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  • 常见函数的泰勒展开

    2019-01-06 14:40:34
    常见函数的泰勒展开。使用的时候可以选取前几个展开项并搭配拉格朗日余项进行使用
  • 过程分析展开表附录?4 文件编号 版?本 页?码 63/68 过程 编号 过程 名称 输入 输出 方法 过程 拥有者 资源 绩效 指标 风险 与机遇 评价 优先度 改进 措施 M1 体系策划 管理 1组织环境 2相关方需求 3竞争对手结果 4...
  • Q709804 C语言计算泰勒展开式 https://ask.csdn.net/questions/709804
  • 人生有无数的可能性,考研的结果一定不是终点!但做的每一个选择都要坚持到最后!这是对自己、对梦想最大的尊重!用探索方法代替消极迷茫,用寻求技巧抵消杂乱慌张!争分夺秒,竭尽所能!悉心浇灌,静候花开!...
  • 导航与定位问题,泰勒展开法与最小二乘法求解TDOA
  • 因此,本文利用泰勒级数展开式将隐式双二极管模型建模成显式解析模型。为了进一步获得不同光强、温度条件下显式解析模型中的电池参数值,本文提出两个新的参数提取模型。最后,选择不同材料的硅太阳能组件验证本文...
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  • 泰勒展开

    2020-05-17 05:52:24
    首先介绍一些基本公式: 单变量泰勒级数: 令f为x = a附近的某个开放区间中的无穷微分函数。 单个变量的线性逼近: 从泰勒级数中取常数和线性项。 单个变量的二次逼近: 从泰勒级数中取常数,线性和二次项。 多变量...

    首先介绍一些基本公式:
    在这里插入图片描述

    1. 单变量泰勒级数:
      令f为x = a附近的某个开放区间中的无穷微分函数。
      在这里插入图片描述

    2. 单个变量的线性逼近:
      从泰勒级数中取常数和线性项。
      在这里插入图片描述

    3. 单个变量的二次逼近:
      从泰勒级数中取常数,线性和二次项。
      在这里插入图片描述

    4. 多变量泰勒级数:
      设f为(x,y)=(a,b)附近的某个开放邻域中的无穷微分函数。
      在这里插入图片描述

    5. 更紧凑的形式:
      令x =⟨x,y⟩并令a =⟨a,b⟩。 有了这个新的矢量符号,泰勒级数可以写成:
      在这里插入图片描述
      其中H是二阶导数的矩阵,称为Hessian矩阵:
      在这里插入图片描述

    6. 多个变量的线性逼近:
      从泰勒级数中取常数和线性项。 在(x,y)=(a,b)的附近。
      在这里插入图片描述

    7. 多个变量的二次逼近:
      从泰勒级数中取常数,线性和二次项。 在(x,y)=(a,b)的附近。
      在这里插入图片描述

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  • 分别利用一阶、二阶泰勒展开公式逼近NURBS样条参数,对NURBS曲线插补算法进行了研究。算例证明该算法可以获得与指令速度几乎完全一致的插补结果。给出了一阶、二阶泰勒展开方法的速度波动与曲率的关系,弦误差与插补...
  • 常见的泰勒展开代码

    2013-07-26 17:02:18
    常见的泰勒展开,希望大家检验,希望和研究流体的人多多交流。
  • 泰勒展开2.1 一元函数泰勒展开2.2 二元函数泰勒展开2.3 n元函数泰勒展开3. 黑塞矩阵(海森矩阵) 1. 引入:函数展开 设函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0​ 处可导,则在点 x0x_0x0​ 的某邻域内,可以用下...

