精华内容
下载资源
问答
  • 泰勒公式(泰勒展开式)通俗+本质详解

    万次阅读 多人点赞 2019-03-03 12:54:53
    泰勒公式,也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息,描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒公式可以利用这些导数值来做系数,构建一个多项式近似函数,求得在这...

     

    比较通俗地讲解一下泰勒公式是什么。

    泰勒公式,也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息,描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒公式可以利用这些导数值来做系数,构建一个多项式近似函数,求得在这一点的邻域中的值

    所以泰勒公式是做什么用的?

    简单来讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像),注意,逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。如果一个非常复杂函数,想求其某点的值,直接求无法实现,这时候可以使用泰勒公式去近似的求该值,这是泰勒公式的应用之一。泰勒公式在机器学习中主要应用于梯度迭代。

    ***********************************************************************************************************************************

    ***********************************************************************************************************************************

    1. 问题的提出 

    多项式   是最简单的一类初等函数。关于多项式,由于它本身的运算仅是有限项加减法和乘法,所以在数值计算方面,多项式是人们乐于使用的工具。因此我们经常用多项式来近似表达函数。这也是为什么泰勒公式选择多项式函数去近似表达给定的函数。

    ***********************************************************************************************************************************

    ***********************************************************************************************************************************

    2. 近似计算举例

    初等数学已经了解到一些函数如: 的一些重要性质,但是初等数学不曾回答怎样来计算它们,以 f(x) = \small \cos x 的近似计算为例:

    ①. 一次(线性)逼近                                                                             

    利用微分近似计算公式 f(x) \small \approx f(\small x_{0}) + {f}'(\small x_{0})(x - \small x_{0}) (该式由导数/微分的极限表达公式转换得到),对 \small x_{0} = 0 附近的 f(x) 的线性逼近为: f(x) \small \approx f(0) + {f}'(0) x , 所以 f(x) = \small \cos x \small \approx 1,所以 f(x) 在 \small x_{0} = 0 附近的线性逼近函数 P_{1}(x) = 1,如下图:

    线性逼近优点:形式简单,计算方便;缺点:离原点O越远,近似度越差。  

    ②. 二次逼近     

    二次多项式 逼近 f(x) = \small \cos x ,我们期望:    

    \small P_{2}\left ( 0 \right ) = \small f\left ( 0 \right ) = \small \cos 0 = 1 = \small a_{0}  ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的函数值相等 );

    \small {P_{2}}'\left ( 0 \right ) = \small f{}'\left ( 0 \right ) = \small \sin 0 = 0 = \small a_{1}  ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的斜率相等 );  

    \small {P_{2}}''\left ( 0 \right ) = \small {f}''\left ( 0 \right ) = \small -\cos 0 = -1,所以 \small a_{2} = \small -\frac{1}{2}  ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的曲率相等 ); 

     所以 \small \cos x \small \approx \small P_{2}\left ( x \right ) = 1 - \small \frac{x^{2}}{2},如下图:

    二次逼近要比线性逼近好得多,但局限于 [ \small -\frac{\pi }{2}\small \frac{\pi }{2} ] 内,该范围外,图像明显差异很大。为什么我们期望两个函数在某一点的函数值 、一阶导数值、二阶导数值相等?因为这些值表达了函数(图像)最基本和最主要的性质,这些性质逼近即可以使得两个函数逼近(由上面函数图像可以直观地看出来)

    ③. 八次逼近 

     八次多项式   逼近 f(x) = \small \cos x ,我们期望:     

     \small P_{8}\left (0 \right ) = f\left ( 0 \right ) ,求出  \small a_{0} = 1   ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的函数值相等 );       

     \small {P_{8}}'\left ( 0 \right ) = {f\left ( 0 \right )}',求出 \small a_{1} = 0   ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的斜率相等 );

     .... .... ....          

