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  • 海森矩阵行列式

    2018-06-14 15:30:14
    用于求得海森矩阵行列式,可在特征点匹配时限定条件,缩小时间,得到精准的匹配.
  • 海森矩阵及其应用

    万次阅读 2019-03-28 10:55:39
    海森矩阵 在数学中, 海森矩阵(Hessian matrix或Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵, 此函数如下: f(x1,x2…,xn) 如果ff的所有二阶导数都存在, 那么ff的海森矩阵即: H(f)ij(x...

    海森矩阵

    在数学中, 海森矩阵(Hessian matrix或Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵, 此函数如下: 

                           f(x1,x2…,xn)     


    如果ff的所有二阶导数都存在, 那么ff的海森矩阵即: 

     

    H(f)ij(x)=DiDjf(x)

     


    其中x=(x1,x2…,xn)x=(x1,x2…,xn), 即H(f)H(f)为: 

     

    海森矩阵在牛顿法中的应用

    一般来说, 牛顿法主要应用在两个方面, 1, 求方程的根; 2, 最优化.

    1), 求解方程

    并不是所有的方程都有求根公式, 或者求根公式很复杂, 导致求解困难. 利用牛顿法, 可以迭代求解.

    原理是利用泰勒公式, 在x0x0处展开, 且展开到一阶, 即f(x)=f(x0)+(x–x0)f'(x0)f(x)=f(x0)+(x–x0)f′(x0),求解方程f(x)=0f(x)=0, 即f(x0)+(x–x0)f'(x0)=0f(x0)+(x–x0)f′(x0)=0, 求解x=x1=x0–f(x0)/f'(x0)x=x1=x0–f(x0)/f′(x0), 因为这是利用泰勒公式的一阶展开, f(x)=f(x0)+(x–x0)f'(x0)f(x)=f(x0)+(x–x0)f′(x0)处并不是完全相等, 而是近似相等, 这里求得的x1x1并不能让f(x)=0f(x)=0, 只能说f(x1)f(x1)的值比f(x0)f(x0)更接近f(x)=0f(x)=0, 于是乎, 迭代求解的想法就很自然了, 可以进而推出xn+1=xn–f(xn)/f'(xn)xn+1=xn–f(xn)/f′(xn), 通过迭代, 这个式子必然在f(x∗)=0f(x∗)=0的时候收敛. 整个过程如下图: 
    牛顿迭代求根

    2), 最优化

    在最优化的问题中, 线性最优化至少可以使用单纯形法(或称不动点算法)求解, 但对于非线性优化问题, 牛顿法提供了一种求解的办法. 假设任务是优化一个目标函数ff, 求函数ff的极大极小问题, 可以转化为求解函数ff的导数f'=0f′=0的问题, 这样求可以把优化问题看成方程求解问题(f'=0f′=0). 剩下的问题就和第一部分提到的牛顿法求解很相似了.

    这次为了求解f'=0f′=0的根, 把f(x)f(x)的泰勒展开, 展开到22阶形式: 

    f(x+Δx)=f(x)+f′(x)Δx+12f′′(x)Δx2f(x+Δx)=f(x)+f′(x)Δx+12f″(x)Δx2


    这个式子是成立的, 当且仅当 ΔxΔx 无限趋近于0时, f(x+Δx)=f(x)f(x+Δx)=f(x), 约去这两项, 并对余项式f′(x)Δx+12f”(x)Δx2=0f′(x)Δx+12f”(x)Δx2=0对ΔxΔx求导(注: f'(x)f′(x), f”(x)f”(x)均为常数项. 此时上式等价与: 

    f′(x)+f′′(x)Δx=0f′(x)+f″(x)Δx=0


    求解: 

    Δx=−f′(xn)f′′(xn)Δx=−f′(xn)f″(xn)


    得出迭代公式: 

    xn+1=xn−f′(xn)f′′(xn),n=0,1,...xn+1=xn−f′(xn)f″(xn),n=0,1,...