    1. 引入:函数展开

    • 设函数 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 在点 x 0 x_0 x0 处可导,则在点 x 0 x_0 x0 的某邻域内,可以用下式表示原函数值
      f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + o ( x − x 0 ) ,     x → x 0 f(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0),\space\space\space x \rightarrow x_0 f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+o(xx0),   xx0
      对于这种一元函数,示意图如下
      在这里插入图片描述
    • 上面这个式子,可以看作在点 x 0 x_0 x0 处对 f ( x ) f(x) f(x) 进行了一步展开,使用线性主部 f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) f'(x_0)(x - x_0) f(x0)(xx0) 和与展开点 x 0 x_0 x0 的偏差 △ x \triangle x x 的高阶无穷小表示原函数。
    • 函数展开的应用非常广泛,这种方法可以把复杂的原始目标函数近似转换为多项式函数,从而简化问题。使用泰勒展开,只要原函数任意阶可导,就可以将其展开为任意阶的多项式函数,得到更高精度的表示

    2. 泰勒展开

    2.1 一元函数泰勒展开

    • 使用泰勒展开,可以把在 x k x_k xk n n n 阶可导的函数 f ( x ) f(x) f(x) 展开为关于 △ x = x − x k \triangle x = x-x_k x=xxk n n n 次多项式,如下
      f ( x ) = f ( x k ) + ( x − x k ) f ′ ( x k ) + 1 2 ! ( x − x k ) 2 f ′ ′ ( x k ) + . . . = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( x k ) n ! ( x − x k ) n \begin{aligned} f(x) &= f(x_k) + (x-x_k)f'(x_k)+\frac{1}{2!}(x-x_k)^2f''(x_k) + ... \\ &= \sum_{n=0}^\infin \frac{f^{(n)}(x_k)}{n!}(x-x_k)^n \end{aligned} f(x)=f(xk)+(xxk)f(xk)+2!1(xxk)2f(xk)+...=n=0n!f(n)(xk)(xxk)n
    • n n n 有上界时,需要在展开式最后添加 △ x = ( x − x k ) \triangle x = (x-x_k) x=(xxk) n n n 次方的高阶无穷小 o ( ( x − x k ) n ) o((x-x_k)^n) o((xxk)n) 以补足近似差距,保证等号成立。可见,随着展开阶数提高,展开式精度也在不断提高

    2.2 二元函数泰勒展开

    • △ x = x − x k ,    △ y = y − y k \triangle x = x-x_k,\space\space \triangle y = y-y_k x=xxk,  y=yyk,设二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ( x k , y k ) (x_k,y_k) (xk,yk) 处可导,可以如下展开:
      f ( x , y ) = f ( x k , y k ) + [ f x ′ ( x k , y k ) △ x + f y ′ ( x k , y k ) △ y ] + 1 2 ! [ f x x ′ ′ ( x k , y k ) △ x 2 + f x y ′ ′ ( x k , y k ) △ x △ y + f y x ′ ′ ( x k , y k ) △ x △ y + f y y ′ ′ ( x k , y k ) △ y 2 ] + . . . \begin{aligned} f(x,y) = f(x_k,y_k) &+ \Big[f'_x(x_k,y_k) \triangle x +f'_y(x_k,y_k)\triangle y\Big]\\ &+ \frac{1}{2!}\Big[f''_{xx}(x_k,y_k)\triangle x^2 + f''_{xy}(x_k,y_k)\triangle x\triangle y+f''_{yx}(x_k,y_k)\triangle x\triangle y+f''_{yy}(x_k,y_k)\triangle y^2 \Big] \\ &+ ... \end{aligned} f(x,y)=f(xk,yk)+[fx(xk,yk)x+fy(xk,yk)y]+2!1[fxx(xk,yk)x2+fxy(xk,yk)xy+fyx(xk,yk)xy+fyy(xk,yk)y2]+...
      通常写成矩阵形式
      f ( x , y ) = f ( x k , y k ) + [ f x ′ ( x k , y k ) f y ′ ( x k , y k ) ] [ △ x △ y ] + 1 2 ! [ △ x △ y ] [ f x x ′ ′ f ( x k , y k ) f x y ′ ′ f ( x k , y k ) f y x ′ ′ f ( x k , y k ) f y y ′ ′ f ( x k , y k ) ] [ △ x △ y ] + . . . \begin{aligned} f(x,y) = f(x_k,y_k) &+ \begin{bmatrix}f'_x(x_k,y_k)&f'_y(x_k,y_k)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\triangle x \\\triangle y\end{bmatrix} \\ &+ \frac{1}{2!}\begin{bmatrix}\triangle x &\triangle y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}f''_{xx}f(x_k,y_k) &f''_{xy}f(x_k,y_k)\\f''_{yx}f(x_k,y_k) &f''_{yy}f(x_k,y_k)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\triangle x \\\triangle y\end{bmatrix} \\ &+... \end{aligned} f(x,y)=f(xk,yk)+[fx(xk,yk)fy(xk,yk)][xy]+2!1[xy][fxxf(xk,yk)fyxf(xk,yk)fxyf(xk,yk)fyyf(xk,yk)][xy]+...
    • 以上展开到2阶,所以至少要求2阶可导,若二阶导数连续(原函数为光滑曲线),则有 f x y ′ ′ = f y x ′ ′ f''_{xy}=f''_{yx} fxy=fyx,可进一步化简