     \small {P_{8}}^{(8)}\left ( 0 \right ) = f^{(8)}(0),求出 \small a_{8} = \frac{1}{8!}  ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的曲率相等 );                                               

    所以    ,如下图:

    \small P_{8}\left ( x \right ) (绿色图像) 比 \small P_{2}\left ( x \right ) (蓝色图像) 更大范围内更接近余弦函数 (红色图像)   

    由上述3次不同程度的函数逼近可以看出:对于精确度要求较高且需要估计误差的时候,必须用高次多项式来近似表达函数,同时给出误差公式 。

    以上就是利用多项式函数去逼近给定函数的一个过程。

    *****************************************************************************************************************************************

    *****************************************************************************************************************************************

    3. 泰勒公式的推导

    由此引出一个问题:给定一个函数 \small f\left ( x \right ) ,要找一个在指定点 \small x_{0} 附近与 \small f\left ( x \right ) 很近似的多项式函数 \small P\left ( x \right ),记为:         

      使得  \small f\left ( x \right ) \small \approx  \small P_{n}\left ( x \right ) 并且使得两者误差 \small R_{n}\left ( x \right ) = f\left ( x \right ) - P_{n}\left ( x \right ) 可估计。所以要找的多项式应该满足什么条件,误差是什么?

    从几何上看,\small y = f\left ( x \right )\small y = P_{n}\left ( x \right ) 代表两条曲线,如下图:

           

    使它们在 \small x_{0} 附近很靠近,很明显:

    1. 首先要求两曲线在 \small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right ) 点相交,即  \small P_{n}\left ( x_{0} \right ) = f\left ( x_{0} \right )             

    2. 如果要靠得更近,还要求两曲线在  \small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right ) 点相切,(由图像可以直观看出,相交 [ 棕色和红色图像 ] 和 相切 [ 绿色和红色图像 ],两曲线在 \small x_{0} 附近的靠近情况明显差异很大,相切更接近),即 \small {P_{n}}'\left ( x_{0} \right ) = {f}'\left ( x_{0} \right )                                                

    3. 如果还要靠得更近,还要求曲线在  \small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right ) 点弯曲方向相同,(如上图,弯曲方向相反 [ 绿色和红色图像 ];弯曲方向相同[ 蓝色和红色图像 ],明显在离 \small x_{0} 很远的地方,弯曲方向相同两函数的差异更小一点),即 \small {P_{n}}''\left ( x_{0} \right ) = {f}''\left ( x_{0} \right ) ,进而可推想:若在 \small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right ) 附近有 \small {P_{n}}'\left ( x_{0} \right ) = {f}'\left ( x_{0} \right )\small {P_{n}}''\left ( x_{0} \right ) = {f}''\left ( x_{0} \right ) \small \cdots \cdots \cdots  \small P_{n}^{\left ( n \right )}\left ( x_{0} \right ) = f^{n}\left ( x_{0} \right ),近似程度越来越好。

    综上所述,所要找的多项式应满足下列条件:

                  

    解释一下上面的转换时如何做的,以上面第三行的二阶导数为例: 

    第一个箭头的转换:将 \small P_{n}\left ( x \right ) 求二阶导函数后将 \small x_{0} 带入,求得 \small {P_{n}}''\left ( x_{0} \right ) = 2!a_{2} 

    第二个箭头的转换:所以 \small {f}''\left ( x_{0} \right ) = 2!a_{2},所以 \small a_{2} = \frac{1}{2!}{f}''\left ( x_{0} \right ) 

    多项式函数   中的系数 \small a 可以全部由 \small f\left ( x \right ) 表示,则得到: 

    其中误差为  \small R_{n} \left ( x \right ) = f\left (x \right ) - P_{n}\left ( x \right )。 因为是用多项式函数去无限逼近给定的函数,所以两者之间肯定存在一丢丢的误差。

    ****************************************************************************************************************************************

    ****************************************************************************************************************************************

    4. 泰勒公式的定义

    所以我们就得到了泰勒公式的定义:

    如果函数 \small f\left ( x \right ) 在含 \small x_{0} 的某个开区间  \small \left ( a,b \right )  内具有直到  \small \left ( n+1 \right ) 阶导数,则对  \small \forall x \in \left ( a,b \right ) ,有  

       

    其中余项 (即误差)  \small R_{n}\left ( x \right ) = \frac{f^{\left ( n+1 \right )}(\xi )}{\left ( n+1 \right )!}(x-x_{0})^{n+1} , \xi 在 \small x_{0} 与 x 之间。 泰勒公式的余项表达方式有好几种,前面这种表是方法称为n阶泰勒展开式的拉格朗日余项。拉格朗日余项即是n阶泰勒公式又多展开了一阶,n变为n+1。注意,这里的余项即为误差,因为使用多项式函数在某点展开,逼近给定函数,最后肯定会有一丢丢的误差,我们称之为余项。

    ****************************************************************************************************************************************

    ****************************************************************************************************************************************

    5. 扩展 —— 麦克劳林公式

    是泰勒公式的一种特殊情况:即当 \small x_{0} = 0 时的泰勒公式。所以将 \small x_{0} = 0 带入公式,即得:

    几个常见的初等函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式:

     佩亚诺余项为    \small \left ( x-x_{0} \right )^{n} 的高阶无穷小 :                                  

                                                                 

     

     

    展开全文
  • 泰勒展开

    2020-09-22 16:26:19
    泰勒展开是对函数一个范围的拟合多项式.