    一般认为牛顿法可以利用到曲线本身的信息, 比梯度下降法更容易收敛(迭代更少次数), 如下图是一个最小化一个目标方程的例子, 红色曲线是利用牛顿法迭代求解, 绿色曲线是利用梯度下降法求解. 曲线对比图

     

    在上面讨论的是22维(xx坐标维度 + yy坐标维度)情况, 高维情况的牛顿迭代公式是: 

    xn+1=xn−[Hf(xn)]–1∇f(xn),n≥0

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  • 目录对二维度图像来说海森矩阵表达 对二维度图像来说 二阶导数表示的导数的变化规律,如果函数是一条曲线,且曲线存在二阶导数,那么二阶导数表示的是曲线的曲率,曲率越大,曲线越是弯曲。以此类推,多维空间中的一...

    简介

           二阶导数表示的导数的变化规律,如果函数是一条曲线,且曲线存在二阶导数,那么二阶导数表示的是曲线的曲率,曲率越大,曲线越是弯曲。以此类推,多维空间中的一个点的二阶导数就表示该点梯度下降的快慢。以二维图像为例,一阶导数是图像灰度变化即灰度梯度,二阶导数就是灰度梯度变化程度。

           Jacobian相当于一阶导数,Hessian相当于二阶导数, 一阶导数的零点是函数极值点,二阶导数的零点就是一阶导数的极值点。 信号的一阶导数的极值点反映了信号变化的最剧烈程度。有些时候求解极值点是不方便的,找到二阶导数的零点可以更好的帮助解决问题。

           在工程实际问题的优化设计中,所列的目标函数往往很复杂,为了使问题简化,常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数,此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到海森矩阵。海森矩阵常用于牛顿法解决优化问题,利用海森矩阵可判定多元函数的极值问题。对于非线性优化问题, 牛顿法提供了一种求解的办法:假设任务是优化一个目标函数F(X), 求函数F(x)的极大极小问题,。可以转化为求解函数的导数F′=0的问题, 这样求可以把优化问题看成方程求解问题。海森矩阵被应用于牛顿法解决的大规模(多变量)优化问题。

    雅各比矩阵

           雅可比矩阵类似于多元函数的导数,也即是函数对各个自变量的一阶导数.。在某个给定点的雅可比行列式提供了 在接近该点时的表现的重要信息. 例如, 如果连续可微函数F在p点的雅可比行列式不是零, 那么它在该点附近具有反函数. 这称为反函数定理. 更进一步, 如果p点的雅可比行列式是正数, 则F在p点的取向不变;如果是负数, 则F的取向相反. 而从雅可比行列式的绝对值, 就可以知道函数F在p点的缩放因子;

    在这里插入图片描述

    海森矩阵

           对于一个维度为n的函数f
                                    在这里插入图片描述
           其在n维空间某点处的海森矩阵可以表达为如下:

    在这里插入图片描述

           在二维图像中,海森矩阵是二维正定矩阵,有两个特征值和对应的两个特征向量。两个特征值表示出了图像在两个特征向量所指方向上图像变化的各向异性。

           图像中的点性结构具有各项同性,而线性结构具有各向异性。因此我们可以利用海森矩阵对图像中的线性结构进行增强,滤去点状的结构和噪声点。同样,也可以用于找出图像中的点状结构,滤除其他信息。

           我们在使用海森矩阵时,不需要把图像进行泰勒展开,我们只需要直接求取矩阵中的元素即可。一般,对数字图像进行二阶求导使用的是以下方法;
    在这里插入图片描述
           但是这种方法鲁棒性很差,容易受到图像中局部信号的干扰, 计算量很大也不实际拿来使用在图像计算中。根据线性尺度空间理论(LOG),对一个函数求导,等于函数与高斯函数导数的卷积。由于高斯模板可以将周围一矩形范围内所有的点的信息都包含进来,这样就不会有误差。所以利用图像求取hessian矩阵中的元素时,将图像与高斯函数的二阶导数做卷积即可,式子如下;
    在这里插入图片描述

           下面是高斯函数的二阶偏导。
    在这里插入图片描述

           使用高斯核进行卷积时候,参数sigma 大小以及窗口大小会影响最终结果。求导窗口的大小有关,求导窗口太小,很多粗的结构会出现中空的现象,因为中心区域被认为是点结构了;求导窗口太大,就容易出现细微结构丢失的情况。

    更多详细内容可以参考链接

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  • 文章目录导论海森矩阵的定义海森矩阵的意义泰勒展开及海森矩阵 导论 Frangi滤波[1]^{[1]}[1]是Frangi在1998年,运算Hessian矩阵的特征值构造出了一种滤波器来增强血管结构。Hessian矩阵实际是一个二阶偏导矩阵,矩阵...