    2.3 n元函数泰勒展开

    • △ x i = x − x k i \triangle x^i = x-x_k^i xi=xxki,设 x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) T \pmb{x} = (x^1,x^2,...,x^n)^T xxx=(x1,x2,...,xn)T n n n 元函数 f ( x ) f(\pmb{x}) f(xxx) x k = ( x k 1 , x k 2 , . . . , x k n ) T \pmb{x}_k = (x_k^1,x_k^2,...,x_k^n)^T xxxk=(xk1,xk2,...,xkn)T 处可导,可以如下展开:
      f ( x ) = f ( x k ) + ∑ i = 1 n f x i ′ ( x ) △ x i + 1 2 ! ∑ i , j = 1 n f i j ′ ′ ( x k ) ( x i − x k i ) + . . . \begin{aligned} f(\pmb{x}) = f(\pmb{x}_k) &+ \sum_{i=1}^n f'_{x^i}(\pmb{x}) \triangle x^i \\ &+ \frac{1}{2!} \sum_{i,j=1}^nf''_{ij}(\pmb{x}_k)(x^i-x^i_k)\\ &+ ... \end{aligned} f(xxx)=f(xxxk)+i=1nfxi(xxx)xi+2!1i,j=1nfij(xxxk)(xixki)+...
      通常写成矩阵形式
      f ( x ) = f ( x k ) + [ f x 1 ′ ( x k ) f x 2 ′ ( x k ) … f x n ′ ( x k ) ] [ △ x 1 △ x 2 ⋮ △ x n ] + 1 2 ! [ △ x 1 △ x 2 … △ x n ] H ( x k ) [ △ x 1 △ x 2 ⋮ △ x n ] + . . . \begin{aligned} f(\pmb{x}) = f(\pmb{x}_k) &+ \begin{bmatrix}f'_{x^1}(\pmb{x}_k)&f'_{x^2}(\pmb{x}_k) &\dots &f'_{x^n}(\pmb{x}_k)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\triangle x^1 \\\triangle x^2 \\ \vdots\\ \triangle x^n \end{bmatrix} \\ &+ \frac{1}{2!}\begin{bmatrix}\triangle x^1 &\triangle x^2 & \dots & \triangle x^n \end{bmatrix} \pmb{H}(\pmb{x}_k) \begin{bmatrix}\triangle x^1 \\\triangle x^2 \\ \vdots\\ \triangle x^n \end{bmatrix}\\ &+ ... \end{aligned} f(xxx)=f(xxxk)+[fx1(xxxk)fx2(xxxk)fxn(xxxk)]x1x2xn+2!1[x1x2xn]HHH(xxxk)x1x2xn+...
      其中 [ f x 1 ′ ( x k ) f x 2 ′ ( x k ) … f x n ′ ( x k ) ] \begin{bmatrix}f'_{x^1}(\pmb{x}_k)&f'_{x^2}(\pmb{x}_k) &\dots &f'_{x^n}(\pmb{x}_k)\end{bmatrix} [fx1(xxxk)fx2(xxxk)fxn(xxxk)] 就是 f ( x ) f(\pmb{x}) f(xxx) 的梯度,化简符号如下:
      f ( x ) = f ( x k ) + [ ▽ f ( x k ) ] T [ x − x k ] + 1 2 ! [ x − x k ] T H ( x k ) [ x − x k ] + . . . \begin{aligned} f(\pmb{x}) = f(\pmb{x}_k) &+ [\triangledown f(\pmb{x}_k)]^T[\pmb{x}-\pmb{x}_k] \\ &+ \frac{1}{2!}[\pmb{x}-\pmb{x}_k]^T H(\pmb{x}_k) [\pmb{x}-\pmb{x}_k]\\ &+ ... \end{aligned} f(xxx)=f(xxxk)+[f(xxxk)]T[xxxxxxk]+2!1[xxxxxxk]TH(xxxk)[xxxxxxk]+...

