 < ⋯ < t n 0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n 0<t1<t2<<tn N ( t 1 ) , N ( t 2 ) − N ( t 1 ) , . . . , N ( t n ) − N ( t n − 1 ) N(t_1),N(t_2)-N(t_1),...,N(t_n)-N(t_{n-1}) N(t1),N(t2)N(t1),...,N(tn)N(tn1) 相互独立;
    3. (平稳增量) ∀ s , t ≥ 0 , n ≥ 0 \forall s,t\ge0,n\ge0 s,t0,n0 P ( N ( s + t ) − N ( s ) = n ) = P ( N ( t ) = n ) P(N(s+t)-N(s)=n) = P(N(t)=n) P(N(s+t)N(s)=n)=P(N(t)=n)
    4. 对任意 t > 0 t>0 t>0 和充分小的 Δ t > 0 \Delta t>0 Δt>0,有 P ( N ( t + Δ t ) − N ( t ) = 1 ) = λ Δ t + o ( Δ t ) P(N(t+\Delta t)-N(t)=1) = \lambda \Delta t + o(\Delta t) P(N(t+Δt)N(t)=1)=λΔt+o(Δt) P ( N ( t + Δ t ) − N ( t ) ≥ 2 ) = o ( Δ t ) P(N(t+\Delta t)-N(t)\ge 2)=o(\Delta t) P(N(t+Δt)N(t)2)=o(Δt)

    其中 λ > 0 \lambda>0 λ>0 称为强度常数, o ( Δ t ) o(\Delta t) o(Δt) 为高阶无穷小。

    定义 4.2:计数过程 { N ( t ) , t ≥ 0 } \{N(t),t\ge0\} {N(t),t0},被称为参数为 λ \lambda λ 的时齐泊松过程,若满足如下条件:

    1. N ( 0 ) = 0 N(0)=0 N(0)=0
    2. 它是独立增量过程;
    3. ∀ s , t ≥ 0 , N ( s + t ) − N ( s ) \forall s,t\ge0,N(s+t)-N(s) s,t0,N(s+t)N(s) 是参数为 λ t \lambda t λt 的泊松分布,即 P ( N ( t + s ) − N ( s ) = k ) = ( λ t ) k k ! e − λ t P(N(t+s)-N(s)=k) = \frac{(\lambda t)^k}{k!} e^{-\lambda t} P(N(t+s)N(s)=k)=k!(λt)keλt

    两种定义是等价的。

    基本性质:

    1. 均值 E [ N ( t ) ] = λ t {\mathbb E}[N(t)] = \lambda t E[N(t)]=λt
    2. 方差 var ( N ( t ) ) = E [ ( N ( t ) − λ t ) 2 ] = λ t \text{var}(N(t)) = {\mathbb E}[(N(t)-\lambda t)^2] = \lambda t var(N(t))=E[(N(t)λt)2]=λt
    3. 特征函数 ϕ N ( t ) ( x ) = E [ exp ⁡ ( − j N ( t ) x ) ] = exp ⁡ ( − λ t e j x ) \phi_{N(t)}(x) = {\mathbb E}[\exp(-j N(t)x)] = \exp(-\lambda t e^{jx}) ϕN(t)(x)=E[exp(jN(t)x)]=exp(λtejx)
    4. E [ N ( t ) 2 ] = ( λ t ) 2 + λ t {\mathbb E}[N(t)^2] = (\lambda t)^2 + \lambda t E[N(t)2]=(λt)2+λt
    5. 自相关函数 R ( t + τ , t ) = E [ N ( t + τ ) N ( t ) ] = ( λ t ) 2 + λ t + λ 2 t τ , ( τ > 0 ) R(t+\tau,t) = {\mathbb E}[N(t+\tau)N(t)] = (\lambda t)^2 + \lambda t + \lambda^2 t\tau,(\tau>0) R(t+τ,t)=E[N(t+τ)N(t)]=(λt)2+λt+λ2tτ,(τ>0)(非平稳过程)

    栗子 4.1 { N ( t ) , t ≥ 0 } \{N(t), t\ge0\} {N(t),t0} 是参数为 λ \lambda λ 的时齐泊松过程, S 0 = 0 , S n S_0=0,S_n S0=0,Sn 为第 n n n 个事件发生的时刻,则 N ( t ) N(t) N(t) 关于 { S n , n ≥ 0 } \{S_n,n\ge0\} {Sn,n0} 不是停时,但是 N ( t ) + 1 N(t)+1 N(t)+1 关于 { S n , n ≥ 0 } \{S_n,n\ge0\} {Sn,n0} 是停时。