    导论

    Hessian矩阵实际是一个二阶偏导矩阵,下面,我们看一下什么是hessian矩阵。

    海森矩阵的定义

    一个二元Hessian矩阵定义为:
    H=[IxxIxyIxyIyy] H=\begin{bmatrix} {I_{xx}}&{I_{xy}}\\ {I_{xy}}&{I_{yy}}\\ \end{bmatrix}

    其中,IxxI_{xx} 为图像 IIxx 方向的二阶偏导数,IyyI_{yy} 表示图像 IIyy方向的二阶偏导数,Ixy=IyxI_{xy}=I_{yx} 为图像 IIxyxy 方向的混合偏导数。即:

    Ixx=Ii+1,j2Ii,j+Ii1,jIyy=Ii,j+12Ii,j+Ii,j1Ixy=Ii+1,j+1Ii,j+1Ii+1,j+Ii,j I_{xx}=I_{i+1,j}-2*I_{i,j}+I_{i-1,j} \\ I_{yy}=I_{i,j+1}-2*I_{i,j}+I_{i,j-1} \\ I_{xy}=I_{i+1,j+1}-I_{i,j+1}-I_{i+1,j}+I_{i,j}

    也可以采用其他方式表示,而且往往不同的方法求得的值不同。因为这种方法只把包含其自身在内的三个点的信息囊括进去,信息量不足。因此,提倡大家换一种方法。

    由于二阶偏导数对噪声比较敏感,因此人们在求Hessian矩阵时一般先进行高斯平滑,即

    Ixx=IGδ(x,y)x2I_{xx}=I*G_\delta (x,y) * \nabla_x ^2

    式中 Gδ(x,y)G_\delta (x,y) 表示尺度为 σσ 的二维高斯函数。由于卷积的交换律,上式可以看成先求高斯二阶微分,然后再与图像卷积,即

    Ixx=I(Gδ(x,y)x2)I_{xx}=I*(G_\delta (x,y) * \nabla_x ^2)

    由此可得,对一个函数求导,等于函数与高斯函数导数的卷积(即线性尺度空间理论 LOG)。附上高斯函数的二阶偏导的数学表达式:

    G(x,y;δ)=12πδexp(x2+y22δ2)G(x,y;\delta)=\frac{1}{2\pi\delta}exp(-\frac{x_2+y_2}{2\delta^2})

    海森矩阵的意义

    众所周知,二阶导数表示导数的变化规律,如果函数是一条曲线,且曲线存在二阶导数,那么二阶导数表示的是曲线的曲率。曲率越大,曲线越是弯曲。

    以此类推,多维空间中一个点的二阶导数就表示该点梯度下降的快慢。以二维图像为例,一阶导数是图像灰度的变化即灰度梯度,二阶导数就是灰度梯度的变化程度,二阶导数越大灰度变化越不具有线性性(这里有一点绕口了,意思就是这里灰度梯度改变越大,不是线性的梯度)。

    但是在二维图像中,海森矩阵是二维正定矩阵,有两个特征值和对应的两个特征向量。两个特征值表示了图像在两个特征向量所指方向上图形曲率大小和方向,即各向异性。

    如果利用特征向量与特征值构成一个椭圆,那么这个椭圆就标注出了图像变化的各向异性。那么在二维图像中,什么样的结构最具各项同性,又是什么样的结构的各向异性更强呢?很显然,圆具有最强的各项同性,线性越强的结构越具有各向异性。如下图:

    泰勒展开及海森矩阵

    将一个一元函数 f(x)f(x)x0x_0 处进行泰勒展开,可以得到以下公式。

    f(x0+δx)=f(x0)+δxf(x0)+12δx2f(x0)+oδx2f(x_0 + \delta_x) = f(x_0) + \delta_x * f'(x_0) + \frac{1}{2!} \delta_x^2 * f''(x_0) + o \Vert \delta_x^2 \Vert