    • 以上展开到2阶,所以至少要求2阶可导,若二阶导数连续(原函数为光滑曲线),则有 f x y ′ ′ = f y x ′ ′ f''_{xy}=f''_{yx} fxy=fyx,可进一步化简。上式中 H ( x k ) H(\pmb{x}_k) H(xxxk) 是黑塞矩阵,当展开到二阶时就会出现

    3. 黑塞矩阵(海森矩阵)

    • 黑塞矩阵是由某个多元函数的二阶偏导数构成的方阵,描述了函数的局部曲率

      黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题,利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化设计中,所列的目标函数往往很复杂,为了使问题简化,常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数,此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵

    • 在 2.3 节设定下,黑塞矩阵为
      在这里插入图片描述
    • 对称性要求 f ( x ) f(\pmb{x}) f(xxx) 在展开区域内二阶连续可导(二阶偏导数连续,原函数光滑),则原函数的混合偏导数相等,黑塞矩阵成为对称矩阵
    • 可以使用黑塞矩阵判断多元函数极值,这个以后的文章再详细分析
    展开全文
  • 泰勒展开简单直观理解与常用公式

    千次阅读 2021-01-05 09:11:12
    由于最近需要用到泰勒展开,所以这里整理一份泰勒展开常用的公式。 宝贝儿们,卑微小李的公众号【野指针小李】已开通,期待与你一起探讨学术哟~摸摸大! 目录1 泰勒展开简单直观理解2 常用的泰勒展开公式2.1 定义...

    由于最近需要用到泰勒展开,所以这里整理一份泰勒展开常用的公式。

    宝贝儿们,卑微小李的公众号【野指针小李】已开通,期待与你一起探讨学术哟~摸摸大!

    1 泰勒展开简单直观理解

    泰勒展开的核心思想是:用无穷多个多项式在某个点来逼近某个比较复杂的函数。这是一个近似或者说逼近的一个过程,直观的感受如下:

    泰勒展开的直观感受
    详细的讲解的链接我会放在最下方,有需要的可以自提。

    同样还有一个大家经常用到或者经常听到的东西的思想和泰勒展开很像,那就是神经网络。神经网络也是用无数多个神经元(函数)去逼近任意一个函数

    当然泰勒展开这个思想应该还有很多其他的应用,只是我才学疏漏,所以暂时只知道这些内容。

    2 常用的泰勒展开公式

    2.1 定义

    定义:若函数 f ( x ) f(x) f(x)在包含 x 0 x_0 x0的某个开区间 ( a , b ) (a, b) (a,b)上具有 ( n + 1 ) (n+1) (n+1)阶导数,那么对于任一 x ∈ ( a , b ) x\in(a, b) x(a,b),有:

    f ( x ) = f ( x 0 ) 0 ! + f ′ ( x 0 ) 1 ! ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) f(x)=\frac{f(x_0)}{0!} + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x) f(x)=0!f(x0)+1!f(x0)(xx0)+2!f(x0)(xx0)2+...+n!f(n)(x0)(xx0)n+Rn(x)

    其中, R n ( x ) R_n(x) Rn(x)为余项,关于余项的具体内容链接放在最后。

    2.2 常用的公式( x → 0 x \rightarrow 0 x0

    常用的在 x → 0 x \rightarrow 0 x0的时候的泰勒展开公式如下:

    e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + . . . + x n n ! = ∑ n = 0 ∞ x n n ! l n ( x + 1 ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + . . . + ( − 1 ) n + 1 x n n = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n n s i n ( x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + . . . + ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! c o s ( x ) = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + . . . + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! t a n ( x ) = x + x 3 3 + x 5 5 + . . . a r c s i n ( x ) = x + 1 2 × x 3 3 + 1 × 3 2 × 4 × x 5 5 + 1 × 3 × 5 2 × 4 × 6 × x 7 7 + . . . a r c t a n ( x ) = x − x 3 3 + x 5 5 − . . . 1 1 − x = 1 + x + x 2 + . . . + x n = ∑ n = 0 ∞ x n , ∣ x ∣ < 1 1 1 + x = 1 − x + x 2 − . . . + ( − 1 ) n x n = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n , ∣ x ∣ < 1 ( 1 + x ) a = 1 + a x + a ( a − 1 ) 2 x 2 + . . . \begin{aligned} &e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \\ &ln(x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...+(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n} \\ &sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ &cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ... + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \\ &tan(x)=x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + ... \\ &arcsin(x)=x + \frac{1}{2}×\frac{x^3}{3} + \frac{1×3}{2×4}×\frac{x^5}{5} + \frac{1×3×5}{2×4×6}×\frac{x^7}{7}+... \\ &arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-... \\ &\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+...+x^n=\sum_{n=0}^\infty x^n, |x|<1 \\ &\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-...+(-1)^nx^n=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n, |x|<1 \\ &(1+x)^a=1 + ax + \frac{a(a-1)}{2} x^2 + ... \\ \end{aligned} ex=1+x+2!x2+3!x3+...+n!xn=n=0n!xnln(x+1)=x2x2+3x34x4+...+(1)n+1nxn=n=1(1)n+1nxnsin(x)=x3!x3+5!x57!x7+...+(1)n(2n+1)!x2n+1=n=0(1)n(2n+1)!x2n+1cos(x)=12!x2+4!x46!x6+...+(1)n(2n)!x2n=n=0(1)n(2n)!x2ntan(x)=x+3x3+5x5+...arcsin(x)=x+21×3x3+2×41×3×5x5+2×4×61×3×5×7x7+...arctan(x)=x3x3+5x5...1x1=1+x+x2+...+xn=n=0xn,x<11+x1=1x+x2...+(1)nxn=n=0(1)nxn,x<1(1+x)a=1+ax+2a(a1)x2+...

    3 参考

    [1]3Blue1Brown.【官方双语/合集】微积分的本质 - 系列合集[EB/OL].https://www.bilibili.com/video/BV1qW411N7FU?p=11,2018-06-03.
    [2]陈二喜.怎样更好地理解并记忆泰勒展开式?[EB/OL].https://www.zhihu.com/question/25627482,2019-10-20.
    [3]蔷祀.求大神把泰勒公式中常用函数的展开式写给我谢谢了,要详细的[EB/OL].https://zhidao.baidu.com/question/1176805673614305379.html,2019-10-22.

    展开全文
  • matlab求解泰勒展开

    2013-03-14 23:00:53
    matlab 求解一元或多元函数泰勒展开
  • 初等的函数泰勒展开 ex{e^x}ex ex=1+x+12!x2+13!x3+...+1n!xn+o(xn){e^x} = 1 + x + {1 \over {2!}}{x^2} + {1 \over {3!}}{x^3} + ... + {1 \over {n!}}{x^n} + o({x^n})ex=1+x+2!1​x2+3!1​x3+...+n!1​xn+o(xn) ...

    目录

    https://blog.csdn.net/weixin_45792450/article/details/104404432


    初等的函数泰勒展开

    e x {e^x} ex

    e x = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + . . . + 1 n ! x n + o ( x n ) {e^x} = 1 + x + {1 \over {2!}}{x^2} + {1 \over {3!}}{x^3} + ... + {1 \over {n!}}{x^n} + o({x^n}) ex=1+x+2!1x2+3!1x3+...+n!1xn+o(xn)

    sin ⁡ x \sin x sinx

    sin ⁡ x = x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − . . . + 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 + o ( x 2 n + 2 ) \sin x = x - {1 \over {3!}}{x^3} + {1 \over {5!}}{x^5} - ... + {1 \over {(2n + 1)!}}{x^{2n + 1}} + o({x^{2n + 2}}) sinx=x3!1x3+5!1x5...+(2n+1)!1x2n+1+o(x2n+2)