    证明: { N ( t ) = n }    ⟺    { S n ≤ t < S n + 1 } = { S n ≤ t } − { S n + 1 ≤ t } \{N(t)=n\} \iff \{S_n\le t < S_{n+1} \}=\{S_n\le t \} - \{S_{n+1}\le t \} {N(t)=n}{Snt<Sn+1}={Snt}{Sn+1t},因此 { N ( t ) = n } \{N(t)=n\} {N(t)=n} 可以由 { S 0 , . . . , S n + 1 } \{S_0,...,S_{n+1} \} {S0,...,Sn+1} 构成的事件表示,因此 N ( t ) + 1 N(t)+1 N(t)+1 关于 { S n , n ≥ 0 } \{S_n,n\ge0\} {Sn,n0} 是停时。

    4.2 泊松过程与指数分布的关系

    N ( t ) , t ≥ 0 N(t),t\ge0 N(t),t0 是计数过程,令 S 0 = 0 , S n S_0=0,S_n S0=0,Sn 表示第 n n n 个事件发生的时刻, X n = S n − S n − 1 X_n=S_n-S_{n-1} Xn=SnSn1 表示第 n n n 个与第 n − 1 n-1 n1 个事件之间的间隔,于是有 S n = inf ⁡ { t : N ( t ) = n } , n ≥ 1 S_n=\inf\{t:N(t)=n \},n\ge1 Sn=inf{t:N(t)=n},n1。相应的 N ( t ) N(t) N(t) 可以表示为 N ( t ) = ∑ n = 1 ∞ I [ 0 , t ] ( S n ) N(t)=\sum_{n=1}^{\infty} I_{[0,t]}(S_n) N(t)=n=1I[0,t](Sn)

    P ( S n ≤ t ) = P ( N ( t ) ≥ n ) = 1 − e − λ t ∑ k = 0 n − 1 ( λ t ) k k ! P(S_n \le t) = P(N(t)\ge n) = 1-e^{-\lambda t} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(\lambda t)^k}{k!} P(Snt)=P(N(t)n)=1eλtk=0n1k!(λt)k,特别当 n = 1 n=1 n=1 时,有 P ( S 1 ≤ t ) = P ( X 1 ≤ t ) = 1 − e − λ t P(S_1\le t) = P(X_1\le t) = 1-e^{-\lambda t} P(S1t)=P(X1t)=1eλt,即 X 1 ∼ E ( λ ) X_1\sim E(\lambda) X1E(λ) 是参数为 λ \lambda λ 的指数分布。同样的可以得到 X n ( n ≥ 2 ) X_n(n\ge2) Xn(n2) 也服从指数分布,均值为 1 / λ 1/\lambda 1/λ,方差为 1 / λ 2 1/\lambda^2 1/λ2

    定理 4.1:计数过程是泊松过程的充要条件 { X n , n ≥ 1 } \{X_n,n\ge1\} {Xn,n1} 是独立的同指数分布

    证明:略。

    4.3 到达时间的条件分布

    4.3.1 到达时间的条件分布

    定理 4.2:设 N ( t ) , t ≥ 0 N(t),t\ge0 N(t),t0 是泊松过程,则对 ∀ 0 < s < t \forall 0< s < t 0<s<t P ( X 1 ≤ s ∣ N ( t ) = 1 ) = s / t P(X_1\le s | N(t)=1) = s/t P(X1sN(t)=1)=s/t

    证明: P ( X 1 ≤ s ∣ N ( t ) = 1 ) = P ( X 1 ≤ s , N ( t ) = 1 ) / P ( N ( t ) = 1 ) = P ( N ( s ) = 1 , N ( t ) − N ( s ) = 0 ) / P ( N ( t ) = 1 ) P(X_1\le s | N(t)=1) = P(X_1\le s, N(t)=1) / P(N(t)=1) = P(N(s)=1, N(t)-N(s)=0) / P(N(t)=1) P(X1sN(t)=1)=P(X1s,N(t)=1)/P(N(t)=1)=P(N(s)=1,N(t)N(s)=0)/P(N(t)=1)