    其中余项为皮亚诺余项。二阶导数的部分映射到二维以及多维空间就是Hessian Matrix。

    在二维图像中,假设图像像素值关于坐标(x, y)的函数是 f(x,y)f(x, y),那么将f(x+dxy+dy)f(x+dx,y+dy)f(x0,y0)f(x_0, y_0) 处展开,得到如下式子:

    f(x0+dxy0+dy)=f(x0,y0)+dxfx0(x0,y0)+dyfy0(x0,y0)+12[f(x0,y0)d2x+2f(x0,y0)dxdy]+f(x0,y0)d2y]+...f(x_0+dx,y_0+dy) = f(x_0, y_0) + dx * f_{x_0}(x_0, y_0) + dy * f_{y_0}(x_0, y_0)+ \dfrac{1}{2}[f(x_0, y_0)d^2x+2f(x_0, y_0)dxdy]+f(x_0, y_0)d^2y] + ...

    如果将这个式子用矩阵表示,并且舍去余项,则式子会是下面这个样子。

    f(x)=f(x0)+f(x0)Tδx+12δxTG(x0)δxf(x) = f(x_0) + \nabla f(x_0)^T \delta_ x + \frac{1}{2} \delta_x^T G(x_0) \delta_x

    其中,δx=[dx,dy]\delta_ x=[dx, dy]f(x0)=[fxfy]\nabla f(x_0)=\begin{bmatrix} {\dfrac{\partial f}{\partial x}}\\ {\dfrac{\partial f}{\partial y}}\\ \end{bmatrix} 是函数f(x,y)f(x, y)x0(x0,y0)x_0(x_0, y_0) 处的梯度,矩阵

    G(x)=[2f2x2fxy2fyx2f2y] G(x)=\begin{bmatrix} {\dfrac{\partial^2 f}{\partial^2 x}}&{\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}}\\ {\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}}&{\dfrac{\partial^2 f}{\partial^2 y}}\\ \end{bmatrix}
    即函数f(x,y)f(x, y) 在二维空间 x0(x0,y0)x_0(x_0, y_0) 处的海森矩阵了;从而有了一个结论,海森矩阵就是空间中一点处的二阶导数。

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  • 三维图像的海森矩阵

    千次阅读 2018-10-23 00:50:01
    标签: 三维图像 海森矩阵 二阶偏导数 高斯函数 海森矩阵(Hessian matrix) 雅可比矩阵 在向量分析中,雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵, 其行列式称为雅可比行列式。 海森矩阵 数学中,海森...

    标签: 三维图像 海森矩阵 二阶偏导数 高斯函数


    海森矩阵(Hessian matrix)


    雅可比矩阵

    在向量分析中,雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵, 其行列式称为雅可比行列式。

    海森矩阵

    数学中,海森矩阵(Hessian matrix)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵(假设其二阶偏导都存在)。
    H(f)=[2fx122fx1x22fx1xn2fx2x12fx222fx2xn2fxnx12fxnx22fxn2] H(f)=\left[ \begin{matrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x^2_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_nx_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x^2_n} \\ \end{matrix} \right]