    泰勒展开是对函数一个范围的拟合多项式.
    g(x)g(x)为对应函数,f(x)f(x)为拟合多项式.
    g(x)g(x)(a,b)(a,b)处存在n+1n+1阶导数,任取x0(a,b)x_0\in (a,b),则可得到nn次泰勒多项式:
    f(x)=i=0ng(i)(x)i!(xx0)i+Rn(x)f(x)=\sum_{i=0}^n \dfrac {g^{(i)}(x)}{i!} (x-x_0)^i+R_n(x),
    其中g(i)g^{(i)}ggii阶导函数,Rn(x)R_n(x)表示nn阶泰勒余项.

    个人理解:
    假设g(x)=i=0nG[i](xx0)ig(x)=\sum_{i=0}^n G[i]*(x-x_0)^i
    Δx0\Delta x\approx 0.
    g(i)(x)G[i]i!g^{(i)}(x)\approx G[i]*i!
    所以正确.

    n=+n=+\infty,则得到泰勒级数.
    x0=0x_0=0处的泰勒级数称为麦克劳林级数.

    展开全文
  • sinx的泰勒展开

    万次阅读 多人点赞 2019-08-19 20:18:33
    sinx的泰勒展开式求解过程 思路: sin x 可以如何 “ 展开 ”?写成式子就是: 最后以省略号结束,代表 “ 无穷 ”,需要求的就是 a0,a1,a2,…… 的值,准确地说就是通项公式。然后,我们就可以开始 “ 微分 ” ...

    sinx的泰勒展开式求解过程

    思路:
    sin x 可以如何 “ 展开 ”?写成式子就是:
    最后以省略号结束,代表 “ 无穷 ”,需要求的就是 a0,a1,a2,…… 的值,准确地说就是通项公式。然后,我们就可以开始 “ 微分 ” 了,就是等式两边同时、不停地微分下去。左边的三角函数的微分,其实是四个一循环的:sin x ➜ cos x ➜ - sin x ➜ - cos x,再回到 sin x……我们也会注意到,凡是把右边微分后,第一项(常数)就为 0 了,也就是可以直接忽略。
    在这里插入图片描述
    这样一来,等式左边在有规律地循环着,等式右边每次都减少一项。当然,x = 0 时等式也会成立,那将 x = 0 带入,将消去所有 x 指数大于 0 的项(都是 0 啊)。这样一来,就可以顺利求出 a0,a1,a2,……啦,sin 0、cos 0、- sin 0 和 - cos x 分别是 0、+1 、0、-1(显然的规律)。上面是微分的过程,下面是对于所有系数得到的等式。
    在这里插入图片描述
    最后,等式左边是四个一循环,可以从除以 4 的余数来考虑(分类);然后,等是右边可以用字母来代替,就是 k! × ak,这里 k! 代表阶乘。所以说,我们可以得到一个看上去漂亮的结果:
    在这里插入图片描述
    如果将系数数列 a 代入,那么偶数项都会消掉(系数为 0),只剩下一加一减的奇数项了。这就是泰勒展开(其实泰勒展开有好几个,这里只是 sin x 的泰勒展开):

    在这里插入图片描述
    想法是不是很巧妙,哈哈?我也是看别人写的。其他各种复杂函数的展开式求解也采用相同的方法,很实用哦。

    展开全文
  • 常用泰勒展开

    万次阅读 2017-09-19 16:22:07
    常用泰勒展开

     

    常用泰勒展开

    展开全文
  • 二元函数的泰勒展开二元函数的泰勒展开第八章* 第九节二元函数的泰勒公式一、二元函数泰勒公式二、极值充分条件的证明一、二元函数的泰勒公式一元函数(f )x 的泰勒公式:′ (f ′′)x0 2( ) ( ) ( ) hf x h f x =+f x...
  • 泰勒公式:就是会有余项,多用在极限计算和中值定理,应用的条件只要函数在待考察的区间上有n+1阶导数,就有 (拉格朗日余项),这个的成立与否不需要考虑自变量的取值问题泰勒展开式:泰勒展开式的方向是从函数变成...
  • 二元泰勒展开