    定理 4.3:设 N ( t ) , t ≥ 0 N(t),t\ge0 N(t),t0 是泊松过程,则对 ∀ 0 < s < t , k ≤ n \forall 0< s < t,k\le n 0<s<t,kn P ( S k ≤ s ∣ N ( t ) = n ) = ∑ l = k n n ! l ! ( n − l ) ! ( s t ) l ( 1 − s t ) n − l P(S_k \le s | N(t)=n) = \sum_{l=k}^n \frac{n!}{l!(n-l)!}(\frac{s}{t})^l (1-\frac{s}{t})^{n-l} P(SksN(t)=n)=l=knl!(nl)!n!(ts)l(1ts)nl。特别当 k = n k=n k=n 时,有 P ( S n ≤ s ∣ N ( t ) = n ) = ( s t ) n P(S_n\le s | N(t)=n) = (\frac{s}{t})^n P(SnsN(t)=n)=(ts)n

    证明:略。

    4.3.2 顺序统计量

    Y 1 , . . . , Y n Y_1,...,Y_n Y1,...,Yn n n n 个随机变量,如果 Y ( k ) Y_{(k)} Y(k) Y 1 , . . . , Y n Y_1,...,Y_n Y1,...,Yn 中第 k k k 个最小的随机变量,我们称 Y ( 1 ) , . . . , Y ( n ) Y_{(1)},...,Y_{(n)} Y(1),...,Y(n) 是关于 Y 1 , . . . , Y n Y_1,...,Y_n Y1,...,Yn 的顺序统计量。如果 Y 1 , . . . , Y n Y_1,...,Y_n Y1,...,Yn 是独立同分布的连续随机变量,其概率密度分布为 f ( y ) f(y) f(y),则 Y ( 1 ) , . . . , Y ( n ) Y_{(1)},...,Y_{(n)} Y(1),...,Y(n) 的联合分布概率密度函数为
    f ( y 1 , . . . , y n ) = n ! Π k = 1 n f ( y k ) ,   y 1 < y 2 < ⋯ < y n f(y_1,...,y_n) = n! \Pi_{k=1}^n f(y_k), ~ y_1 < y_2 < \cdots < y_n f(y1,...,yn)=n!Πk=1nf(yk), y1<y2<<yn
    特别的,当 Y 1 , . . . , Y n Y_1,...,Y_n Y1,...,Yn ( 0 , t ) (0,t) (0,t) 上独立的均匀分布随机变量时,相应的顺序统计量 Y ( 1 ) , . . . , Y ( n ) Y_{(1)},...,Y_{(n)} Y(1),...,Y(n) 的联合分布概率密度函数为
    f ( y 1 , . . . , y n ) = n ! / t n ,   0 < y 1 < y 2 < ⋯ < y n < t f(y_1,...,y_n) = n! / t^n, ~ 0< y_1 < y_2 < \cdots < y_n < t f(y1,...,yn)=n!/tn, 0<y1<y2<<yn<t
    定理 4.4:设 N ( t ) , t ≥ 0 N(t),t\ge0 N(t),t0 为泊松过程,则在已给 N ( t ) = n N(t)=n N(t)=n 时事件相继发生的时间 S 1 , . . . , S n S_1,...,S_n S1,...,Sn 的条件概率密度为
    f ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) = { n ! / t n , 0 < t 1 < t 2 < ⋯ < t n 0 , o t h e r s f(t_1,t_2,...,t_n) = \begin{cases}n!/t^n, & 0< t_1 < t_2 < \cdots < t_n \\ 0, & others \end{cases} f(t1,t2,...,tn)={n!/tn,0,0<t1<t2<<tnothers
    证明:对任取的 0 = t 0 < t 1 < t 2 < ⋯ < t n < t n + 1 = t 0=t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n < t_{n+1}=t 0=t0<t1<t2<<tn<tn+1=t,取 h 0 = h n + 1 = 0 h_0=h_{n+1}=0 h0=hn+1=0 及充分小的 h i h_i hi,则
    P ( t i < S i ≤ t i + h i , 1 ≤ i ≤ n ∣ N ( t ) = n ) = P ( N ( t i + h i ) − N ( t i ) = 1 , 1 ≤ i ≤ n ,   N ( t j + 1 ) − N ( t j + h j ) = 0 , 1 ≤ j ≤ n ) P ( N ( t ) = n ) = n ! t n h 1 h 2 ⋯ h n \begin{aligned} &P(t_i < S_i \le t_i+h_i, 1\le i\le n | N(t)=n) \\ =& \frac{P(N(t_i+h_i)-N(t_i)=1,1\le i\le n, ~ N(t_{j+1})-N(t_j+h_j)=0, 1\le j\le n)}{P(N(t)=n)} \\ =& \frac{n!}{t^n} h_1 h_2 \cdots h_n \end{aligned} ==P(ti<Siti+hi,1inN(t)=n)P(N(t)=n)P(N(ti+hi)N(ti)=1,1in, N(tj+1)N(tj+hj)=0,1jn)tnn!h1h2hn
    取极限即可得证。