    高斯求导


    前言

    通过上述公式可知,求海森矩阵的过程实际上就是求二阶偏导的过程。卷积中有一个重要的性质:卷积的微分特性—两个函数相卷积后的导数等于其中一个函数的导数与另一个函数的卷积
    ddt[f1(t)f2(t)]=df1(t)dtf2(t)=f1(t)df2(t)dt\frac{d}{dt}[f_1(t)* f_2(t)]=\frac{df_1(t)}{dt}* f_2(t)= f_1(t)*\frac{df_2(t)}{dt}
    证明如下:
    ddt[f1(t)f2(t)]=ddtf1(τ)f2(tτ)dτ=f1(τ)ddtf2(tτ)dτ=f1(t)df2(t)dt\frac{d}{dt}[f_1(t)* f_2(t)]=\frac{d}{dt}\int ^{\infty}_{-\infty} f_1(\tau)* f_2(t-\tau)d\tau = \int ^{\infty}_{-\infty} f_1(\tau)* \frac{d}{dt}f_2(t-\tau)d\tau =f_1(t)*\frac{df_2(t)}{dt}
    同理可证:
    ddt[f1(t)f2(t)]=ddtf1(τ)f2(tτ)dτ=ddtf1(τ)f2(tτ)dτ=df1(t)dtf2(t)\frac{d}{dt}[f_1(t)* f_2(t)]=\frac{d}{dt}\int ^{\infty}_{-\infty} f_1(\tau)* f_2(t-\tau)d\tau = \int ^{\infty}_{-\infty} \frac{d}{dt}f_1(\tau)* f_2(t-\tau)d\tau =\frac{df_1(t)}{dt}*f_2(t)
    故上述微分特性得证。
    推广易得:
    2t2[f1(t)f2(t)]=2f1(t)t2f2(t)=f1(t)2f2(t)t2\frac{\partial^2}{\partial t^2}[f_1(t)* f_2(t)]=\frac{\partial^2f_1(t)}{\partial t^2}* f_2(t) = f_1(t)*\frac{\partial^2f_2(t)}{\partial t^2}

    推导

    根据上式,令f1(t)f_1(t)为高斯函数G(x,y,z)=(12πσ)3ex2+y2+z22σ2G(x,y,z)=(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma})^3e^{-\frac{x^2+y^2+z^2}{2\sigma^2}}f2(t)f_2(t)为三维图片I(x,y,z)I(x,y,z),则有:
    2x2[G(x,y,z)I(x,y,z)]=2G(x,y,z)x2I(x,y,z)=G(x,y,z)2I(x,y,z)x2\frac{\partial^2}{\partial x^2}[G(x,y,z)* I(x,y,z)]=\frac{\partial^2G(x,y,z)}{\partial x^2}* I(x,y,z) = G(x,y,z)*\frac{\partial^2I(x,y,z)}{\partial x^2}
    可知,只要求得了2G(x,y,z)x2\frac{\partial^2G(x,y,z)}{\partial x^2},那么通过上式就可以得到2I(x,y,z)x2\frac{\partial^2I(x,y,z)}{\partial x^2}为图像II(x,y,z)(x,y,z)点的对xx的二阶偏导。其他方向的二阶偏导同理可求。
    到这里,求图像的二阶偏导转换成了求高斯函数的二阶偏导。


    跳过。。跳过。。一系列的求导过程((٩(//̀Д/́/)۶))


    得到以下高斯函数的二阶偏导:
    2G(x,y,z)x2=1(2πσ)3x2σ2σ4ex2+y2+z22σ2=x2σ2(2π)3σ7ex2+y2+z22σ2\frac{\partial^2G(x,y,z)}{\partial x^2}=\frac{1}{(\sqrt{2\pi}\sigma)^3}\frac{x^2-\sigma^2}{\sigma^4}e^{-\frac{x^2+y^2+z^2}{2\sigma^2}}=\frac{x^2-\sigma^2}{(\sqrt{2\pi})^3\sigma^7}e^{-\frac{x^2+y^2+z^2}{2\sigma^2}}
    2G(x,y,z)xy=1(2πσ)3xyσ4ex2+y2+z22σ2=xy(2π)3σ7ex2+y2+z22σ2\frac{\partial^2G(x,y,z)}{\partial x\partial y}=\frac{1}{(\sqrt{2\pi}\sigma)^3}\frac{xy}{\sigma^4}e^{-\frac{x^2+y^2+z^2}{2\sigma^2}}=\frac{xy}{(\sqrt{2\pi})^3\sigma^7}e^{-\frac{x^2+y^2+z^2}{2\sigma^2}}
    同理易得高斯函数G(x,y,z)G(x,y,z)y2,z2,yx,xz,zx,yz,zyy^2,z^2,yx,xz,zx,yz,zy等方向的偏导。
    可以发现:
    2G(x,y,z)xy=2G(x,y,z)yx\frac{\partial^2G(x,y,z)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2G(x,y,z)}{\partial y\partial x}
    2G(x,y,z)xz=2G(x,y,z)zx\frac{\partial^2G(x,y,z)}{\partial x\partial z}=\frac{\partial^2G(x,y,z)}{\partial z\partial x}
    2G(x,y,z)yz=2G(x,y,z)zy\frac{\partial^2G(x,y,z)}{\partial y\partial z}=\frac{\partial^2G(x,y,z)}{\partial z\partial y}
    至此,高斯函数所有的二阶偏导已经求得,然后利用matlab中的convn函数进行三维空间内的卷积(参数选择same保证结果和图像一致),这也意味着黑森矩阵已经可以通过上述过程得到。