    cos ⁡ x \cos x cosx

    cos ⁡ x = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 − . . . + 1 ( 2 n ) ! x 2 n + o ( x 2 n + 1 ) \cos x = 1 - {1 \over {2!}}{x^2} + {1 \over {4!}}{x^4} - ... + {1 \over {(2n)!}}{x^{2n}} + o({x^{2n + 1}}) cosx=12!1x2+4!1x4...+(2n)!1x2n+o(x2n+1)

    ln ⁡ ( 1 + x ) \ln (1 + x) ln(1+x)

    ln ⁡ ( 1 + x ) = x − 1 2 x 2 + 1 3 x 3 − . . . + ( − 1 ) n − 1 1 n x n + o ( x n ) \ln (1 + x) = x - {1 \over 2}{x^2} + {1 \over 3}{x^3} - ... + {( - 1)^{n - 1}}{1 \over n}{x^n} + o({x^n}) ln(1+x)=x21x2+31x3...+(1)n1n1xn+o(xn)

    ( 1 + x ) m {(1 + x)^m} (1+x)m

    ( 1 + x ) m = 1 + m x + m ( m − 1 ) 2 x 2 + . . . + m ( m − 1 ) . . . ( m − n + 1 ) n ! x n + o ( x n ) {(1 + x)^m} = 1 + mx + {{m(m - 1)} \over 2}{x^2} + ... + {{m(m - 1)...(m - n + 1)} \over {n!}}{x^n} + o({x^n}) (1+x)m=1+mx+2m(m1)x2+...+n!m(m1)...(mn+1)xn+o(xn)

    1 1 + x {1 \over {1 + x}} 1+x1

    1 1 + x = 1 − x + x 2 − x 3 + . . . + ( − 1 ) n − 1 x n + o ( x n ) {1 \over {1 + x}} = 1 - x + {x^2} - {x^3} + ... + {( - 1)^{n - 1}}{x^n} + o({x^n}) 1+x1=1x+x2x3+...+(1)n1xn+o(xn)

    1 1 + x {1 \over {\sqrt {1 + x} }} 1+x 1

    1 1 + x = 1 − 1 2 x + 1 × 3 2 × 4 x 2 − 1 × 3 × 5 2 × 4 × 6 x 3 + . . . + ( − 1 ) n − 1 ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! x n + o ( x n ) {1 \over {\sqrt {1 + x} }} = 1 - {1 \over 2}x + {{1 \times 3} \over {2 \times 4}}{x^2} - {{1 \times 3 \times 5} \over {2 \times 4 \times 6}}{x^3} + ... + {( - 1)^{n - 1}}{{(2n - 1)!!} \over {(2n)!!}}{x^n} + o({x^n}) 1+x 1=121x+2×41×3x22×4×61×3×5x3+...+(1)n1(2n)!!(2n1)!!xn+o(xn)

    稍复杂的函数泰勒展开求法

    1. 分解函数法
      f ( x ) = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) + . . . + f n ( x ) f(x) = {f_1}(x) + {f_2}(x) + ... + {f_n}(x) f(x)=f1(x)+f2(x)+...+fn(x),对各函数分别展开,然后按多项式次数汇总即可

    2. 求导积分法
      f ′ ( x ) = a 0 + a 1 x + . . . + a n x n + o ( x n ) f'(x) = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_n}{x^n} + o({x^n}) f(x)=a0+a1x+...+anxn+o(xn),左右两边积分即得原函数的泰勒展开
      对两边求导可得导函数泰勒展开,对两边积分可得原函数泰勒展开

    3. 复合函数法
      若 f ( x ) = a 0 + a 1 x + . . . + a n x n + o ( x n ) , g ( x ) = b 1 x + b 2 x 2 . . . + b n x n + o ( x n ) 若f(x) = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_n}{x^n} + o({x^n}),g(x) = {b_1}x + {b_2}{x^2}... + {b_n}{x^n} + o({x^n}) f(x)=a0+a1x+...+anxn+o(xn),g(x)=b1x+b2x2...+bnxn+o(xn)

    则 f ( g ( x ) ) = a 0 + a 1 [ b 1 x + . . . + b n x n + o ( x n ) ] + . . . 则f(g(x)) = {a_0} + {a_1}[{b_1}x + ... + {b_n}{x^n} + o({x^n})] + ... f(g(x))=a0+a1[b1x+...+bnxn+o(xn)]+...