    Remark:上述定理表明,若非负函数 g ( x 1 , . . . , x n ) g(x_1,...,x_n) g(x1,...,xn) 是关于 x i , i = 1 , . . . , n x_i, i=1,...,n xi,i=1,...,n 的对称函数,即对任意一种排列模式 ϕ \phi ϕ,有 g ( x 1 , . . . , x n ) = g ( x ϕ ( 1 ) , x ϕ ( 2 ) , . . . , x ϕ ( n ) ) g(x_1,...,x_n) = g(x_{\phi(1)}, x_{\phi(2)},..., x_{\phi(n)}) g(x1,...,xn)=g(xϕ(1),xϕ(2),...,xϕ(n))(也就是函数值与各分量的顺序无关),则在概率分布的意义上下列等式成立
    g ( S 1 , . . . , S n ∣ N ( t ) = n ) = d g ( Y ( 1 ) , . . . , Y ( n ) ) = g ( Y 1 , . . . , Y n ) g(S_1,...,S_n|N(t)=n) \overset{d}{=} g(Y_{(1)},...,Y_{(n)}) = g(Y_1,...,Y_n) g(S1,...,SnN(t)=n)=dg(Y(1),...,Y(n))=g(Y1,...,Yn)
    其中 Y 1 , . . . , Y n Y_1,...,Y_n Y1,...,Yn ( 0 , t ) (0,t) (0,t) 上独立的均匀分布随机变量。

    栗子 4.2:设某工地有一工程任务,工人到达工地遵照参数为 λ \lambda λ 的泊松流,求在时刻 t t t 工人完成的总的工程量的期望值。

    解:设第 i i i 个工人到达工地的时刻为 S i S_i Si,在 [ 0 , t ] [0,t] [0,t] 内工人完成的总工程量为 S ( t ) = ∑ i = 1 N ( t ) ( t − S i ) S(t)=\sum_{i=1}^{N(t)}(t-S_i) S(t)=i=1N(t)(tSi)。有 E [ S ( t ) ∣ N ( t ) = n ] = n t − E [ ∑ i = 1 n S i ∣ N ( t ) = n ] = n t − E [ ∑ j = 1 n Y j ∣ N ( t ) = n ] = n t / 2 {\mathbb E}[S(t) | N(t)=n] = nt - {\mathbb E}[\sum_{i=1}^n S_i | N(t)=n]=nt - {\mathbb E}[\sum_{j=1}^n Y_j | N(t)=n]=nt/2 E[S(t)N(t)=n]=ntE[i=1nSiN(t)=n]=ntE[j=1nYjN(t)=n]=nt/2,于是 E [ S ( t ) ] = E [ E [ S ( t ) ∣ N ( t ) = n ] ] = λ t 2 / 2 {\mathbb E}[S(t)] = {\mathbb E}[{\mathbb E}[S(t) | N(t)=n]] = \lambda t^2/2 E[S(t)]=E[E[S(t)N(t)=n]]=λt2/2.

    定理 4.5:设 N ( t ) , t ≥ 0 N(t),t\ge0 N(t),t0 是参数为 λ \lambda λ 的泊松过程, S k , k ≥ 1 S_k,k\ge1 Sk,k1 为到达时刻,则对任意的 [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [0,+) 上可积函数 f f f E [ ∑ n = 1 ∞ f ( S n ) ] = λ ∫ 0 ∞ f ( s ) d s {\mathbb E}[\sum_{n=1}^{\infty} f(S_n)] = \lambda\int_0^\infty f(s)ds E[n=1f(Sn)]=λ0f(s)ds.