    代码实现

    %%  求高斯函数的二阶偏导数
    %%  num为高斯核的大小
    %%  sigma为高斯函数的方差
    function [gau_xx,gau_yy,gau_zz,gau_xy,gau_xz,gau_yz]=gaus_creation_3D(num,sigma)
    
    gau_xx=[];gau_yy=[];gau_zz=[];%初始化矩阵
    
    gau_xy=[];gau_xz=[];gau_yz=[];%初始化矩阵
    
    for i=1:1:2*num+1
        for j=1:1:2*num+1
            for k=1:1:2*num+1
                
                x=i-num-1;y=j-num-1;z=k-num-1;
                
                gau_xx(i,j,k)=1/power(sqrt(2*pi),3)*(-(sigma^2-x^2)/sigma^7)*exp(-(x^2+y^2+z^2)/2/sigma^2);
                gau_yy(i,j,k)=1/power(sqrt(2*pi),3)*(-(sigma^2-y^2)/sigma^7)*exp(-(x^2+y^2+z^2)/2/sigma^2);
                gau_zz(i,j,k)=1/power(sqrt(2*pi),3)*(-(sigma^2-z^2)/sigma^7)*exp(-(x^2+y^2+z^2)/2/sigma^2);
                
                gau_xy(i,j,k)=1/power(sqrt(2*pi),3)*(x*y/sigma^7)*exp(-(x^2+y^2+z^2)/2/sigma^2);
                gau_xz(i,j,k)=1/power(sqrt(2*pi),3)*(x*z/sigma^7)*exp(-(x^2+y^2+z^2)/2/sigma^2);
                gau_yz(i,j,k)=1/power(sqrt(2*pi),3)*(z*y/sigma^7)*exp(-(x^2+y^2+z^2)/2/sigma^2);
            end
        end
    end
    end
    

    思考

    关于最终的结果

    2x2[G(x,y,z)I(x,y,z)]=2G(x,y,z)x2I(x,y,z)=G(x,y,z)2I(x,y,z)x2\frac{\partial^2}{\partial x^2}[G(x,y,z)* I(x,y,z)]=\frac{\partial^2G(x,y,z)}{\partial x^2}* I(x,y,z) = G(x,y,z)*\frac{\partial^2I(x,y,z)}{\partial x^2}式中可知最后的结果其实是图像的二阶偏导和高斯函数的卷积,并不只是单纯的图像二阶偏导。高斯函数在图像处理中常用于去除高斯噪声,它具有良好的低通滤波效果,一般在检测边缘之前常用高斯卷积来移除图像一些细节以及噪声。所以事实上,这里的卷积不会影响图像整体的结构,而且一定程度上对图像进行了去噪使图像质量更好(当然不可否认的是损失了一些图像细节),如果是利用海森矩阵进行三维图像的线性结构或是面结构的检测,那么一定程度的去噪以及平滑处理将可能得到更好的结果。


    以上。(づ●─●)づ

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  • 海森矩阵和牛顿法

    2019-05-18 11:12:00
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  • 这里讨论的三个概念:梯度向量、Jacobian矩阵和Hessian矩阵,有关后面两个矩阵的性质日后将进一步完善。...二阶导数构成的矩阵为Hessian矩阵(海森矩阵) 多维 f(x) =(f1(x), f2(x), ⋯ , fm(x))T: 此时的一阶导...
  • 雅克比矩阵 海森矩阵 牛顿法

    千次阅读 2016-01-12 17:36:23
    雅可比矩阵是以一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵,其行列式称为雅可比行列式。 雅可比矩阵的重要性在于它体现了一...此函数如下,f(x1,x2,...,xn)如果f的所有二阶导数都存在,那么f的海森矩阵即: 海
  • Hesse矩阵(海森矩阵