    千次阅读 2020-03-13 08:38:42
    最近在看变分法,里面有一条公式 ...多元泰勒展开其实就是在一元泰勒展开的基础上,直接把所有的变量泰勒展开加一遍 具体的证明过程可以参考 https://blog.csdn.net/chenqihome9/article/details/86349868 ...
  • 计算泰勒展开

    2019-02-08 20:55:38
    计算泰勒展开式,输入底数和次数,程序会输出结果,可以计算某数为泰勒展开式主元时的最大值。
  • 浅显易懂——泰勒展开

    万次阅读 多人点赞 2018-06-02 21:44:32
    第一次见到泰勒展开式的时候,我是崩溃的。泰勒公式长这样:好奇泰勒是怎么想出来的,我想,得尽量还原公式发明的过程才能很好的理解它。首先得问一个问题:泰勒当年为什么要发明这条公式?因为当时数学界对简单函数...
  • 泰勒展开 — Taylor Expansion

    千次阅读 2018-12-14 14:29:08
    泰勒展开
  • 初等的函数泰勒展开 ex{e^x}ex ex=1+x+12!x2+13!x3+...+1n!xn+o(xn){e^x} = 1 + x + {1 \over {2!}}{x^2} + {1 \over {3!}}{x^3} + ... + {1 \over {n!}}{x^n} + o({x^n})ex=1+x+2!1​x2+3!1​x3+...+n!1​xn+o(xn) ...
  • 泰勒展开

    2020-05-08 17:00:37
    一句话概括泰勒展开式: 用多项式去无限逼近一个函数,就是将某个函数在一个点上泰勒展开。 如何推导? 不用管,记住公式就行了。 蕴含的思想: 某个点的变化掌握在一阶导数里,一阶导数的变化在二阶导数里,...
  • 泰勒公式与泰勒展开

    千次阅读 2016-06-24 09:57:04
    泰勒公式可以将难以理解的函数转变成易于处理的多项式。 泰勒公式是用多项式函数去逼近光滑函数(无穷次可微函数)的方法之一。 1. 常见泰勒展开 注意泰勒展开的条件。
  • 常见函数的泰勒展开

    2019-01-06 14:40:34
    常见函数的泰勒展开。使用的时候可以选取前几个展开项并搭配拉格朗日余项进行使用
  • 基于泰勒展开的跟踪微分器
  • 关于泰勒展开

    2016-12-21 14:53:15
    高数不是很好,本科的时候身边同学都是90好几,满分的水平,自己只在80左右徘徊,最近看了好多方法都涉及泰勒展开这么个知识点。今天就来整理整理。 主要包括下面这几点,什么是泰勒展开,以及为什么要泰勒展开。 ...
  • 为了解决利用λ—λ截集证明模糊值函数的展开式过程中遇到的...在此基础上,定义了模糊泰勒展开式,对含有中值的泰勒展开式进行证明,并对其近似表达的误差进行分析。结果表明,经典与模糊的泰勒展开式具有相似的表述形式。
  • MATLAB泰勒展开

    万次阅读 2017-06-12 21:22:05
    题目:对y=exp(-x)进行4阶泰勒展开,并验证: 函数调用格式: taylor(fcn,x,x0,'Order',6);%对函数fcn在点x0处,进行6阶泰勒展开; MATLAB代码: clc clear all close all syms x ...
  • 泰勒展开范例

    千次阅读 2019-02-07 01:04:45
    文章目录泰勒展开定义证明应用e^x在x=0时展开sinx 在x=0时展开cosx 在x=0时展开(1+x)^a在x=0时展开 泰勒展开 定义 设nnn是一个正整数,如果定义在一个包含 a 的区间上的函数 f 在 a 点处 n+1 次可导,那么对于这个...
  • from sympy import *from sympy import log,sin,expimport math #定义变量为xx=Symbol("x") #函数为def taylor (f = x**4,n = 10,x0 = 0,t = 2):#n = 100 #泰勒展开项数i = 0F = list()#n阶导while i <...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 2,388
精华内容 955
关键字:

泰勒展开