    证明:当 t ≥ 0 t\ge0 t0 时,有 { S n ≤ t } = { N ( t ) ≥ n } \{S_n\le t\}=\{N(t)\ge n\} {Snt}={N(t)n},因此有 P ( S n ≤ t ) = P ( N ( t ) ≥ n ) = ∑ j = n ∞ ( λ t ) j j ! e − λ t P(S_n\le t)=P(N(t)\ge n) = \sum_{j=n}^\infty \frac{(\lambda t)^j}{j!} e^{-\lambda t} P(Snt)=P(N(t)n)=j=nj!(λt)jeλt,求导得到 S n S_n Sn 的概率密度为 f S n ( t ) = λ ( λ t ) n − 1 ( n − 1 ) ! e − λ t I { t ≥ 0 } f_{S_n}(t)=\lambda \frac{(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!} e^{-\lambda t}I_{\{t\ge0\}} fSn(t)=λ(n1)!(λt)n1eλtI{t0},因此 E [ f ( S n ) ] = λ ∫ 0 ∞ f ( s ) ( λ s ) n − 1 ( n − 1 ) ! e − λ s d s {\mathbb E}[f(S_n)] = \lambda \int_0^\infty f(s)\frac{(\lambda s)^{n-1}}{(n-1)!} e^{-\lambda s} ds E[f(Sn)]=λ0f(s)(n1)!(λs)n1eλsds,再对 n n n 求和即可得证。

    栗子 4.3:题干同上面的栗子 4.2.

    解:定义 f ( s ) = I [ 0 , t ] ( s ) ( t − s ) f(s)=I_{[0,t]}(s)(t-s) f(s)=I[0,t](s)(ts),则 S ( t ) = ∑ i = 1 ∞ f ( s i ) S(t)=\sum_{i=1}^{\infty} f(s_i) S(t)=i=1f(si),利用定理 4.5 结论即可得到 E [ S ( t ) ] = λ t 2 / 2 {\mathbb E}[S(t)] = \lambda t^2 /2 E[S(t)]=λt2/2

    4.4 泊松过程的分流

    定理 4.6:设 N ( t ) , t ≥ 0 N(t),t\ge0 N(t),t0 是参数为 λ \lambda λ 的泊松过程,到达事件的类型取决于它到达的时间。如果某到达时间是 s > 0 s>0 s>0,则它属于类型 1 的概率为 P ( s ) P(s) P(s),输于类型 2 的概率为 1 − P ( s ) 1-P(s) 1P(s)。假设 N m ( t ) , ( m = 1 , 2 ) N_m(t),(m=1,2) Nm(t),(m=1,2) 表示 ( 0 , t ] (0,t] (0,t] 内到达的类型 m m m 的事件数,则 N 1 ( t ) N_1(t) N1(t) N 2 ( t ) N_2(t) N2(t) 是两个独立的泊松变量,相应的均值分别为 λ p t \lambda pt λpt λ ( 1 − p ) t \lambda(1-p)t λ(1p)t,其中 p = 1 t ∫ 0 t P ( s ) d s p=\frac{1}{t}\int_0^t P(s) ds p=t10tP(s)ds

    证明: P ( N 1 ( t ) = k , N 2 ( t ) = l ) = P ( N 1 ( t ) = k , N 2 ( t ) = l ∣ N ( t ) = k + l ) P ( N ( t ) = k + l ) P(N_1(t)=k, N_2(t)=l) = P(N_1(t)=k, N_2(t)=l | N(t)=k+l) P(N(t)=k+l) P(N1(t)=k,N2(t)=l)=P(N1(t)=k,N2(t)=lN(t)=k+l)P(N(t)=k+l),考虑发生在 ( 0 , t ] (0,t] (0,t] 的事件,如果事件在时刻 s s s 发生,由于其在 ( 0 , t ] (0,t] (0,t] 服从均匀分布,那么该事件是类型 1 的概率为 p = 1 t ∫ 0 t P ( s ) d s p=\frac{1}{t}\int_0^t P(s)ds p=t10tP(s)ds

    另外由于这些事件相互独立,因此 P ( N 1 ( t ) = k , N 2 ( t ) = l ∣ N ( t ) = k + l ) = ( k + l k ) p k ( 1 − p ) l P(N_1(t)=k, N_2(t)=l | N(t)=k+l)=\tbinom{k+l}{k}p^k(1-p)^l P(N1(t)=k,N2(t)=lN(t)=k+l)=(kk+l)pk(1p)l。证毕。

    Remark:如果 P ( s ) P(s) P(s) s s s 无关,那么分流之后将得到两个新的泊松流,否则不是泊松流。

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