    千次阅读 2013-11-09 16:24:38
    在数学中,海森矩阵(Hessian matrix 或 Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵,此函数如下: 如果 f 所有的二阶导数都存在,那么 f 的海森矩阵即: 其中 ,...
  • 文章目录一、 Jacobian二、雅可比矩阵2.1、雅可比行列式三、 海森Hessian矩阵3.1、海森矩阵在牛顿法中的应用3.1.1、 泰勒公式3.1.2、 求解方程3.1.3、 最优化 一、 Jacobian 在向量分析中, 雅可比矩阵是一阶偏导数以...
  • Hessian Matrix(海森矩阵) Hessian Matrix,译作黑塞矩阵、海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等。是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵,描述了函数的局部曲率。Hessian Matrix最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto ...
  • 然后定义保守度作为保守性的量化指标,以完备性为约束条件、保守度最小为优化目标,基于海森矩阵求解仿射乘法的最优近似;最后将仿射乘法的最优近似用于仿射谐波潮流计算。IEEE 30节点系统仿真结果表明,相较于传统...
  • 梯度下降与海森矩阵

    千次阅读 2020-03-21 10:17:25
    海森矩阵condition number很大时,一阶梯度下降收敛很慢,无论是对鞍点还是局部极值点而言都不是个好事。 鞍点 $f'(x)=0$时函数不一定抵达局部最优解,还可能是鞍点(见上图),此时还必须根据二阶导数确定。 ...
  • 话不多说,下面开始:1、海森矩阵 Hessian Matrix海森矩阵是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵,函数为:海森矩阵和牛顿法密切相关。可以利用海森矩阵进行多元函数的极值判断。参考:...
  • 牛顿法、雅克比矩阵、海森矩阵

    千次阅读 2017-01-11 17:07:27
    牛顿法、雅克比矩阵、海森矩阵一般来说, 牛顿法主要应用在两个方面, 1, 求方程的根; 2, 最优化。 1,求方程的根 其原理便是使用泰勒展开,然后去线性部分,即: (1) 然后令上式等于0,则有: (2) 经过不断...
  • Hessian矩阵、海塞矩阵、海森矩阵
  • 在数学中, 海森矩阵(Hessian matrix或Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵, 此函数如下: f(x1,x2…,xn)f({x_1},{x_2} \ldots ,{x_n})f(x1​,x2​…,xn​) 如果fff的所有二阶导数都存在...
  • Hessian Matrix(海森矩阵)在图像处理中有广泛的应用,比如边缘检测、特征点检测等。而海森矩阵本身也包含了大量的数学知识,例如泰勒展开、多元函数求导、矩阵、特征值等。写这篇博客的目的,就是想从原理和实现上...
  • 海森矩阵(Hessian Matrix),又译作黑塞矩阵、海瑟矩阵、 海塞矩阵等,是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵,描述 了函数的局部曲率。黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家 Ludwig Otto Hesse提出,并以其名字命名。...
  • 请问torch.autograd.functional中调用海森矩阵进行计算,结果全是0,雅克比矩阵计算就没问题,就是多求了一次梯度,这是为什么呢,我应该从哪个角度查找问题? <p>from torch....
  • 海森矩阵(Hessian Matrix)与泰勒展开式 1.一元展开式 2.多元展开式
  • 幸运的AMPL不仅具有快速建模的功能,同时还可以给出雅克比和海森矩阵,最近花了一些时间对AMPL建立出来的模型在matlab下求解雅克比和海森矩阵信息的软件库进行编译,相信这项工作可以大幅度减少以后研究工作的工作量...
  • 在向量分析中, 雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。其行列式称为雅可比行列式。 一、Jacobian矩阵 雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近. 因此, 雅可比矩阵类似于多元...
  • HESSIAN 海森矩阵

    2021-01-18 17:44:56
    https://blog.csdn.net/qq_34886403/article/details/83589108
  • 雅克比矩阵就是一阶偏导数以一定方式排列地矩阵,这种行列式就是雅克比行列式。 雅克比矩阵重要性体现在一个可微方程与给出点的最优线性逼近。雅克比矩阵类似于多元函数的导数。 假设F: Rn→Rm是一个从欧式n维空间...

空空如也

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