    + a n [ b 1 x + . . . + b n x n + o ( x n ) ] n + o ( x n ) + {a_n}{[{b_1}x + ... + {b_n}{x^n} + o({x^n})]^n} + o({x^n}) +an[b1x+...+bnxn+o(xn)]n+o(xn)

    由上述方法加上初等函数泰勒展开,很容易算出诸如 arctan ⁡ x , 1 1 + x 2 , 1 + x \arctan x,{1 \over {1 + {x^2}}},\sqrt {1 + x} arctanx,1+x21,1+x 之类的泰勒展开

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  • 泰勒展开

    千次阅读 多人点赞 2020-05-22 23:09:31
    总结一下佩亚诺的思路:首先,他把泰勒展开式中没有写出来的那些项补全,然后,他把这些项之和称为误差项,之后,他想把误差项变为0,考虑到泰勒展开式中的项越来越小,他就让误差项除以最后一项,试图得到0的结果...
  • 基于泰勒展开的跟踪微分器
  • 计算泰勒展开

    2019-02-08 20:55:38
    计算泰勒展开式,输入底数和次数,程序会输出结果,可以计算某数为泰勒展开式主元时的最大值。
  • 如何理解泰勒展开

    2021-04-16 16:00:07
    总结一下佩亚诺的思路:首先,他把泰勒展开式中没有写出来的那些项补全,然后,他把这些项之和称为误差项,之后,他想把误差项变为0,考虑到泰勒展开式中的项越来越小,他就让误差项除以最后一项,试图得到0的结果...
  • 泰勒展开 考虑一个函数 f(x)f(x)f(x) ,他的值随着自变量 xxx 改变而改变 在 x=x0x=x_0x=x0​ 处展开即为: f(x)=∑i=0∞f(i)(x0)i!(x−x0)i f(x)=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i f(x)=i=0∑...
  • <p style="text-align:center"><img alt="" height="302" src...对于上面图片第一行表达式,我想要在矩阵集合{Wg}处进行泰勒展开,我自己算的是最后一行不知道对不对。 还有展开后是个数值还是矩阵呢?</p>
  • 泰勒公式(泰勒展开式)通俗+本质详解

    万次阅读 多人点赞 2019-03-03 12:54:53
    泰勒公式,也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息,描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒公式可以利用这些导数值来做系数,构建一个多项式近似函数,求得在这...
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  • 三角函数 sinx, cosx 的泰勒展开推导及两个巧妙应用

    万次阅读 多人点赞 2020-03-05 17:52:48
    三角函数 sinx, cosx 的泰勒展开推导及两个巧妙应用,这是一篇充满数学公式却简单易懂的文章。
  • 泰勒展开及其应用

    2019-09-22 21:09:50
    泰勒展开1 在实际应用中对于具有复杂形式的函数我们常常希望用较为简单的函数形式表示他,而多项式就是这种简单的形式。比如对于指数函数、三角函数,我们可以使用多项式来逼近。 为了逼近(或者说是仿造)目标函数...
  • MATLAB学习之泰勒展开(四)

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    泰勒展开 1.泰勒定理 若函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0​处n阶可微,则 f(x)=∑k=0nf(k)(x)k!(x−x0)k+Rn(x) f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x) f(x)=k=0∑n​k!f(k)(x)​(x−x0​)k+Rn​(x) ...
  • 好多考研党在利用泰勒公式求极限时,经常搞不清楚的一个问题是:这个泰勒公式,我到底是要展开到第几阶啊???为了解决这个问题,宝刀君先从什么是泰勒公式说起。1、泰勒公式的定义泰勒公式本质上是一种函数的近似...
  • 泰勒展开 — Taylor Expansion

    千次阅读 2018-12-14 14:29:08
    泰勒展开
  • 泰勒展开 泰勒展开,我的理解是,把一个非多项式的函数(比如指数对数,三角函数)写成一个多项式形式。 怎么让两者相等的?这里用到了导函数,标准公式为: 若在n阶内可导: 称为在点x0处(带有皮亚诺型余项)的泰勒...

空空如也

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